Clase 18 y 19- Tipos de discontinuidad

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CÁLCULO II: CLASE N°18 y 19 
PROFESORA: GIMENEZ SABINA 
 
Tipos de discontinuidad 
Las discontinuidades se clasifican en: 
a) Evitables: en este caso no se cumple la condición 1) de la definición de continuidad, es decir, existe 
el límite finito L de f(x) en x = c pero f(x) no está definida en x = c. la función puede modificarse 
adoptando como f(c) el valor L correspondiente, convirtiéndose así en en una función continua en x = 
c. 
También se considera evitable la discontinuidad en la que no se cumple la condición a) de la definición 
de continuidad, es decir, existen f(c) y pero no coinciden. En este caso puede salvarse la 
discontinuidad tomando como valor de la función el resultado del límite. 
Ejemplo 1:vemos la gráfica 1 de continuidad de una función en un punto: 
 Aquí el pero x = 5 no pertenece al dominio de f(x). 
Se trata de una discontinuidad evitable en x = 5. 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2: :vemos la gráfica 2 de continuidad de una función en un punto: 
 Aquí el pero no coincide con la imagen . Por lo 
tanto es una discontinuidad evitable. 
 
 
 
 
 
 
b) Discontinuidad de salto: existen los límites laterales pero son distintos. 
Ejemplo: vemos gráfica ejemplo 3 de continuidad de una función en un punto: 
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 El , como los límites laterales son 
distintos es una discontinuidad de salto. 
 
 
 
 
c) Discontinuidad infinita: al menos uno de los límites laterales no existe. 
Ejemplo: vemos gráfica 4) de discontinuidad de una función en un punto: 
 El , en este caso 
ninguno de los límites laterales existe, por lo tanto la función 
presenta una discontinuidad infinita en x = 5. 
 
 
 
 
 
Ejemplos de discontinuidad: 
1) Dada la función {
 
 
 
, indique sus respectivos puntos de 
discontinuidad, si existen, y clasifíquelos. 
-Los posibles puntos de discontinuidad: x = -2 y x = 3 ya que en los demás puntos g(x) es continua por ser 
funciones polinómicas. 
Por lo tanto, 
 en x = -2: 
 
 
 
 
 
Los límites laterales existen pero son distintos por lo tanto no existe el , es decir, presenta una 
discontinuidad de salto en x = -2. 
 En x = 3: 
 
 
 
 
 
Los límites laterales son iguales y existen, por lo tanto el 
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Ahora, , lo que indica que la función es continua en x = 3 
Este análisis puede visualizase gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
2) Grafique la función {
 
 
 
 y analice su continuidad en x = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los límites laterales son iguales, por lo tanto el , pero , lo que indica 
que la función tiene una discontinuidad evitable en x = 2. 
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 Se puede volver a definir la función para que resulte continua en x = 2. Para eso se le asigna como 
imagen de 2 el resultado del límite, es decir: 
 {
 
 
 
 
La gráfica de la función redefinida es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
3) Analice la continuidad de la función 
 
 
 
Primeramente debemos analizar el dominio de f(x), el cual es: 
 { } { } ya que x = 2 anula el 
denominador 
 
 
 
 
 
 
 lo cual determina una indeterminación, por lo tanto la función en x = 2 no está 
definida. 
 
 
 
 
 
 
 
El límite existe y es 4, pero como en x = 2 la función no está definida, la función presenta una 
discontinuidad evitable. 
Es posible redefinirla para que resulte continua. Asignamos a x = 2 el valor del límite, por lo tanto: 
 {
 
 
 
 
 
 
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Función continua en un intervalo 
 Continuidad de una función en un intervalo abierto: 
Una función es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es continua en cada 
punto de ese conjunto. 
Decimos que f(x) es continua en (a; b) sí y solo sí f(x) es continua . 
 
Ejemplo: 
Analice la continuidad de 
 
 
 en el intervalo . 
Analizando el dominio de la función dada tenemos: { } ya que anulan al denominador 
O lo que es lo mismo { } 
Como no pertenece al intervalo , la función es continua en dicho intervalo. 
 
Ejemplo: 
Analice la continuidad de 
 
 
 en el intervalo . 
 { } , por lo tanto son posibles puntos de discontinuidad 
Analizamos la función en dichos puntos: 
 En : 
1. La función no está definida en este punto, 
 
 
. 
2. Calculamos los límites laterales: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces como h(1) no está definida pero existe el límite de h(x) cuando x⟶1, la función presenta una 
discontinuidad evitable en x = 1. 
 En : 
1. La función no está definida en x = -1, 
 
 
 
2. Calculamos los límites laterales: 
 
 
 
 
 
 
 
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Como no existen los límites laterales para , la función presenta una discontinuidad infinita en 
 
 
Por lo expuesto, la función es continua en: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad: 
Determine el intervalo más grande ( o unión de intervalos) en el que cada función es continua: 
1) 
2) 
 
 
 
3) 
4) {