2_Funciones

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Notas de clase - Cálculo I
2. Funciones
Sea I ⊆ R un sub-conjunto no vaćıo. Una función f de I a R es una regla de correspondencia que asocia
a cada punto x ∈ I un único valor f(x) ∈ R. Tal correspondencia se denota por
f : I ⊂ R→ R (ó f : x→ f(x)).
Decimos que I es el dominio de f , el cual se denota por I = dom(f). La imagen de f es un sub-conjunto de
R definido por
Im(f) = {f(x) : x ∈ dom(f)}.
El gráfico de una función f : I → R es un sub-conjunto de R2 definido por
Gf = {(x, y) ∈ R2 : y = f(x), x ∈ I} = {(x, f(x)) : x ∈ I}.
Ver el apéndice, p. 14 de esta nota, para la traslación y reflexión de un gráfico.
Sean f : dom(f) ⊂ R → R y g : dom(g) ⊂ R → R funciones. Diremos que f es igual a g si y sólo si
dom(f) = dom(g) y f(x) = g(x) para todo x ∈ dom(f) = dom(g).
Ejemplos:
1. Funciones polinómicas: son aquellas cuya expresión es un polinomio. Un polinomio con coeficientes
reales es una expresión algebraica de la forma p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn, donde los ai’s son números
reales y n ∈ N ∪ {0}. Si an 6= 0, decimos que n es el grado del polinomio. Luego, la asignación p : x→ p(x)
es una función polinómica de R = dom(p) a R.
2. La asignación f : x → x3, con x ∈ R, es una función de R = dom(f) a R, tal función se suele escribir
por f(x) = x3. Más aún, se puede ver que Im(f) = R.
3. Del lema 1 se sigue que la asignación f : x→
√
x es una función de [0,+∞) = dom(f) a R, tal función
se suele escribir por f(x) =
√
x. Más aún, Im(f) = [0,+∞).
4. La asignación f : R→ R definida por
f(x) =

x3 − 4x2 + x− 4
x− 4
si x 6= 4
1 si x = 4
,
es una función de R a R.
5. La función exponencial. Existe una función exp : R→ R con las siguientes propiedades
i. exp(a+ b) = exp(a) · exp(b), para todo a, b ∈ R.
ii. exp(0) = 1
iii. exp(1) = e, donde e es el número de Euler y e ∼ 2, 718281....
iv. exp(q) = eq, ∀ q ∈ Q (para la buena definición del número eq ver nota 1 Números reales, p. 3).
v. Im(exp) = (0,+∞).
vi. La función exp es estrictamente creciente, esto es: si a < b, entonces exp(a) < exp(b).
vii. La función exp es inyectiva, esto es: si a 6= b, entonces exp(a) 6= exp(b).
1
2
Si x ∈ R \Q, definimos el valor de ex por ex := exp(x). De esto y de iv se sigue que ex = exp(x), ∀x ∈ R.
Finalmente, tal función se conoce con el nombre de función exponencial. La siguiente figura da una idea del
gráfico de la exponencial.
Figura 1
Suma y producto de funciones
Sean f y g funciones a valores reales. Si dom(f) ∩ dom(g) 6= ∅, definimos la suma f + g por
(f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ dom(f) ∩ dom(g).
Por lo tanto dom(f + g) = dom(f) ∩ dom(g). De modo semejante se define f · g. Si dom(f) ∩ dom(g) 6= ∅,
definimos el producto f · g por
(f · g)(x) = f(x) · g(x), ∀x ∈ dom(f) ∩ dom(g) =: dom(f · g).
Si f no es la función idénticamente cero, ¿cuál es el dominio de la función 1/f? Ahora debeŕıa ser claro
como se define la función g/f para una f no idénticamente cero. Esto queda a cargo del lector.
Composición de funciones
Sean f y g funciones a valores reales. Si Im(g)∩dom(f) 6= ∅, entonces podemos definir una nueva función
f ◦ g llamada composición de g y f mediante dom(f ◦ g) := {x ∈ dom(g) : g(x) ∈ dom(f)} y
(f ◦ g)(x) = f(g(x)), ∀x ∈ dom(f ◦ g).
En particular, si Im(g) ⊆ dom(f), entonces tiene sentido hacer f ◦ g y dom(f ◦ g) = dom(g). En general
f ◦ g 6= g ◦ f .
Ejemplo: Sean f(x) =
√
x+ 3, con x ≥ −3 y g(x) = x2 − 4, con x ∈ R. Ya que Im(g) = [−4,+∞)
y dom(f) = [−3,+∞) tenemos que Im(g) ∩ dom(f) = [−3,+∞) 6= ∅, por lo tanto podemos realizar la
composición de g y f , un computo da que dom(f ◦ g) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) y
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) =
√
g(x) + 3 =
√
x2 − 4 + 3 =
√
x2 − 1, ∀x ∈ (−∞,−1] ∪ [1,+∞).
Ejercicio: Realizar g ◦ f especificando su dominio y el valor de g(f(x)).
Función inyectiva: Decimos que una función f : I → R es inyectiva en I si para cada par a 6= b en I
se cumple que f(a) 6= f(b), equivalentemente f es inyectiva si f(a) = f(b) implica que a = b. El concepto
de inyectividad admite la siguiente interpretación gráfica: una función f es inyectiva si y sólo si toda recta
paralela al eje X interseca al gráfico Gf a lo sumo en un solo punto del mismo.
3
Ejemplos:
1. La función f : R→ R definida por f(x) = x2, ∀x ∈ R, NO es inyectiva en su dominio! pues −1 6= 1 y
f(−1) = 1 = f(1). Verificar graficamente la no inyectividad de f en R.
2. La función h : [0,+∞) → R definida por h(x) = x2, ∀x ∈ [0,+∞) = dom(h), es inyectiva en su
dominio. Veamos esto: sean a, b ∈ [0,+∞) tales que h(a) = h(b), queremos mostrar que a = b. Para ello
suponemos primero que a y b son ambos positivos, luego
0 = h(a)− h(b) = a2 − b2 = (a− b)(a+ b),
de esto se sigue que (a− b) = 0, lo cual implica que a = b. Ahora si a = 0, se sigue que b2 = 0 por lo tanto
b = 0 (y viceversa). Hemos demostrado aśı que h(a) = h(b) implica que a = b. Luego h es inyectiva en su
dominio.
3. La función g : R → R definida por f(x) = x3, ∀x ∈ R, es inyectiva en R. Queda a cargo del lector
mostrar la inyectividad de la función g. Verificar graficamente la inyectividad de g en R.
4. La función exp : R→ (0,+∞) es inyectiva. Verificar graficamente la inyectividad de la exponencial.
Función sobreyectiva: Sea f : I → J ⊆ R un función de I a J , esto es: f(x) ∈ J , para todo x ∈ I.
Decimos que f es una función sobreyectiva sobre J si Im(f) = J .
Toda función es sobreyectiva sobre su imagen. Por lo tanto, la cuestión de determinar la sobreyectividad
de una función se reduce a calcular su imagen.
Ejemplos:
1. La función f(x) = x2, con x ∈ R = dom(f), es sobreyectiva sobre [0,+∞). En efecto, para cada y ≥ 0,
por el Lema 1, existe x ≥ 0 tal que x2 = y; ya que f(x) ≥ 0, para todo x ∈ R, se sigue que Im(f) = [0,+∞).
2. La función g(x) = x3, con x ∈ R = dom(f), es sobreyectiva sobre R. Queda a cargo del lector mostrar
que Im(g) = R !
3. La función exp : R→ R es sobreyectiva sobre el (0,+∞).
Si f : I → J es un función inyectiva en I y sobreyectiva sobre J , decimos que f es una función biyectiva
de I sobre J .
Función inversa
Una función f toma un valor x ∈ dom(f) y le asigna un valor y ∈ Im(f) (escribimos f(x) = y). En
ciertos casos podemos invertir f , esto es: si para cada y ∈ Im(f) podemos regresar sin ambigüedades para
encontrar la x de donde provino, entonces la correspondencia que toma y y le asigna el valor x resulta una
función, esta función se denota por f−1, donde
f−1 : Im(f)→ dom(f),
o sea, dom(f−1) = Im(f) y Im(f−1) = dom(f). Tal f−1 se llama función inversa de f .
Nota: La notación f−1 NO significa 1f .
Teorema de existencia de f−1. Una función f : dom(f) → Im(f) posee función inversa (o es
invertible) si y sólo si f es inyectiva en su dominio.
4
Si f es invertible con inversa f−1 entonces
(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = x, ∀x ∈ dom(f),
(f ◦ f−1)(y) = f(f−1(y)) = y, ∀ y ∈ Im(f).
En ciertos casos se puede encontrar una fórmula para f−1, para ello procedemos como sigue:
1. Resolvemos la ecuación y = f(x) despejando x en términos de y.
2. Utilizar f−1(y) para denotar la epresión resultante en y.
3. Reemplazar y por x para obtener la función x → f−1(x). Por lo tanto podemos graficar f y f−1 en
un mismo sistema coordenado.
4. Tener presente que dom(f−1) = Im(f) y Im(f−1) = dom(f).
Ejemplo: Sea f(x) =
√
x+ 3, para x ≥ −3. Ya que f es inyectiva en su dominio, el cual es [−3,+∞), se
sigue que f : dom(f)→ Im(f) es invertible. Un computo da que Im(f) = [0,+∞). Por lo tanto existe f−1,
con dom(f−1) = [0,+∞) y Im(f−1) = [−3,+∞). Para hallar una fórmula para f−1 resolvemos la ecuación
y =
√
x+ 3. Al despejar x resulta x = y2 − 3, luego f−1(x) = x2 − 3, x ∈ [0,+∞) = dom(f−1).
Gráfico de f−1
Sea f : dom(f)→ Im(f) una función invertible. Si conocemos el gráfico de f , entonces también conocemos
el gráfico de f−1. En efecto,
(a, b) ∈ Gf ⇔ (b, a) ∈ Gf−1 .
El par ordenado (b, a) es el reflejo de (a, b) respecto de la recta y = x (y viceversa) como se puede apreciar
en la siguiente figura
Figura 2
Esta manerade obtener el gráfico de f−1 a partir del gráfico de f se conoce como principio de reflexión.
5
En nuestro último ejemplo teńıamos que f(x) =
√
x+ 3 y f−1(x) = x2 − 3. El gráfico de f el cual
denotamos por G√x+3 es
Figura 3
Al aplicar el principio de reflexión a G√x+3, respecto de la recta y = x, obtenemos Gx2−3 como muestra
la siguiente figura.
Figura 4
6
Funciones logaŕıtmicas
Sabemos que la función exponencial exp es una función biyectiva de R sobre el (0,+∞), por lo tanto es
invertible. Luego existe
exp−1 : (0,+∞)→ R.
Tal función se suele denotar por ln(x) = exp−1(x) para todo x ∈ (0,+∞) y se denomina logaritmo natural.
Propiedades del logaritmo natural
1. (Para insistir) ln : (0,+∞)→ R es una biyección y es la inversa de la función exponencial exp : R→
(0,+∞). Por lo tanto ln(ex) = x para todo x ∈ R y eln(x) = x para todo x ∈ (0,+∞).
2. ln(1) = 0 y ln(e) = 1.
3. ln(ab) = ln(a) + ln(b) para todo a, b > 0; y ln(a/b) = ln(a)− ln(b) para todo a, b > 0.
4. ln es una función estrictamente creciente. Esto es: si 0 < a < b, entonces ln(a) < ln(b).
5. 0 ≤ ln(x) < x, ∀ x ≥ 1.
Ejercicio. Utilizar el principio de reflexión para esbozar el gráfico del logaritmo natural a partir del
gráfico de la exponencial.
Funciones exponenciales del tipo ax
Dado 0 < a 6= 1 tenemos definida una función exponencial con base a y exponente variable x ∈ R, la cual
se denota por ax. Tal función exponencial admite la siguiente representación
ax = ex ln(a), ∀x ∈ R.
Por lo tanto la función x → ax es una biyección de R sobre (0,+∞) y por tanto invertible. Su función
inversa se denota por loga : (0,+∞)→ R y se denomina logaritmo en base a (donde 0 < a 6= 1).
Ya que ax = ex ln(a) (donde 0 < a 6= 1), para todo x ∈ R, se sigue que
6. ln(ax) = x ln(a), ∀x ∈ R.
Utilizar esta última igualdad para mostrar que
loga(x) =
ln(x)
ln(a)
, ∀x ∈ (0,+∞).
Nota: Las funciones x → ax y x → loga(x) tienen propiedades análogas a las funciones exponencial
x→ ex y logaŕıtmica x→ ln(x) respectivamente (ver apéndice, p. 19-20).
Funciones hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas son funciones cuyas definiciones se basan en la función exponencial. Tales
funciones se definen por:
1. (Seno hiperbólico) senh(x) =
ex − e−x
2
, para ver su gráfico+prop. consultar las p. 22-23 del apéndice.
2. (Coseno hiperbólico) cosh(x) =
ex + e−x
2
, para ver su gráfico+prop. consultar las p. 22-23 del apéndice.
3. (Tangente hiperbólica) tgh(x) =
senh(x)
cosh(x)
.
7
Funciones trigonométricas
En esta sección vamos a ver como surgen las funciones trigonométricas seno y coseno a partir de considerar
un punto móvil sobre la circunferencia unidad centrada en el origen.
Sea S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} la circunferencia de radio 1 con centro en el (0, 0). En ella
distinguimos el punto (1, 0). Si partiendo de dicho punto en sentido antihorario, marcamos sobre S1 un arco
de longitud t ≥ 0, éste determina un punto p(t) ∈ S1 como muestra la siguiente figura.
Figura 5
El punto p(t) depende de nuestra elección de t ≥ 0. Entonces p es una función de t. Inicialmente
p : [0,+∞)→ S1 ⊂ R2.
El punto p(t) en R2 está determinado por sus coordenadas, esto es: p(t) = (x(t), y(t)) (t ≥ 0), cada una
de esas coordenadas es una función de t. Más aún, −1 ≤ x(t) ≤ 1 y −1 ≤ y(t) ≤ 1, para cada t ≥ 0.
Ya que la longitud de la circunferencia S1 es 2π, entonces para cada 0 ≤ t < 2π tenemos un punto
p(t) ∈ S1. Rećıprocamente, cada punto en S1 es p(t) para algún 0 ≤ t < 2π. Es claro que
p(0) = p(2π) = (1, 0),
y que si tomamos 2π ≤ t < 4π, volvemos a recorrer la circunferencia. Más aún, esto ocurre en cada intervalo
de la forma [2kπ, 2(k + 1)π), donde k ∈ N ∪ {0}. O sea
p(t) = p(t+ 2kπ), ∀ k ∈ N ∪ {0}, ∀ t ≥ 0.
Nuestra función p ha sido definida sobre el [0,+∞). Ahora la extenderemos a todo R. Nos falta definir p
en los t < 0. Para ello, definimos p(t) como el punto en S1 cuyo arco tiene longitud |t|, medido desde (1, 0)
en sentido horario sobre S1. Ver siguiente figura.
8
Figura 6
Por lo tanto tenemos definida una función p de R sobre la circunferencia unidad S1, esto es:
p : R→ S1.
Además
(1) p(t) = p(t+ 2kπ), ∀ k ∈ Z, ∀ t ∈ R.
Veamos algunos valores de p(t) para ciertos t’s. Un computo da
1. p(0) = p(2π) = (1, 0).
2. p(π/2) = (0, 1).
3. p(π) = p(−π) = (−1, 0).
4. p
(
3π
2
)
= p
(
−π2
)
= (0,−1).
5. p
(
π
4
)
=
(√
2
2 ,
√
2
2
)
, p
(
−π4
)
=
(√
2
2 ,−
√
2
2
)
.
Ejercicio: Graficar los puntos anteriores sobre la circunferencia unidad con sus correspondientes arcos.
Las funciones coordenadas x(t) e y(t) de p(t) (i.e: p(t) = (x(t), y(t))) son las llamadas funciones trigonométricas
coseno y seno respectivamente. Tales funciones se expresan por:
cos(t) := x(t), sen(t) := y(t), t ∈ R.
Por construcción es claro que −1 ≤ cos(t) ≤ 1 y −1 ≤ sen(t) ≤ 1 para todo t ∈ R.
9
Propiedades de las funciones coseno y seno
Siendo S1 = {(x, y) : x2 + y2 = 1} y ya que (cos(t), sen(t)) = p(t) ∈ S1, ∀t ∈ R, se sigue que
(2) [cos(t)]2 + [sen(t)]2 = 1, ∀ t ∈ R.
De la igualdad en (1), se sigue que el coseno y el seno son funciones periódicas (ver apéndice, p. 17), esto
es
(3) cos(t) = cos(t+ 2kπ), sen(t) = sen(t+ 2kπ), ∀ k ∈ Z, ∀ t ∈ R.
Para cada k ∈ Z fijo, 2kπ es un peŕıodo para el coseno y el seno. Para k = 1, y por construcción, obtenemos
que 2π es el peŕıodo fundamental del coseno y del seno. Esto es: 2π es el menor de los peŕıodos positivos.
Por la simetŕıa de S1 y la definición de la función p(t) tenemos que p(−t) es el reflejo de p(t) respecto del
eje X, o sea (x(−t), y(−t)) = p(−t) = (x(t),−y(t)). Por lo tanto
(4) cos(−t) = cos(t), sen(−t) = − sen(t), ∀ t ∈ R.
De (4) se sigue que el coseno es una función par y el seno una función impar (ver apéndice, p. 18).
Otras identidades útiles son:
(5) cos(t+ s) = cos(t) cos(s)− sen(t) sen(s), ∀ t, s ∈ R.
(6) sen(t+ s) = sen(t) cos(s) + sen(s) cos(t), ∀ t, s ∈ R.
En la siguiente figura se pueden apreciar los gráficos del coseno y el seno.
Figura 7
Asociadas a las funciones coseno y seno se definen otras cuatro funciones trigonométricas. A saber:
tangente, cotangente, secante y cosecante. Estas se definen por
tg(t) =
sen(t)
cos(t)
, t ∈ dom(tg),
donde dom(tg) = R \ {(2k + 1)π2 : k ∈ Z}.
cotg(t) =
cos(t)
sen(t)
, t ∈ dom(cotg),
donde dom(cotg) = R \ {kπ : k ∈ Z}.
10
sec(t) =
1
cos(t)
, t ∈ dom(sec) = dom(tg).
y
cosec(t) =
1
sen(t)
, t ∈ dom(cosec) = dom(cotg).
Funciones racionales
Una función racional es una función de la forma
p(x)
q(x)
, donde p y q son polinomios no nulos con grado(q) ≥
1, y dom(p/q) = {x ∈ R : q(x) 6= 0}. En esta nota prestaremos atención a funciones racionales del tipo
f(x) =
ax+ b
cx+ d
, x 6= −d
c
(con c 6= 0).
En el apéndice, p. 16-17, se estudia la gráfica de este tipo de funciones.
Restricción del dominio de una función
Dada una función f : I → R y un conjunto A ⊂ I, podemos considerar f como función de A a R. Si este
es el caso, decimos que el dominio de f fue restringido, para tal restricción escribimos
fA : A→ R,
donde fA(x) = f(x), para todo x ∈ A. También se puede prescindir del sub́ındice y seguir utilizando la f
para tal restricción pero especificando su nuevo dominio.
La utilidad de restringir el dominio de una función, por ejemplo, es la siguiente: dada una función
f : I → R bien puede ocurrir que f no sea inyectiva en I, sin embargo puede ocurrir que al restringirla a un
conjunto A ⊂ I ésta resulte inyectiva en A.
Ejercicio resuelto: Inyectividad y restricción del dominio.
Sea f(x) = −x2 + 9. Se pide:
1. Determinar si tal función es inyectiva.
2. En caso de no ser inyectiva tal función, hallar una restricción f̃ de f que sea inyectiva. Luego, calcular
f̃−1. Verificar que (f̃−1 ◦ f̃)(x) = x para x ∈ dom(f̃) y (f̃ ◦ f̃−1)(x) = x para x ∈ dom(f̃−1).
Para realizar este tipo de ejercicio hay que tener presente la definición de inyectividad (ver definición en
la p. 2), y el concepto de restricción del dominio.
Estudiemos la funciónf(x) = −x2 + 9. Primero calculamos su dominio de definición, es claro que
dom(f) = R. Luego f NO es inyectiva en R, pues −1 6= 1 y f(−1) = f(1).
Segundo paso, realizar el gráfico de la función f , o sea graficar el conjunto Gf . El concepto de inyectividad
admite la siguiente interpretación gráfica: una función f es inyectiva si y sólo si toda recta paralela al eje
X interseca al gráfico Gf a lo sumo en un solo punto del mismo. Una vez que realizan el gráfico se puede
apreciar que si consideramos la restricción f̃ : [0,+∞)→ R definida por
f̃(x) = −x2 + 9, x ∈ [0,+∞) = dom(f̃),
entonces f̃ es inyectiva en su dominio (el cual es [0,+∞)).
11
Importante: Restringir el dominio de una función f consiste en hallar un conjunto no vaćıo A ⊂ dom(f)
con cierta propiedad, en este caso que tal restricción sea inyectiva. La restricción f̃ : A → R esta definida
por f̃(x) = f(x) para todo x ∈ A, fuera del conjunto A la función f̃ no esta definida.
Al retomar nuestra función f̃ tenemos que su gráfico, Gf̃ , es
Figura 8
En la gráfica de f̃ se puede apreciar que si trazamos rectas paralelas al eje X éstas intersecan al Gf̃ a lo
sumo en un solo punto del mismo, por lo que f̃ es inyectiva. Veamos ahora anaĺıticamente que f̃ es inyectiva
en su dominio que es [0,+∞); tenemos que ver que si 0 ≤ a < b, entonces f̃(a) 6= f̃(b). Siendo
0 ≤ a < b
se sigue que
0 ≤ a2 < b2 ⇐⇒ −b2 < −a2
al sumar 9 a ambos lados de la desiguladad que se encuentra sobre la derecha obtenemos
f̃(b) = −b2 + 9 < −a2 + 9 = f̃(a),
lo cual muestra la inyectividad de f̃ en su dominio.
Ahora pasamos a hallar f̃−1. Sabemos que dom(f̃) = [0,+∞) y Im(f̃) = (−∞, 9], por lo tanto
f̃−1 : (−∞, 9]→ [0,+∞) (biyectivamente).
Para hallar dicha inversa hacemos y = −x2 + 9 y despejamos. Un computo da
x2 = 9− y,
al tomar ráız cuadrada resulta
|x| =
√
9− y,
ya que la imagen de f̃−1 debe ser [0,+∞) se sigue que f̃−1(y) =
√
9− y, para y ∈ (−∞, 9]. Finalmente
al cambiar la variable y por x obtenemos que f̃−1(x) =
√
9− x, para x ∈ (−∞, 9]. Queda como ejercicio
verificar que (f̃−1 ◦ f̃)(x) = x para x ∈ dom(f̃) y (f̃ ◦ f̃−1)(x) = x para x ∈ dom(f̃−1).
12
Nota: Otra restricción inyectiva para f(x) = −x2 + 9 es f̃ : (−∞, 0]→ (−∞, 9], realizar el Gf̃ y verificar
que en este caso f̃−1(x) = −
√
9− x, x ∈ (−∞, 9].
Ejemplo: La función seno NO es inyectiva en R debido a su periodicidad. Sin embargo, la función seno
cuando se restringe al intervalo [−π/2, π/2] ésta resulta inyectiva en [−π/2, π/2] y sobreyectiva sobre el
[−1, 1], escribimos
sen : [−π/2, π/2]→ [−1, 1],
entendiendo con esta notación que el seno fue restringida al intervalo [−π/2, π/2]. Tal restricción es invertible
y su inversa se bautiza con el nombre arco seno y se simboliza por
arcsen : [−1, 1]→ [−π/2, π/2].
Figura 9
Ejemplo: Supóngase que se tiene la siguiente función f : R → R definida por f(x) = 3 sen(x − 2), es
claro que f no es inyectiva en R. Ahora si queremos restringir su dominio de manera que tal restricción
resulte inyectiva, hacemos
−π
2
≤ x− 2 ≤ π
2
⇐⇒ 2− π
2
≤ x ≤ 2 + π
2
.
Luego f es inyectiva en
[
2− π2 , 2 +
π
2
]
cuando se restringe alĺı y es sobreyectiva sobre [−3, 3]. Final-
mente, para obtener la inversa de f̃ :
[
2− π2 , 2 +
π
2
]
→ [−3, 3], definida por f̃(x) = 3 sen(x − 2) para
x ∈
[
2− π2 , 2 +
π
2
]
hacemos
y = 3 sen(x− 2)
al despejar y al invertir el seno obtenemos que
x = 2 + arcsen(y/3).
Por lo tanto
f̃−1(y) = 2 + arcsen(y/3), ∀ y ∈ [−3, 3].
Finalmente al cambiar la variable y por x obtenemos que f̃−1(x) = 2 + arcsen(x/3), ∀x ∈ [−3, 3].
13
Otro problema que se puede presentar, por ejemplo, es el siguiente: sea f(x) = x2, x ∈ R, restringir el
dominio de f a un sub-conjunto A de tal manera que f : A→ [2, 9) sea sobreyectiva. De la siguiente figura
Figura 10
se aprecia que podemos escoger tres sub-conjuntos del dom(f). A saber:
f : [
√
2, 3)→ [2, 9), es inyectiva y sobreyectiva,
f : (−3,−
√
2]→ [2, 9), es inyectiva y sobreyectiva,
y
f : (−3,−
√
2] ∪ [
√
2, 3)→ [2, 9), es sobreyectiva pero no es inyectiva.
14
APÉNDICE
Gráfico de funciones: traslaciones y reflexiones.
Supóngase que se tiene una función f : [−1, 2]→ R cuyo gráfico se muestra en la siguiente figura. Si uno
quiere graficar la función |f | (nótese que dom(|f |) = dom(f)) a partir del gráfico de f lo que hay que hacer
es reflejar respecto del eje X la parte del gráfico de f que esta debajo del eje X, como muestra la siguiente
figura.
Figura 11
Ahora si uno quiere graficar la función |f | + 3 a partir del gráfico de |f | (nótese que dom(|f | + 3) =
dom(|f |) = dom(f)) lo que hay que hacer es traladar el gráfico de |f | de forma paralela al eje X sobre la
recta y = 3. Más precisamente, hay que ”apoyar” el eje X, junto con el gráfico de |f |, sobre la recta y = 3
haciendo coincidir el (0, 0) con el punto (0, 3), como se puede apreciar en la siguiente figura.
Figura 12
15
Ahora si uno quiere graficar, por ejemplo, la función h(x) = |f(x − 2)|, primero debemos determinar el
dominio de h.
x ∈ dom(h) ⇐⇒ x− 2 ∈ dom(f) ⇐⇒ x− 2 ∈ [−1, 2] ⇐⇒ −1 ≤ x− 2 ≤ 2 ⇐⇒ 1 ≤ x ≤ 4.
Esto muestra que dom(h) = [1, 4]. Luego para graficar la función h a partir del gráfico de |f | trasladamos
el eje Y , junto con el gráfico de |f |, sobre la recta x = 2 haciendo coincidir el (0, 0) con el punto (2, 0), y
acorde con el dominio de la función h. Ver siguiente figura.
Figura 13
Con estas ideas debeŕıan poder graficar las funciones de la práctica. A modo de ejemplo graficaremos la
función h(x) = ||x + 3| − 3|. Primero se grafica la función y = x + 3, luego graficamos |x + 3| a partir del
gráfico de x + 3, luego trasladamos el eje X junto con el gráfico de |x + 3| sobre la recta y = −3 en otro
plano coordenado. Ahora debeŕıa ser claro cuál es el gráfico de ||x+ 3| − 3|, ver siguiente figura.
Figura 14
16
Con respecto al gráfico de funciones, ahora vamos a mostrar como se gráfica una función racional del
tipo
f(x) =
ax+ b
cx+ d
, x 6= −d
c
(con c 6= 0).
Ilustraremos esto con tres ejemplos. El caso general se entenderá de los ejemplos dados.
Ejemplo 1: Supongamos que queremos graficar la función f(x) =
1
x− a
, con a > 0, donde a es una
constante fija (el caso a < 0 es similar), es claro que dom(f) = R \ {a}. Lo que hacemos es trasladar el eje
Y junto con el gráfico de la función 1x sobre la recta x = a y hacemos coincider el (0, 0) con el punto (a, 0)
para obtener el gráfico de f , ésto se puede apreciar en la siguiente figura.
Figura 15
Ejemplo 2: El gráfico de h(x) =
−1
x− a
, con a > 0, es el reflejo del gráfico obtenido en el ejemplo 1
respecto del eje X, ver siguiente figura.
Figura 16
Ejemplo 3: Supóngase ahora que se quiere graficar la función g(x) =
x+ 3
x− 2
. Primero calculamos su
dominio y después re-escribimos nuestra función de una forma más manejable para poder graficarla. Su
17
dominio claramente es dom(g) = R \ {2}. Manipulando algebraicamente obtenemos que
g(x) =
x+ 3
x− 2
=
x− 2 + 2 + 3
x− 2
=
(x− 2) + 5
x− 2
= 1 +
5
x− 2
, ∀ x 6= 2.
Claramente esta expresión es mas manejable que la original, luego graficamos la función
5
x− 2
y trasladamos
su gráfico a la recta y = 1. Por último las rectas x = 2 e y = 1 son rectas aśıntotas del gráfico de g. Ver
siguiente figura (el Gg no esta a escala, lo importante es que den la intersección con los ejes y obtengan
cualitativamente el gráfico).
Figura 17
Funciones periódicas. Una función f : dom(f)→ R se dice periódica si existe un número real positivo
T tal que dom(f)+T = dom(f) y f(x+T ) = f(x) para todo x ∈ dom(f). El menor T > 0 con tal propiedad,
si existe, se llama peŕıodo fundamental de f .
Nota: Sea T ∈ R fijo y sea A ⊂ R un sub-conjunto no vaćıo. Se define el conjunto A + T , la traslación
del conjunto A por T , por
A+ T = {a+ T : a ∈ A}.
Ejemplos: Las funciones seno y coseno son funciones periódicas con peŕıodo fundamental igual a 2π.
Cada función constante es periódica pero carece de peŕıodofundmental, pues cualquier T > 0 es un peŕıodo
de la misma.
Funciones crecientes y decrecientes
Un función f : I → R se dice creciente en I si para cada a < b en I se cumple que f(a) ≤ f(b).
Un función f : I → R se dice estrictamente creciente en I si para cada a < b en I se cumple que
f(a) < f(b).
Un función g : I → R se dice decreciente en I si para cada a < b en I se cumple que g(a) ≥ g(b).
Un función g : I → R se dice estrictamente decreciente en I si para cada a < b en I se cumple que
g(a) > g(b).
18
Funciones pares e impares
Una función f : (−a, a)→ R se dice par si f(x) = f(−x), para todo x ∈ (−a, a).
Una función g : (−a, a)→ R se dice impar si g(x) = −g(−x), para todo x ∈ (−a, a).
Preguntas: ¿Es la función f(x) = ex par o impar? RTA: dicha fucnión no es par ni impar. En efecto,
f(1) = e 6= e−1 = f(−1) luego f no es par. Ya que f(1) 6= −f(−1), f no es impar.
¿Es la función g(x) = e|x| + x2 par? Śı, pues se verifica que f(x) = f(−x) para todo x ∈ R.
La única función par e impar a la vez es la función nula! ¿Por qué?
Ejemplo: La función coseno es una función par en R y la función seno es una función impar en R.
Ejemplo: La función f(x) = |x| es una función par en R y la función g(x) = x3 es una función impar en
R.
Proposición. Cada función f : (−a, a)→ R puede ser expresada como
f(x) = fp(x) + fi(x), ∀x ∈ (−a, a),
donde fp es una función par y fi es una función impar.
Prueba: Las funciones
fp(x) =
f(x) + f(−x)
2
, y fi(x) =
f(x)− f(−x)
2
satisfacen la afirmación de la proposición.
Gráficos de funciones pares e impares
Si f : (−a, a)→ R es una función par, entonces es suficiente conocer su gráfico para 0 ≤ x < a ya que su
grafico para −a < x ≤ 0 se obtiene reflejando el grafico de f sobre 0 ≤ x < a respecto del eje Y .
Si f : (−a, a)→ R es una función impar, entonces es suficiente conocer su gráfico para 0 ≤ x < a ya que
su grafico para −a < x ≤ 0 se obtiene reflejando primero el grafico de f sobre 0 ≤ x < a respecto del eje Y
y luego éste último grafico respecto del eje X.
19
Funciones exponenciales y logaŕıtmicas generales
Dado 0 < a 6= 1, tenemos definida la función exponencial ax para todo x ∈ R, a saber: ax = ex ln(a). Tal
función satisface las siguientes propiedades:
1. dom(ax) = R y Im(ax) = (0,+∞)
2. ax · ay = ax+y, ax·y = (ax)y = (ay)x, (a · b)x = ax · bx para todo x, y ∈ R y todo b > 0.
3. Si 0 < a < 1, entonces ax es decreciente; esto es: si s < t entonces as > at.
4. Si 1 < a, entonces ax es creciente; esto es: si s < t entonces as < at.
5. Si 0 < a 6= 1, entonces la función ax es inyectiva en su dominio y sobreyectiva sobre su imagen. Por lo
tanto es una biyección de R sobre el (0,+∞).
6. De 5 se sigue que la función ax (0 < a 6= 1) es invertible, su inversa se denota por loga(x) y
loga : (0,+∞)→ R, aloga(x) = x, ∀x > 0, y loga(ax) = x, ∀x ∈ R.
En las siguientes figuras se pueden apreciar los gráficos de la función exponencial ax y (su inversa) el
logaritmo en base a. Tales gráficos dependen del valor de a.
Figura 18
20
Figura 19
Cuando a = e, la inversa de la función exponencial ex es el logaritmo natural el cual se denota por ln(x).
La siguientes identidades valen y pueden ser de utilidad para resolver otros ejercicios:
Ya que ax = ex ln(a) (donde 0 < a 6= 1), para todo x ∈ R, se sigue que
7. ln(ax) = x ln(a), ∀x ∈ R.
Utilizar esta última igualdad para mostrar que
8. loga(x) =
ln(x)
ln(a)
, ∀x ∈ (0,+∞).
9. loga(xy) = loga(x) + loga(y) para cada x, y > 0.
10. loga(x/y) = loga(x)− loga(y) para cada x, y > 0.
Ejemplo: Sea f : R→ R definida por f(x) = |2− 2−x|, y sea g : (−∞, 1) ∪ (1, 3]→ R definida por
g(x) =

x3 si x ≤ 0
x si 0 < x < 1
(x− 2)2 si 1 < x ≤ 3
,
Vamos a determinar si tales funciones son inyectivas en su dominio, y en caso de no serlo las restringiremos
de manera que dicha restricción resulte inyectiva y calcularemos su inversa.
¿Cómo sabemos si una función es inyectiva o no? Primero debemos tener presente la definición de función
inyectiva (ver p. 2). Si no se satisface la definición entonces la función no será inyectiva. En nuestros
21
ejemplos ni f ni g son inyectivas. Veamos esto. Para la función g esto es fácil, ya que g(0) = 03 = 0 =
(2 − 2)2 = g(2) y 0 6= 2 se sigue que g NO es inyectiva en su dominio. Para ver que f no es inyectiva
realizamos el gráfico de f . Verificar que el gráfico de f es el siguiente:
Figura 20
Verificar, utilizando las propiedades del logaritmo natural, que 2−2−x ≥ 0 si y sólo si x ≥ −1 y 2−2−x ≤ 0
si y sólo si x ≤ −1. Es claro que f(0) = 1 del gráfico de f es claro que existe x0 < −1 tal que f(x0) = 1.
Veamos que x0 = −
ln(3)
ln(2)
= − log2(3). Ya que 2− 2−x ≤ 0 para x ≤ −1 se sigue que
1 = f(x0) = |2− 2−x0 | = 2−x0 − 2
si y sólo si
2−x0 = 3
al aplicar logaritmo natural resulta
−x0 ln(2) = ln(3) ⇐⇒ x0 = −
ln(3)
ln(2)
= − log2(3).
Por lo tanto tenemos que f
(
− ln(3)ln(2)
)
= 1 = f(0) con − ln(3)ln(2) 6= 0, luego f NO es inyectiva en su dominio.
Del gráfico de f apreciamos, por ejemplo, que si restringimos a f sobre el (−∞,−1] o la restringimos
sobre el [−1,+∞) tal restricción resultará invertible. Uno puede elegir cualquiera de las dos opciones, no
son las únicas. Elegimos por ejemplo la restricción sobre el [−1,+∞) y definimos f̃ : [−1,+∞)→ [0, 2) por
f̃(x) = f(x), para cada x ∈ [−1,+∞). Luego
f̃(x) = 2− 2−x, ∀ x ∈ [−1,+∞) = dom(f̃).
Im(f) = [0, 2).
Siendo tal restricción inyectiva en [−1,+∞) y sobreyectiva sobre el [0.2), tenemos que existe f̃−1 y
f̃−1 : [0, 2)→ [−1,+∞). Utilizando las propiedades del logaritmo, verificar que
f̃−1(x) = − ln(2− x)
ln(2)
= − log2(2− x), ∀x ∈ [0, 2).
22
Ejercicio: Realizar el gráfico de f̃−1.
Volviendo a la función g, vimos que g no es inyectiva. Para ver donde podemos restringir a la función g
para que tal restricción sea invertible nos ayudamos con un gráfico. Verificar que el gráfico de g es
Figura 21
Del gráfico se puede apreciar que la restrcción g̃ : (−∞, 1) → (−∞, 1) definida por g̃(x) = g(x) para
x ∈ (−∞, 1) es invertible y su inversa se obtiene invirtiendo los trozos involucrados en la def. de g̃, en este
caso tenemos que
g̃(x) =
 x
3 si x ≤ 0
x si 0 < x < 1
,
y
g̃−1(x) =

3
√
x si x ≤ 0
x si 0 < x < 1
,
Ejercicio: Realizar el gráfico de g̃−1.
Funciones hiperbólicas
Uno puede construir nuevas funciones sumando o multiplicando funciones conocidas. Un ejemplo es la
función f : R → R definida por f(x) = ex + sen(x). Otros dos ejemplos son las funciones g, h : R → R
definidas por g(x) =
ex + e−x
2
y h(x) =
ex − e−x
2
. Las funciones g y h son interesantes pues satisfacen la
siguiente relación
[g(x)]2 − [h(x)]2 = 1, ∀x ∈ R.
Dicha relación es similar a la que satisfacen el seno y el coseno pero en éste caso con un −. Por tal motivo
tales funciones se bautizan con los nombres coseno hiperbólico y seno hiperbólico, a saber: cosh(x) :=
ex + e−x
2
y senh(x) :=
ex − e−x
2
. Para los gráficos de tales funciones ver la siguiente figura.
23
Figura 22
Ejercicios adicionales 2.
Funciones
(1) Dado un cuadrado. Expresar su área y la longitud de su diagonal en función de su peŕımetro.
(2) Dado un triángulo equilátero. Expresar su área como función de la longitud de uno de sus lados.
(3) Hallar el peŕımetro de una circunferencia en función de su área.
(4) Para 0 < t < π2 considerar el arco de longitud t sobre la circunferencia unidad que parte del punto
(1, 0) en sentido anti-horario. Determinar el área de la región comprendida entre dicho arco y el
segmento subtendido por éste en función de t.
(5) Determinar el dominio y la imagen de las siguientes funciones definidas por medio de las siguientes
formulas. Luego graficar.
(a) f(x) = ln(3− x), (b) f(x) = ax, con a > 1, (c) f(x) = ax, con 0 < a < 1,
(d) f(x) = loga(x), con a > 1, (e) f(x) = loga(x), con 0 < a < 1, (f) f(x) = e
2−x.
(6) Demostrar las siguientes formulas.
(a) cos2(x) =
1 + cos(2x)
2
.
(b) sen2(x) =
1− cos(2x)
2
.
(c)1 + tg2(x) = sec2(x).
(d) 1 + cotg2(x) = cosec2(x):
(7) Resolver las siguientes ecuaciones.
(a) senh(x) = 4.
(b) sen3(x)− 12 sen(x) = 0.
(8) Mostrar que | sen(x)|+ | cos(x)| ≥ 1, para todo x ∈ R.
(9) Por construcción sabemos que las funciones seno y coseno son funciones periódicas con peŕıodo
fundamental 2π. Mostrar que la función tangente es periódica. Calcular su peŕıodo fundamental.
(10) Mostrar que las siguientes funciones son periódicas. Calcular su peŕıodo fundamental.
(a) f(x) = | cos(x)|.
24
(b) g(x) = 2 + sen(2x+ 1).
(c) h(x) = tg(x2 − 1).
(d) F (x) = cos(x− 55).
(11) Mostrar que
(a) x→ cosh(x) es una función par y x→ senh(x) es una función impar.
(b) cosh(x) + senh(x) = ex, para todo x ∈ R.
(c) cosh2(x)− senh2(x) = 1, para todo x ∈ R.
(12) Graficar la siguiente función. Determinar el dominio e imagen de la misma.
f(x) =
 x −1 ≤ x ≤ 01 0 < x ≤ 12
(x− 12 )
2 + 2 12 < x < 2
.
(13) Graficar las siguientes funciones.
(a) f(x) = |x3 + x2 − 5x+ 3|.
(b) g(x) = sen(|x|). Es periódica dicha función?
(c) h(x) = 2− 2−x.
(d) s(x) = |2− 2−x|.
(e) q(x) = x−2x−3 .
(14) Realizar las composiciones f ◦g y g ◦f , cuando tenga sentido, para las siguientes funciones. Calcular
el dominio de las funciones resultantes.
(a) f(x) =
√
2− x2 y g(x) = ln(x).
(b) f(x) = −x3 y g(x) =
√
x.
(c) f(x) =
√
1− x, y g(x) = ex
(15) Verificar que las siguientes funciones son inyectivas en sus respectivos dominios. Hallar una fórmula
para cada una de las respectivas funciones inversas determinando sus respectivos dominios. Luego,
graficar tanto la función dada como su inversa en un mismo sistema de ejes coordenados.
(a) f(x) = ex−3 − 1.
(b) g(x) = −
√
x− 2.
(16) Restringir el dominio de las siguientes funciones de tal manera que resulten inyectivas. Hallar una
fórmula para la función inversa de cada una de tales restricciones. Luego para los incisos a) y c)
graficar la función y su inversa en un mismo sistema de ejes coordenados.
(a) f(x) = x2 + x− 1.
(b) g(x) = | ln(4− x2)|.
(c) h(x) = |2− 2−x|.
(17) Sea f(x) = sen(x) para x ∈ [−π2 ,
π
2 ]. Siendo f una función biyectiva de [−
π
2 ,
π
2 ] sobre el [−1, 1],
se sigue que existe f−1 : [−1, 1] → [−π2 ,
π
2 ], la cual denotamos por arcsen(x) = f
−1(x). Utilizar el
principio de reflexión para graficar dichas funciones en un mismo plano coordenado.
(18) Restringir el dominio de las funciones coseno y tangente de tal manera que resulten inyectivas
(considerar [0, π] y (−π/2, π/2)), luego graficar en un mismo plano coordenado tales funciones y
sus inversas, las cuales se conocen como arcocoseno y arcotangente respectivamente. Las mismas se
denotan por arcos(x) y arctg(x).
(19) Probar que sen(arcos(x)) =
√
1− x2 , cos(arctg(x)) = 1√
1 + x2
y sen(arctg(x)) =
x√
1 + x2
.