Listado_12_527140_s2

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Listado 12: Calculo I (527140)
1. (P) Una pista de carrera consta de dos partes rectas paralelas y dos partes semicirculares. La pista tiene
una longitud total de 2 kilómetros. Encuentre las dimensiones del terreno rectangular de la pista, de
modo que el área de este terreno sea máxima.
2. Una bodega de forma rectangular debe tener 500m2 y debe dividirse en dos zonas rectangulares madiente
una pared interior. El costo de la pared exterior es de 50,000 pesos por metro lineal y el costo de la tared
interior es de 40,000 pesos por metro lineal. Determine las dimensiones de la bodega que minimicen el
costo de construcción.
3. Un depósito cónico sin tapa debe tener el volumen fijo V0 =
4
3
π. Determine las dimensiones del cono
para que se utilice la menor cantidad de material en su fabricación.
4. Una empresa que vende papas fritas desea construir un cono donde envasar su producto. El cono se
construye a partir del sector circular de radio 20 cm y ángulo θ, pegando a lo largo de los segmentos OA
y OB. Determine qué medida de θ permite construir el cono de mayor volumen.
5. Con una lámina rectangular cuyos lados miden x e y cm, se construye un cilindro pegando los lados
que miden x. Si el peŕımetro del rectángulo es 36 cm. ¿Qué valores de x e y determinan el cilindro de
volumen máximo?¿Cuál es el volumen?.
6. (P) Un cable de 4 metros de longitud es cortado en dos partes; una se dobla para formar un cuadrado
y la otra para formar un ćırculo. Determine dónde se debe realizar el corte para que:
a) la suma de las áreas sea mı́nima.
b) la suma de las áreas sea máxima (admitiendo la posibilidad de no cortar).
7. (P) Se desea constriur una caja de base cuadrada de columen 252 cm3. Determinar las dimensiones de
la caja para que el costo de fabricación sea mı́nimo, sabiendo que: el costo de la tapa es de $20 por cm2,
el costo de la base es de $50 por cm2 y el costo de los lados es de $30 por cm2.
8. Determine los siguientes ĺımites:
a) ĺım
x→1
lnx
ex2 − ex
b) ĺım
x→0
x ln |x|
c) (P) ĺım
x→0+
xcos(x)−1
9. (P) Calcule f ′(0), donde f es la función definida por
f(x) =
 1− e
−1/x2 , x ̸= 0
1 , x = 0
10. Hallar el valor de la constante real k de modo que
ĺım
x→∞
(
x+ k
x− k
)x
= 4
1