Efectos de la elección del origen - Arturo Lara (1)

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III. Efectos de la elección del origen
El momento magnético m que se define del valor absoluto de r', por lo que el elegir un sistema coordenado diferente es seguro que r cambiará, existiendo la posibilidad de que m cambie también. Si se recuerda el caso electrostático, en (8-43) se encontró que el momento dipolar eléctrico era independiente de la elección del origen y por esta razón era una propiedad singular de la distribución de carga siempre que el memento monopolar eléctrico desapareciera. En (19-6) se vio que en el caso magnético el término monopolar es siempre a cero, por lo que cabe sospechar que aquí también m debe ser independiente de la elección del origen. Supóngase que en la figura 19-1 el origen no está en 0 sino en 0n, lo que se obtiene al trasladar los ejes sin rotación mediante el desplazamiento a que se ilustra en la figura 19-3. Se puede entonces observar en la figura que los vectores de posición nuevo y viejo de J están relacionados entre sí por a + rn — r o rn = r - a. Si se sustituye esto en (19-20) para encontrar el valor del momento dipolar magnético referente a los nuevos ejes, se obtiene
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Multipolos magnéticos
Figura 19-3 El nuevo origen tiene un desplazamiento a respecto del anterior.
m
r'X Jdr — |aX
= in
ya que, por (19-5), la integral que multiplica a a es igual a cero. Asi, m„ = m, por lo que el momento dipolar magnético es siempre una propiedad singular característica de la distribución de corrientes y es posible utilizar cualquier elección conveniente de coordenadas para calcularlo.
18- 2 El campo dipolar magnético
La expresión de AD dada en (19-21) es el término predominante del potencial vectorial cuando el punto de campo se encuentra lo suficientemente alejado de la distribución de corrientes. Para estudiar sus propiedades, resulta conveniente suponer, como también lo fue en la sección 8-2, que (19-21) es verdadera para todo el espacio. De esta manera se le puede llamar el campo dipolar magnético y pensar que está producido por un dipolo puntual ficticio, m, situado en el origen. Más adelante se considerarán distribuciones de corrientes específicas que puedan adecuarse a este modelo, pero por ahora lo importante es encontrar la inducción B producida en este caso. Se utilizan coordenadas esféricas para localizar el punto de campo P y se toma el eje z en la dirección de m; esto viene a configurar la situación ilustrada en la figura 19-4. Así, m = mi y (19-21) queda como
An(r) =
¿X'nr1
i >' r =
pomsentí A
4?rr2 V
(19-22)
de manera que la única componente de A¿> que no es igual a cero eszl/)^.Las curvas de valores constantes deA^ están dadas por
r2 ~ í a~~— '* sen = Cr> sen tí
'■ ^AD^:	D
(19-23)
El campo dipolar magnético
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Figura 19-4 Cálculo del campo producido por un dipolo mag-
nético.
donde la constante CD que caracteriza cada curva depende del valor de ADif). Estas curvas
se muestran como las líneas sólidas de la figura 19-5; sin embargo, dirección de Ao es
hacia adentro de la página en la mitad derecha de la figura y hacia afuera de la página en
su mitad izquierda.
La inducción se puede obtener a partir de B = A Xád. Si se usan (19-22) y (1-104),
se encuentra que las componentes de B son
I
Figura 19.5. Campo de un dipolo magnético. Las líneas de B se muestran punteadas. Las líneas sólidas son aquellas de magnitud constante del potencial vectorial, el cual está dirigido hacia adentro de la página en la mitad derecha de la figura y hacia afuera de la página en la mitad izquierda.
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Multipolos magnéticos
Br =
__!_A(se„^„) = í Ojíeos»
/•sen#	D(p \ 477 / r3
(19-24)
R--LL(r4
Be~ r	[ 47r ) p
mientras que B^ = 0. Por lo tanto, B descansa sobre el mismo plano que m y el punto de campo, mientras que AD es perpendicular a este plano.
Al comparar (19-24) con los resultados correspondientes (8-50) para el campo dipolar eléctrico, se puede observar que unos y otros son proporcionales a la magnitud de sus respectivos momentos dipolares y que tienen la misma dependencia con respecto al ángulo y a la distancia. De hecho, es fácil ver que están relacionados entre sí de una manera muy simple por B = /ztíe0(m//?)E. En consecuencia, las líneas de B, que se muestran con líneas punteadas en la figura 19-5, estarán dadas por una ecuación de exactamente la misma forma de (8-52), y serán justamente como las líneas punteadas de E que se muestran en la figura 8-7.