Mecánica Cuántica Prob 4 - Williams Bonifacio

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TAREA MECÁNICA CUÁNTICA 3
∴
F (ϕ0(p)) = ϕ0(x)
�
4: Aplique repetidamente el operador creación en el espacio de configuraciones al es-
tado base del oscilador armonico para encontrar la función de onda en los estados
excitados ϕn=1(x) =< x | 1 >, ϕn=2(x) =< x | 2 > y ϕn=3(x) =< x | 3 >.
Solución
El operador creacion esta dado como
↠=
√
mω
2~ x̂−
ı̇√
2mω~
p̂ =
√
mω
2~ x̂−
√
~
2mω
∂
∂x sabemos que
ϕ1(x) =< x | 1 >=< x | ↠| 0 >= ↠< x | 0 >= â†ϕ0(x)
de modo que
ϕ1(x) =
(√
mω
2~
x̂−
√
~
2mω
∂
∂x
)(mω
π~
) 1
4
e
−mωx2
2~
=
(mω
π~
) 1
4
[√
mω
2~
x−
√
~
2mω
(−mω
~
)x
]
e
−mωx2
2~
=
√
2mω
~
(mω
π~
) 1
4
xe
−mωx2
2~
Ahora para ϕn=2(x)
ϕ2(x) = â
†ϕ1(x) =
(√
mω
2~
x̂−
√
~
2mω
∂
∂x
)√
2mω
~
(mω
π~
) 1
4
xe
−mωx2
2~
=
√
2mω
~
(mω
π~
) 1
4
√mω
2~
x2 −
√
~
2mω
(
1− mω
~
) e−mωx22~
=
√
2mω
~
(mω
π~
) 1
4
√mω
2~
x2 +
√
mω
2~
x2 −
√
~
2mω
 e−mωx22~
=
(
2mω
~
)(mω
π~
) 1
4
[
x2 − ~
2mω
]
e
−mωx2
2~
4 EQUIPO 1
para ϕn=3(x)
ϕ3(x) = â
†ϕ2(x) =
(√
mω
2~
x̂−
√
~
2mω
∂
∂x
)(
2mω
~
)(mω
π~
) 1
4
[
x2 − ~
2mω
]
e
−mωx2
2~
=
(
2mω
~
)(mω
π~
) 1
4
[[√
mω
2~
x3 − 1
2
√
~
2mω
x
]
−
√
~
2mω
[
2x+
−mω
~
x
(
x2 − ~
2mω
)]]
e
−mωx2
2~
=
(
2mω
~
)(mω
π~
) 1
4
[[√
mω
2~
x3 − 1
2
√
~
2mω
x
]
−
√
~
2mω
[
2x− mω
~
x3 +
x
2
]]
e
−mωx2
2~
=
(
2mω
~
)(mω
π~
) 1
4
[[√
mω
2~
+
√
mω
2~
]
x3 −
[
1
2
√
~
2mω
+
5
2
√
~
2mω
]
x
]
e
−mωx2
2~
=
(
2mω
~
)(mω
π~
) 1
4
[√
2mω
~
x3 − 3
√
~
2mω
x
]
e
−mωx2
2~
=
(
2mω
~
) 3
2 (mω
π~
) 1
4
[
x3 − 3 ~
2mω
x
]
e
−mωx2
2~