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Tarea 05_Ecuaciones Exactas
Luis Alfredo Hernández Leyva
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO Tarea 05: Ecuaciones Exactas 06/03/2023 Grupo: 3MV2 Prof. De Paz Peña Miguel Ángel Resolver obteniendo la solución indicada y comprobar. 𝑿𝟒 − 𝑿𝟐 − 𝟑𝑿𝟐𝒀 = 𝑿𝟑𝒀′ RESPUESTA Comprobamos si la ecuación diferencial es exacta: 𝑋4 − 𝑋2 − 3𝑋2𝑌 − 𝑋3𝑌′ = 0 (𝑋4 − 𝑋2 − 3𝑋2𝑌 − 𝑋3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0) (dx) (𝑋4 − 𝑋2 − 3𝑋2𝑌)𝑑𝑥 − 𝑋3𝑑𝑦 = 0 M = 𝑋4 − 𝑋2 − 3𝑋2𝑌 𝑁 = −𝑋3 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 𝑺𝑰: 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕𝑁 𝜕𝑋 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕 𝜕𝑌 (𝑋4 − 𝑋2 − 3𝑋2𝑌) = −3𝑋2𝑌 𝜕𝑁 𝜕𝑋 = 𝜕 𝜕𝑋 (−𝑋3) = −3𝑋2 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨𝑳 𝑺Í 𝑬𝑺 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 Al ser exacta la solución de la Ecuación Diferencial es: ∫ 𝑀𝑑𝑥 + ∫ [𝑁 − 𝜕 𝜕𝑌 ∫ 𝑀𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑌=𝑐𝑡𝑒 Integral 1: ∫ 𝑀𝑑𝑥 𝑌=𝑐𝑡𝑒 ∫ (𝑋4 − 𝑋2 − 3𝑋2𝑌) 𝑌=𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑥 ∫ 𝑋4𝑑𝑥 − ∫ 𝑋2𝑑𝑥 − 3𝑌 ∫ 𝑋2𝑑𝑥 𝑋5 5 − 𝑋3 3 − 3𝑋3𝑌 3 𝑋5 5 − 𝑋3 3 − 𝑋3𝑌 Integral 2: ∫ [𝑁 − 𝜕 𝜕𝑌 ∫ 𝑀𝑑𝑥] 𝑑𝑦 ∫ [−𝑋3 − 𝜕 𝜕𝑌 ( 𝑋5 5 − 𝑋3 3 − 𝑋3𝑌)] 𝑑𝑦 ∫[−𝑋3 − (−𝑋3)] 𝑑𝑦 ∫[−𝑋3 + 𝑋3] 𝑑𝑦 ∫[0] 𝑑𝑦 = 0 Sustituimos en la formula de las Ecuaciones Exactas: ∫ 𝑀𝑑𝑥 + ∫ [𝑁 − 𝜕 𝜕𝑌 ∫ 𝑀𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑌=𝑐𝑡𝑒 RESOLVER “Y” DE LA EC. EJERCICIO N°1 𝑋5 5 − 𝑋3 3 − 𝑋3𝑌 + 0 = 𝐶 𝑿𝟓 𝟓 − 𝑿𝟑 𝟑 − 𝑿𝟑𝒀 = 𝑪 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 COMPROBACIÓN Derivamos implícitamente la Solución General: 𝑿𝟓 𝟓 − 𝑿𝟑 𝟑 − 𝑿𝟑𝒀 = 𝑪 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 5𝑋4 5 − 3𝑋2 3 − (𝑋3𝑌′ + 3𝑋2𝑌) = 0 𝑋4 − 𝑋2 − 𝑋3𝑌′ − 3𝑋2𝑌 = 0 𝑿𝟒 − 𝑿𝟐 − 𝟑𝑿𝟐𝒀 = 𝑿𝟑𝒀′ 𝑶𝑩𝑻𝑼𝑽𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó 𝑶𝑹𝑰𝑮𝑰𝑵𝑨𝑳 ∴ 𝑿𝟒 − 𝑿𝟐 − 𝟑𝑿𝟐𝒀 = 𝑿𝟑𝒀′ 𝑬𝑺 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵. (𝟐𝑿𝟐𝒀 + 𝟒)𝒅𝒚 + (𝟐𝑿𝒀𝟐 − 𝟑)𝒅𝒙 = 𝟎 RESPUESTA Comprobamos si la ecuación diferencial es exacta: M = 2𝑋𝑌2 − 3 𝑁 = 2𝑋2𝑌 + 4 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 𝑺𝑰: 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕𝑁 𝜕𝑋 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕 𝜕𝑌 (2𝑋𝑌2 − 3) = 4𝑋𝑌 𝜕𝑁 𝜕𝑋 = 𝜕 𝜕𝑋 (2𝑋2𝑌 + 4) = 4𝑋𝑌 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨𝑳 𝑺Í 𝑬𝑺 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 Al ser exacta la solución de la Ecuación Diferencial es: ∫ 𝑀𝑑𝑥 + ∫ [𝑁 − 𝜕 𝜕𝑌 ∫ 𝑀𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑌=𝑐𝑡𝑒 Integral 1: ∫ 𝑀𝑑𝑥 𝑌=𝑐𝑡𝑒 ∫ (2𝑋𝑌2 − 3) 𝑌=𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑥 2𝑌2 ∫ 𝑋𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑑𝑥 2𝑌2𝑋2 2 − 3𝑋 𝑿𝟐𝒀𝟐 − 𝟑𝑿 Integral 2: ∫ [𝑁 − 𝜕 𝜕𝑌 ∫ 𝑀𝑑𝑥] 𝑑𝑦 RESOLVER “Y” DE LA EC. EJERCICIO N°2 ∫ [2𝑋2𝑌 + 4 − 𝜕 𝜕𝑌 (𝑋2𝑌2 − 3𝑋)] 𝑑𝑦 ∫[2𝑋2𝑌 + 4 − (2𝑋2𝑌)] 𝑑𝑦 ∫[2𝑋2𝑌 + 4 − 2𝑋2𝑌] 𝑑𝑦 4 ∫ 𝑑𝑦 𝟒𝒀 Sustituimos en la formula de las Ecuaciones Exactas: ∫ 𝑀𝑑𝑥 + ∫ [𝑁 − 𝜕 𝜕𝑌 ∫ 𝑀𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑌=𝑐𝑡𝑒 𝑋2𝑌2 − 3𝑋 + 4𝑌 = 𝐶 𝑿𝟐𝒀𝟐 − 𝟑𝑿 + 𝟒𝒀 = 𝑪 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 COMPROBACIÓN Derivamos implícitamente la Solución General: 𝑿𝟐𝒀𝟐 − 𝟑𝑿 + 𝟒𝒀 = 𝑪 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 (2𝑋𝑌2 + 2𝑋2𝑌 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 3 + 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0) (𝑑𝑥) 2𝑋𝑌2𝑑𝑥 + 2𝑋2𝑌𝑑𝑦 − 3𝑑𝑥 + 4𝑑𝑦 = 0 (𝟐𝑿𝟐𝒀 + 𝟒)𝒅𝒚 + (𝟐𝑿𝒀𝟐 − 𝟑)𝒅𝒙 = 𝟎 𝑶𝑩𝑻𝑼𝑽𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑶𝑹𝑰𝑮𝑰𝑵𝑨𝑳 ∴ (𝟐𝑿𝟐𝒀 + 𝟒)𝒅𝒚 + (𝟐𝑿𝒀𝟐 − 𝟑)𝒅𝒙 = 𝟎 𝑬𝑺 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵. 𝟐𝑿𝒀𝒀′ = −(𝑿 + 𝒀𝟐) RESPUESTA Comprobamos si la ecuación diferencial es exacta: 2𝑋𝑌 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + (𝑋 + 𝑌2) = 0 (2𝑋𝑌 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + (𝑋 + 𝑌2) = 0) (𝑑𝑥) 2𝑋𝑌𝑑𝑦 + (𝑋 + 𝑌2)𝑑𝑥 = 0 M = 𝑋+𝑌2 𝑁 = 2𝑋𝑌 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 𝑺𝑰: 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕𝑁 𝜕𝑋 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕 𝜕𝑌 (𝑋+𝑌2) = 2𝑌 𝜕𝑁 𝜕𝑋 = 𝜕 𝜕𝑋 (2𝑋𝑌) = 2𝑌 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨𝑳 𝑺Í 𝑬𝑺 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 Al ser exacta la solución de la Ecuación Diferencial es: ∫ 𝑀𝑑𝑥 + ∫ [𝑁 − 𝜕 𝜕𝑌 ∫ 𝑀𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑌=𝑐𝑡𝑒 Integral 1: EJERCICIO N°3 RESOLVER “Y” DE LA EC. ∫ 𝑀𝑑𝑥 𝑌=𝑐𝑡𝑒 ∫ (𝑋 + 𝑌2) 𝑌=𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑥 ∫ 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌2 ∫ 𝑑𝑥 𝑋2 2 + 𝑋𝑌2 𝑿𝟐 𝟐 + 𝑿𝒀𝟐 Integral 2: ∫ [𝑁 − 𝜕 𝜕𝑌 ∫ 𝑀𝑑𝑥] 𝑑𝑦 ∫ [2𝑋𝑌 − 𝜕 𝜕𝑌 ( 𝑋2 2 + 𝑋𝑌2)] 𝑑𝑦 ∫[2𝑋𝑌 − (2𝑋𝑌)] 𝑑𝑦 ∫[2𝑋𝑌 − 2𝑋𝑌] 𝑑𝑦 ∫ 0𝑑𝑦 = 0 Sustituimos en la formula de las Ecuaciones Exactas: ∫ 𝑀𝑑𝑥 + ∫ [𝑁 − 𝜕 𝜕𝑌 ∫ 𝑀𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑌=𝑐𝑡𝑒 𝑋2 2 + 𝑋𝑌2 + 0 = 𝐶 𝑿𝟐 𝟐 + 𝑿𝒀𝟐 = 𝑪 𝑿𝟐 𝟐 + 𝑿𝒀𝟐 = 𝑪 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 COMPROBACIÓN Derivamos implícitamente la Solución General: 𝑿𝟐 𝟐 + 𝑿𝒀𝟐 = 𝑪 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 (𝑋 + 𝑌2 + 2𝑋𝑌 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0) 𝑋 + 𝑌2 + 2𝑋𝑌𝑌′ = 0 𝟐𝑿𝒀𝒀′ = −(𝑿 + 𝒀𝟐) 𝑶𝑩𝑻𝑼𝑽𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑶𝑹𝑰𝑮𝑰𝑵𝑨𝑳 ∴ 𝟐𝑿𝒀𝒀′ = −(𝑿 + 𝒀𝟐) 𝑬𝑺 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵.
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