Condiciones de frontera para el campo eléctrico - Arturo Lara

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8- Condiciones de frontera para el campo eléctrico
Hasta ahora, el único campo vectorial que se ha considerado es el campo eléctrico E, pero ya se ha encontrado la información acerca de él que se puede necesitar, es decir,
VxE = 0 y	V-E=—-	(9-19)
eo
de acuerdo con (5-4) y (4-10). Por comparación con (9-1), se observa que en este caso
c = 0 y h=^-	(9-20)
€o
Al aplicar la primera de éstas a (9-18), se ve inmediatamente que las componentes tangenciales de E no sufren cambio, o sea, que son continuas a través de la superficie de discontinuidad:
E^-E^O	(9-21)
o, simplificando,
£,, = £■„	(9-22)
dado que las componentes tangenciales son paralelas entre sí. [Más adelante se verá que (9-21) resulta ser verdadera bajo cualquier cincunstancia].
Si se utiliza el valor de b dado en (9-20), se observa que
f bdT=— í pdT=^^ =	(9-23)
J v eo Jv €0 eo
donde Aty es la carga total contenida en el volumen hAa de esta porción de la capa de transición. Esta carga Aq puede surgir debido a las propiedades de los dos medios, como
Condiciones de frontera para el campo eléctrico
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se verá en el siguiente capítulo, o puede estar ahí porque ahí se encontraba desde el inicio. De cualquier manera, cuando se imagina que la capa de transición se encoge a una anchura cero para producir el caso idealizado de la figura 9-2, esta carga total Aq debe conservarse. En el límite, la carga debe describirse entonces como una carga superficial con alguna densidad atal que Aq = oAa. Por lo tanto, se tiene
de manera que
(j= lim (Ap)
h->0
y, por lo tanto,
lim (hb) =
h->0
(9-24)
(9-25)
en este caso. Al sustituir esto en (9-6) se encuentra que la condición de frontera que deben satisfacer las componentes normales del campo eléctrico es
ñ-(E2-E,) = E2„-E,„=-^	(9-26)
€0
Así, existe una discontinuidad en las componentes normales de E únicamente si existe una carga superficial sobre la superficie de separación de las dos regiones. (Esto también resultará cierto bajo toda circunstancia).
La figura 9-6 ilustra la aplicación de (9-22) y (9-26) para encontrar la relación entre Ej y E2; la figura se dibujó bajo la suposición de que
Figura 9-6 Refracción de las líneas de campo eléctrico en una superficie de discontinuidad cargada.
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Condiciones de frontera en una superficie de discontinuidad
Ei ya era conocido y que oes positiva. Si y 02 son l°s ángulos que el campo forma con la normal, se observa de la construcción de la figura que 02 <0¡ ; en otras palabras, el vector E es “refractado” al cruzar la frontera. En este caso, su dirección cambia acercándose más a la normal. Si a fuera negativa, E se refractaría alejándose de la dirección de ft y 02>0i •
Analícese ahora qué tanto concuerdan los resultados obtenidos en esta sección con algunos de los resultados previos de E.
Ejemplo
Plano infinito uniformemente cargado. Como se aprecia en (3-12), el campo eléctrico posee la magnitud constante E = a/2eo y se dirige hacia afuera del plano cargado como se muestra para una a positiva en la figura 9-7. En este caso, la superficie no separa dos regiones de diferentes propiedades, ya que se había supuesto la existencia del vacío a ambos lados, pero los resultados obtenidos son realmente aplicables a cualquier superficie. Se observa que E2 = £n y que E3 = —én, debido a (9-2) y a la elección de la nomenclatura para las regiones. Dado que no existen componentes tangenciales, (9-22) se satisface automáticamente. Al aplicar (9-26) se obtiene
E — {— E) = 2E= ~
e0
Figura 9-7 Cálculo del campo eléctrico para un plano
uniformemente cargado, utilizando las condiciones de
frontera.
de manera que E = a/2e0 concuerda perfectamente con (3-12). (De hecho, ya se había hablado de este resultado en la última frase de la sección 3-3).
Ejemplo
Superficie de un conductor. Aquí tampoco existen componentes tangenciales y la situación es la que se muestra en el figura 6-1 b. Si se le llama 1 a la región del conductor y2 a la región al vacío fuera de él, entonces ñ será la normal exterior de la superficie del conductor. En este caso, EXn - 0 debido a (6-1) y E2n = E, de tal manera que (9-26) queda E2n — EXn = E = o/e0, concordando exactamente con (6-4), que fue obtenida por otros medios.
Por lo tanto, estos dos ejemplos concuerdan con los resultados generales que se obtuvieron y, de paso, demuestran que el uso de las condiciones de frontera, de esta manera resulta ser una forma rápida para calcular el campo en situaciones suficientemente simples.