Problemario_Calculo-26 - Eduardo Gonzalez Garcia

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2.- Determina cuales son las asíntotas verticales de la siguiente función. 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 𝑥 − 1
3𝑥2 + 1
 
 
Solución. Vamos a evaluar el siguiente límite 
 
lim
𝑛→∞
𝑥2 + 𝑥 − 1
3𝑥2 + 1
 
 
Este límite se puede reescribir así 
 
lim
𝑥→∞
𝑥2 + 𝑥 − 1
3𝑥2 + 1
= lim
𝑥→∞
1 +
1
𝑥 −
1
𝑥2
3 +
1
𝑥2
 
 
Y ahora utilizamos el Teorema para calcular el límite de la suma producto y 
cociente de funciones, para obtener la siguiente igualdad 
 
 
=
lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥 −
1
𝑥2
)
lim
𝑥→∞
(3 +
1
𝑥2
)
=
lim
𝑥→∞
{1} + lim
𝑥→∞
{
1
𝑥
} − lim
𝑥→∞
{
1
𝑥2
}
lim
𝑥→∞
{3} + lim
𝑥→∞
{
1
𝑥2
}
=
1 + 0 − 0
3 + 0
=
1
3
 
 
Similarmente, es posible verificar que lim
𝑥→−∞
𝑥2+𝑥−1
3𝑥2+1
=
1
3
 Por lo tanto, concluimos que 
la recta 𝑦 =
1
3
 es asíntota vertical de la función 𝑓(𝑥). 
 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 𝑥 − 1
3𝑥2 + 1
 
 
 
 
 
 
 
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3.- Determina cuales son las asíntotas verticales de la siguiente función. 
 
𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1 − 𝑥 
 
Solución. Vamos a evaluar el siguiente límite 
 
lim
𝑥→∞
√𝑥2 + 1− 𝑥 
 
Si racionalizamos a la expresión √𝑥2 + 1 − 𝑥. Nos queda 
 
 
lim
𝑥→∞
{√𝑥2 + 1 − 𝑥} = lim
𝑥→∞
{(√𝑥2 + 1 − 𝑥) (
√𝑥2 + 1 + 𝑥
√𝑥2 + 1 + 𝑥
)} 
 
= lim
𝑥→∞
{
1
√𝑥2 + 1 + 𝑥
} = 0 
 
Por lo tanto, la recta 𝑦 = 0 es asíntota vertical de la función 𝑓(𝑥). 
 
 
 
 
 
4.- Determina cuales son las asíntotas verticales de la siguiente función. 
 
𝑓(𝑥) =
6
1 + 𝑒−𝑥
 
 
Solución. Primero vamos a evaluar el siguiente límite 
 
lim
𝑥→∞
6
1 + 𝑒−𝑥
 
 
Para 𝑥 > 0, lim
𝑥→∞
𝑒−𝑥 = 0. Por lo tanto, 
 
lim
𝑥→∞
6
1 + 𝑒−𝑥
=
lim
𝑥→∞
6
lim
𝑥→∞
(1 + 𝑒−𝑥)
=
6
1
= 6 
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Por lo tanto, la recta 𝑦 = 6 es asíntota vertical de la función 𝑓(𝑥). 
 
Por otra parte, para 𝑥 < 0, lim
𝑥→−∞
𝑒−𝑥 = ∞. Entonces, 
 
lim
𝑥→−∞
6
1 + 𝑒−𝑥
=
lim
𝑥→∞
6
lim
𝑥→∞
(1 + 𝑒−𝑥)
=
6
1 + lim
𝑥→∞
(𝑒−𝑥)
= 0 
 
Por lo tanto, la recta 𝑦 = 0 es asíntota vertical de la función 𝑓(𝑥).