MicroCálculo: Un Nuevo Método para Enseñar Cálculo Diferencial e Integral

Vista previa del material en texto

LA ENSEÑANZA DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL CON EL 
USO DE INFINITESIMALES 
Kemel George, 2022 
 
PRESENTACIÓN 
 
Nos proponemos reemplazar la enseñanza y el aprendizaje del cálculo diferencial e integral 
tradicional, por un nuevo método, que denominaremos MicroCálculo. Se trata de un 
modelo lógico matemático elemental -todavía no confirmado en el aula de clases- cuyo 
objetivo es la enseñanza y aprendizaje del cálculo diferencial e integral mediante el uso de 
infinitesimales. Está hecho para aplicarlo a la ingeniería y las ciencias computacionales. No 
podemos soslayar que, en el fondo, lo que está en juego es un debate sobre la conveniencia 
de mantener en el aula de clases, la enseñanza del cálculo diferencial e integral oficial, 
tradicional o estandar, basado en definiciones, teoremas, límites y convergencia, o de 
reemplazarlo -lo que es pertinente, aunque parezca utópico- por una nueva base teórica, 
metodológica y didáctica, que es la del cálculo como sumas y restas numéricas, (sólo que 
a escala infinitesimal), ya que así fue creado e inventado por Leibniz, uno de sus padres 
fundadores. 
 
Exhibiremos un modo original e ingenioso de calcular, con el propósito de que, en la mente 
del lector, lo que parece un juego de niños se explica por la originalidad y simplicidad de su 
origen, radicalmente distinto a los métodos convencionales y dogmáticos del cálculo 
tradicional. 
 
El sistema numérico del cálculo 
 
Nuestro sistema numérico es bastante más amplio que el campo de los números reales , 
por lo que podríamos llamarlo, “la extensión de los números reales”. Se trata, efectivamente, 
de un campo numérico -que conviene simbolizar por * , como analogía del símbolo - 
linealmente ordenado -con sumas, productos y desigualdades entre sus elementos- 
quecontiene al familiar campo de los números reales. Lo que lo hace mucho más amplio a * 
que a los números reales , es que contiene tres tipos de cantidades: los infinitesimales o 
2 
 
cantidades muy pequeñas, denotadas por letras como  ,  ; los números o cantidades 
cantidades muy grandes, con letras como M , N y los números finitos, que son sumas de 
números reales e infinitesimales, como r + , s + . Como el campo * es linealmente 
ordenado, puede pensarse que está inmerso en la recta geométrica y una figura se vería así: 
 
 Como se muestra en la figura, los números muy grandes están, en valor absoluto, a la derecha 
de todo número real positivo; por lo que se puede definir muy grande a un número M tal que 
0 r M  , para todo r real; mientras que los muy pequeños o infinitesimales, en valor 
absoluto están la izquierda de todo número real positivo; por lo que se puede definir 
infinitesimal a un número  tal que 0 r  . Los números finitos son sumas de un número 
real -su parte real- y un infinitesimal. El cero es el único número real que es infinitesimal. Por 
eso, todos los infinitesimales están a ambos lados del número cero -lo que se llama el átomo 
de cero ( )A  - y se escribe 0 . Para ubicar todos los números finitos r + simplemente 
sumamos a r el átomo de cero, formándose el átomo de r , ( )A r . se escribe r r , se 
dice que r está muy cerca de r y que r es su parte real. 
 
En resumidas cuentas, nuesto sistema numérico tiene tres tipos de números o cantidades: muy 
grandes, finitas e infinitesimales. Siempre denominaremos infinitesimales a las cantidades muy 
pequeñas, ya que desde Leibniz, grandes matemáticos y científicos, las han usado y se ha 
construido como concepto. Con la palabra infinito no designaremos ningún objeto, ya que es 
fuente de mucha controversia, desde la fundación de la teoría de conjuntos por G. Cantor. El 
infinito es inspiración, imaginación, metáfora, es lo ilimitado, es todo lo que no podemos 
contar. Llamamos la atención a los docentes en el uso de este exótico pseudoconcepto, del 
cual deben desconfiar los estudiantes, porque en el aula de clases, designa por igual, el cardinal 
del conjunto ‘infinito’ (Aleph cero, aleph 1,..), tambien significa lo contrario de lo finito, así 
como el límite de sucesiones divergentes, incluso la división por cero. En este ensayo, hemos 
dejado de lado la palabra infinito. 
 
La aritmética del campo * es muy sencilla y no necesitamos más que saber que la suma de 
infinitesimales es infinitesimal; el producto de un finito por uno muy grande es nuevamente 
muy grande; mientras que el inverso de un infinitesimal no cero, es un número muy grande y 
el inverso de un número muy grande es infinitesimal. Entre los números muy grandes hay 
enteros muy grandes; como los números muy grandes tambien están linealmente ordenados, 
su aritmética es similar a la de los familiares números reales. Aunque hay muchas extensiones 
* del campo real que cumplen tales requisitos, es posible construir uno de tales campos, 
como lo hacen Robinson, Luxemburg y Stroyan, que además cumplen con el principio de 
3 
 
transferencia, lo que significa que toda función o relación en es una función o relación en 
* y toda fórmula bien formada que se satisface en un campo, se satisface en el otro campo; 
en Henle y Kleinberg pueden verse varias de las aplicaciones de este principio. Pocas veces 
utilizaremos este tipo de propiedad. 
Los elementos del cálculo 
El MicroCálculo está basado en cinco elementos. Estos elementos son, en su orden: la 
variable, la diferencial, la integral, la función, y la derivada. Pero no son conceptos 
separados entre sí, como componentes, sino que están íntimamente vinculados, debido a 
que cada uno de ellos contiene, como unidad fundamental, no solo al sistema numérico * 
sino que uno de ellos, los contiene a todos; nos referimos a la variable como elemento 
primigenio. 
En relación al orden que hemos puesto a los elementos, lo normal, se dirá, es considerar 
primero la función, luego la derivada y después la diferencial e integral, como se hace en 
los libros de cálculo. Y sí, ese es el orden tradicional y dogmático que se ha impuesto en el 
aula de clases, aunque hay excepciones en varios libros, como el de Courant en 1927 y el de 
Apóstol en 1967, quienes primero introducen la integral y luego el teorema fundamental; 
la nuestra es la construcción que se ajusta al orden lógico e histórico del surgimiento de 
dichos conceptos, como puede verse en Campistrous, López y Rozo, en 2011, y al desarrollo 
metodológico de nuestra propia teoría. Estamos retomando el orden de ocurrencia de los 
conceptos en el tiempo. 
El movimiento ascendente de los elementos organizadores del MicroCálculo es el siguiente: 
iniciamos con el elemento variable, como sucesión de valores numéricos; de las diferencias 
entre valores consecutivos de la variable se obtiene el elemento diferencial; de las sumas 
de los valores de la variable se obtiene el elemento integral como operación inversa; de las 
relaciones mutuas entre variables se obtiene el elemento función; y del cociente de 
diferenciales se llega al último elemento, la derivada. 
En cada uno de estos desarrollos, se distinguirá el álgebra del análisis, denominándose 
algebraica toda operación que se realice con variables finitas, mientras que será analítica, 
toda operación con la variable infinitesimal. Es casi evidente que el acercamiento entre 
ambos aspectos es propio del cálculo computacional, lo que conviene a la enseñanza del 
cálculo con computadores en el aula de clases. 
4 
 
El lector sentirá incredulidad al afirmarle que, con estos sencillos conceptos, podemos 
edificar el cálculo diferencial e integral con el uso de infinitesimales. Dicho esto, pasamos a 
exponer, uno a uno, los elementos del MicroCálculo. 
 
LA VARIABLE 
 
Nuestra variable es la piedra angular del Microcálculo por cuanto es el elemento primario 
del cual se derivan los otros elementos. Debido a ello, su definición es singular y difiere 
notablemente de lo que el cálculo tradicional consideracomo variable, ya que nuestra 
variable es un objeto de naturaleza aritmética, mientras que, en el cálculo tradicional, la 
variable es un símbolo externo con valores en el ‘continuo’ real. 
En el Microcálculo todo es variable y su base numérica es el campo * , siendo la variable 
una sucesión ordenada de valores, lo que nos permite observar -digámoslo así- su interior, 
desde el primero hasta el último valor, siendo ellos, cantidades cualesquiera, donde cada 
término de la sucesión -indicado por un subíndice entero- se inicia en cero y termina en un 
entero muy grande. Si hubiese un símil con el juego de cartas, diríamos que la variable 
tradicional simboliza cualquier carta del mazo completo, mientras que nuestra variable es 
el mazo de las 52 cartas desplegadas sobre la mesa, a la vista de todos. No debería 
sorprendernos que los valores de la variable sean números finitos, muy grandes, o 
infinitesimales, ya que ellos son precisamente los valores que se consideran al diferenciar o 
integrar las funciones, de modo que es esto precisamente lo que distingue al Microcálculo 
de cualquier otro enfoque del cálculo diferencial e integral. 
Permítasenos recordar que, una vez construido el campo real por Dedekind, simbolizado 
modernamente por el conjunto y representado por puntos en la recta geométrica, la 
variable tradicional x , asume valores numéricos reales en el continuo de la recta, pero 
precisamente por eso, es inadmisible determinar en ellas cantidades del tipo dx,dy , en el 
continuo de valores. Y pese a este imposible teórico, paradójicamente, se usan 
universalmente las expresiones dx,dy . Similar destino absurdo les espera a expresiones del 
tipo ydx , las que se disfrazan de conceptos como convergencia y límite, para justificar 
el uso de tales símbolos dentro de las integrales. Y esto es precisamente lo que vamos a 
evitar nosotros, dándoles una solución alternativa. 
Las variables son sucesiones 
Al indicar con letras como u,v tales variables, cada una de ellas son una sucesión ordenada 
de valores observables, datos numéricos o cantidades del campo * , 
5 
 
0 1 2 3 N
u u ,u ,u ,u ,...,u , 
0 1 2 3 N
v v ,v ,v ,v ,...,v 
donde cada , *n nu v  es una cantidad finita, infinita, o infinitesimal. El número N es un 
entero positivo fijo durante todo el cálculo –casi siempre un entero muy grande- que 
recorre como subíndice, desde el primero hasta el último término. Aunque evitaremos usar 
la palabra coordenada, las posiciones un de nuestra variable, son sus coordenadas. En una 
dimensión, este nombre es inofensivo, pero ya veremos que, en varias dimensiones, 
nuestras variables son verdaderamente un sistema de coordenadas. Fijado 0 N entero 
finito, todas las variables son del tipo 
0 1 2 3 N
u u ,u ,u ,u ,...,u con 1N + elementos 
finitos, por lo que el resultado del cálculo será de interés algebraico y computacional. 
Mientras que si se fija 0 N entero muy grande, ya estaremos propiamente en el área 
analítica, o sea, en el cálculo diferencial e integral propiamente dicho. 
Fijado 0 N entero, son ejemplos de variables las siguientes: 
1 1 1
1
2 3
u , , , ,
N
 
1 2 3v , , , ,N 
2 2 1 2 2 2w N, N , N , , N k, ,N , 0 k N  
0 2 3 1x , , , , ,k , , , 1
N
 = , 0 k N  . 
Estos ejemplos muestran que las variables son muy diversas; consideremos 0 N entero 
muy grande. así, en la variable u , los primeros términos son finitos, mientras que los 
últimos términos son infinitesimales; en la variable w , todos los términos asumen valores 
muy grandes, mientras que en la variable x , se inicia con infinitesimales, luego hay finitos, 
y el último término es la unidad. Las primeras variables , ,u v w carecen de interés, mientras 
que la última ocupará la principal atención en nuestro modelo de cálculo. 
Así haya un número infinito de términos, es muy importante distinguir las variables que no 
poseen valores muy grandes, porque raramente ocurrirá. En tal caso, se dice que está 
acotada, lo que será el caso general, o sea que todos los un cumplen la condición u Mn  
donde M es real finito. También se considerarán variables crecientes, que es el caso 
0 1 2 3 N
u u ,u ,u ,u ,...,u , 1n nu u + , o decrecientes, que es el caso contario. Para seguir 
6 
 
con la tradición matemática, se pueden considerar las variables como elementos de un 
conjunto, dotado de una estructura algebraica (suma de variables, multiplicación de 
variables), pero aquí no lo haremos. 
Definimos la igualdad entre variables de la manera siguiente: dos variables 
  Nnuu n = 0, ,   Nnvv n = 0, son iguales -y se escribe vu = - si y sólo si, 
Nnvu nn = 0, . Cuando ocurre esta igualdad entre todos los términos, salvo en uno, 
diremos que las dos variables son iguales, salvo en dicho término. 
Recorrido de un infinitesimal 
Vamos ahora a colocar el ejemplo de variable que más nos interesa, que es la variable cuyo 
recorrido lo produce un infinitesimal fijo 0 y sus múltiplos enteros n , en el intervalo 
0 1, de la recta, en lo que denominamos ‘pavimentación’ del intervalo. Para ello, se toma 
un entero muy grande N y se obtiene el infinitesimal 
1
N
 = ; se considera el conjunto de 
sus múltiplos n ; obtenemos la variable  Nnnx = 0 . De ahora en adelante, 
siempre utilizaremos el símbolo x para definir esta variable así, },...,,,,{ 3210 Nxxxxxx = , 
cuyo término general, es 
n
x , y los demás son 
1,)1(,,2,,0 1210 =−==== − NN xNxxxx   . Geométricamente, esto corresponde a 
colocarle coordenadas, al intervalo 0 1, . Es claro que esto no tiene antecedentes en el 
cálculo tradicional. 
Repetimos, en todo el texto nos cuidaremos de reservar la letra distinguida x para esa y 
sólo para esa variable determinada por el entero infinito N , aunque modifiquemos los 
subíndices y el intervalo 0 1, , por conveniencia. Como el primer término de la variable x 
es cero y el último es 1, propiamente podemos afirmar que la variable recorre el intervalo 
0 1, y al menos asume dos valores reales, que son 0 y 1 . De otra parte, dado n un 
entero finito, siempre el término 0n es infinitesimal y no abandona el átomo 0A 
de cero. La única forma que un término esté fuera de 0A es cuando n sea un entero 
muy grande. Otro aspecto de la sucesión x n a tener en cuenta es que todo número 
real ordinario 0 1p , está inmediatamente antes de algún múltiplo término n , de 
modo tal que el siguiente término 1n lo sobrepasa, o sea que se cumple para todo 
real ordinario p del intervalo, ( )1n p n   + . En este caso, tendremos un par de 
7 
 
posiciones consecutivas 1,n nx x + que cumplen 1.n nx p x +  Como 1 0n nx x+ −  , tanto 
n
x p como 
1n
x p , o sea que estos términos están en el átomo A p de p . Dado un 
número real cualquiera 0 1p , , a su átomo A p pertenecen todos los 
n
x tales que 
n
x p . El lector entenderá que esto sólo es posible llevarlo a cabo cuando nuestro sistema 
numérico es el sistema numérico * . 
 Una constante C es una variable de tipo C c c c c= { , , ,... }, donde *c es una 
cantidad cualquiera, que tiene el mismo valor en todas las posiciones. 
 
Operaciones entre variables 
El álgebra de variables hace referencia a la manipulación simbólica y operativa de las 
variables. En la tradición del cálculo, si vu, son variables, u v+ es una operación, mientras 
que 
2u es una función. Esto conduce a la confusión entre variable, operación y función. En 
el aula de clases, cuando el docente escribe la expresión 2y x= , dice a los estudiantes que 
“ y es función de x ”; esto es un error, porque hace creer que la función es 
2x . Obviamente, 
2x es una variable, cuyo nuevo nombre e y . Pero la función no es 
2x sino “elevar al 
cuadrado”, lo que permite que, al aplicarla a su argumento, que es la variable x , arroje el 
valor y . Así mismo, en la expresión ( )y sen x= , la función es ( )sen , pero se le hace creer 
a los estudiantesque la variable ( )sen x es una función. Para nosotros, el álgebra de 
variables produce variables, sin que se requiera apelar al concepto de función, que 
posteriormente estudiaremos. 
Sean   Nnuu n = 0, ,   Nnvv n = 0, variables. Definimos la variable vu + 
como suma de sucesiones, 
  },...,,,,{ 33221100 NNnn vuvuvuvuvuvuvu +++++=+=+ 
De la misma forma, definimos el producto de  = nu u por una constante *C como 
  =  nC u C u como   =  nC u C u . Así mismo, podemos introducir el producto o 
multiplicación, y el cociente o división de variables así, 
n
n n
n
uu
u v u v v u
v v
. 
8 
 
El cociente, que es un producto de la primera variable por el inverso multiplicativo de la 
segunda, está bien definido siempre que todos los datos del denominador sean distintos de 
cero. El caso más usual de producto de variables es el de las potencias de una variable fija, 
0 1 2 3
2 2 2 2 2
0 1 2
0 1
{ , , , , , }
{ , , , , }
{ , , , }
N
N
n n n n
N
u u u u u u
v u u u u u u u
w au au au au
=
=  = =
= =
 
La variable anterior puede ser combinada algebraicamente mediante sumas y productos, 
formando la familiar expresión polinomial 2
0 1 2
k
k
v a a u a u a u , donde k es un 
entero positivo finito, y u es una variable arbitraria. Las operaciones entre variables se 
mantienen en un lenguaje algebraico, y solo será analítico en la medida en que intervengan 
operaciones con infinitesimales, como veremos a continuación. 
LA DIFERENCIAL 
La diferencial es el segundo elemento del cálculo. La diferencial es una variable, porque en 
el MicroCálculo, cada uno de sus elementos se derivan o proceden de la variable que es el 
elemento primitivo. Definiremos el elemento diferencial del siguiente modo. Cuando se 
tiene la variable 
0 1 2 3 N
u u ,u ,u ,u ,...,u se construye la sucesión cuyos términos son 
11121010 ,,, −− −=−=−= NNN uuduuuduuudu  . En vista de que no existe el término 1+Nu 
de la variable u, o bien la sucesión finaliza en el término N , o colocamos el último término 
igual al infinitesimal cero, o sea 0=Ndu , que es lo que aquí haremos; esto es irrelevante 
porque nunca necesitaremos más de dos veces la aplicación de la diferencial, lo que 
haremos colocando dos ceros a la izquierda del final de los términos. 
 Visto esto, la diferencial du de la variable u es la nueva variable de ‘diferencias de valores 
adyacentes’ 
1 0 2 1 3 2 1
0
N N
du u u ,u u ,u u ,...,u u , 
 
0 1 2 3 N n
du du ,du ,du ,du ,...,du du 
La idea que debe retener el lector es que toda variable tiene su diferencial y ésta siempre 
es una variable. La frase “toda variable tiene diferencial” es ajena al cálculo que nos enseñan 
en el aula de clase, donde escriben x y dx , pero no nos dicen qué es la variable ni mucho 
menos, que es la diferencial de la variable. En el MicroCálculo, la definición es estrictamente 
9 
 
aritmética, o si se quiere, algebraica: la diferencial es simple y llanamente diferencias de 
cantidades (como usaba decir Leibniz) sólo que dichas cantidades pueden ser operadas a 
escala infinita o infinitesimal. 
Obviamente, dada una variable u , no sólo existe la diferencial du sino la diferencial de la 
diferencial, que se denota ( ) uddud 2= . Como 1n n ndu u u , vemos que, 
1n n n
d du d u u 
1 2 1 1n n n n n n
d u u u u u u 
2
2 1
2
n n n n
d u u u u 
Y así sucesivamente. Lo novedoso aquí es que toda variable posee todas las diferenciales 
que se quieran, y si el entero N es muy grande, la variable se puede diferenciar N veces. 
Álgebra diferencial 
 
El álgebra diferencial consiste en el conjunto de relaciones que se establecen entre las 
variables y la diferencial, en la estructura algebraica. Dadas dos variables, nu u , 
  Nnvv n = 0, , el cálculo de la diferencial de la suma de tales variables obedece a la 
conocida ley ‘la diferencial de la suma es la suma de las diferenciales’. Para verificarlo, 
1 1n n n n n n
d u v d u v u v u v 
1 1n n n n n n
u u v v du dv du dv 
Se escribe, 
dvduvud +=+ )( 
Dada la constante *C , para calcular la diferencial ( )d C u tenemos,   =  nC u C u , 
( )   =  nd C u d C u ,   ( ) + = −1n n nd C u C u u , ( )   + − =1n n nC u u Cd u , ( ) = d C u C du . 
De otra parte, se cumple que la diferencial de la constante es cero, ya que 
C c,c,c, ,c , 0 0 0 0dC , , , , 
10 
 
La diferencial del producto 
Dado que tenemos definido el producto de variables, y por el interés histórico y la utilización 
práctica que tiene, nos concentraremos en exponer una de las relaciones más importantes 
entre diferenciales de variables, la regla de la diferencial del producto de variables. De 
manera errónea, a esta relación se le conoce como regla de Leibniz, pero la diferencial del 
producto de dos variables es una operación algebraica, mientras que la regla de Leibniz, 
como luego veremos, es una operación analítica ya que, sin la introducción de 
infinitesimales, es imposible deducirla. 
 
Para calcularla, sean u , v dos variables definidas por: 
}{},{,0},{},{ 11 nnnnnn vvdvuuduNnvvuu −=−=== ++ 
por consiguiente, 
1 1n n n n n nudv u v v vdu v u u, 
1 12n n n n n nudv vdu u v u v u v 
De otra parte, 
1 1 1 1n n n n n n n ndudv u v u v u v u v 
sumando, 
1 1 1 1 1 12n n n n n n n n n n n n n nudv vdu dudv u v u v u v u v u v u v u v 
1 1n n n nu v u v d uv 
De modo que hemos obtenido la regla de la diferencial del producto, 
d uv udv vdu dudv 
El resultado anterior es estrictamente algebraico y ni siquiera depende del sistema 
numérico que se considere o del rango finito o muy grande de N , como lo confirma el 
siguiente ejercicio. Sean    dcvbau ,,, == dos variables que tienen dos únicos valores, 
cada una de ellas. Se le propone al lector verificar directamente la regla 
d uv udv vdu dudv de la diferencial del producto. 
Para calcular la diferencial de las variables 
2v u= , 
3w u= , aplicamos la regla del producto 
y procedemos así: 
11 
 
( )dv d u u=  , ( )d u u udu udu du du = + +  , ( ) 2d u u udu du du = +  , 
( )
2
2dv udu du= + 
( )2dw d u u=  , ( ) ( ) ( )2 2 2 2d u u u du d u u d u du = +  +  , 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 32 2 22 2d u u u du u du u du u du du = + + + + 
( ) ( )
2 323 3dw u du u du du= + + 
Obsérvese que dejamos de lado las variables como sucesiones de términos y recurrimos 
directamente a la regla del producto. Esto va a ser una tónica en el cálculo de variables. 
La primitiva de la variable 
Sea  , 0nv v n N=   una variable. Hay una importante relación entre la variable v y la 
diferencial de una variable  nu u= , de la cual sabemos que du v . De la expresión 
du v , tenemos 1n n nv u u+= − , 0Nv = , por lo que, 
v du0 0 , du u u0 1 0 , u u v1 0 0 , ,du u u u u du u v v1 2 1 2 1 1 0 0 1 
,du u u u u du u v v v2 3 2 3 2 2 0 0 1 2 , 
,N N N N N N Ndu u u u u du u v v v v1 1 1 1 0 0 1 2 1 
,N N Nu u v v v v v0 0 1 2 1 0 
Por tanto, 
N N Nv v v v v u u0 1 2 1 0 
Como puede verse, una vez que consigamos una primitiva u de v , podemos calcular la 
suma de todos los valores de la variable v , cualesquiera que ellos sean, ya que la operación 
se reduce a una sustracción 0Nu u− del término final y el término inicial de la primitiva u . 
Se lee, ‘u es la primitiva de v ’. En caso que tuviéramos que calcular la suma de todos los 
términos de una variable dada, que va a ser uno de los problemas fundamentales del cálculo 
y veremos más adelante, nos limitaríamos a buscarle una variable primitiva a la variable 
dada. 
12 
 
La variable independiente 
Paradójicamente, aunque el concepto de variable independiente es uno de los más 
utilizados en el cálculo tradicional, muy rara vez se precisa de que se trata. Cuando se tiene 
una ecuación que involucra un par de variables, los textos escolares definen la variable 
independiente como ‘la variable del dominio’, la que ha sido ‘despejada’ y colocada a la 
derechade la ecuación, mientras que a la izquierda está la variable ‘dependiente’, llamada 
‘variable del rango’. El problema es que, si el proceso se revierte, la variable dependiente 
puede ser despejada y se convierte en variable independiente. El MicroCálculo tiene un 
enfoque completamente diferente, porque al definir el concepto de independencia, 
organiza la comprensión de dicho concepto. Decimos que una variable },...,,,{ 321 Nuuuuu =
, 0u es independiente si su diferencial du es una constante no nula. Esto se escribe así, 
du c . Si este es el caso, esto es equivalente a que en cada posición de la variable du 
la diferencia entre un término y el anterior es una constante no nula, salvo el último 
término. La independencia es un concepto algebraico. 
Veamos que ocurre en caso de que una variable u sea independiente. Como la diferencial 
de la variable es ndu du , y sabemos que du c= , por el resultado anterior, u es la 
primitiva de c . Recordemos que, 
,N N Nu u v v v v v0 0 1 2 1 0 
Luego, 0 0n Nu u c c c c c 
0nu u nc= + 
Haciendo la substitución 0u b= , toda variable independiente u es de la forma 
 u nc b= + , donde b es la condición inicial o primer dato. Ya que, bajo estas condiciones, 
la variable independiente tiene que ser de la forma  u n b= + , es claro que toda variable 
independiente es la familiar expresión lineal u ax b= + . 
Si la variable u tiene como primer dato 0b , obtenemos que toda variable independiente 
es de la forma 0u nc , n N . El valor c es un valor cualquiera, que es 
precisamente la variable que se obtiene al tomar todos los múltiplos de c . Cuando N es 
entero muy grande y hacemos la constante c el infinitesimal ,
1
N
c ==  el conjunto de 
todos los múltiplos 0n , n N , es la familiar variable  nx = , que hemos 
13 
 
denominado pavimentación del intervalo 0 1, , siendo ésta –y no otra- la razón por la cual 
dicha variable se denomina independiente. 
Una variable es dependiente si no es independiente, lo que es lo mismo que decir que su 
diferencial no es una constante. Tal es el caso, por ejemplo, de la variable  22ny = donde 
1
N
, Nn 0 , que se inicia en cero y termina en 12
2
=
N
N
. Su diferencial no es 
constante, ya que ( )  ( ) 22222 121  +=−+= nnndy . 
Continuidad de la variable 
Hemos llegado aquí a una cuestión crucial, que es el de precisar el concepto de continuidad 
de la variable. En el cálculo convencional de una variable real, no hay una definición de 
variable continua, ya que la variable, al asumir valores sobre un intervalo de la recta 
numérica, es ‘continua’ en la medida en que asume valores en el intervalo real  ,a b  , 
debido a que, según Dedekind, el dominio es un continuum. Aceptado que el intervalo real 
 ,a b  es ‘continuo’, o un continuum, por tanto, si  ,x a b es una variable, ella será 
‘continua’. Lo que facilita todo por su simplicidad, pero no explica nada, porque el problema 
a resolver es por qué el intervalo es un ‘continuo’. 
La recta numérica, según Dedekind, es un ‘continuo’, porque al construir los números reales 
como campo, se han “rellenado los huecos” que habitaban en el campo racional. Es mucho 
menos intrigante si decimos que la tal ‘continuidad de Dedekind’ es por respeto a su 
creador, ya que lo que verdaderamente caracteriza al campo real es la propiedad del 
supremo, esto es, el que todo conjunto no vacío, acotado superiormente, tiene una mínima 
cota superior. 
Como la estructura numérica del sistema * es la de un campo linealmente ordenado, en 
torno a cada punto p que se fije como valor numérico real, se encuentra el átomo ( )A p 
de todas las cantidades finitas cuya distancia al real es infinitesimal. A esta propiedad, 
siguiendo la idea de Dedekind, le llamaremos ‘continuidad’ en el sistema * . Dicho esto, 
definimos la ‘continuidad’ para el elemento variable, del modo siguiente. Dada la variable 
n
u u , cuyos términos adyacentes 
1n
u y 
n
u , son tales que su diferencia 
1n n
u u es 
infinitesimal, en otras palabras, 01 −= + nnn uudu , para todo Nn 0 . Definimos que 
una variable u es continua si todos los valores de su diferencial son infinitesimales, o lo que 
es lo mismo, que su diferencial es una variable infinitesimal. Así la llamaremos dado que 
todas las cantidades du caen en 0A , el átomo de cero. Esta es una definición analítica. 
14 
 
El contraste con la definición tradicional es dramático porque la definición de continuidad 
la trasladan a la ‘continuidad’ de la recta real. 
 Veamos un ejemplo. Consideremos la variable independiente x en el intervalo 0 1,
, o sea, la variable  Nnnx = 0 , donde 
1
N
, es infinitesimal. Al calcular su 
diferencial, tenemos 1dx n n , dx es infinitesimal. Confirmamos así 
que tal variable es continua, en el sentido del MicroCálculo. Un segundo ejemplo es el de 
la variable 
22x n , cuya diferencial calculada directamente es 
2 22 1d x n n , donde 2 22 1d x n . Esta es claramente una 
variable infinitesimal, porque es el producto de un número finito por un infinitesimal, como 
lo prueban las siguientes desigualdades: 
 ( ) ( )2
1 1 1 1
2 1 2 1 2 0n N
N N N N

 
+  + = +  
 
, donde. 
Como consecuencia del nuevo concepto de continuidad, si una variable es continua, su 
diferencial también es continua, ya que las diferencias de infinitesimales son infinitesimales; 
Así, por ejemplo, dada u variable cualquiera que es continua, como 0du , la segunda 
diferencial cumple ( ) 02 = uddud . Y este es un invariante topológico: una vez que se 
tiene la propiedad de continuidad, ésta jamás se pierde. 
Las operaciones algebraicas de la variable continua que preserven la continuidad escapan 
del ámbito algebraico. Es verdad que la suma de variables continuas es una variable 
continua, ya que 
n n n n
d u v d u v du dv du dv . Mientras que, dada 
una constante c , aunque 
n n
d cu d cu cd u , el producto ncd u de una 
constante por un infinitesimal no es necesariamente infinitesimal, porque la constante 
puede ser una cantidad muy grande. Así, tal propiedad se cumplirá siempre que la constante 
sea finita. En este caso, 0ncd u y la variable cu es continua. 
Verifiquemos la continuidad de la diferencial de un producto uv de variables continuas y 
cada una de ellas, acotadas. Sabemos que tanto du como dv son infinitesimales. La 
diferencial d uv udv vdu dudv tiene tres sumandos, los que deben ser variables 
infinitesimales. Esto ocurre porque cada una de las variables es acotada, por lo que los 
15 
 
valores de cada sumando son infinitesimales. En conclusión, la continuidad de la suma y el 
producto de dos variables es una propiedad analítica, se hereda siempre que las variables 
sean continuas. 
Ejemplo. Sea 
n
y
N
  
=  
  
 donde nuevamente
N
1
= , N es entero muy grande y Nn 0
. Su diferencial dy es: 
1n n
dy
N
 + − 
=  
  
. Ahora, 
( )( )
( )
1 11
1
n n n nn n
N n n N
+ − + ++ −
=
+ +
 
( )
1 1
1
n n
N n n N
+ −
=
+ +
 
que es claramente infinitesimal para cada n . Luego la variable y es continua. 
Variables infinitesimales 
Las variables cuyos términos o valores son infinitesimales juegan un papel tan fundamental, 
que irónicamente, es un hecho que pasa totalmente desapercibido en el cálculo tradicional. 
La razón es muy simple: tal cálculo no distingue las diferenciales como variables, ni mucho 
menos, las variables con valores infinitesimales, que en el MicroCálculo son la regla y no la 
excepción. 
Hemos llamado variable infinitesimal a aquella variable cuyos términos son infinitesimales, 
o lo que es lo mismo, que todos sus valores se encuentran en el átomo de cero 0A , y por 
ende, la variable es continua (la diferencia de infinitesimales es infinitesimal) ¿Qué interés 
pueden tener tal variable? Pues que muchas de las variables que consideramos son 
infinitesimales. Observemos, por ejemplo, expresionescomo udv , vdu tan populares en 
el cálculo diferencial e integral. Siempre que las variables ,u v sean continuas de valores 
finitos, tanto udv como y vdu será variable infinitesimal. Como la diferencial dx de la 
variable independiente x es infinitesimal, expresiones como 2, ( 3 5) ,xdx x x dx x dx− + , 
( )exp x dx , ( )Sen x dx , en el intervalo a,b , son variables infinitesimales. 
16 
 
Eliminación de términos despreciables 
Es el momento de volver sobre el criterio de comparación de variables que nos permite 
identificar las relaciones más allá del criterio algebraico, de modo que se puedan eliminar 
términos infinitesimales que se consideran despreciables. Esto es lo que distingue el álgebra 
del cálculo con infinitesimales, o lo que hemos denominado, la distinción entre lo algebraico y 
lo analítico. 
Dadas dos cantidades infinitesimales ,  decimos que es despreciable con relación a 
 si el cociente del primero con el segundo es infinitesimal, 0 . De acuerdo con este 
criterio, el numerador es tan pequeño comparado con el denominador, que el cociente 
sigue siendo infinitesimal. El criterio para despreciar a respecto a es muy sencillo: en 
la expresión donde ambos ocurren, simplemente se deja a y elimina a . Para comparar 
términos y despreciarlos, ambos deben ser infinitesimales. Por ejemplo, dada la variable 
continua u de valores finitos, el cociente 
du
u
 es infinitesimal, pero es ilegal despreciar du 
en u du , porque u no es infinitesimal. En cambio, dados 2,  , claramente 2 es 
despreciable con relación a  porque 
2
0 . 
Apliquemos este criterio a la regla de la diferencial del producto de dos variables, en la que 
obtuvimos la siguiente igualdad algebraica entre variables: dudvvduudvuvd ++=)( . Una 
vez abandonamos el aspecto algebraico y hacemos u,v continuas y de valores finitos, tanto 
udv vdu como dudv asumen valores infinitesimales, por lo que podemos comparar la 
variable infinitesimal dudv con la variable infinitesimal vduudv+ , así, 
dudv dv
udv vdu dv
u v
du
. 
Asumamos ahora que el cociente 
du
dv
 es una variable acotada. Entonces el denominador 
v
du
dv
u + es acotado y el cociente 
v
du
dv
u
dv
+
 es infinitesimal, por lo que podemos despreciar 
dudv respecto a vduudv+ , obteniéndose, 
d(uv) udv vdu 
17 
 
El símbolo  significa que el lado derecho de la expresión es equivalente al lado izquierdo 
(son iguales salvo en un término despreciable). 
La regla de Leibniz 
 Y en efecto, lo que llamaremos la regla de Leibniz d(uv) udv vdu , se distingue de la 
diferencial del producto de variables por cuanto su formulación requiere del concepto de 
continuidad entre variables. La diferencial del producto dudvvduudvuvd ++=)( es una 
fórmula algebraica. La regla de Leibniz d(uv) udv vdu es una fórmula analítica. El 
cálculo tradicional no sabe cómo deducir la primera y no puede deducir la segunda sin el 
uso de las derivadas. 
Un ejemplo anterior ilustra el uso de la regla de Leibniz. Iniciamos con una variable arbitraria 
u , así que 
2u también lo es. Tenemos, ( ) ( )2d u d u u=  ; por la regla de la diferencial del 
producto, ( ) 2d u u udu dudu = + . Ahora, asumimos que u es una variable continua de 
valores finitos. El término dudu es un infinitesimal cuadrático. Ya que el cociente 
2 2
dudu du
udu u
= , al ser du infinitesimal, el cociente 
2
du
u
 es infinitesimal, y esto hace que dudu 
sea despreciable relativa a 2udu . Por lo que tenemos que, para toda variable continua, 
( )2 2d u udu= . Así mismo, 
La deducción 
2v u= , luego 2dv u du , la hizo Leibniz en su época. Aplicando sucesivamente 
la regla del Leibniz, y teniendo en cuenta la comparación de variables para descartar 
directamente las que sean despreciables, tenemos: 
( ) ( )3 2d u d u u=  ; ( ) ( )2 2 2d u u u du d udu = + ; ( )3 23d u u du . 
 Se puede verificar que, en general, para potencias enteras de la variable, se cumple la vieja 
fórmula del cálculo 
1n ndu nu du− (solo que aquí es con diferenciales!). 
El incremento de la variable 
En los textos de cálculo tradicional, así como en ingeniería, se emplea el término de 
variación, en el sentido de modificación, cambio, perturbación, por algo que se incrementa 
o decrementa; por un lado, se requiere una precisión sobre tal expresión debido a que hay 
muchos enfoques y áreas de aplicación sobre este importante concepto; así por ejemplo, 
en la teoría de funciones, existe el concepto de variación acotada, mientras que, en el 
cálculo variacional, la teoría se concentra en ciertos operadores sobre funciones. De otra 
parte, dada una variable, ¿Qué quiere decir que crece o decrece? En nuestro modelo, 
18 
 
tenemos la ventaja de modificar o perturbar una variable, por medios infinitesimales, 
debido a que se cuenta con su diferencial. Siguiendo nuestro razonamiento sobre la variable 
considerada como sucesión, si u es una variable arbitraria definimos el incremento (que 
puede ser positivo o negativo) de u como la nueva variable duu + . Cuando la variable u 
es continua, du es infinitesimal, de modo que duu + es un incremento infinitesimal, lo 
que podría pensarse como un cambio, una perturbación o modificación infinitesimal de la 
variable. El incremento de la variable se calcula así, 
0 1 2 N
u u ,u ,u ,...,u 
1 0 2 1 1
0
N N
du u u ,u u ,...,u u , 
1 2 3 N N
u du u ,u ,u ,...,u ,u 
El incremento de la variable no es la misma variable, aunque contenga todos sus términos, 
porque hace falta el primer término en la sucesión mientras que los otros términos se 
desplazan un lugar hacia la izquierda. Calculemos el incremento de la suma y el producto 
de variables. El incremento de u v+ es la suma de los incrementos, porque, 
 ( ) ( ) ( )u v d u v u du v dv+ + + = + + + . 
El incremento de ku es ( ) ( )ku d ku k u du+ = + . Mucho más impresionante es el 
incremento del producto de dos variables, pues el incremento de uv es ( )uv d uv+ , pero 
( )uv d uv uv udv vdu dudv+ = + + + , y 
( ) ( )uv udv vdu dudv u v dv du v dv+ + + = + + + , por lo que, 
( ) ( ) ( )( )u v dv du v dv u du v dv+ + + = + + 
Quiere decir que el incremento del producto es el producto de los incrementos. 
En nuestro modelo, el i9ncremento de la variable consiste en desplazar un lugar a la 
izquierda los términos de dicha variable, salvo el último término. Por ejemplo, si nos piden 
calcular la variable u u du , simplemente realizamos el producto de variables, así: 
0 1 1 2 2 3 1N N
u u du u u ,u u ,u u ,...,u u 
19 
 
Diferencial de la variable inversa 
Como una aplicación de la fórmula anterior, dada la variable },,,,,{ 3210 Nuuuuuu = , se 
nos plantea calcular la diferencial de la variable 






=
Nuuuuuu
1
,,
1
,
1
,
1
,
11
3210
 
donde todos los términos de la variable son distintos de cero. Tenemos, 
1 1
n
d d
u u
 
1
1 1
1 1 n n
n n n n
u u
u u u u
, 
1 du
d
u u(u du)
 
Obsérvese que las deducciones que aquí hemos llevado a cabo son estrictamente 
algebraicas, esto es, manipulaciones de símbolos en un número de términos 0 n N  que 
puede ser finito, incluyendo al caso 2N = . Una vez escapamos del área algebraica y 
hacemos u una variable continua con valores finitos, 0du , u du u+  , ( ) 2u u du u+  , 
logramos la conocida fórmula, 
2
1 du
d
u u
. 
La siguiente es otra de las reglas conocidas en el cálculo tradicional y que se deduce del 
resultado de arriba (siempre que se cumplan las identificaciones respectivas sobre tales 
variables): 
1 1
1
n n n n n
n n n
u u v u vu
d d
v v v v
+ +
+
   − 
= =    
     
= 1 1
1
n n n n n n n n
n n
u v u v u v u v
v v
+ +
+
 − + −
 
 
 
( ) ( )1 1
1
n n n n n n
n n
u u v u v v
v v
+ +
+
− − − 
 
 
=
( )
vdu udv
v v dv
−
+
; una vez ambas variables son continuas, 
tenemos el resultado del cálculo, 
2
u vdu udv
d
v v
− 
  
. 
20 
 
El cálculo tradicional es una herramienta muy poderosa para resolver problemas, pero no 
para explicar adecuadamente estos fenómenos, que consisten en calcular directamente las 
diferenciales de las variables. El lector observará que, efectivamente, todos los resultados 
obtenidos son los que exhibe el cálculo de los textos escolares, pero aquí los hemos 
conseguido de modo algebraico primero, y luego, analíticamente, utilizando las 
herramientas del MicroCálculo, que solo los infinitesimales pueden proveer. Como el 
cálculo oficial es incapaz de introducir las diferenciales sin recurrir a las derivadas, se ve 
obligado a utilizar métodos de mayor complejidad para poder explicar fórmulas muy 
simples, como las anteriores. 
LA INTEGRAL 
La integral es el tercero de los elementos del MicroCálculo, donde los dos primeros ya 
estudiados son la variable y la diferencial. No queremos introducirlo sin antes, hacer una 
alusión histórica a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quien es el padre fundador del 
cálculo infinitesimal, en las palabras del historiador C. H. Edwards, 1979: “su cálculo 
infinitesimal es el ejemplo supremo, en todas las ciencias y matemáticas, de un sistema de 
notación y terminología tan perfectamente acoplado con su sujeto como para reflejar 
fielmente la lógica básica de las operaciones y procesos de ese tema. No es exagerado decir 
que el cálculo de Leibniz pone al alcance de un estudiante ordinario problemas que alguna 
vez requirieron el ingenio de un Arquímedes o un Newton”. 
La integral como suma de valores 
El elemento integral es una variable del sistema. La definiremos de manera inversa a la 
diferencial. La diferencial es una sustracción de una sucesión de valores. La integral es la 
adición de una sucesión de valores. Sea },...,,,,{ 3210 Nuuuuuu = una variable cualquiera. 
Llamamos integral de u a la variable nv v que se obtiene sumando sucesivamente los 
términos de la variable u , cuyo término general es 0 1 2n nv u u u u= + + + + . Esto es, 
0 0 1 0 1 2 0 1 2 3{ , , , , }Nu u u u u u u u u u u u= + + + + + + + + 
Obsérvese que hemos escrito la variable a la derecha del símbolo integral, sin ninguna 
diferencial que la acompañe. Como la integral es una nueva variable v , es perfectamente 
lícito escribir 
= uv 
21 
 
Es bastante obvio que ( )+ = +  u v u v , también  =  c u c u , donde *c . Nótese 
que el último término 
0 1 2 nu u u u+ + + + de la sucesión es la suma de todos los términos 
de la variable y por ello, también tiene el mismo número de términos de la variable u , 
donde u es el ‘integrando’. 
La expresión = uv es inadmisible en el cálculo tradicional, en el que se hace todo tipo 
de artificios para justificar la conocida expresión ( )f x dx , como veremos adelante. Si a 
usted le despierta sospechas el símbolo = uv , debería saber que Leibniz lo usaba tal cual 
nosotros lo hacemos, o mejor, aquí lo usamos sabiendo a que así lo hacía Leibniz. Algunos 
matemáticos, al burlarse de estas expresiones, seguramente no saben que se están 
burlando del fundador del cálculo diferencial e integral. Una explicación de lo que ha 
ocurrido es que, debido al uso de la nomenclatura considerada ‘rigurosa’ y a la definición 
de integral de Riemann, donde se calcula el límite 
1
n
i i
i
f x x , se les hace imposible evitar 
el paso al límite de ix y convertirlo en dx por arte de magia; y en este caso, al símbolo 
dx lo colocan sin llamarle diferencial. Sus defensores no pueden explicar el significado del 
hecho que una función f x se multiplique por la diferencial dx y pueda integrarse el 
producto ( )f x dx . En algunos libros, con un poco más de honestidad, explican que la 
expresión es histórica, que obedece a la tradición, y que ha logrado cierta utilidad desde 
Leibniz, pero que no tiene significado alguno. En el Microcálculo, la definición de integral es 
una suma aritmética, y aparecerá completamente natural que la integral sea exactamente 
lo inverso que la diferencial. Así de sencillo: la diferencial es la sustracción de los valores de 
la variable. La integral es la suma de los valores de la variable. Así se originó el cálculo 
diferencial e integral y así lo inventó Leibniz. 
Para calcular integrales, es incómodo escribir cada uno de los términos de la sucesión, de 
modo que, hemos adoptado como convención de la integral la sugestiva forma del término 
general, sin que por ello haya lugar a confusión alguna de que identifiquemos una integral 
con la sucesión de su término general. Así, escribiremos 
0 1 2 k Nu u u u u u= + + + + + + 
donde la expresión de la derecha es la sucesión que corresponde a la integral de la 
izquierda. Debido a que los valores de una variable son cualesquiera, la suma es una 
cantidad arbitraria y parecería extraño que pudiese producir alguna cantidad de interés; el 
22 
 
lector podría preguntarse qué sentido tiene hacer este tipo de suma, cuando lo que 
requerimos de la integral es que el resultado sea un número real. Lo verdaderamente 
sorprendente es que encontraremos muchísimas variables cuya suma de N valores es un 
valor finito, lo que permitirá calcular su parte real y lograr un número real ordinario. Todas 
las familiares funciones que son integrables en el cálculo tradicional lo serán en nuestro 
modelo, y sus integrales coincidirán. Este tema mostrará un mayor alcance cuando 
estudiemos la función como elemento, así como el último elemento del cálculo, que es la 
derivada. 
Como la variable u se escribe con su último término, 0 1 2 k Nu u u u u u= + + + + + + 
podemos escribirla como 
0
N
n
n
u u
=
= . En caso de que arroje un número finito (número real 
más infinitesimal), si tal número no depende de N , la parte real de tal valor finito es un 
número real ordinario, que escribiremos como 
0
N
n
n
st u
=
 
 
 
 (st quiere decir estándar o real). 
En caso que la suma no sea finita, la integral como valor real no existe. Por estar bien 
definidas las sumas en el sentido que les hemos fijado, para calcular la integral de la 
variable, hay que sumar y verificar que dicha suma es finita. 
Así por ejemplo, consideremos la variable independiente x ndx en el intervalo  0,1 , 
tantas veces estudiada, cuya diferencial es 
1
dx
N
, y 0 n N . Pasemos a calcular 
la integrar de dx . La variable “diferencial de x ” es una variable integrable, porque 
1
1N
k
N
N N=
= , luego 1dx = . 
Inconsistencias notacionales 
 
La mayor inconsistencia notacional en el cálculo tradicional ocurre cuando los autores de 
tales textos se ven a obligados a usar la notación inventada por Leibniz para la diferencial 
dx y la integral f x dx , la que tratan de conciliar con el simbolismo de los límites (que 
es para ellos el rigor), pese a que no explican cómo realizar el producto de una función por 
una diferencial cuya naturaleza se desconoce. La definición de la integral de Riemann que 
hace el cálculo tradicional es considerada ‘rigurosa’ y muchos saben el método de obtenerla 
mediante sumas parciales de límites inferiores y superiores y refinamiento de particiones 
con convergencias de límites, propio de la definición de tal integral. El problema insuperable 
que tienen sus defensores es: ¿cómo simbolizar tal integral de una función? Es sabido que 
23 
 
el gran matemático R. Courant, varias veces citado, expresaba en sus libros su aversión a 
los infinitesimales de Leibniz. Después de colocar dx en el integrando de la integral, escribe 
“Debemos, sin embargo, cuidarnos de contra el pensamiento de que es una ‘cantidad 
infinitamente pequeña’ o ‘infinitesimal’, o de la integral como la ’suma de un número 
infinito de cantidades infinitamente pequeñas’. Tal concepción carecería de un significado 
claro; es sólo una ingenua confusión de lo que antes habíamos realizado con precisión”, R. 
Courant, 1934. Igualmente, Spivak, 2004, en su definición de laintegral definida, simboliza 
la integral de una función f sobre el intervalo a,b como 
b
a
f (huyéndole a la notación 
diferencial), pero después surge un pequeño problema que consiste en integrar en a,b 
alguna función en particular, como es el caso de la función 
2x cuyo resultado es 
3 31 1
3 3
b a . ¿Como simbolizar esto? Spivak se ve obligado a cambiar nuevamente la 
notación, para evitar colocar la inconsistencia notacional 
2 3 31 1
3 3
b
a
x b a , de modo 
que hacer el siguiente cambalache: (cita textual): “la notación f adolece de falta de 
notación conveniente para nombrar a las funciones definidas mediante fórmulas. Por esta 
razón es útil emplear una notación alternativa”, y dice “ 
b
a
f x dx significa exactamente 
lo mismo que 
b
a
f ”. Continúa: “Así. 
2 3 31 1
3 3
b
a
x dx b a ”, y remata: “El símbolo dx por 
sí solo no tiene ningún significado”. Estamos citando a grandes matemáticos, que se sienten 
avergonzados de utilizar los infinitesimales, pero como no tienen mas remedio, los utilizan. 
 
 La integral de la diferencial 
La originalidad del método leibniziano reside en la comprensión de la integral como el 
elemento inverso de la diferencial: la diferencial es una sustracción de una sucesión de 
valores y la integral es la adición de una sucesión de valores, por lo que es pertinente que 
asumamos de manera inmediata este aspecto crucial. 
Primero repasemos lo que hicimos. Sea  , 0nv v n N=   una variable. El símbolo de 
integral, introducido por Leibniz, es el que nosotros usaremos, que es v , y se lee ‘integral 
de la variable v ”. La expresión al interior del símbolo de integral se denomina el 
integrando. Como el término general de la suma es N Nv v v v v0 1 2 1 , abusando 
de la notación, hemos podido escribir la integral así, 
24 
 
0 1 2 3 Nv v v v v v= + + + + + . 
Hagamos ahora v du= , donde  ndudu = ; debido a que la variable v es la diferencial de 
otra variable, el cálculo de v , es el de la integral de una diferencial du ; asumamos que 
su último término es 0Nv = ; por un cálculo anterior, donde hicimos 1n n nv u u+= − , 
sumando, 
0 1 2 1 0N Nv v v v u u 
Por tanto, 0Ndu u u= − . Se denomina a u la primitiva de v . Por ello, el cálculo de una 
integral se simplifica con la búsqueda de una primitiva. 
La diferencial de la integral 
 Ahora veamos, en el sentido contrario, la situación que puede considerarse como el 
proceso inverso, que consiste en calcular la ‘diferencial de la integral’, de una variable. Para 
ello, consideramos la integral 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3{ , , , , }Nv v v v v v v v v v v v= + + + + + + + + , la 
cual, como variable, tiene una diferencial, que es la siguiente: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
0 0 1 0 1 2 0 1 2 3
0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 1 2 3 1
, , , ,
, , ,
N
N N
d v v v v v v v v v v v
v v v v v v v v v v v v v v v v v −
+ + + + + + + + =
+ − + + − + − + + + + − + + + +
 
De modo que,  1 2 3, , , , Nd v v v v v= . Otra forma de calcularlo es haciendo uso 
directamente del término general, 
( ) ( )0 1 2 3 1 0 1 2 3 1n n nv v v v v v v v v v v+ ++ + + + + − + + + + + = . 
Precisamente, como ya vimos, corresponde a la variable v dv+ , ‘el incremento de v ’, así 
que podemos escribir, d v v dv= + . Si v es una variable continua, 0dv  , por lo que 
d v difiere de v en un infinitesimal. 
La integración por partes es una importante y conocida consecuencia de la fórmula de 
Leibniz, d uv udv vdu y la aplicación de la diferencial de la integral. En efecto, al 
calcular la integral a ambos lados de la fórmula d uv udv vdu , obtenemos, 
d uv udv vdu 
25 
 
Reemplazamos ( )d uv uv c= + , y tenemos que, udv uv vdu , loque nos permite 
obtener la integral del lado derecho, siempre que podamos encontrar una primitiva para la 
integral del lado izquierdo. 
LA FUNCIÓN 
 
La función es el cuarto elemento del MicroCálculo. En el cálculo tradicional se entiende por 
función -en el sentido de función de una variable real con valores numéricos, claro está- una 
asignación determinada entre conjuntos numéricos X,Y llamados dominio y rango de la 
función, donde la naturaleza funcional de la relación consiste en asignar a cada elemento 
de X un único elemento de Y . Esto se escribe con la familiar notación f :X Y , donde 
x X es el argumento, y Y es la imagen, lo que se escribe y f x . Tal asignación 
puede hacerse mediante una multiplicidad de opciones que, dependiendo del docente, se 
denominará una ley o regla, una tabla de valores, una expresión analítica, un subconjunto 
de parejas del producto cartesiano, una fórmula o ecuación, una gráfica, verbalmente, o las 
más de las veces, una correspondencia dada por una fórmula. En la diversidad de este 
universo de definiciones admisibles, lo rescatable del concepto de función es el carácter 
arbitrario de la asignación y el de univocidad, esto es, que a un solo argumento del dominio 
no se asigne más de una imagen del rango. 
Ya hemos indicado que el uso de la función como en la actualidad se entiende, es bastante 
posterior a la fundación del cálculo infinitesimal, aunque es casi imposible pensar hoy en la 
enseñanza del cálculo sin que previamente se exponga todo un capítulo sobre el desarrollo 
y aplicaciones del concepto de función. No sabemos qué razón le asiste a Courant quien 
afirma que, desde el inicio de las matemáticas modernas en el siglo XVII, el concepto de 
función ha estado en el centro del pensamiento matemático y añade: “Leibniz parece que 
fue el primero en usar la palabra función”; como lo que está en juego no es el origen de la 
palabra, esto puede conducir a un error, pues había que esperar a Leonard Euler, en 1748, 
un siglo después de Leibniz y Newton, en su Introductio in Analysin Infinitorum, quien afirma 
“Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta, de la manera 
que sea, de dicha cantidad y de números o cantidades constantes” y “Yo me he concentrado 
sobre todo en el primer libro, en las funciones de variables, porque ellas son el objeto del 
análisis infinitesimal”. Luego casi cien años después, hacia 1850, se le atribuye a Dirichlet, 
entre tantas de sus creaciones, la definición moderna de función. El propio Frege, 1892, 
ante tanta confusión y búsqueda de un consenso sobre el concepto de función, tuvo que 
precisar que no es lo mismo la función (el concepto) que la variable (el objeto que cae bajo 
el concepto) que constituye su argumento. 
26 
 
Han pasado varios siglos hasta que la matemática ha logrado un consenso tal y como se 
conoce como el significado de la relación funcional: la función es una asignación arbitraria 
y unívoca, de valores de un dominio, a valores de un contra dominio o rango. Pero no ha 
sido así desde el punto de vista pedagógico y didáctico. En el salón de clases, se sigue 
confundiendo la función con la variable (recordemos que, en la relación funcional 2y x=
, se le denomina a la variable 
2x la función, aunque 
2x es el valor de la función “elevar al 
cuadrado” el argumento x ). 
Nosotros vamos a retener el primer aspecto esencial del cálculo tradicional, cual es el 
carácter arbitrario de la asignación, aunque nos apartaremos del segundo, ya que, en 
nuestro modelo, se distingue claramente la función, de las variables, sean dependientes o 
independientes. Aquí, el objeto matemático construido es la variable como sucesión, y la 
función, como designación de términos de la sucesión, sólo determinada por la existencia 
de éstas. 
Sean  nu u= ,   Nnvv n = 0, dos variables con el sentido que les hemos dado hasta 
ahora. El carácter funcional de la relación entre las dos variables radica en el orden que se 
fije a las variables y en la asignación de un término de una con otro término de la otra, en 
el orden en que se corresponden. Por el solo hecho de iniciar las variables como ,u v , y por 
lo que a cada término de la primera variable sele asigna el término con el índice 
correspondiente de la segunda , se dice que esta asignación es una función y que la segunda 
es función de la primera, en ese orden, 
0 0 1 1 2 2 N N
u v , u v , u v , ...,u v 
La pareja ordenada, con tal asignación, recibe el nombre de función. En otras palabras, una 
función, en nuestro modelo, es una asignación o aplicación entre variables, determinada 
solo por el hecho de considerarse tal asignación entre sus términos, en el orden u v, . 
Diremos que v es función de u . Por eso, aparece como algo necesario a su definición, 
simbolizar la función con una letra, digamos f , y que se escriba v f u , porque u es el 
argumento o variable del dominio de la función, v es la variable del rango y f es el nombre 
de la aplicación. Repetimos, la expresión simbólica v f u significa que hay una pareja 
ordenada de dos variables 
0 1 2 0 1 2N N
u u ,u , u , , u , v v ,v , v , , v , y una función 
n n
v f u así, 
n n
v f u v f u 
27 
 
Se le podría a argumentar que nuestra definición se aleja del concepto tradicional, ya que 
rompe la univocidad: como es el caso de    0,1,0, 1,0,1,0, 1, ,1 1,2,3,4,5, ,f N− − = que 
asigna a un valor 0 del dominio, muchos valores f 0 del rango. En efecto, la función 
y f x queda multivaluada porque la correspondencia entre sucesiones es tan general, 
que se presta para no haya univocidad. Responderemos que, aunque haya valores idénticos, 
cada uno de ellos son términos distintos, que difieren en sus posiciones en la sucesión. En 
segundo lugar, el criterio de univocidad se puede satisfacer de modo muy sencillo. 
Definiremos como variable de función, aquella variable 
0 1 2 N
u u ,u , u , , u que cumpla 
n m
u u en todas las posiciones. Así, la variable de función o variable funcional será aquella 
que sirva como argumento para la construcción de la función tradicional. Ejemplo, sean u
, v variables,   Nnvv n = 0, ; hacemos, 
2n n
u Sen n , v n . En este 
caso, v es variable de función, y está definida ( )n nu f v= . La función es la siguiente: 
   1,2,3,4,5, , 0,1,0, 1,0,1,0, 1, ,1f N = − − . Un segundo ejemplo, x ndx , variable 
independiente, 
1
dx
N
, 0 n N , y 
0 1 2 N
y y ,y , y , , y cualquier otra variable, la 
función y f x , es una función cuyo argumento es variable de función, 
n
y f x y f ndx . Pero nuestra definición cubre muchas funciones, no solo 
aquellas donde el argumento es variable funcional. Así, por ejemplo, cualquiera sea u , sean 
2u , 
3u dos variables en ese orden. Tenemos la función ( )2 3f u u= . Así mismo, en su 
dominio, ( )( ) ( )cosf sen u u= es una función. Obviamente, para y , siendo  x ndx=
( )y f x= es una función en el sentido más tradicional de la terminología del cálculo, lo 
que nos facilita discretizar las funciones más familiares del cálculo diferencial. 
Cuando ambas son variables de función, al invertir el orden de las letras, ,v u es una 
función, denominada función inversa de ,u v , y está definida, por el carácter unívoco de la 
relación. La letra de la función inversa de f , como es usual, se designa 1−f : 
n n
u f v u f v1 1 
Así, ( )2 3n nf u u= , luego ( )1 3 2n nf u u− = . De modo similar, si v f u , y w g v , 
tenemos la composición de funciones: 
28 
 
w g f u g f u . 
Discretización de la función 
Sea y f x una función de la variable real x , sobre un intervalo a,b , o 
particularmente, sobre 0 1, . Una forma expedita de abundar en ejemplos de funciones 
generadas como ny f ndx se logra al asumir que la variable independiente sea 
 ndxx = , donde 
N
dx
1
= , 0 n N , en el dominio 0 1, * . Como la función de 
y f x asume valores cualesquiera, al aplicarse en cada término  ndxx = del dominio, 
se obtiene la función ny f ndx . Se dice que la función ha sido discretizada en el modelo 
de nuestro modelo de cálculo. Así, por ejemplo, al discretizar las conocidas funciones 
polinomiales, trigonométricas o exponenciales de la variable real 
2
0 1 2
n
n
f x a a x a x a x , g x Sen x , h x Exp x , obtenemos las 
correspondientes funciones polinomiales, trigonométricas o exponenciales del campo * , 
que sólo se distinguen de la anteriores, en que la variable del dominio es la sucesión 
 ndxx = . Por ejemplo, 2
0 1 2
n
n
f ndx a a ndx a ndx a ndx , mientras que 
g ndx Sen ndx , h ndx Exp ndx . 
Gráfica de la función 
¿Podemos graficar tales funciones en el MicroCálculo? Naturalmente, siempre que se aclare 
lo que quiere decir graficar, porque en el cálculo convencional, las gráficas de las funciones 
( )f x son ‘curvas’ ( )( ),x f x de parejas del plano, mientras que en nuestro modelo, las 
variables son arbitrarias. Teniendo esto en consideración, la gráfica de una función ocurrirá 
siempre que la variable del dominio sea la variable independiente x . Dado el dominio 
0,T y variables 
0 1 2 N
x x ,x , x , , x , 
0 1 2 N
y y ,y , y , , y donde ,n
T
x ndx dx
N
= =
, N entero muy grande, 0 n N . Asumamos que tenemos y f x . Como  ndxx =
, en la correspondencia funcional 
0 1 20 , , 2 , , , ,n Ny dx y dx y ndx y Ndx y→ → → → → 
29 
 
se asignan valores )(ndxfyn = a cantidades muy cercanas en un intervalo,  0, T ; esto 
nos posibilita ilustrar geométricamente la función mediante una gráfica de barras, que 
podemos llamar ‘curva’ donde los valores )(ndxfyn = son las abscisas y los valores del 
dominio son las ordenadas: 
 
 Los valores de la abcisa )(ndxfyn = , que aquí se grafican como barras verticales, son 
valores arbitrarios. 
La integral definida 
 
La integral definida se distingue de la integral, en general, porque ella encierra una fuerte 
intuición geométrica, ya que, en el cálculo de una variable, es considerada como el área 
bajo la curva. Así, la integral de Riemann de una función en un intervalo es el límite de sumas 
parciales sobre particiones arbitrarias del intervalo real en consideración, y esto debe 
arrojar un número real, el que en una gráfica es considerado el área bajo la curva. En el 
MicroCálculo, para encontrar una solución similar, se fija el intervalo  ba, , donde los 
extremos son números reales, y se escoge el entero muy grande N . En este caso, el 
infinitesimal es ,
N
ab −
= y el término general de la sucesión es 
Nna
N
abn
xn +
−
= 0,
)(
, que se inicia en el valor a y finaliza en b , donde la variable 
continua e independiente es    amxx m +==  y su diferencial es  =dx . 
 Sea y la variable 0 0n ny y , y , n N . Realizamos el producto ydx , (y aquei 
sí podemos hacerlo) obteniendo la nueva variable  dxyydx n= . La cantidad 0 ny dx 
representa geométricamente el área infinitesimal del rectángulo cuya altura es la ordenada 
ny y su base es la cantidad constante dx , siempre que ny sea finito. Una gráfica 
aceptable es la siguiente, donde el trazo es discontinuo, dado que cada rectángulo está 
separado del siguiente por un área infinitesimal. 
30 
 
 
Como hemos convenido en identificar la integral con su último término, suprimiendo llaves 
innecesarias, la integral definida en el intervalo  ba, , en caso de que la sumatoria sea un 
valor finito, es la parte real 
0
Nb
na
n
ydx st y . En cada caso debe verificarse que este 
número real es independiente de la escogencia del entero muy grande. 
Por ejemplo, calculemos la integral 
0
b
xdx , donde 0a , n
nb
x
N
, 
b
dx
N
. 
Reemplazando, tenemos 
2
2
0 0
N N
n n
nb b b
n
N N N
 
2 2
2 2
0
1
2
N
n
N Nb b
n
N N
 
2 2 2
2
0 2 2
N
n
b b b
n
N N
, 
Al tomar la parte real, 
2 2 2
2 2 2
b b b
st
N
. La cantidad infinitesimal 
2
2
b
N
 no depende de N
, o sea que 
2
0 2
b b
xdx . Es el mismo resultado de todos los libros de texto, pero que solo puede ser 
explicado con sencillez con el uso de infinitesimales. 
 
31 
 
Desarrollo de la función lineal 
Sorprenderá un poco que las funciones más conocidas puedan ser generadas solo por la 
naturaleza del nuevomodelo de cálculo, y eso es lo que haremos de ahora en adelante, o 
sea, no definiremos funciones, sino que las generaremos, teniendo en cuenta su propia 
definición. El modo de hacerlo obedecerá a una regla como la siguiente. Dadas las variables 
arbitrarias },,,,{},,,,,{ 210210 NN vvvvvuuuuu  == , donde  ndudu = no se anula 
en ninguno de sus términos, y la función v f u , diremos que v depende linealmente 
de u , si se cumple la siguiente relación entre el cociente de las diferenciales de ambas 
variables, 
a
du
dv
= , 
donde a es una cantidad real no nula. Se trata de determinar la naturaleza de la relación 
funcional de dependencia de la variable v , conocida la variable u y la constante real a. 
Repetimos, las variables no tienen ningún condicionamiento. Tenemos, 
1
1
n nn n
n n n n
v vdv dvdv
, a
du du du u u
 
Entonces, bvduavv nnn =+=+ 01 , . Reemplazando cada término en el anterior, 
0
1 0
2 0 1
0 1 1 0
0
n N N
N N
v b
v adu b
v a(du du ) b
v a(du du du ) b a(u u ) b
v a(u u ) b
 
Por tanto, la sucesión de términos es })({}{ 0 buuav nn +−= . O lo que es lo mismo, 
buuav +−= )( 0 
En particular, si el primer término 
0
u de la variable es cero, reconoceremos la fórmula 
tradicional de dependencia funcional lineal v au b . 
32 
 
En los cursos de cálculo se presenta esta relación, también llamada función lineal como si la 
variable u fuera independiente y la variable v dependiera de aquella. Nada más lejos de 
la verdad. Ambas son variables arbitrarias. Y de acuerdo con el álgebra diferencial, 
adudv
bauv
=
+=
 
por tanto, si u fuera independiente, du sería constante y también dv lo sería, o sea que 
también v sería independiente. Esta construcción que acabamos de hacer difiere del 
método tradicional donde las funciones lineales se definen y no se construyen. Y el lector 
familiarizado con las ecuaciones diferenciales encontrará que lo que hemos hecho es 
resolver una ecuación diferencial de primer orden lineal, con condición inicial. 
Continuidad funcional 
En nuestro modelo, diremos que v f u es continua si ambas variables son continuas, o 
sea, 0du y 0dv . Una situación especial se presenta cuando especificamos el 
intervalo, digamos, 0 1, y la variable es la variable independiente, x ndx , donde 
1
0dx , n N
N
, N es un entero muy grande, y las subdivisiones son los términos 
de la variable independiente y continua. Este es el caso más familiar, en el que siempre 
asumiremos como la primera variable de la función, siendo la segunda la variable 
dependiente 0
n
y y , n N , cuya dependencia está definida por la asignación de 
términos ny f ndx de la sucesión. La función ny f ndx es continua si n my y 0
, siempre que 
n m
x x 0 n,m N0 . Por razones del cálculo, muchas veces 
restringiremos la variable independiente para que sus valores estén comprendidos en el 
intervalo 0 1, , y los valores ny f ndx puedan ser graficados a la manera tradicional. 
La continuidad del producto de funciones continuas puede garantizarse, ya que ambas 
tienen como soporte del dominio, una variable independiente continua. Así, si 
n
u f ndx y nv g ndx son dos funciones continuas, 
n n n n n n n n
d u v u d v v d u d u d v , 0nd u , 0nd v 
Como el dominio de nu f ndx y nv g ndx es el intervalo 0 1, , cada uno de los 
términos de la derecha es un infinitesimal y por eso el producto es una función continua. 
33 
 
La variación de la función 
Vamos a resolver una cuestión cardinal, cual es la relación de los incrementos entre 
variables arbitrarias que están dadas por una relación funcional. Tenemos la pareja 
ordenada de variables 
0 1 2 N
u u ,u , u , , u , 
0 1 2 N
v v ,v , v , , v , que determinan la 
función ( )ufv = . Observemos el efecto que tiene el incremento de u sobre el incremento 
de v . El incremento de la primera es u du mientras que el incremento de la segunda es 
v dv . Ahora, 
0 1 2 1 2 3N N N
u u ,u ,u ,...,u , u du u ,u ,u ,...,u ,u 
Mientras que 
0 1 2 1 2 3N N N
v v ,v ,v ,...,v , v dv v ,v ,v ,...,v ,v 
Hay una correspondencia, 
n n n n
u du v dv , término a término, entre las dos 
variables: 
1 2 3 1 2 3N N N N
u ,u ,u ,...,u ,u v ,v ,v ,...,v ,v 
o sea u du v dv . Pero esta es una relación funcional entre variables, luego se 
cumple v dv f u du , despejando dv , 
dv f u du f u . 
De la función ( )ufv = , queda determinada la diferencial dv f u du f u , que 
también podemos indicar como df f u du f u . Este es un concepto 
fundamental, que denominaremos variación de la función que coincide con su diferencial. 
Mientras es propio de la variable su incremento, es propio de la función su variación. Nótese 
que las variables son completamente arbitrarias. Y nuevamente, en el cálculo tradicional, 
es poco probable lograr esta creíble deducción. 
La función exponencial 
Este es el momento de mostrar cómo se genera en el MicroCálculo la función exponencial, 
insistiendo que el énfasis está en el método para generar funciones, que consideramos, 
muy superior al método tradicional. Fijaremos el dominio 0,a , cuya variable 
34 
 
independiente recorre los términos  ndxx = , 
N
a
dx = , N entero muy grande, 0 a 
número real fijo. Estudiemos la función ( )xfy = , definida por )(ndxfyn = , que cumple 
la condición 
( )xf
dx
df
= , 
La anterior expresión puede ser identificada como una ecuación diferencial lineal de primer 
orden, por lo que el proceso que sigue corresponde a encontrar la solución ny f ndx 
de tal ecuación. Teniendo en consideración que 
( ) ( ) ( ) ( )ndxfdxndxfxfdxxfdf −+=−+= , 
Dividiendo por dx y reemplazando, 
1f n dx f ndx
f ndx
dx
 
donde el denominador del cociente es la constante dx . Despejando, 
1 1f n dx dx f ndx . 
Fijamos el primer término de y como el valor inicial 0y b= , donde ny f ndx , y 
Ndx a . Desarrollamos la anterior identidad así, 
0f b 
1f dx b dx 
2
2 1 1f dx dx f dx b dx 
3
3 1 2 1f dx dx f dx b dx 
4
4 1 3 1f dx dx f dx b dx 
 
35 
 
1 1 1
N
f Ndx dx f N dx b dx 
Luego, 1
N
a
f a b
N
. 
Como la última expresión es válida para cualquier valor x hacemos a x= y obtenemos, 
( ) ( )0 1
N
x
f x f
N
 
= + 
 
 
Esta función la llamaremos, de ahora en adelante, función exponencial ( )Exp x . 
Escribiremos: 
( ) ( )0 1
N
x
Exp x Exp
N
 
= + 
 
. 
Podemos probar que esa expresión determina una cantidad finita. Por lo que la parte real 
del valor de la función corresponde a la constante de Euler, base de los logaritmos naturales: 
( )(1)e st Exp= . 
 
 
Sinusoides 
En los libros de texto escolar, la función trigonométrica ( )y Sen x= se define 
geométricamente como la relación entre el arco del círculo y su radio. Una definición 
analítica es mucho menos simple, pues recurre a las series de potencia cuyo radio de 
convergencia es toda la recta numérica. Nosotros podemos proceder de forma similar al de 
la exponencial, indicando brevemente como resolver una ecuación diferencial lineal de 
segundo orden. Para ello, fijamos nuevamente el dominio  a,0 , donde  ndxx = , 
N
a
dx =
, N entero muy grande, a0 real fijo. Sea ( )xfy = , donde )(ndxfyn = , que cumple la 
condición 
( ) ( )
2
2
, 0 0, 0 1
d f df
f f
dx dx
= − = = 
De las condiciones iniciales ( ) 00 0,f df dx= = , tenemos, 
36 
 
1
)()0()(
==
−
dx
dxf
dx
fdxf
 
Además, ( )f ndx cumple 
( (( 1) ) ( ))
( ), (0) 0, ( )
d f n dx f ndx
f ndx f f dx dx
dx dx
+ −
= − = = 
Se desarrollando la segunda diferencial, 
)(
)()1((2))2((
2
ndxf
dx
ndxfdxnfdxnf
−=
++−+
 
Reagrupando términos, )()1()1((2))2(( 2 ndxfdxdxnfdxnf +−+=+ . Se despeja cada 
término, 

42
62
2
2
5101)5(
61)4(
31)3(
1)2(
)(
0)0(
dxdxdxf
dxdxdxf
dxdxf
dxdxf
dxdxf
f
+−=
+−=
−=
−=
=
=
 
Este es precisamente el desarrollo de ( )Sen x como serie de potencias, 
−+−=
!5
)(
!3
)(
)(
53 ndxndx
ndxndxSen , −+−=
!5!3
)(
53 xx
xxSen 
 
LA DERIVADA 
Laderivada es el quinto y último elemento del cálculo. En los textos escolares, la derivada 
se obtiene como límite de un cociente, llamado ‘cociente de Newton’. Y particularmente, la 
derivada de una función valuada en un número real debe ser un valor real. En nuestro caso, 
siguiendo el modelo leibniziano, la derivada se obtiene directamente como cociente de 
diferenciales. No requerimos criterios de convergencia ni cálculo de límites, simplemente, 
la derivada es un cálculo de cociente de diferencias. 
El concepto de derivada se distingue de los anteriores elementos, porque se mantiene en 
la estructura numérica del campo real, ya que, históricamente, la derivada es un número 
37 
 
asociado tanto al cálculo de la pendiente o la tangente de una gráfica (cuando la haya), 
como al de la velocidad y al cambio (donde las variables son relativas al espacio y el tiempo), 
y ambas medidas se basan en valores reales. De otra parte, la derivada requiere el 
conocimiento de la función, porque para obtener el cociente de diferenciales se requieren 
dos variables, donde expresamente una está en función de la otra. 
Dada la función ( )ufv = , donde },,,,{},,,,,{ 210210 NN vvvvvuuuuu  == , el 
cociente diferencial, llamado ‘cociente de Newton’, es el cociente de la diferencial de la 
función sobre la diferencial de la variable del dominio. Este es un cociente aritmético, 
porque tanto el numerador como el denominador son variables arbitrarias. Debido a que 
ya hemos establecido la relación entre la diferencial y la variación de la función, donde 
( ) ( )df f u du f u= + − , podemos escribir este cociente como: 
( ) ( )
,
dv df df f u du f u
du du du du
+ −
= = 
Siempre que los términos de la variable del dominio sean no nulos (lo que ocurrirá si la 
variable u es independiente). El cociente diferencial no es la derivada, porque tal cociente 
diferencial asume valores arbitrarios. Nótese que, al seleccionar dos variables, no 
necesariamente u es una variable independiente, lo que indica que el cociente diferencial 
se calcula entre dos variables cualesquiera. En todo caso, los términos de la variable 
cociente serán finitos, muy grandes o infinitesimales. Estamos interesados en caso de que 
ocurra que, como variable, el cociente diferencial 
df
du
 sea un valor finito que no dependa 
de la selección del entero N . Sólo cuando esto ocurre, diremos que la función admite una 
derivada o es derivable y definimos la derivada como el número real que es la parte real del 
cociente diferencial, 
( )
df
f u st
du
 
 =  
 
. 
Este enfoque, que provine de Robinson, 1961, es radicalmente distinto del tradicional. 
 
La nueva variable real, de términos reales, se denomina función derivada de f en u y se 
escribe también con una tilde en la letra de variable f  y, si no hay confusión posible, se 
escribe ( )v f u = . En otras palabras, la derivada de la función es una variable con términos 
que son números reales 0 1 2 Nv r r r r, , , , , tal que 
38 
 
n
n n
n
dv
r
du
= + 
donde nr es la parte real y los n son infinitesimales. Dado que ( )
n
n n n n
n
dv
r f u
du
 = + = +
, obtenemos la identidad funcional, ( )
df
f u
du
= + , y por tanto, podemos expresar la 
derivada en términos de diferenciales, tan familiar (pero tan difícil de explicar) en los libros 
de cálculo tradicional, 
df f u du duα 
donde du = es un infinitesimal mucho menor que du , porque 
du

= sigue siendo 
infinitesimal, de modo que es una cantidad despreciable. 
La fórmula df f u du duα es extremadamente importante, porque relaciona 
aritméticamente la derivada de una función con su diferencial, lo que muchos textos del 
cálculo oficial hacen con escaso éxito didáctico. Además, se muestra el carácter lineal de la 
diferencial, ya que df es una función lineal de du salvo en un sumando de orden 
cuadrático. Finalmente, la fórmula df f u du duα dice claramente que toda función 
derivable es continua, porque su diferencial es infinitesimal. Esta prueba casi automática de 
la continuidad de la función derivable no tiene antecedentes en el cálculo tradicional. 
Recordemos, no debe confundirse la derivada con el cociente diferencial, pues la derivada 
difiere del cociente en un infinitesimal. 
Por ejemplo, sea v au b , donde a , una función ( )v f u= cuya variable v 
depende linealmente de u . Sabemos que dv adu , luego, si 0du en todo valor de la 
variable del dominio, el cociente diferencial es, 
a
du
dv
= 
Como la constante es un real ordinario, ella es su parte real, luego la derivada v de la 
función lineal es obviamente av = . La variable du no es necesariamente una constante. 
Otro ejemplo. Dada u , variable del dominio continua, de modo que 0du ; hagamos v 
la función ( ) 2f u u= . La diferencial de la función es duduududv += 2 , luego el cociente 
diferencial será 
39 
 
duu
du
dv
+= 2 . 
Calculemos la parte real de la suma. Como du es infinitesimal, su parte estándar es cero. 
La parte real de la variable u es real, y por eso la parte estándar del cociente diferencial será 
2st u . Luego la derivada es ( )2v st u = . Tenemos, 2v u , ( )2v st u = . Este es otro 
Ejemplo. 
3v u , el cociente diferencial es 
( )
3 3u du udv
du du
+ −
= , luego, 
( ) ( ) ( )
3 2 33 23 3u du u u du u du du+ = + + + ; 
( )
( )
3 3
223 3
u du u
u udu du
du
+ −
= + + 
Como du es infinitesimal, su parte real es cero. Por tanto, 
3v u , ( )
2
3v st u = . 
El siguiente ejemplo muestra que podemos derivar una variable respecto a otra cualquiera, 
sin calcular la composición defunciones. Así, tenemos la variable 
2u y la variable 3u , 
donde u asume valores finitos. Al tenerlas en ese orden, la segunda es función de la 
primera. Decimos que 
3u es función de 2u y escribimos ( )3 2u f u= . Calculemos la 
derivada ( )2f u respecto a 2u ; tenemos, 
( )
( )
( )
( )
2 3
2 2
df u d u
d u d u
= , 
( )
( )
3 2
2
3
2
d u u du
udud u
= 
( )
( )
3
2
3
2
d u
u
d u
= , O sea que ( ) ( )2
3
2
f u st u = 
Finalmente, sea Sinu , cosu , dos variables. Al ser colocadas en ese orden, la segunda es 
función de la primera. Sorprenderá al lector que podamos calcular la derivada de cosu 
respecto a Sinu ; y esto lo hacemos así: 
( )
( )
cos sin
sin cos
d u udu
d u udu
−
= , 
( )
( )
( )
cos
sin
d u
tg u
d u
= − , O sea que, 
( )( )cos u st tg u = . 
Propiedades de la derivada 
40 
 
Las siguientes propiedades de la derivada hacen uso de la propiedad que tiene la asignación 
del valor real st r de un valor finito r * . Entre varias de ellas tenemos que la suma, el 
producto y el cociente se preservan con el cálculo de la parte real: st r s st r st s
, st r s st r st s , 
st rr
st
s st s
. 
 Recordemos que si w es infinitesimal, st w 0 . Por ejemplo, si u es una variable 
continua, du 0 , por lo que st du 0 . Vamos a limitarnos a las funciones cuya variable 
del dominio es independiente, como  ndxx = , 
N
a
dx = , N entero muy grande. Dadas dos 
funciones de la misma variable independiente, v f x y w g x tal que ambas tienen 
derivada en cada uno de los valores de la variable independiente, 
f x dx f x
f x st
dx
, 
g x dx g x
g x st
dx
 
La siguiente es la regla de la suma, 
f x dx f x g x dx g x
f x g x st st
dx dx
 
f x dx g x dx f x g x
f x g x st
dx
 
f g x dx f g x
st
dx
 
f g x f x g x . 
Esta es la regla de la constante. 
cf x dx cf x
cf x st
dx
 
f x dx f x
cf x c st
dx
, luego cf x c f x 
Para verificar la regla del producto, hacemos vw f x g x y sabemos que 
d vw f x dg x df x g x df x dg x 
41 
 
d vw dg x df x dg x
f x g x df x
dx dx dx dx
 
 
d vw
st vw x
dx
 
dg x df x dg x
vw st f x st g x st df x
dx dx dx
, pero st df u 0 
dg x df x
vw f x st g x st g x
dx dx
0 
f x g x f x g x f x g x 
También se puede probar la regla de la derivada del cociente. Para probar la derivada de 
la función