Tarea 02_Comprobaciones

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA 
MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO 
 
Tarea 02: Comprobaciones 
13/02/2023 
 
 
Grupo: 3MV2 
 
Alumnos: 
Hernández Leyva Luis Alfredo 
Montoya Carreón Emilio 
Díaz Campos Alexis Iván 
Tiburcio Gonzales Salvador 
Flores Mendoza Javier Alejandro 
Materia: Ecuaciones diferenciales 
 
Prof. De Paz Peña Miguel Ángel 
Comprobar que la función indicada sea solución de la ecuación 
diferencial proporcionada. 
𝑋2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 5𝑋
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 4𝑌 = 0 
𝑌 = 𝐶1𝑋
−2 + 𝐶2𝑋
−2 ln (𝑋) 
RESPUESTA 
𝑌 = 𝐶1𝑋
−2 + 𝐶2𝑋
−2 ln (𝑋) 
Obtenemos la primera y segunda derivada de “Y”: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2𝐶1
𝑋3
−
2𝐶2 ln(𝑋) + 𝐶2
𝑋3
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2𝐶1 − 2𝐶2 ln(𝑋) + 𝐶2
𝑋3
 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
6𝐶1 + 6𝐶2 ln(𝑋) − 5𝐶2
𝑋4
 
Sustituimos en la ecuación original: 
𝑿𝟐
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
+ 𝟓𝑿
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟒𝒀 = 𝟎 
𝑋2 (
6𝐶1 + 6𝐶2 ln(𝑋) − 5𝐶2
𝑋4
) + 5𝑋 (
−2𝐶1 − 2𝐶2 ln(𝑋) + 𝐶2
𝑋3
) + 4(
𝐶1
𝑋2
+
𝐶2 ln(𝑋)
𝑋2
) = 0 
6𝐶1
𝑋2
+
6𝐶2 ln(𝑋)
𝑋2
−
5𝐶2
𝑋2
−
10𝐶1
𝑋2
−
10𝐶2 ln(𝑋)
𝑋2
+
5𝐶2
𝑋2
+
4𝐶1
𝑋2
+
4𝐶2 ln(𝑋)
𝑋2
= 0 
0𝐶1 + 0𝐶2 ln(𝑋) + 0𝐶2 = 0 
𝟎 = 𝟎 → 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵. 
𝒀 = 𝑪𝟏𝑿
−𝟐 + 𝑪𝟐𝑿
−𝟐 𝐥𝐧 (𝑿) SÍ ES SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL 
 
 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 9𝑋 = 5cos (2𝑡) 
𝑋 = cos(2𝑡) + 2 cos(3𝑡) + 3𝑠𝑒𝑛(3𝑡) 
RESPUESTA 
Obtenemos la primera y segunda derivada de “X” 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −2𝑠𝑒𝑛(2𝑡) − 6𝑠𝑒𝑛(3𝑡) + 9 cos(3𝑡) 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
= −4 cos(2𝑡) − 18 cos(3𝑡) − 27𝑠𝑒𝑛(3𝑡) 
Sustituimos en la ecuación original: 
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒕𝟐
+ 𝟗𝑿 = 𝟓𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝒕) 
−4 cos(2𝑡) − 18 cos(3𝑡) − 27𝑠𝑒𝑛(3𝑡) + 9(cos(2𝑡) + 2 cos(3𝑡) + 3𝑠𝑒𝑛(3𝑡)) = 5cos (2𝑡) 
−4𝑐𝑜𝑠(2𝑡) − 18 cos(3𝑡) − 27𝑠𝑒𝑛(3𝑡) + 9 cos(2𝑡) + 18 cos(3𝑡) + 27𝑠𝑒𝑛(3𝑡) = 5cos (2𝑡) 
5 cos(2𝑡) − 0 cos(3𝑡) − 0𝑠𝑒𝑛(3𝑡) = 5cos (2𝑡) 
𝟓𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒕) = 𝟓𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒕) → 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵. 
𝑿 = 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒕) + 𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒕) + 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒕) SÍ ES SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN 
DIFERENCIAL 
 
 
SOL. GRAL A 
COMPROBAR. 
EJERCICIO N°1 
SOLUCIÓN A 
COMPROBAR 
EJERCICIO N°2 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑋
+ XY = 𝑋3𝑌3 
𝑌−2 = 𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2
 
RESPUESTA 
Despejamos “𝑌−2”: 
1
𝑌2
= 𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2
 
1 = (𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2
)𝑌2 
𝑌2 =
1
𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2 
𝑌 =
√𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2
𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2 
Elevamos “Y” al cubo: 
𝑌3 =
1
(𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2
)√𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2
 
 
Obtenemos la primer derivada de “Y”: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑋 + 𝐶𝑒𝑥
2
𝑋
(𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2
)√𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2
 
Sustituimos en la ecuación original: 
𝒅𝒚
𝒅𝑿
+𝐗𝐘 = 𝑿𝟑𝒀𝟑 
−
𝑋 + 𝐶𝑒𝑥
2
𝑋
(𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2
)√𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2
+ 𝑋(
√𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2
𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2 )
= 𝑋3 (
1
(𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2
)√𝑋2 + 1 + 𝐶𝑒𝑥
2
) 
𝑪 ≠ 𝟎 → 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵. 
𝒀−𝟐 = 𝑿𝟐 + 𝟏 + 𝑪𝒆𝒙
𝟐
 NO ES UNA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL. 
 
 
 
√𝑋2 − 𝑌2 + 𝑌 = 𝑋
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
ln(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑦
𝑥
) + 𝐶 
RESPUESTA 
Despejamos “Y”: 
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑦
𝑥
) + 𝐶 = ln (𝑥) 
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑦
𝑥
) = ln(𝑥) − 𝐶 
EJERCICIO N°3 
SOL. IMPLÍCITA 
A COMPROBAR 
EJERCICIO N°4 
SOLUCIÓN A 
COMPROBAR 
𝑦
𝑥
= 𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥) + 𝐶) 
𝑌 = 𝑋𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥) + 𝐶) 
Elevamos al cuadrado “Y”: 
𝑌2 = 𝑋2𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥) + 𝐶)2 
Obtenemos la primera derivada de “Y”: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥) + 𝐶) + cos (ln(𝑥) + 𝐶) 
Sustituimos en la ecuación original: 
√𝑿𝟐 − 𝒀𝟐 + 𝒀 = 𝑿
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 
√𝑋2 − (𝑋2𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥) + 𝐶)2) + (𝑋𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥) + 𝐶)) = 𝑋(𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥) + 𝐶) + cos (ln(𝑥) + 𝐶)) 
𝑋√𝑐𝑜𝑠(ln(𝑥) + 𝐶)2 + 𝑋𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥) + 𝐶) = 𝑋𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥) + 𝐶) + 𝑋𝑐𝑜𝑠(ln(𝑥) + 𝐶) 
𝐗𝐜𝐨 𝐬(𝐥𝐧(𝒙) + 𝑪) + 𝑿𝒔𝒆𝒏(𝐥𝐧(𝒙) + 𝑪) = 𝑿𝒔𝒆𝒏(𝐥𝐧(𝒙) + 𝑪) + 𝑿𝒄𝒐𝒔(𝐥𝐧(𝒙) + 𝑪)
→ 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 
𝐥𝐧(𝒙) = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 (
𝒚
𝒙
) + 𝑪 SÍ ES SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL. 
 
 
 
 
 
𝑌 = 2𝑋
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑌 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
 
𝑌2 = 𝐶1 (𝑋 +
𝐶1
4
) 
RESPUESTA 
Despejamos “Y”: 
𝒀 = √𝐶1𝑋 +
𝐶1
2
4
 
𝒀 = √𝟒
𝐶1𝑋 + 𝐶1
2
4
 
𝒀 =
√𝟒𝐶1𝑋 + 𝐶1
2
𝟐
 
Obtenemos la primera derivada de “Y”: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝐶1
√𝟒𝐶1𝑋 + 𝐶1
2
 
Elevamos “
𝑑𝑦
𝑑𝑥
” al cuadrado: 
(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
=
𝐶1
𝟒𝑋 + 𝐶1
 
EJERCICIO N°5 
SOLUCIÓN A 
COMPROBAR 
Sustituimos en la ecuación original: 
𝒀 = 𝟐𝑿
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒀(
𝒅𝒚
𝒅𝒙
)
𝟐
 
√𝟒𝑪𝟏𝑿 + 𝑪𝟏
𝟐
𝟐
≠ 𝟐𝑿
(
 
𝑪𝟏
√𝟒𝑪𝟏𝑿 + 𝑪𝟏
𝟐
)
 + 𝒀(
𝑪𝟏
𝟒𝑿 + 𝑪𝟏
)
𝟐
→ 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 
𝒀𝟐 = 𝑪𝟏 (𝑿 +
𝑪𝟏
𝟒
) NO ES SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL. 
 
 
 
 
𝑑2𝑦
𝑑𝑟2
+ 9𝑌 = 5cos (2𝑟) 
𝑌 = 2 cos(2𝑟) + cos(2𝑟) + 3𝑠𝑒𝑛(2𝑟) 
RESPUESTA 
Obtenemos la primer y segunda derivada de “Y”: 
𝑑𝑦
𝑑𝑟
= −6𝑠𝑒𝑛(2𝑟) + 6cos (2𝑟) 
𝑑2𝑦
𝑑𝑟2
= −12 cos(2𝑟) − 12𝑠𝑒𝑛(2𝑟) 
 
Sustituimos en la ecuación original: 
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒓𝟐
+ 𝟗𝒀 = 𝟓𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝒓) 
−12 cos(2𝑟) − 12𝑠𝑒𝑛(2𝑟) + 9(2 cos(2𝑟) + cos(2𝑟) + 3𝑠𝑒𝑛(2𝑟)) = 5cos (2𝑟) 
−12 cos(2𝑟) − 12𝑠𝑒𝑛(2𝑟) + 18 cos(2𝑟) + 9 cos(2𝑟) + 27sen (2𝑟) = 5cos (2𝑟) 
−12 cos(2𝑟) − 12𝑠𝑒𝑛(2𝑟) + 18 cos(2𝑟) + 9 cos(2𝑟) + 27sen (2𝑟) = 5cos (2𝑟) 
𝟏𝟓 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒓) + 𝟏𝟓𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒓) ≠ 𝟓𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝒓) → 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 
𝒀 = 𝟐𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒓) + 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒓) + 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒓) NO ES SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN 
DIFERENCIAL. 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN A 
COMPROBAR 
EJERCICIO N°6