CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-54 - EDUARDO GONZALEZ GARCIA

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CUADERNO DE I!.JERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL 
LA DERIVADA 
111.29 Si un faro "F" está en una pequeña isla a 2 k m de la costa que es recta. El 
haz luminoso del faro gira a una velocidad constante de 6 grados por 
segundo. ¿Con qué rapidez va desplazándose el rayo de luz a lo largo de la 
costa en un punto que se encuentra a 3 k m del punto "P" más cercano al 
faro? 
SOLUCIÓN: 
La velocidad angular del rayo de luz es: 
Se pide 
dx 
dt 
cuando x 1 =3km 
de 
dt 
De la figura: 
X 
tan e= 2 luego X= 2 tan e 
Derivando respecto al tiempo "t" 
~ ~ = 2 se e 2 e ~ ~ ...................................... ( 1 ) 
61t 1t rad 
= =---
180 30 seg 
Cuando X 1 = 3 ' tan e = _l_ por lo cual: sec 2 e = tan 2 e + 1 = ..2_ + 1 = 13 
2 ' 4 4 
sustituyendo valores ( 1 ), queda 
~;Jx ~zC:)(3~)~~:J: ~:] =t:; k; 
\ X¡ 
En forma aproximada d x ] ~ O. 68068 k m_ 
dt S 
X¡ 
F 2km p 
X 
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CUADERNO DI! I!JI!RCICIOS DE CÁLCULO DIFI!RI!NCIAL 
LA DERIVADA 
111.30 Empleando diferenciales, obtener un valor aproximado de ~6 
SOLUCIÓN: 
Sea y = IX = f ( x ) 
Si X 1 = 144 ' y 1 = -Jl44 = 12 
X 2 = 146 , y 2 = .[146 = y 1 + ¿\y ~ y 1 + d Y 
A X = X 2 - X 1 = 146 - 144 = 2 ' A X = d X = 2 
Se requiere obtener d y 
, dx 2 1 
dy=f (x)dx =--- = =- =0.0833 
2 IX 2 02) 12 
.[146 ~ 12 + 0.0833 ' .[146 ~ 12.0833 
111.31 Por medio de diferenciales, calcular un valor aproximado de sen 31 o 30' 
SOLUCIÓN: 
Sea y = senx 
x 1 = 30° , entonces, y 1 =sen 30° = 0.5 
si, x 2 = 31 o 30' , y 2 = sen 31 o 30' = y 1 + ti y ~ y 1 + d y 
L\x = 31° 30'- 30° = 1° 30' 
En radianes !ix = 1.5 
1
;
0 
~ 1.5 (O. 01745) = 0.02618 = d x 
d y= cosx d x = cos30° ( 0.02618) = -r; ( 0.02618) ~ 0.02267 
sen 31 o 30' ~ 0.2267 + 0.5 
sen 31 o 30' ~ 0.52267 
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CUADERNO DI! E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFI!RENCIAL 
LA DERIVADA 
111.32 Se trata de pintar exteriormente un tanque elevado esférico de 2.00 m de radio 
con una capa de pintura de 0.0005 m de espesor en fresco. Empleando 
diferenciales, calcular un valor aproximado de la cantidad de litros de pintura, 
necesarios. 
SOLUCIÓN: 
4 3 
V= -1tr 
3 
L\r = 0.000 5m , se requiere calcular dv ~ ~ v para 
r 1 = 2. 00 m y ~ r = d r = O. 000 5 m 
4 2 2 
dv =- 1t 3r dr = 4xr dr 
3 
d v = 4x ( 2 ) 2 ( O. 0005 ) = O. 02513 m 3 
dv = 25.13 litros 
111.33 Dada la función y = x 2 - 3x + 1 calcular L\y y d y 
a) Para cualquier valor de x y L\x 
b) para XI = 2 y L\x = 0.1 
e) para XI = 2 y L\x = 0.01 
d) para XI = 2 y L\x = 0.001 
SOLUCIÓN: 
a) y+~y = (x+~x) 2 -3(x+~x)+1 
2 2 2 
~y=x +2xAx+(Ax) -3x-3Ax+1-x +3x+l= 
~y = 2xAx + ( Ax) 2 - 3Ax = 
Ay= (2x-3)~x+(Ax) 2 
d y = j' (X) d X, d y= ( 2x- 3) d X= ( 2x- 3) ~X 
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