2 La ecuación de continuidad - Arturo Lara (1)

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11- 2 La ecuación de continuidad
En la introducción al capítulo 2 se mencionó que todos los experimentos indican que la carga neta se conserva. Es posible expresar esta ley fundamental de conservación de la carga en una conveniente manera cuantitativa en función de las cantidades que se acaban de definir. Supóngase que en la figura 12-4 la superficie S es una superficie cerrada estacionaria que limita un volumen V. En este caso, la razón total a la que la carga está fluyendo hacia afuera a través de la superficie S debe ser igual a la razón a la que la carga total dentro del volumen V está disminuyendo, dado que el total debe ser constante. Por lo tanto, si Q es la carga total en el volumen V, de (12-6), (2-14) y (1-59) se encuentra que
- =^jrfa= - 4 fsdr=-	■ -,dT (12-’0
Fue posible pasar de la tercera expresión a la cuarta, de la manera indicada, porque V
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es un volumen de forma y tamaño constante, de modo que cualesquiera límites de integración relacionados con la integral definida sobre V son independientes del tiempo; además, p puede ser una función de la posición además del tiempo. Si se combinan las últimas dos expresiones en (1 2-11), se obtiene
¿(VJ+l)‘fr=0	<12-12)
Puesto que la carga debe conservarse en todos los puntos del espacio y no sólo en cierta parte de un volumen dado, la integral debe ser correcta para cualquier volumen arbitrario, incluyendo uno arbitrariamente pequeño situado en cualquier parte. Y así, (12-12) sólo puede ser siempre verdadera si el integrando es igual a cero en todos los puntos del espacio, por lo que
V. j+^=0	(12-13)
A este importante resultado se le llama ecuación de continuidad y es una expresión matemática del resultado experimental fundamental de que la carga neta se conserva. Puede hacerse notar aquí que ciertos procesos especiales como la “producción de parejas” y la “aniquilación” de, por decir algo, electrones y positrones no violan este resultado porque la carga neta permanece constante, ya que siempre se “crean” o “destruyen” cantidades iguales de carga positiva y negativa en este tipo de fenómenos. Se han encontrado resultados similares en reacciones más complicadas de la física nuclear y de alta energía, en la que se producen grandes cantidades dc partículas; en todos los casos se conserva la carga neta.
Si se combina (12-13) con (9-6) y (9-24), se obtiene la condición de frontera que debe satisfacer la densidad de corriente en una superficie de discontinuidad;
ñ-(J2-J,) = J2„-J,„=-^	(12-14)
Desde el punto de vista físico, esta condición expresa que si llega más carga que la que sale de una superficie dada, la carga deberá necesariamente acumularse ahí, y viceversa.
En el caso especial de las corrientes estacionarias, en las que todo es constante en el tiempo, dp/dt y daldt son ambas iguales a cero, por lo que los últimos dos resultados se simplifican así.
V-J = 0	(12-15)
ñ(J2-J,) = J2„-J„-0	(12-16)
Dado que toda la carga se conserva, p y J son claramente la densidad de carga y la densidad de corriente totales, respectivamente. Considérense ahora sus partes constitutivas. Para empezar, tómese la carga ligada cuya densidad es pb. Durante el proceso de polarización de un material, por lo general las cargas ligadas se moverán, de acuerdo con lo que se vio en la sección 10-1, por lo que es posible definir una densidad de corriente confinada o ligada, J¿. Puesto que el proceso de polarización implica únicamente la separación de cargas ligadas o la reorientación de los dipolos, las cargas ligadas necesariamente se conservan como se ilustra en (10-13). Por lo tanto, debe contarse con una ecuación de continuidad separada para las cargas ligadas, es decir,
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V-J„ + ^=O	(12-17)
Si, de acuerdo con (10-10) se expresa pb = _ A • P, también se tiene que
v.jt-|v.p=v.(j6-^)=o
y, ya que esto debe ser cierto en todo el espacio, se puede escribir
(12-18)
identificando así la densidad de corriente confinada, A esta corriente muy a menudo se le llama la densidad de corriente de polarización, pues es una consecuencia del proceso de polarización.
Dado que, de acuerdo con (12-13) la carga total se conserva y, como se muestra en (12-17) la carga ligada también se conserva, y la carga libre debe necesariamente conservarse también, por lo que se puede escribir que
V-J/+^=0	(12-19)
de lo que se desprende que
ñ ‘ (J/2 _ J/l) ~ ^f2n ~ Jf\n =	(12-20)
de manera igual a la que sirvió para obtener (12-14). En el caso especial de las corrientes constantes se tiene que
V-Jz=0 Y n-(J/2-Jn)=0	(12-21)
Dado que es sobre las cargas libres y por lo tanto sobre las corrientes libres, sobre las que se tiene cierto grado de control, son por lo general las de mayor interés para un estudio como éste y, por lo tanto, el énfasis del mismo recae sobre ellas. Se suele clasificar a las corrientes libres en dos grandes grupos que son las comentes de conducción y las corrientes de convección, aun cuando la distinción entre ambas no se encuentra perfectamente definida. En términos generales, las corrientes de conducción incluyen el movimiento de cargas en conductores, es decir, materiales que por su naturaleza intrínseca ya contienen cargas móviles. El ejemplo más típico de este tipo de materiales es el de los metales, aunque también se incluyen en esta clasificación las corrientes en los semiconductores y en las soluciones electrolíticas. En este último caso, los portadores de carga consisten en iones positivos y negativos que resultan de la formación misma de la solución. Por otro lado, las corrientes de convección se dan por lo general en el movimento de partículas cargadas en corrientes o flujos a través de un espacio que por lo demás se encuentra al vacío, como es el caso de haces de iones, haces electrónicos en bulbos al vacío, partículas cargadas en el viento solar y cosas similares. Esta clasificación también puede incluir el movimiento físico de cuerpos macroscópicos cargados, tales como el movimiento de un pedazo de vidrio cargado positivamente por frotamiento. Es obvio que la clase más impor
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tante aquí viene a ser la de las corrientes de conducción, mismas que se consideran a continuación con mayor detalle.