CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-37 - Eduardo González

Vista previa del material en texto

CUADERNO DE E.IERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
LIMITES Y CONTINUIDAD 
11.37 Investigar la continuidad de la función 
1 + sen x si 3 --1t ~x~O 
f (X)= 2 
2-(x-1) 2 si 0 < X ~ 3 
SOLUCIÓN: 
El dominio de la función es D 1 = [ - ~ " , 3 J 
En [ - ~ " , O J la función es continua por ser la suma de dos funciones 
continuas. En ( O , 3 ] la función es continua por ser polinómica. Hay duda en 
X¡= 0 
f ( O ) = 1 + sen O = 1 , lím f ( x ) = lím ( 1 + sen O ) = 1 , 
- -x~O x~O 
lím f ( x ) = lím [ 2 - ( x - 1 ) 2 ] = 1 como lím f ( x ) = lím f ( x ) = 1 , 
x~o+ x~o+ x~o- x~o+ 
existe lím f ( x) = 1 y /ím f ( x) = f ( O) , así que la función es continua en 
x~O x~O 
x 1 = O y por lo tanto es continua en todo su dominio D 1 = [ - ~ 1t , 3 J 
GRÁFICA 4 
99 
CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFI!RENCIAL 
LIMITES Y CONTINUIDAD 
11.38 Calcular el valor de "a " para que la función sea continua. 
f(x)={x 
x 2 -4 x + 6 
si x ~ a 
si x > a 
SOLUCIÓN: 
f ( a ) = a ; lím _ f ( x ) = lím _ ( a ) = a , lím f ( x ) = lím ( x 2 - 4 x + 6 ) = 
x~a x~a x~a+ x~a+ 
lím f ( x ) = a 2 - 4 a + 6 ; lím f ( x ) = lím f ( x ) => a = a 2 - 4 a + 6 , 
x~a+ x~a- x~a+ 
a 2 - 5 a + 6 = O , (a- 2 ) (a- 3) = O, a 1 = 2 , a 2 = 3 . 
Hay dos valores de "a" que hacen continua a la función en IR , que son 
a 1 =2, a 2 =3 
Gráficas 5 y 6 
y 
' 
5 
4 
3 
2 
1 
X X 
1 2 3 4 
a=3 
100 
CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
LIMITES Y CONTINUIDAD 
11.39 Determinar el valor de k y el de C para que la función dada sea 
continua. 
4 
k-- X si x:s; o 
3 
f ( x) = ex - 2 si 0< X S 2 
3 
si X > 2 
2 
SOLUCIÓN: 
Las reglas de correspondencia son polinómicas, luego corresponden a una 
función continua, solamente hay que aplicar las condiciones de continuidad en 
x 0 =0 yx 1 =2 
En x 0 =o 
lím f (X)= k ; lím f (X)= C ( 0) = -2 
x~o- x~o+ 
Como debe tenerse lím f ( x) = lím f ( x) para que exista 
x~o- x~o+ 
lím f ( x ) , entonces k =-2 , así que lím f ( x ) = f ( O ) = -2 
x~O x~O 
En x 1 = 2 
f (2) =e (2) -2 = 2 ce -1); /ím f ( X ) = 2 ( e - 1 ) ; fím f ( X ) = 1_ 
x~2- x~2+ 2 
Ahora, lím f ( x ) = lím f ( x ) => 
x~2 x~2 + 
3 7 e - 1 = - luego e = - con 4 • 4 • 
el cual lím f ( x ) = f ( 2 ) = 1_ . La función continua en IR queda: 
x~2 4 
f ( x) 
4 
-2-- X 
7 
4 
3 
2 
3 
x-2 
101 
si X S o 
si o < X S 2 
si X > 2