Tarea 07_Bernoulli

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA 
MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO 
 
Tarea 07: Bernoulli 
20/03/2023 
 
 
Grupo: 3MV2 
 
 
Prof. De Paz Peña Miguel Ángel 
Resolver obteniendo la solución indicada y comprobar. 
 
 
 
 
 
𝑿𝒀′ + 𝒀 + 𝑿𝒀𝟐 = 𝟎 
RESPUESTA 
Comprobamos si la ecuación diferencial está en la forma de Bernoulli: 
(𝑋
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑌 = −𝑋𝑌2) (𝑋−1) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑌
𝑋
= −𝑌2 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ X−1Y = −Y2 
𝑃(𝑋) = 𝑋−1 
G(X) = −1 
𝑛 = 2 
(1 − 𝑛) = −1 
 
𝒁 = 𝒆− ∫(𝟏−𝒏)𝑷(𝑿)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫(𝟏−𝒏)𝑷(𝑿)𝒅𝒙 (1 − 𝑛)𝐺(𝑋)𝑑𝑥 + 𝐶] 
𝑒− ∫(1−𝑛)𝑃(𝑋)𝑑𝑥 → 𝑒− ∫(−𝑋
−1)𝑑𝑥 → 𝑒∫ 𝑋
−1𝑑𝑥 → 𝑒𝑙𝑛(𝑋) → 𝐗 
𝑒∫(1−𝑛)𝑃(𝑋)𝑑𝑥 → 𝑒∫(−𝑋
−1)𝑑𝑥 → 𝑒−𝑙𝑛(𝑋) → 𝑒𝑙𝑛(𝑋)
−1
→ 𝑒𝑙𝑛(𝑋)
−1
→ 𝑿−𝟏 
𝑺𝑼𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑶𝑺 𝑫𝑨𝑻𝑶𝑺 𝑬𝑵 Z 
𝒁 = 𝒆− ∫(𝟏−𝒏)𝑷(𝑿)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫(𝟏−𝒏)𝑷(𝑿)𝒅𝒙 (1 − 𝑛)𝐺(𝑋)𝑑𝑥 + 𝐶] 
𝑍 = 𝑋 [∫(𝑋−1)(−1)(−1)𝑑𝑥 + 𝐶] → 𝑍 = 𝑋 [∫(𝑋−1)𝑑𝑥 + 𝐶] → 𝑍 = 𝑋[𝑙𝑛(𝑋) + 𝐶] 
𝒁 = 𝑿𝒍𝒏(𝑿) + 𝑪𝑿 
𝑷𝒆𝒓𝒐 ∶ 𝒁 = 𝒀𝟏−𝒏 ∴ 𝒁 = 𝒀−𝟏 ∴ 𝒀 =
𝟏
𝒁
 
𝑳𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔: 
𝒀 =
𝟏
𝒁
 
𝑌 =
1
𝑋𝑙𝑛(𝑋) + 𝐶𝑋
 
𝒀 = (𝑿𝒍𝒏(𝑿) + 𝑪𝑿)−𝟏 → 𝐄𝐒𝐓𝐀 𝐄𝐒 𝐋𝐀 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 𝐆𝐄𝐍𝐄𝐑𝐀𝐋 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLVER “Y” 
DE LA EC. 
 
EJERCICIO N°1 
 
 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒀 + 𝒆𝟒𝑿𝒀𝟐 
RESPUESTA 
Comprobamos si la ecuación diferencial está en la forma de Bernoulli: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑌 = 𝑒4𝑋𝑌2 
𝑃(𝑋) = −1 
G(X) = 𝑒4𝑋 
𝑛 = 2 
(1 − 𝑛) = −1 
𝒁 = 𝒆− ∫(𝟏−𝒏)𝑷(𝑿)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫(𝟏−𝒏)𝑷(𝑿)𝒅𝒙 (1 − 𝑛)𝐺(𝑋)𝑑𝑥 + 𝐶] 
𝑒− ∫(1−𝑛)𝑃(𝑋)𝑑𝑥 → 𝑒− ∫ 1𝑑𝑥 → 𝑒− ∫ 𝑑𝑥 → 𝒆−𝑿 
𝑒∫(1−𝑛)𝑃(𝑋)𝑑𝑥 → 𝑒∫ 1𝑑𝑥 → 𝑒∫ 𝑑𝑥 → 𝒆𝑿 
𝑺𝑼𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑶𝑺 𝑫𝑨𝑻𝑶𝑺 𝑬𝑵 Z 
𝒁 = 𝒆− ∫(𝟏−𝒏)𝑷(𝑿)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫(𝟏−𝒏)𝑷(𝑿)𝒅𝒙 (1 − 𝑛)𝐺(𝑋)𝑑𝑥 + 𝐶] 
𝑍 = 𝑒−𝑋 [∫(𝑒𝑋)(−1)(𝑒4𝑋)𝑑𝑥 + 𝐶] → 𝑍 = 𝑒−𝑋 [− ∫(𝑒5𝑋)𝑑𝑥 + 𝐶] → 𝑍 = 𝑒−𝑋 [−
𝑒5𝑋
5
+ 𝐶] 
𝑍 = −
𝑒4𝑋
5
+ 𝐶𝑒−𝑋 
𝒁 = −
𝒆𝟒𝑿
𝟓
+ 𝑪𝒆−𝑿 
𝑷𝒆𝒓𝒐 ∶ 𝒁 = 𝒀𝟏−𝒏 ∴ 𝒁 = 𝒀−𝟏 ∴ 𝒀 =
𝟏
𝒁
 
𝑳𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔: 
𝒀 =
𝟏
𝒁
 
𝑌 =
1
−
𝑒4𝑋
5
+ 𝐶𝑒−𝑋
 
𝒀 = (−
𝟏
𝟓
𝒆𝟒𝑿 + 𝑪𝒆−𝑿)
−𝟏
→ 𝐄𝐒𝐓𝐀 𝐄𝐒 𝐋𝐀 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 𝐆𝐄𝐍𝐄𝐑𝐀𝐋 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLVER “Y” 
DE LA EC. 
EJERCICIO N°2 
 
 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝑿𝒀𝟒 + 𝒀 = 𝟎 
RESPUESTA 
Comprobamos si la ecuación diferencial está en la forma de Bernoulli: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑌 = 𝑋𝑌4 
𝑃(𝑋) = 1 
G(X) = 𝑋 
𝑛 = 4 
(1 − 𝑛) = −3 
𝒁 = 𝒆− ∫(𝟏−𝒏)𝑷(𝑿)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫(𝟏−𝒏)𝑷(𝑿)𝒅𝒙 (1 − 𝑛)𝐺(𝑋)𝑑𝑥 + 𝐶] 
𝑒− ∫(1−𝑛)𝑃(𝑋)𝑑𝑥 → 𝑒3 ∫ 𝑑𝑋 → 𝒆𝟑𝑿 
𝑒∫(1−𝑛)𝑃(𝑋)𝑑𝑥 → 𝑒−3 ∫ 𝑑𝑥 → 𝑒−3𝑋 → 𝒆−𝟑𝑿 
𝑺𝑼𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑶𝑺 𝑫𝑨𝑻𝑶𝑺 𝑬𝑵 Z 
𝒁 = 𝒆− ∫(𝟏−𝒏)𝑷(𝑿)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫(𝟏−𝒏)𝑷(𝑿)𝒅𝒙 (1 − 𝑛)𝐺(𝑋)𝑑𝑥 + 𝐶] 
𝑍 = 𝒆𝟑𝑿 [∫(𝑒−3𝑋)(−3)(𝑋)𝑑𝑥 + 𝐶] → 𝑍 = 𝑒3𝑋 [−3 ∫(𝑋𝑒−3𝑋)𝑑𝑥 + 𝐶] 
𝑍 = 𝑒3𝑋 [
𝑋
𝑒3𝑋
+
1
3𝑒3𝑋
+ 𝐶] → 𝑍 =
𝑋𝑒3𝑋
𝑒3𝑋
+
𝑒3𝑋
3𝑒3𝑋
+ 𝐶𝑒3𝑋 
𝑍 = 𝑋 +
1
3
+ 𝐶𝑒3𝑋 
𝒁 = 𝑿 +
𝟏
𝟑
+ 𝑪𝒆𝟑𝑿 
𝑷𝒆𝒓𝒐 ∶ 𝒁 = 𝒀𝟏−𝒏 ∴ 𝒁 = 𝒀−𝟑 ∴ 𝒀 =
𝟏
𝒁
𝟏
𝟑
 
𝑳𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔: 
𝒀 =
𝟏
𝒁
 
𝑌 =
1
(𝑋 +
1
3 + 𝐶𝑒
3𝑋)
1
3
 
𝒀 = (𝑋 +
1
3
+ 𝐶𝑒3𝑋)
−
𝟏
𝟑
→ 𝐄𝐒𝐓𝐀 𝐄𝐒 𝐋𝐀 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 𝐆𝐄𝐍𝐄𝐑𝐀𝐋 
EJERCICIO N°3 
RESOLVER “Y” 
DE LA EC.