Teorema de los Residuos e Integração

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FUNCIONES ANALITICAS
PRÁCTICA 7
CLASE 1
Residuos y polos. Teorema de los Residuos
1. Calcular los residuos de las siguientes funciones respecto de todos sus puntos singulares
aislados.
(a) f(z) =
z + 1
z2 − 2z
(b) f(z) =
z2
(z2 + 1)2
(c) f(z) =
sin z
z(z2 − 1)
(d) f(z) =
z
cos z
(e) f(z) =
1− e2z
z4
(f) f(z) =
ez
z3(z2 + 4)
2. Hallar el residuo en z = 1 de cada rama uniforme de la función multivaluada f(z) =
√
z
1− z .
3. Calcule las siguientes integrales aceptando que el recorrido de los contornos cerrados se
realiza en sentido positivo.
(a)
∫
γ
ez
z2(z2 − 9) dz γ : |z| = 1
(b)
∫
γ
cos(πz)
z(z2 + 1)
dz γ : |z| = 2
(c)
∫
γ
z3
sin z(1− cos z) dz γ : |z| = 5
(d)
∫
γ
tan z dz γ : |z| = 2
(e)
∫
γ
dz
z(ez − 1) γ : |z| = 2
(f)
∫
γ
z2 + 2
(z + 1)(z2 − 4) dz γ : |z| = 4
4. Sea CN el contorno positivamente orientado del cuadrado cuyos lados están sobre las rectas
x = ±(N + 1
2
)π e y = ±(N + 1
2
)π, donde N es un entero positivo. Demostrar que:
1
2πi
∫
CN
dz
z2 sin z
=
1
6
+ 2
∑
n≥1
(−1)n
(nπ)2
.
5. Calcule la integral
1
2πi
∫
γ
f(z)
zg(z)
dz,
donde γ es un contorno cerrado simple que limita un recinto Ω que contiene el punto z = 0.
Las funciones f(z) y g(z) son anaĺıticas en Ω. La función g(z) no se anula en el contorno γ
y tiene n ceros simples en Ω , ninguno de los cuales coincide con el origen de coordenadas.
1
6. Las funciones ϕ(z) y f(z) son anaĺıticas en todo punto de un dominio simplemente conexo
D. Si z0 es el único cero de f(z) en D, demostrar que si C es un contorno cerrado simple
orientado positivamente en D que encierra a z0, se cumple
1
2πi
∫
C
ϕ(z)
f ′(z)
f(z)
dz = mϕ(z0),
donde m es el orden del cero z0.
7. Sea D un dominio simplemente conexo en todo punto del cual la función f(z) es anaĺıtica.
Se denota por C un contorno cerrado simple en D, orientado positivamente, tal que f(z) 6=
0 en cualquier punto sobre C. Entonces, si f(z) tiene N ceros interiores a C, demostrar
que
N =
1
2πi
∫
C
f ′(z)
f(z)
dz.
8. Sea f(z) una función anaĺıtica dentro y sobre un contorno simple y cerrado C excepto por
un número finito de polos interiores a C. Si f(z) no tiene ceros sobre C pero tiene un
número finto de ceros interiores a C, se tiene
1
2πi
∫
C
f ′(z)
f(z)
dz = N − P,
donde N es el número total de ceros y P es el número total de polos dentro de C.
Nota: el número de ceros o el número de polos se establece teniendo en cuenta sus respec-
tivas multiplicidades.
2
FUNCIONES ANALITICAS
PRÁCTICA 7
CLASE 2
Cálculo de integrales: aplicación directa del Teorema de los Residuos.
1. Calcule las integrales impropias:
(a)
∫ ∞
−∞
x
(x2 + 4x + 13)2
dx Rta. : − π/27
(b)
∫ ∞
−∞
x2
(x2 + 1)(x2 + 4)
dx Rta. : π/3
(c)
∫ ∞
−∞
1
1 + x4
dx Rta. : π/
√
2
2. Calcular las integrales siguientes utilizando el Lema de Jordan.
(a)
∫ ∞
−∞
x sinx
x2 − 2x + 10 dx Rta. :
π
3
e−3(sin 1 + 3 cos 1)
(b)
∫ ∞
−∞
cos ax
x2 + 1
dx, a > 0 Rta. : πe−a
(c)
∫ ∞
−∞
cos 2x
x4 + 2x2 + 1
dx Rta. :
3
2
πe−2
3. Calcular las siguientes integrales:
(a)
∫ 2π
0
dθ
3− 2 cos θ) + sin θ Rta. : π
(b)
∫ 2π
0
cos 3θ
5− 4 cos θ dθ Rta. :
π
12
(c)
∫ 2π
0
dθ
(5− 3 sin θ)2 Rta. :
5π
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4. Deducir las fórmulas:
(a)
∫ ∞
0
ln x
x2 + a2
dx =
π ln a
2a
, a > 0
Sugerencia: considere la integral
∫
C
ln2 z
z2 + a2
dz, siendo C el contorno que se indica
en la Figura 1. Después tome los ĺımites de R a infinito y de ² a cero.
(b)
∫ ∞
0
xp−1
x + 1
dx =
π
sin(pπ)
, 0 < p < 1
Sugerencia: considere la integral
∫
C
zp−1
z + 1
dz, siendo C el contorno que se indica en
la Figura 1. Después tome los ĺımites de R a infinito y de ² a cero.
5. Deducir la fórmula:
∫ ∞
0
cosh(ax)
cosh(πx)
dx =
1
2
sec
(
a
2
)
, −π < a < π.
Sugerencia: considere la integral
∫
C
eaz
cosh(πz)
dz, siendo C el contorno que se indica en
la Figura 2. Después tome el ĺımite de R a infinito.
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6. Sea f(z) una función anaĺıtica en IC excepto en un número finito de polos, los cuales se
encuentran todos a la izquierda de la recta x = α y tal que:
i) |zf(z)| < M cuando |z| → ∞ en el semiplano x < α,
ii) t > 0.
Demostrar que
lim
γ→∞
∫ α+iγ
α−iγ
f(z)ezt dz = 2πi
∑
Res
(
f(z)ezt
)
.
Sugerencia: considere la integral a lo largo del contorno que se indica en la Figura 3.
7. Usando los resultados del ejercicio anterior, probar que:
lim
γ→∞
∫ α+iγ
α−iγ
ezt
z2(z2 + 1)
dz = 2πi(t− sin t).
8. Sumar las siguientes series, teniendo en cuenta que a 6∈ Z
(a)
∞∑
−∞
1
(n + a)2
(b)
∞∑
0
1
n2 + a2
(c)
∞∑
0
1
(2n + 1)2
(d)
∞∑
0
(−1)n
(2n + 1)3
9. Considerando a la función f(z) =
1
z − ζ −
1
z
, mostrar que cuando ζ 6∈ Z vale
π cot(πζ) =
1
ζ
+
∞∑
1
2ζ
ζ2 − n2
10. Si |a| > e, usar el Teorema de Rouché para probar que la ecuación ez = azn tiene n raices
en |z| < 1.
11. Encontrar el número de ceros de los siguientes polinomios que se ubican dentro del ćırculo
unitario.
(a) z9 − 2z6 + z2 − 8z − 2
(b) 2z5 − z3 + 3z2 − z + 8
(c) z4 − 5z + 1
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