CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-36 - Eduardo González

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CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
LiMITES Y CONTINUIDAD 
11.34 Estudiar la continuidad de la función y trazar su gráfica: 
si -2 ::::;; X < 1 
f (X) 
si 1 ::::;; X ::::;; 2 
SOLUCIÓN: 
La función es continua en el intervalo [ -2, 1 ) y en el intervalo [ 1, 2 ] por 
ser entera. Hay duda en x 1 = 1 
f ( 1 ) = 1 2 + 2 = 3 lím _ f ( x ) = lím _ ( 4 - x 2 ) = 4 - 1 = 3 , 
x~1 x~1 
lím f ( x ) = 1 + 2 = 3 como lím _ f ( x ) = lím f ( x ) = 3 existe 
x~1 + x~1 x~1 + 
/ím f ( x ) = 3 y se tiene /ím f ( x ) = f ( 1 ) , así que la función es 
x~i x~i 
continua en x 1 = 1 y por lo tanto es continua en todo su dominio 
D 1 =[-2, 2]. 
GRÁFICA 1 
y 
·1 
96 
11.35 Dada la función: 
f( x) = 
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L(MITES Y CONTINUIDAD 
x 2 + 2 x + 2 Sl -3 ~ X < 0 
2 - 4 X 
si o < X ~ 4 
x-2 
Investigar su continuidad en el intervalo [ -3 , 4 ] y trazar su gráfica. 
SOLUCIÓN: 
La función es entera en el intervalo [ -3 , o ) , luego es continua en él. 
En el intervalo ( o , 4 ] la función es racional y f ( 2 ) no existe, entonces es 
continua en (o, 2) u ( 2, 4 ] . 
Como f ( O ) y f ( 2 ) no existen, la función no es continua en x 1 = O y 
X 2 =2 
GRÁFICA 2 
y 
-.4~--~-3----.~2-----~1----0P----1~--~2~--~3----~4--~x 
11.36 Investigar la continuidad de la función. Trazar su gráfica: 
x2 + 1 si -3 ::;; X < o 
f(x)= 1 si o < X < 1[ 
X 
si sen- 1[ ~ X < 3x 
2 
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LIMITES Y CONTINUIDAD 
SOLUCIÓN: 
La función es continua en [ - 3 , O ) por ser entera. 
La función es continua en [ O, 1t ) por ser constante. 
La función es continua en ( 1t , 37t ) por ser seno. 
Hay duda en x 1 = O y x 2 = 1t 
Continuidad en x 1 = O 
/(0)=1; lím f ( x ) = lím ( x 2 + 1 ) = 1 , 
x--+0- x--+0-
lím f ( x ) = lím ( 1 ) = 1 , 
x--+0+ x--+0+ 
luego existe lím f ( x ) = 1 y lím f ( x ) = f ( O ) , así que la función es 
x--+0 x--+0 
continua en x 1 = O 
Continuidad en x 2 = 11: 
1t f ( 1t ) = sen "2 = 1 ; lím f ( x ) = lím ( 1 ) = 1 ; lím f ( x) = lím sen ~ = 1 
X~1t- X~1t+ X~1t+ 2 X~1t 
entonces, como lím _ f ( x ) = lím f ( x ) , existe /ím f ( x ) = 1 y 
X~1t X~1t+ X~1t 
lím f ( x ) = f ( 11: ) = 1 por lo cual la función es continua en x 2 = 1t se 
X~1t 
concluye que la función es continua en todo su dominio D 1 = [ - 3 , 3 11:) 
GRÁFICA 3 
y 
-3 -2 2 " 4 
·1 
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