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E tátiEstática
1 Equilibrio1.Equilibrio
2.Centros de gravedad y g y
3.Momentos de inercia
Parte de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos
Parte de la física que estudia las relaciones existentes
entre las fuerzas que actúan en un cuerpo para que se
encuentre en equilibrioencuentre en equilibrio
Un punto está en equilibrio si la resultante de lasUn punto está en equilibrio si la resultante de las
fuerzas aplicadas es nula
0=ΣF
Un sólido/sistema está en equilibrio si 1) la resultante
de las fuerzas aplicadas es nula y 2) el momento
resultante de las fuerzas aplicadas es nuloresultante de las fuerzas aplicadas es nulo
0=ΣF 0=ΣM0=ΣF 0ΣM
00 1 =−=∑ FfF sx
∑ 0 0y nF F P= − =∑
P
0M∑ 0OM =∑
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
En el equilibrio la resultante Si la resultante de lasEn el equilibrio la resultante
de las fuerzas aplicadas es
nula
Si la resultante de las
fuerzas aplicadas es
conservativa, se puede
expresar por
0FΣ = F U= −∇∑0FΣ F U= ∇∑
En las posiciones de equilibrio la energía potencial debe ser
máxima o mínimamáxima o mínima
Si al separarse de la posición de equilibrio, el sistema
retorna a dicha posición, el equilibrio es estable
Si al separarse de la posición de equilibrio el sistema seSi al separarse de la posición de equilibrio, el sistema se
aleja cada vez más de dicha posición el equilibrio es
inestable
Si l d l i ió d ilib i l i t iSi al separarse de la posición de equilibrio el sistema sigue
estando en una posición de equilibrio análoga a la inicial el
equilibrio es indiferenteequilibrio es indiferente
Estable Inestable
Indiferente
Equilibrio estable → Energía potencial mínimaq g p
Equilibrio inestable → Energía potencial máxima
l b d f í lEquilibrio indiferente → Energía potencial constante
Estable Inestable IndiferenteEstable Inestable Indiferente
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
El centro de gravedad de un sistema de puntos materiales (o
ólid ) l t d l i l idun sólido) es el punto del espacio en el que se considera que
está aplicado el peso.
Es un punto único, independiente de la posición y orientaciónp p p y
del sólido
G
•G
GG
Cada partícula i del sistema, está situada en un punto de
d d ( ) i d f icoordenadas (xi, yi, zi) respecto a un sistema de referencia
cartesiano, y tiene un peso pi.
ZZ
mi(xi, yi, zi)
Pi
Y
zi
Y
xi
y
X
yi
El centro de gravedad de un sistema, es un punto del espacio en el
que se puede considerar que está aplicada la resultante de los
pesos de cada una de las partículas que constituyen el sistema.
Z Z
• Gp2 p3
p4
• G
X
Yp1
pn
X
Y
P
X X
Sistema 1 (n pesos) = Sistema 2 ( resultante de los n pesos)
El sistema constituido pon n n
∑pesos, se puede sustituir por el
peso resultante aplicado en el
centro de gravedad y la
1 1 1
1
...
...
i i
n n i
G n
n
i
m x
m x m xx
m m m
=+ += =
+ +
∑
∑centro de gravedad, y la
resultante y el momento
resultante es el mismo
1
i
i
m
=
∑
n
∑resultante es el mismo
El centro de gravedad G está
1 1 1
1
...
...
i i
n n i
G n
n
i
m y
m y m yy
m m m
=+ += =
+ +
∑
∑El centro de gravedad G está
situado en un punto de
coordenadas (xG, yG, zG) respecto
1
i
i
m
=
∑
n
m z∑G G Ga dicho sistema de referencia y
en él se aplica la resultante de
t d l P
1 1 1
1
...
...
i i
n n i
G n
n
m z
m z m zz
m m m
=+ += =
+ +
∑
∑todos los pesos P
1
i
i
m
=
∑
M
Z
1M
dm
1
G
L
x xdm
M
= ∫
L
L
1
Y
z
r 1
G
L
y ydm
M
= ∫
Y
x
L
1
X
y 1
G
L
z zdm
M
= ∫
L
Z
1
dA A
M 1
G
A
x xdm
M
= ∫∫
dA A A
1
∫z
Y
1
G
L
y ydm
M
= ∫
Y
x
1 d∫
X
y G
L
z zdm
M
= ∫
Z
1
M
1
Gx xdmM
= ∫∫∫
dV v
1
∫∫∫
z
r
1
G
v
y ydm
M
= ∫∫∫
Y
x 1 d∫∫∫
X
y G
v
z zdm
M
= ∫∫∫
El área generada cuando una curva plana y homogénea gira
en torno a un eje contenido en su plano, pero que no la
corta es igual a la longitud L de la curva por la longitud de la
circunferencia que describe el centro de gravedad al girarcircunferencia que describe el centro de gravedad al girar
A BL
yG Xω
A BL
yG XX X
La curva AB, de longitud L, al gira en torno a X describe una 
circunferencia de radio yG: A= 2πyG·L
El volumen generado cuando una superficie plana y
h é i j id lhomogénea gira en torno a un eje contenido en su plano, pero
que no la corta es igual al área de la superficie por la longitud
de la circunferencia que describe el centro de gravedad al girarde la circunferencia que describe el centro de gravedad al girar
y ω
yGyG ω
X
La superficie, de área A, al gira en torno a X describe una 
circunferencia de radio yG: V= 2πyG·A
v rω=i iv rω=
2 2 2 2 21 1 1n n nE m v m r m rω ω= = =∑ ∑ ∑
1 1 12 2 2
C i i i i i i
i i i
E m v m r m rω ω
= = =
= = =∑ ∑ ∑
∑
n
rmI 2
21
2C eje
E I ω=
∑
=
=
i
iieje rmI
1
2 2 2 2( )
n n
I m r m x y z= = + +∑ ∑
1 1
( )O i i i i i i
i i
I m r m x y z
= =
= = + +∑ ∑
n
Z
2
1
n
YOX i i
i
I m z
=
= ∑ mi(xi, yi, zi)
2
n
I m x=∑ ri
1
YOZ i i
i
I m x
=
= ∑ zi
Y
i
2
n
XOZ i iI m y=∑ xi
Y
1i= yi
X
El momento de inercia respecto a un punto es la suma deEl momento de inercia respecto a un punto es la suma de
los momentos de inercia respecto a tres planos
perpendiculares entre sí que se corten en dicho punto
O XOY XOZ YOZI I I I= + +O XOY XOZ YOZ
El momento de inercia respecto a un punto es la semisuma
de los momentos de inercia respecto a tres ejesde los momentos de inercia respecto a tres ejes
perpendiculares entre sí que se corten en dicho punto
1 ( )
2O OX OY OZ
I I I I= + +
2
El momento de inercia respecto a un punto es la suma delp p
momento de inercia respecto a un eje y el momento de
inercia respecto a un plan perpendicular a él que se corten en
dicho punto
I I I I I I I= + = + = +O OZ XOY OY XOZ OX YOZI I I I I I I= + = + = +
El momento de inercia respecto a un eje es la suma de losEl momento de inercia respecto a un eje es la suma de los
momentos de inercia respecto a los dos planos
perpendiculares entre sí que se corten en dicho ejeperpendiculares entre sí que se corten en dicho eje
OX XOY XOZI I I= + OY XOY YOZI I I= + OZ XOZ YOZI I I= +OX XOY XOZ OY XOY YOZ OZ XOZ YOZ
Si la figura está en el plano YOZ Z
0YOZI =
Y
OX XOY XOZI I I= +
YOZ
X
Y
OY XOYI I=
O YOZ OX OXI I I I= + =
X
OZ XOZI I= O XOY OZ
I I I= +
1 ( )O OX OY OZ OY OZI I I I I I= + + = +
O XOZ OYI I I= +
( )
2O OX OY OZ OY OZ
En una figura plana, el momento de inercia respecto a ung p , p
punto es la suma de los momentos de inercia respecto a dos
ejes perpendiculares entre sí, contenidos en el plano, que se
t di h tcortan en dicho punto
En una figura plana el momento de inercia respecto a unEn una figura plana, el momento de inercia respecto a un
punto es igual al momento de inercia respecto a un eje
perpendicular a la figura, que pase por dicho puntoperpendicular a la figura, que pase por dicho punto
En una figura plana, el momento de inercia respecto a un eje
contenido en el plano, es igual al momento de inercia respecto
a un plano perpendicular a él que le corte en dicho ejea un plano perpendicular a él que le corte en dicho eje
Respecto a las rectas OX, OY
Y
mi
nn
XY i i iP m x y=∑
yi
X
1i=
xi
Z
2
1O GI I Md= +
G
d1
Y
O
X
El momento de inercia respecto a un punto O es la suma del momento de
inercia respecto al centro de gravedad G y de la masa total del sistema porp g y p
el cuadrado de la distancia que separa los puntos G y O
Z d2Z
G
2I I Md 22OZ GZI I Md= +
Y
O
X El momento de inercia respecto a un eje cualquiera (OZ) es la suma del
momento de inercia respecto a un eje paralelo que pase por el centro de
gravedad G (Eje CZ) y la masa total del sistema por el cuadrado de lagravedad G (Eje CZ) y la masa total del sistema por el cuadrado de la
distancia que separa los dos ejes
Z
G 2
3XOY XGYI I Md= +
G
Y
Od3
X
Y
El momento de inercia respecto a un plano cualquiera (XOY) es la suma del
momento de inercia respecto a un plano paralelo que pase por el centro de
d d G (Pl XGY) l t t l d li t l d d d lgravedad G (Plano XGY) y la masa total del sistema por el cuadrado de la
distancia que separa los dos planos
El momento de inercia respecto a un punto, eje o plano es
igual al momento de inercia respecto a un punto eje oigual al momento de inercia respecto a un punto, eje o
plano paralelo al anterior y que pase por el centro de
gravedad, mas la masa total del sistema por el cuadrado de
la distancia que separa ambos puntos, ejes o planos