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Tarea 06_Ecuaciones Exactas_Factor Integrante
Luis Alfredo Hernández Leyva
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO Tarea 06: Ecuaciones Exactas/Factor Integrante 10/03/2023 Grupo: 3MV2 Prof. De Paz Peña Miguel Ángel Resolver obteniendo la solución indicada y comprobar. 𝑿 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟒𝒀 = 𝑿𝟑 − 𝑿 RESPUESTA Comprobamos si la ecuación diferencial es exacta: (𝑋 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 4𝑌 = 𝑋3 − 𝑋) (𝑑𝑥) 𝑋𝑑𝑦 + 4𝑌𝑑𝑥 = 𝑋3𝑑𝑥 − 𝑋𝑑𝑥 𝑋𝑑𝑦 + 4𝑌𝑑𝑥 − 𝑋3𝑑𝑥 + 𝑋𝑑𝑥 = 0 (4𝑌 − 𝑋3 + 𝑋)𝑑𝑥 + 𝑋𝑑𝑦 = 0 M = 4𝑌 − 𝑋3 + 𝑋 𝑁 = −𝑋3 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 𝑺𝑰: 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕𝑁 𝜕𝑋 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕 𝜕𝑌 (4𝑌 − 𝑋3 + 𝑋) = 4 𝜕𝑁 𝜕𝑋 = 𝜕 𝜕𝑋 (𝑋) = 1 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨𝑳 𝑵𝑶 𝑬𝑺 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 Al no ser exacta obtenemos el factor integrante de la Ecuación Diferencial: 𝑀𝑥 = 𝑒∫ 𝜕𝑀 𝜕𝑌 − 𝜕𝑁 𝜕𝑋 𝑁 𝑑𝑥 𝑀𝑥 = 𝑒∫ 4−1 𝑋 𝑑𝑥 𝑀𝑥 = 𝑒∫ 3 𝑋𝑑𝑥 𝑀𝑥 = 𝑒ln(𝑋) 3 𝑀𝑥 = 𝑋3 Una vez que obtengamos el factor integrante procedemos a multiplicarlo por toda la Ecuación Diferencial: 𝑋3[(4𝑌 − 𝑋3 + 𝑋)𝑑𝑥 + 𝑋𝑑𝑦 = 0] (4𝑋3𝑌 − 𝑋6 + 𝑋4 )𝑑𝑥 + 𝑋4𝑑𝑦 = 0 M = 4𝑋3𝑌 − 𝑋6 + 𝑋4 𝑁 = 𝑋4 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 𝑺𝑰: 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕𝑁 𝜕𝑋 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕 𝜕𝑌 (4𝑋3𝑌 − 𝑋6 + 𝑋4) = 4𝑋3 𝜕𝑁 𝜕𝑋 = 𝜕 𝜕𝑋 (𝑋4) = 4𝑋3 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨𝑳 𝑺Í 𝑬𝑺 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 Al ser exacta la solución de la Ecuación Diferencial es: ∫ 𝑁𝑑𝑦 + ∫ [𝑀 − 𝜕 𝜕𝑋 ∫ 𝑁𝑑𝑦] 𝑑𝑥 = 𝐶 𝑋=𝑐𝑡𝑒 Integral 1: RESOLVER “Y” DE LA EC. EJERCICIO N°1 ∫ 𝑁𝑑𝑦 𝑋=𝑐𝑡𝑒 ∫ (𝑋4) 𝑌=𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑦 𝑋4 ∫ 𝑑𝑦 𝑿𝟒𝐘 Integral 2: ∫ [𝑀 − 𝜕 𝜕𝑋 ∫ 𝑁𝑑𝑦] 𝑑𝑥 ∫ [4𝑋3𝑌 − 𝑋6 + 𝑋4 − 𝜕 𝜕𝑌 (𝑋4)] 𝑑𝑥 ∫[4𝑋3𝑌 − 𝑋6 + 𝑋4 − 4𝑋3𝑌] 𝑑𝑥 ∫(𝑋4 − 𝑋6) 𝑑𝑥 ∫ 𝑋4𝑑𝑥 − ∫ 𝑋6𝑑𝑥 𝑿𝟓 𝟓 − 𝑿𝟕 𝟕 Sustituimos en la fórmula de las Ecuaciones Exactas: ∫ 𝑀𝑑𝑥 + ∫ [𝑁 − 𝜕 𝜕𝑌 ∫ 𝑀𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑌=𝑐𝑡𝑒 𝑋4Y + 𝑋5 5 − 𝑋7 7 = 𝐶 𝑿𝟒𝐘 − 𝑿𝟕 𝟕 + 𝑿𝟓 𝟓 = 𝑪 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 COMPROBACIÓN Derivamos implícitamente la Solución General: 𝑿𝟒𝐘 − 𝑿𝟕 𝟕 + 𝑿𝟓 𝟓 = 𝑪 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 𝑋4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 4YX3 − X6 + X4 = 0 (𝑋4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 4YX3 − X6 + X4 = 0) ( 1 𝑋3 ) 𝑋 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 4𝑌 − 𝑋3 + 𝑋 = 0 𝑿 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟒𝒀 = 𝑿𝟑 − 𝑿 𝑶𝑩𝑻𝑼𝑽𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó 𝑶𝑹𝑰𝑮𝑰𝑵𝑨𝑳 ∴ 𝑿𝟒𝐘 − 𝑿𝟕 𝟕 + 𝑿𝟓 𝟓 = 𝑪 𝑬𝑺 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵. 𝑿𝒀 + 𝑿 = −(𝟏 + 𝑿𝟐)𝒀′ RESPUESTA Comprobamos si la ecuación diferencial es exacta: RESOLVER “Y” DE LA EC. EJERCICIO N°2 (𝑋𝑌 + 𝑋 = −(1 + 𝑋2) 𝑑𝑦 𝑑𝑋 ) (𝑑𝑥) 𝑋𝑌𝑑𝑥 + 𝑋𝑑𝑥 = −(1 + 𝑋2)dy (𝑋𝑌 + 𝑋)𝑑𝑥 + (1 + 𝑋2)dy = 0 M = 𝑋𝑌 + 𝑋 𝑁 = 1 + 𝑋2 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 𝑺𝑰: 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕𝑁 𝜕𝑋 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕 𝜕𝑌 (𝑋𝑌 + 𝑋) = 𝑋 𝜕𝑁 𝜕𝑋 = 𝜕 𝜕𝑋 (1 + 𝑋2) = 2𝑋 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨𝑳 𝑵𝑶 𝑬𝑺 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 Al no ser exacta obtenemos el factor integrante de la Ecuación Diferencial: 𝑀𝑥 = 𝑒∫ 𝜕𝑀 𝜕𝑌 − 𝜕𝑁 𝜕𝑋 𝑁 𝑑𝑥 𝑀𝑥 = 𝑒 ∫ 𝑋−2𝑋 1+𝑋2 𝑑𝑥 𝑀𝑥 = 𝑒 ∫ −𝑋 1+𝑋2𝑑𝑥 𝑀𝑥 = 𝑒ln (1+𝑋 2) − 1 2 𝑀𝑥 = (1 + 𝑋2)− 1 2 Una vez que obtengamos el factor integrante procedemos a multiplicarlo por toda la Ecuación Diferencial: (1 + 𝑋2)− 1 2[(𝑋𝑌 + 𝑋)𝑑𝑥 + (1 + 𝑋2)dy = 0] (1 + 𝑋2)− 1 2(𝑋𝑌 + 𝑋)𝑑𝑥 + (1 + 𝑋2) 1 2dy = 0 M = (1 + 𝑋2)− 1 2(𝑋𝑌 + 𝑋) 𝑁 = (1 + 𝑋2) 1 2 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 𝑺𝑰: 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕𝑁 𝜕𝑋 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕 𝜕𝑌 (1 + 𝑋2)− 1 2(𝑋𝑌 + 𝑋) = 𝑋 (1 + 𝑋2) 1 2 𝜕𝑁 𝜕𝑋 = 𝜕 𝜕𝑋 ((1 + 𝑋2) 1 2) = 𝑋 (1 + 𝑋2) 1 2 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨𝑳 𝑺Í 𝑬𝑺 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 Al ser exacta la solución de la Ecuación Diferencial es: ∫ 𝑁𝑑𝑦 + ∫ [𝑀 − 𝜕 𝜕𝑋 ∫ 𝑁𝑑𝑦] 𝑑𝑥 = 𝐶 𝑋=𝑐𝑡𝑒 Integral 1: ∫ 𝑁𝑑𝑦 𝑋=𝑐𝑡𝑒 ∫ (1 + 𝑋2) 1 2 𝑌=𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑦 (1 + 𝑋2) 1 2 ∫ 𝑑𝑦 (𝟏 + 𝑿𝟐) 𝟏 𝟐𝒀 Integral 2: ∫ [𝑀 − 𝜕 𝜕𝑋 ∫ 𝑁𝑑𝑦] 𝑑𝑥 ∫ [(1 + 𝑋2)− 1 2(𝑋𝑌 + 𝑋) − 𝜕 𝜕𝑌 (1 + 𝑋2) 1 2𝑌] 𝑑𝑥 ∫ [(1 + 𝑋2)− 1 2(𝑋𝑌 + 𝑋) − 𝑋𝑌 (1 + 𝑋2) 1 2 ] 𝑑𝑥 ∫ 𝑋 (1 + 𝑋2) 1 2 𝑑𝑥 (𝟏 + 𝑿𝟐) 𝟏 𝟐 Sustituimos en la fórmula de las Ecuaciones Exactas: ∫ 𝑀𝑑𝑥 + ∫ [𝑁 − 𝜕 𝜕𝑌 ∫ 𝑀𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑌=𝑐𝑡𝑒 (1 + 𝑋2) 1 2𝑌 + (1 + 𝑋2) 1 2 = C 𝒀(𝟏 + 𝑿𝟐) 𝟏 𝟐 + (𝟏 + 𝑿𝟐) 𝟏 𝟐 = 𝐂 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 COMPROBACIÓN Derivamos implícitamente la Solución General: (𝟏 + 𝑿𝟐) 𝟏 𝟐𝒀 + (𝟏 + 𝑿𝟐) 𝟏 𝟐 = 𝐂 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 (1 + 𝑋2) 1 2 dy dx + YX (1 + 𝑋2) 1 2 + X (1 + 𝑋2) 1 2 = 0 YX (1 + 𝑋2) 1 2 + X (1 + 𝑋2) 1 2 = −(1 + 𝑋2) 1 2𝑌′ ( YX + X (1 + 𝑋2) 1 2 = −(1 + 𝑋2) 1 2𝑌′) ((1 + 𝑋2) 1 2) 𝒀𝑿 + 𝑿 = −(𝟏 + 𝑿𝟐)𝒀′ 𝑶𝑩𝑻𝑼𝑽𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó 𝑶𝑹𝑰𝑮𝑰𝑵𝑨𝑳 ∴ 𝒀(𝟏 + 𝑿𝟐) 𝟏 𝟐 + (𝟏 + 𝑿𝟐) 𝟏 𝟐 = 𝐂 𝑬𝑺 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵. 𝑿 + 𝒀𝟐 − 𝟐𝑿𝒀𝒀′ = 𝟎 RESPUESTA Comprobamos si la ecuación diferencial es exacta: (𝑋 + 𝑌2 − 2𝑋𝑌 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0) (𝑑𝑥) 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌2𝑑𝑥 − 2𝑋𝑌dy = 0 (𝑋 + 𝑌2)𝑑𝑥 − 2𝑋𝑌𝑑𝑦 = 0 M = 𝑋 + 𝑌2 𝑁 = −2𝑋𝑌 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 𝑺𝑰: 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕𝑁 𝜕𝑋 EJERCICIO N°3 RESOLVER “Y” DE LA EC. 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕 𝜕𝑌 (𝑋 + 𝑌2) = 2𝑌 𝜕𝑁 𝜕𝑋 = 𝜕 𝜕𝑋 (−2𝑋𝑌) = −2𝑌 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨𝑳 𝑵𝑶 𝑬𝑺 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 Al no ser exacta obtenemos el factor integrante de la Ecuación Diferencial: 𝑀𝑥 = 𝑒∫ 𝜕𝑀 𝜕𝑌 − 𝜕𝑁 𝜕𝑋 𝑁 𝑑𝑥 𝑀𝑥 = 𝑒∫ 2𝑌−(2𝑌) −2𝑋𝑌 𝑑𝑥 𝑀𝑥 = 𝑒∫ 4𝑌 −2𝑋𝑌𝑑𝑥 𝑀𝑥 = 𝑒−2 ∫ 𝑑𝑥 𝑋 𝑀𝑥 = 𝑒ln(𝑋) −2 𝑀𝑥 = 𝑋−2 Una vez que obtengamos el factor integrante procedemos a multiplicarlo por toda la Ecuación Diferencial: 𝑋−2[(𝑋 + 𝑌2)𝑑𝑥 − 2𝑋𝑌𝑑𝑦 = 0] (𝑋−1 + 𝑋−2𝑌2)𝑑𝑥 − (2𝑋−1𝑌)𝑑𝑦 = 0 M = (𝑋−1 + 𝑋−2𝑌2) 𝑁 = −(2𝑋−1𝑌) 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 𝑺𝑰: 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕𝑁 𝜕𝑋 𝜕𝑀 𝜕𝑌 = 𝜕 𝜕𝑌 (𝑋−1 + 𝑋−2𝑌2) = 2𝑋−2𝑌 𝜕𝑁 𝜕𝑋 = 𝜕 𝜕𝑋 (−(2𝑋−1𝑌)) = 2𝑋−2𝑌 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨𝑳 𝑺Í 𝑬𝑺 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 Al ser exacta la solución de la Ecuación Diferencial es: ∫ 𝑀𝑑𝑥 + ∫ [𝑁 − 𝜕 𝜕𝑌 ∫ 𝑀𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑌=𝑐𝑡𝑒 Integral 1: ∫ 𝑀𝑑𝑥 𝑌=𝑐𝑡𝑒 ∫ (𝑋−1 + 𝑋−2𝑌2)𝑑𝑥 𝑌=𝑐𝑡𝑒 ∫ 𝑋−1𝑑𝑥 + 𝑌2 ∫ 𝑋−2𝑑𝑥 𝒍𝒏(𝑿) − 𝑿−𝟏𝒀𝟐 Integral 2: ∫ [𝑁 − 𝜕 𝜕𝑌 ∫ 𝑀𝑑𝑥] 𝑑𝑦 ∫ [−(2𝑋−1𝑌) − 𝜕 𝜕𝑌 (ln(𝑋) − 𝑋−1𝑌2)] 𝑑𝑦 ∫[−(2𝑋−1𝑌) − (−2𝑋−1𝑌)] 𝑑𝑦 ∫(−2𝑋−1𝑌 + 2𝑋−1𝑌) 𝑑𝑦 ∫ 0𝑑𝑦 → 0 Sustituimos en la fórmula de las Ecuaciones Exactas: ∫ 𝑀𝑑𝑥 + ∫ [𝑁 − 𝜕 𝜕𝑌 ∫ 𝑀𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑌=𝑐𝑡𝑒 𝑙𝑛(𝑋) − 𝑋−1𝑌2 + 0 = C 𝑙𝑛(𝑋) − 𝑋−1𝑌2 = C 𝒍𝒏(𝑿) − 𝑿−𝟏𝒀𝟐 = 𝐂 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 COMPROBACIÓN Derivamos implícitamente la Solución General: 𝒍𝒏(𝑿) − 𝑿−𝟏𝒀𝟐 = 𝐂 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 1 𝑋 − (2𝑋−1𝑌 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − Y2X−2) = 0 ( 1 𝑋 − ( 2𝑌 𝑋 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − Y2 𝑋2 ) = 0) (𝑋2) 𝑋 − 2𝑋𝑌𝑌′ + 𝑌2 = 0 𝑋 + 𝑌2 − 2𝑋𝑌𝑌′ = 0 𝑿 + 𝒀𝟐 − 𝟐𝑿𝒀𝒀′ = 𝟎 𝑶𝑩𝑻𝑼𝑽𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó 𝑶𝑹𝑰𝑮𝑰𝑵𝑨𝑳 ∴ 𝒍𝒏(𝑿) − 𝑿−𝟏𝒀𝟐 = 𝐂 𝑬𝑺 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵.
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