Tarea 08_Lineales

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA 
MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO 
 
Tarea 08: Lineales 
27/03/2023 
 
 
Grupo: 3MV2 
 
 
Prof. De Paz Peña Miguel Ángel 
Resolver obteniendo la solución indicada y comprobar. 
 
 
 
 
 
𝑿
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒀 = 𝟓𝑿𝟑 
RESPUESTA 
Comprobamos si la ecuación diferencial está en la forma Lineal: 
(𝑋
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑌 = 5𝑋3) (𝑋−1) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑌
𝑋
= 5𝑋2 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ X−1Y = 5X2 
𝑃(𝑋) = 𝑋−1 
G(X) = 5X2 
𝑳𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒆𝒔: 
𝒀 = 𝒆− ∫ 𝑷(𝑿)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫ 𝑷(𝑿)𝒅𝒙 𝐺(𝑋)𝑑𝑥 + 𝐶] 
𝑒− ∫ 𝑃(𝑋)𝑑𝑥 → 𝑒− ∫ 𝑋
−1𝑑𝑥 → 𝑒−𝑙𝑛(𝑋) → 𝑒𝑙𝑛(𝑋)
−1
→ 𝐗−𝟏 
𝑒∫ 𝑃(𝑋)𝑑𝑥 → 𝑒∫ 𝑋
−1𝑑𝑥 → 𝑒𝑙𝑛(𝑋) → 𝑒ln (𝑋) → 𝑿 
𝑺𝑼𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑶𝑺 𝑫𝑨𝑻𝑶𝑺 𝑬𝑵 Y 
𝒀 = 𝒆− ∫ 𝑷(𝑿)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫ 𝑷(𝑿)𝒅𝒙 𝑮(𝑿)𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝑌 = 𝑋−1 [∫(𝑋)(5𝑋2)𝑑𝑥 + 𝐶] → 𝑌 = 𝑋−1 [∫ 5𝑋3𝑑𝑥 + 𝐶] → 𝑌 = 𝑋−1 [
5
4
𝑋4 + 𝐶] 
𝑌 =
5
4
𝑋3 + 𝐶𝑋−1 
𝒀 =
𝟓
𝟒
𝑿𝟑 + 𝑪𝑿−𝟏 → 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 
COMPROBACIÓN 
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 
𝒀 =
𝟓
𝟒
𝑿𝟑 + 𝑪𝑿−𝟏 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏𝟓
𝟒
𝑿𝟐 −
𝑪
𝑿𝟐
 
𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍: 
𝑿
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒀 = 𝟓𝑿𝟑 
𝑋 (
15
4
𝑋2 −
𝐶
𝑋2
) + (
5
4
𝑋3 +
𝐶
𝑋
) = 5𝑋3 
15
4
𝑋3 −
𝐶
𝑋
+
5
4
𝑋3 +
𝐶
𝑋
= 5𝑋3 
20
4
𝑋3 = 5𝑋3 
𝟓𝑿𝟑 = 𝟓𝑿𝟑 
𝑶𝑩𝑻𝑼𝑽𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑨 𝑰𝑮𝑼𝑨𝑳𝑫𝑨𝑫 ∴ 𝒀 =
𝟓
𝟒
𝑿𝟑 + 𝑪𝑿−𝟏 𝑬𝑺 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 
 
RESOLVER “Y” 
DE LA EC. 
 
EJERCICIO N°1 
 
 
 
(𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝑿)𝒀′ + 𝒀 = 𝟕(𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝑿) 
RESPUESTA 
Comprobamos si la ecuación diferencial está en la forma Lineal: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
7(100 + 2𝑋) − 𝑌
(100 + 2𝑋)
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
7(100 + 2𝑋)
(100 + 2𝑋)
−
Y
(100 + 2𝑋)
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
Y
(100 + 2𝑋)
= 7 
𝑃(𝑋) =
1
(100 + 2𝑋)
 
G(X) = 7 
𝑳𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒆𝒔: 
𝒀 = 𝒆− ∫ 𝑷(𝑿)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫ 𝑷(𝑿)𝒅𝒙 𝐺(𝑋)𝑑𝑥 + 𝐶] 
𝑒− ∫ 𝑃(𝑋)𝑑𝑥 → 𝑒
− ∫(
1
(100+2𝑋)
)𝑑𝑥
→ 𝑒−
1
2𝑙𝑛(100+2𝑋) → 𝑒𝑙𝑛(100+2𝑋)
−
1
2 → (𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝑿)−
𝟏
𝟐 
𝑒∫ 𝑃(𝑋)𝑑𝑥 → 𝑒
∫(
1
(100+2𝑋)
)𝑑𝑥
→ 𝑒
1
2𝑙𝑛(100+2𝑋) → 𝑒𝑙𝑛(100+2𝑋)
1
2 → (𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝑿)
𝟏
𝟐 
𝑺𝑼𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑶𝑺 𝑫𝑨𝑻𝑶𝑺 𝑬𝑵 Y 
𝒀 = 𝒆− ∫ 𝑷(𝑿)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫ 𝑷(𝑿)𝒅𝒙 𝑮(𝑿)𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝑌 = (100 + 2𝑋)−
1
2 [∫ ((100 + 2𝑋)
1
2) (7)𝑑𝑥 + 𝐶] 
𝑌 = (100 + 2𝑋)−
1
2 [7 ∫ ((100 + 2𝑋)
1
2) 𝑑𝑥 + 𝐶] 
𝑌 = (100 + 2𝑋)−
1
2 [
7
3
(100 + 2𝑋)
1
2(100 + 2𝑋) + 𝐶] 
𝑌 =
7
3
(100 + 2𝑋) + 𝐶(100 + 2𝑋)−
1
2 
𝒀 =
𝟕
𝟑
(𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝑿) + 𝑪(𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝑿)−
𝟏
𝟐 → 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 
COMPROBACIÓN 
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 
𝒀 =
𝟕
𝟑
(𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝑿) + 𝑪(𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝑿)−
𝟏
𝟐 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏𝟒
𝟑
−
𝑪
(100 + 2𝑋)
3
2
 
𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍: 
(𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝑿)𝒀′ + 𝒀 = 𝟕(𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝑿) 
(100 + 2𝑋) (
14
3
−
𝐶
(100 + 2𝑋)
3
2
) + (
7
3
(100 + 2𝑋) + 𝐶(100 + 2𝑋)−
1
2) = 7(100 + 2𝑋) 
7(100 + 2𝑋) = 7(100 + 2𝑋) 
𝟕𝟎𝟎 + 𝟏𝟒𝑿 = 𝟕𝟎𝟎 + 𝟏𝟒𝑿 
RESOLVER “Y” 
DE LA EC. 
EJERCICIO N°2 
𝑶𝑩𝑻𝑼𝑽𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑨 𝑰𝑮𝑼𝑨𝑳𝑫𝑨𝑫 ∴ 
𝒀 =
𝟕
𝟑
(𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝑿) + 𝑪(𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝑿)−
𝟏
𝟐 𝑬𝑺 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 
 
 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝑿𝒀 = 𝟓𝑿 
RESPUESTA 
Comprobamos si la ecuación diferencial está en la forma Lineal: 
𝑃(𝑋) = −𝑋 
G(X) = 5X 
𝑳𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒆𝒔: 
𝒀 = 𝒆− ∫ 𝑷(𝑿)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫ 𝑷(𝑿)𝒅𝒙 𝐺(𝑋)𝑑𝑥 + 𝐶] 
𝑒− ∫ 𝑃(𝑋)𝑑𝑥 → 𝑒− ∫ −𝑋𝑑𝑥 → 𝑒∫ 𝑋𝑑𝑥 → 𝐞
𝐗𝟐
𝟐 
𝑒∫ 𝑃(𝑋)𝑑𝑥 → 𝑒∫ −𝑋𝑑𝑥 → 𝑒∫ −𝑋𝑑𝑥 → 𝐞−
𝐗𝟐
𝟐 
𝑺𝑼𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑶𝑺 𝑫𝑨𝑻𝑶𝑺 𝑬𝑵 Y 
𝒀 = 𝒆− ∫ 𝑷(𝑿)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫ 𝑷(𝑿)𝒅𝒙 𝑮(𝑿)𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝑌 = e
X2
2 [∫ (e−
X2
2 ) (5𝑋)𝑑𝑥 + 𝐶] 
𝑌 = e
X2
2 [∫ (5𝑋e−
X2
2 ) 𝑑𝑥 + 𝐶] 
𝑌 = e
X2
2 [5 ∫ (𝑋e−
X2
2 ) 𝑑𝑥 + 𝐶] 
𝐼𝑁𝑇𝐸𝐺𝑅𝐴𝐿 1 
5 ∫ (𝑋e−
X2
2 ) 𝑑𝑥 
5 ∫ −1𝑑𝑡 
𝑡 = e−
X2
2 
5 ∫ −1𝑑𝑡 → 5(−𝑡) → −5𝑡 
𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒕 = 𝐞−
𝐗𝟐
𝟐 : 
−5𝐞−
𝐗𝟐
𝟐 
𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒀: 
𝑌 = e
X2
2 [−5e−
X2
2 + 𝐶] 
𝑌 = −5 + 𝐶e
X2
2 
𝑌 = 𝐶e
X2
2 − 5 
𝒀 = 𝑪𝐞
𝐗𝟐
𝟐 − 𝟓 → 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 
 
EJERCICIO N°3 
RESOLVER “Y” 
DE LA EC. 
 
COMPROBACIÓN 
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 
𝒀 = 𝑪𝐞
𝐗𝟐
𝟐 − 𝟓 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝑪𝑿𝐞
𝐗𝟐
𝟐 
𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝑿𝒀 = 𝟓𝑿 
𝐶𝑋e
X2
2 − 𝑋 (𝐶e
X2
2 − 5) = 5𝑋 
𝐶𝑋e
X2
2 − 𝐶𝑋e
X2
2 + 5𝑋 = 5𝑋 
𝟓𝑿 = 𝟓𝑿 
𝑶𝑩𝑻𝑼𝑽𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑨 𝑰𝑮𝑼𝑨𝑳𝑫𝑨𝑫 ∴ 
𝒀 = 𝑪𝐞
𝐗𝟐
𝟐 − 𝟓 𝑬𝑺 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵