Unidad 4 - SEL

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UNIDAD N° 4: Sistemas de ecuaciones lineales 
 
El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones es uno de los temas 
más importantes del Álgebra Lineal. 
 
Observemos la siguiente imagen y pensemos cómo deducir lo que se pregunta. 
 
Muchas situaciones, fenómenos, procesos, pueden 
analizarse mediante ecuaciones. Es tan importante 
saber resolver sistemas de ecuaciones como 
aprender a plantearlos a través de la observación, 
y muchas veces simplificando o despreciando ciertas 
variables mientras no afecten a nuestro objetivo de 
análisis. Es así como muchos problemas en 
ingeniería se pueden reducir a sistemas de 
ecuaciones lineales, y mediante el análisis de los 
mismos se estudian diversas posibilidades o 
alternativas que permiten diseñar o calcular 
soluciones. 
 
 
Antes de leer lo que sigue, se recomienda intentar descubrir cuál es la altura de la mesa. 
 
 Si bien (y por suerte) no hay una sola forma de resolver este acertijo, podemos decir que 
a partir de lo que observamos se pueden plantear ecuaciones que surgen de la imagen. Por 
ejemplo, si llamamos G, M y T a las alturas de gato, mesa y tortuga respectivamente, podemos 
escribir: 
 
𝑴 + 𝑮 − 𝑻 = 𝟏𝟕𝟎
𝑴 − 𝑮 + 𝑻 = 𝟏𝟑𝟎
 
 
Luego, de forma metódica, encontramos cuánto vale M. 
 
 
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
 
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales usamos matrices asociadas. A esas 
matrices les aplicamos operaciones elementales por filas, obteniendo matrices equivalentes. 
Cuando llegamos a la matriz reducida podemos decir que tenemos un sistema resolvente, es 
decir que se comporta igual que el sistema original en cuanto a su solución. 
 
 
 
 
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Es decir que el procedimiento a seguir para resolver un sistema de ecuaciones lineales 
consiste en transformar su matriz asociada, mediante operaciones de filas en la matriz del 
sistema resolvente: 
 
1. A partir del sistema original, escribir su matriz asociada 
2. Realizar a partir de esta matriz una sucesión de operaciones de fila de modo 
que la transformen en otra matriz que esté asociada a un sistema resolvente 
3. Escribir el sistema resolvente 
4. En el sistema resolvente la solución es evidente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO 
Podemos tomar el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
2𝑥 − 𝑥 + 4𝑥 = −1
𝑥 + 3𝑥 − 5𝑥 = 2 
−𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = −2 
 
 
Si ahora trabajamos con el “esqueleto numérico” del sistema, es decir prescindiendo de las 
letras que representan a las incógnitas y de los signos igual, obtenemos: 
 













2111
2531
1412
 Los nueve coeficientes del lado izquierdo de las ecuaciones están 
dispuestos en un arreglo de números o matriz, que se indica con la letra A. En este caso se dice 
que A es de orden 3x3, A se llama matriz de los coeficientes: A=













111
531
412
 
Para la columna H de números del lado derecho introducimos la notación vectorial: 













2
2
1
H ; H es una matriz columna o vector llamado matriz segundo miembro. 
(Nótese que el signo de los términos independientes es el correspondiente al que tienen cuando 
están en el segundo miembro de la ecuación) 
 
También representamos las tres incógnitas del sistema mediante una matriz columna X: 











3
2
1
x
x
x
X ; llamada matriz de las incógnitas 
Ahora el sistema original puede ser escrito: 𝑨 . 𝑿 = 𝑯 
 
 
“Se dice que dos sistemas de ecuaciones son 
equivalentes si tienen el mismo conjunto solución” 
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CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
 
 
𝑆𝐸𝐿
𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸𝑆 
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 (𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ú𝑛𝑖𝑐𝑎)
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 (𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠)
𝐼𝑁𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸𝑆 (sin 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛) 
 
 
 
MÉTODO DE GAUSS Y GAUSS-JORDAN 
 
Estos procedimientos encuentran la solución del sistema escalonando la matriz ampliada del 
sistema dado (GAUSS) o bien llegando a la matriz reducida (GAUSS-JORDAN). 
Ejemplo A: Resolver el siguiente SEL: 
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟎
𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟏𝟎
𝟒𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟒
 
 
Aquí hemos planteado el sistema de 
ecuaciones dado, al cual le agregamos una 
nueva columna que corresponde a una 
columna control (CC). La misma la obtenemos 
sumando los coeficientes de las incógnitas 
más el valor del término independiente 
dando los tres primeros números de dicha 
columna (primera fila: 1 + 1 + 1 + 0 = 3; 
segunda fila: 2 – 5 – 3 + 10 = 4; tercera fila: 
4 + 8 + 2 + 4 = 18). 
Sobre las filas efectuamos las operaciones 
elementales tratando de escalonar la matriz, 
incluyendo en dichas operaciones los términos 
de la columna control, los cuales debido a 
las operaciones efectuadas habrán modificado sus valores. 
Luego de haber efectuado las operaciones, volvemos a sumar por filas los coeficientes resultantes 
para X, para Y, para Z y el término independiente, dando un valor que deberá coincidir con el 
nuevo valor de la columna control correspondiente a dicha fila, a fin de verificar que las 
operaciones efectuadas están correctamente resueltas. 
 
En nuestro caso hemos efectuado las operaciones elementales indicadas, obteniendo la 
matriz escalonada. En la misma podemos observar que para este sistema dado no homogéneo, 
el rango de la matriz principal es igual al rango de la matriz ampliada, valores estos que coinciden 
con el número de incógnitas (RMP = RMA = nº de incógnitas  3 = 3 = 3), es decir se trata de un 
sistema compatible determinado, solución única (Teorema de Rouche Frobenius). 
Los valores de dichas incógnitas se obtienen, considerando en primer lugar la última ecuación de 
la matriz reducida, que permitirá calcular el valor de la variable “z”, es decir considerando dicha 
ecuación: −
𝟑𝟒
𝟕
𝒛 =
𝟔𝟖
𝟕
 ; 
y despejando nos queda: 𝒛 = −𝟐 
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Con el valor obtenido de “z”, calculamos ahora el valor de “y” , considerando para ello la penúltima 
ecuación de la matriz reducida, o sea: −𝟕𝒚 − 𝟓𝒛 = 𝟏𝟎 
Reemplazando: −𝟕𝒚 − 𝟓 (−𝟐) = 𝟏𝟎 
Despejando: 𝒚 = 𝟎 
 
Finalmente, la primera ecuación de la matriz reducida, teniendo en cuenta los valores de “y”; “z”, 
nos queda: 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟎 
Reemplazando: 𝒙 + 𝟎 + (−𝟐) = 𝟎 
Despejando: 𝒙 = 𝟐 
Resultando entonces, el conjunto solución: 
2
0
2
x
X y
z
 

 
 
 
 
Si aplicáramos el método Gauss-Jordan, 
debemos realizar operaciones elementales 
por filas hasta llegar a la matriz reducida. 
 
En este caso nuestro sistema resolvente 
es más simple y nos permite ver la solución 
de forma rápida: 
 
𝒙 + 𝟎𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟐
𝟎𝒙 + 𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + 𝟎𝒚 + 𝒛 = −𝟐
 
 
 
O lo que es lo mismo: 
 
𝒙 = 𝟐
𝒚 = 𝟎
𝒛 = −𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo B: 
𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟒
𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = −𝟐
−𝒙 + 𝟕𝒚 + 𝒛 = −𝟑
 
 
 
De la matriz reducida se deduce que el 
rango de la matriz principal es igual a dos 
(RMP= 2) y el de la matriz ampliada es igual 
a tres (RMA = 3), es decir el rango de la 
matriz principal es distinto del rango 
de la matriz ampliada. Entonces no se 
cumple con lo exigido por el Teorema de 
Roche-Frobenius, razón por la cual el 
sistema no tiene solución, se trata pues 
de un sistema incompatible. 
 
 
 
 
 
Ejemplo C: 
𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟒
𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = −𝟐
−𝒙 + 𝟕𝒚 + 𝒛 = −𝟔
 
La matriz reducida en este caso, indica 
que los rangos de la matriz principal y de 
la matriz ampliada son iguales, y su valor 
es dos (RMP = RMA = 2); el número de 
incógnitas del sistema es igual a tres 
(nº de incógnitas = 3). 
Estamos en presencia de un sistema 
compatible indeterminado con infinitas 
soluciones. Como tenemosmás 
incógnitas (3) que ecuaciones (2), 
designamos a dos de las incógnitas 
como variables principales y a la tercera 
como variable secundaria, pasándola al 
segundo miembro. 
 
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𝒙 −
𝟒
𝟏𝟏
𝒛 = −
𝟒
𝟏𝟏
𝒚 +
𝟏
𝟏𝟏
𝒛 = −
𝟏𝟎
𝟏𝟏
 es decir: 
𝒙 = −
𝟒
𝟏𝟏
+
𝟒
𝟏𝟏
𝒛
𝒚 = −
𝟏𝟎
𝟏𝟏
−
𝟏
𝟏𝟏
𝒛
 
siendo entonces el conjunto solución: 𝑿 =
𝒙
𝒚
𝒛
=
−
𝟒
𝟏𝟏
+
𝟒
𝟏𝟏
𝒛
−
𝟏𝟎
𝟏𝟏
−
𝟏
𝟏𝟏
𝒛
𝟏
=
−
𝟒
𝟏𝟏
−
𝟏𝟎
𝟏𝟏
𝟎
+
𝟒
𝟏𝟏
−
𝟏
𝟏𝟏
𝟏
𝒛 
 
y parametrizando la variable secundaria, 𝒛 = 𝒕; resulta: 
𝑿 =
𝒙
𝒚
𝒛
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡−
𝟒
𝟏𝟏
+
𝟒
𝟏𝟏
𝒕
−
𝟏𝟎
𝟏𝟏
−
𝟏
𝟏𝟏
𝒕
𝟏 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡−
𝟒
𝟏𝟏
−
𝟏𝟎
𝟏𝟏
𝟎 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
+
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
𝟒
𝟏𝟏
−
𝟏
𝟏𝟏
𝟏 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
𝒕 
 
Pudiendo “t” variar entre −∞ 𝒚 + ∞; obteniendo de tal modo infinitos valores de solución. 
 
Expresado en forma vectorial sería: (𝒙; 𝒚; 𝒛) = −
𝟒
𝟏𝟏
; −
𝟏𝟎
𝟏𝟏
; 𝟎 +
𝟒
𝟏𝟏
; −
𝟏
𝟏𝟏
; 𝟏 𝒕 
 
Si quisiéramos encontrar soluciones particulares, se le asigna un valor al parámetro “t” 
y se calculan las variables para ese caso. 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES HOMOGÉNEOS 
Son aquellos cuyos términos independientes son todos nulos. Dichos sistemas son 
siempre COMPATIBLES, pudiendo tener una solución única (SOLUCIÓN TRIVIAL) en la 
que todas las variables son nulas, o infinitas soluciones (INDETERMINADOS). 
Para resolver estos sistemas se procede de forma similar a la que vimos para 
sistemas no homogéneos. 
 
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MÉTODO DE CRAMER. 
 
Ejemplo A: 
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟎
𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟏𝟎
𝟒𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟒
 
 
Este método, para hallar el valor de las incógnitas “x”, “y”, “z”, encuentra la relación de los 
valores entre el determinante sustituto de la variable que se quiere calcular dividido el valor del 
determinante de la matriz principal del sistema. 
El valor de los determinantes sustitutos permite determinar el rango de la matriz ampliada; y el 
valor del determinante de la matriz principal nos da el rango de dicha matriz principal. 
Conociendo los rangos de la matriz principal y de la matriz ampliada se puede aplicar el Teorema 
de Rouche-Frobenius y de tal manera establecer si el sistema tiene o no solución, y en caso de 
tener solución, si la misma es determinada o indeterminada. 
 
Para obtener el determinante sustituto de cada una de las variables, reemplazamos en la matriz 
principal la columna de la variable que vamos a calcular por los términos independientes del 
sistema de ecuaciones. 
 
Entonces, si el sistema tiene solución, sus variables se obtienen de las relaciones:
; ;SX SY SZ
MP MP MP
x y z
  
  
  
 
1 1 1 1 1 1
2 5 3 2 5 3 10 16 12 20 24 4 34 0 3
4 8 2 4 8 2
MP MPMP R
 
                    
  
 
0 1 1 0 1 1
10 5 3 10 5 3 80 12 20 20 68 0 3
4 8 2 4 8 2
SX SX SXM R
 
                 
  
 
1 0 1 0 1 1
2 10 3 10 5 3 20 8 40 12 0
4 4 2 4 8 2
SY SXM
 
             
  
 
 
1 1 0 1 1 0
2 5 10 2 5 10 20 40 80 8 68
4 8 4 4 8 4
SZ SZM
 
              
  
 
68 0 68
2 ; 0 ; 2
34 34 34
SX SY SZ
MP MP M P
x y z
   
         
  
 
El sistema analizado es no homogéneo y los rangos de su matriz principal y de su matriz ampliada 
son iguales (RMP = RMA = 3) y coinciden con el número “n” de incógnitas. Se trata entonces de un 
sistema compatible determinado con una única solución. 
 
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Ejemplo C: 
𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟒
𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = −𝟐
−𝒙 + 𝟕𝒚 + 𝒛 = −𝟔
 
4 6 2 4 6 2
3 1 1 3 1 1 4 42 6 2 28 18 0
1 7 1 1 7 1
4 6
4 18 22 0 2
3 1
4 6 2 4 6 2
2 1 1 2 1 1 4 28 36 12 28 12 0 3
6 7 1 6 7 1
4 6
4 12 8 0 2
2 1
MP
MP MP
SX SX SX
SX SX MA
MP
R
M R
R R
    
              
   

       
    
                  
   

        

 
4 4 2 4 4 2
3 2 1 3 2 1 8 36 4 4 24 12 0
1 6 1 1 6 1
SY SYM
  
                 
     
 
4 6 4 4 6 4
3 1 2 3 1 2 24 84 12 4 56 108 0
1 7 6 1 7 6
SZ SZM
  
               
     
 
En este ejercicio podemos observar que el rango de la matriz principal y de la matriz ampliada 
son iguales a dos (𝑹𝑴𝑷 = 𝟐 = 𝑹𝑴𝑨); esto nos dice que una de las ecuaciones lineales del 
sistema dado en este caso, es combinación lineal de las otras dos ecuaciones. Para romper 
esa combinación lineal eliminamos una de dichas ecuaciones, por ejemplo, dejamos de lado la 
tercera ecuación y pasamos a tener un sistema equivalente al dado, formado por dos ecuaciones 
con tres incógnitas, es decir: 
4 6 2 4 4 6 4 2
3 2 3 2
x y z x y z
x y z x y z
      
        
 
4 6 4 6
4 18 22
3 1 3 1MP
MP
  
       
 
 
4 2 6 4 2 6
(4 2 ) 1 ( 6) ( 2 ) 4 2 12 6 8 8
2 1 2 1
4 4 2 4 4 2
4 ( 2 ) 3 (4 2 ) 8 4 12 6 2 20
3 2 3 2
SX SX
SY SY
z z
M z z z z z
z z
z z
M z z z z z
z z
    
                      
  
                     
 
y con dichos resultados podemos determinar los valores de “x” e “y” en función de “z”, es decir: 
8 8 4 4 2 20 1 10
;
22 11 11 22 11 11
SX SY
MP MP
z z
x z y z
   
       
 
 
si sustituimos los valores de “x”; “y” hallados, en la tercera ecuación no utilizada, resulta: 
 
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4 4 1 10
7 6 7 6
11 11 11 11
4 4 7 70 11 66
6 6 6 6
11 11 11 11 11 11
x y z z z z
z z z z z
                  
   
                
 
vemos entonces que los valores de “x”; “y” satisfacen dicha ecuación, de donde resulta que el 
sistema de dos ecuaciones resuelto es un sistema equivalente al dado. 
Entonces el conjunto solución será: 𝑿 =
𝒙
𝒚
𝒛
=
−
𝟒
𝟏𝟏
+
𝟒
𝟏𝟏
𝒛
−
𝟏𝟎
𝟏𝟏
−
𝟏
𝟏𝟏
𝒛
𝟏
=
−
𝟒
𝟏𝟏
−
𝟏𝟎
𝟏𝟏
𝟎
+
𝟒
𝟏𝟏
−
𝟏
𝟏𝟏
𝟏
𝒛 
y parametrizando la variable secundaria, 𝒛 = 𝒕; resulta: 
𝑿 =
𝒙
𝒚
𝒛
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡−
𝟒
𝟏𝟏
+
𝟒
𝟏𝟏
𝒕
−
𝟏𝟎
𝟏𝟏
−
𝟏
𝟏𝟏
𝒕
𝟏 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡−
𝟒
𝟏𝟏
−
𝟏𝟎
𝟏𝟏
𝟎 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
+
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
𝟒
𝟏𝟏
−
𝟏
𝟏𝟏
𝟏 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
𝒕 
Pudiendo “t” variar entre −∞ 𝒚 + ∞; obteniendo de tal modo infinitos valores de solución. 
 
Expresado en forma vectorial sería: (𝒙; 𝒚; 𝒛) = −
𝟒
𝟏𝟏
; −
𝟏𝟎
𝟏𝟏
; 𝟎 +
𝟒
𝟏𝟏
; −
𝟏
𝟏𝟏
; 𝟏 𝒕 
 
 
 
 
MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA O MÉTODO MATRICIAL. 
Dado un sistema de ecuaciones lineales: 
11 12 13 1 11 12 13 1
21 22 23 2 21 22 23 2
31 32 33 331 32 33 3
a x a y a z b a a a x b
a x a y a z b a a a y b
a a a z ba x a y a z b
        
                 
              
 , 
y en símbolos  A . X = B 
Para resolver este sistema podemos premultiplicar ambos miembros de dicha igualdad por la 
matriz inversa de la matriz de los coeficientes y obtendremos: 
1 1. . .A A X A B  
Y recordando que: 
1 .A A I  , 
resulta: 
1 1. . .I X A B X A B    ; 
esta última expresión nos indica que se obtienen los valores de las incógnitas del sistema 
efectuando el producto de la matriz inversa de la matriz de los coeficientes por la matriz de los 
términos independientes del sistema analizado. 
 
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Ejemplo A: 
𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟎
𝟐𝐱 − 𝟓𝐲 − 𝟑𝐳 = 𝟏𝟎
𝟒𝐱 + 𝟖𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝟒
 
El primer paso que efectuamos para resolver el sistema, es el cálculo del valor del determinante 
de la matriz principal del sistema para evaluar si dicha matriz tiene o no inversa. 
1 1 1
2 5 3 10 16 12 20 24 4 60 26 34 0 3
4 8 2
MP MPR                 
Calculamos ahora el valor del determinante de la matriz ampliada,y tomaremos para éste caso el 
determinante sustituto de la variable “X”; o sea: 
0 1 1
10 5 3 0 80 12 20 0 20 80 12 68 0 3
4 8 2
MA SX MAR                  
El rango de la matriz principal es igual al rango de la matriz ampliada e igual al número de 
incógnitas (RMP = RMA = nº de incógnitas = 3). Estamos en presencia de un sistema no homogéneo, 
compatible determinado, con solución única. 
Calculamos ahora entonces, la matriz inversa de la matriz principal del sistema por el método de 
los menores complementarios, adjuntos o cofactores: 
1
14 16 36 14 6 2
6 2 4 16 2 5
2 5 7 36 4 7
T ADJ
COF COF ADJ
MP
M
M M M A
   
                 
        
 
 
1
14 6 2 14 6 2
16 2 5 34 34 34
36 4 7 16 2 5
34 34 34 34
36 4 7
34 34 34
A
                   
 
  
  
 
 
Entonces el resultado de este sistema se obtiene, de acuerdo a lo ya manifestado, como el 
producto de: 1 .A B X   
 
 
 
 
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60 
 
Ejemplo C: 
𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟒
𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = −𝟐
−𝒙 + 𝟕𝒚 + 𝒛 = −𝟔
 
𝜟𝑴𝑷 =
𝟒 −𝟔 −𝟐
𝟑 𝟏 −𝟏
−𝟏 𝟕 𝟏
= 𝟎; 
𝟒 −𝟔
𝟑 𝟏
= 𝟐𝟐 ⇒ 𝑹𝑴𝑷 = 𝟐 
𝜟𝑺𝑿 =
𝟒 −𝟔 −𝟐
−𝟐 𝟏 −𝟏
−𝟔 𝟕 𝟏
= 𝟎; 
𝟒 −𝟔
−𝟐 𝟏
= −𝟖 ⇒ 𝑹𝑴𝑨 = 𝟐 
𝜟𝑺𝒀 =
𝟒 𝟒 −𝟐
𝟑 −𝟐 −𝟏
−𝟏 −𝟔 𝟏
= 𝟎; 𝜟𝑺𝒁 =
𝟒 −𝟔 𝟒
𝟑 𝟏 −𝟐
−𝟏 𝟕 −𝟔
= 𝟎 
 
El rango de la matriz principal es igual al rango de la matriz ampliada, pero menores que el número 
de incógnitas, o sea estamos en presencia de un sistema compatible indeterminado con infinitas 
soluciones. 
Este último análisis nos asegura que existe una ecuación que es combinación lineal de las otras 
y romperemos esta combinación eliminando una ecuación del sistema dado. Pasamos entonces 
a escribir un sistema equivalente al dado: 
 
4 6 2 4 4 6 2 4 4 6
4 18 22
3 2 3 2 3 1MP
x y z x y z
x y z x y z
       
              
 
 
1
1 6 1 6
1 3 1 6 3 4 22 22
6 4 3 4 3 422
22 22
T ADJ
COF COF ADJ
MP
M
M M M A
   
                             
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑋 = 𝑧 − ; 𝑌 = − 𝑧 − ; 𝑋 =
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
𝑧 +
−
−
0
 
 
y haciendo: z = t, resulta: 
4 4
11 11
1 10
11 11
1 0
x
X y t
z
      
     
               
      
   
      
 
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61 
 
APLICACIONES DE SEL 
 
Balanceo de ecuaciones químicas 
Las ecuaciones químicas describen las cantidades de sustancias que se consumen y producen 
en reacciones químicas. Por ejemplo, cuando el gas propano se quema, el propano (C3H8) se 
combina con oxígeno (O2) para formar dióxido de carbono (CO2) y agua (H2O), de acuerdo 
con una ecuación de la forma 
 
Para “balancear” esta ecuación, un químico debe encontrar números x1,…, x4 tales que los 
números totales de átomos de carbón (C), hidrógeno(H) y oxígeno (O) en el lado izquierdo 
concuerden con los números de átomos correspondientes en el lado derecho (porque, en la 
reacción, los átomos no se crean ni se destruyen). 
Un método sistemático para balancear ecuaciones químicas es colocar una ecuación vectorial 
que describa el número de átomos de cada tipo presentes en una reacción. Como la ecuación 
implica a tres tipos de átomos (carbón, hidrógeno y oxígeno), construya un vector en R3 para 
cada reactante y producto en la ecuación que liste los números de “átomos por molécula”, como 
sigue: 
 
 
 
Para balancear la ecuación, los coeficientes x1,…, x4 deben satisfacer: 
 
 
 
Luego, se puede plantear el SEL: 
3𝑥 − 𝑥 = 0 
8𝑥 − 2𝑥 = 0 
2𝑥 − 2𝑥 − 𝑥 = 0
 
 
Tomando a 𝑥 como parámetro “t”, planteamos la siguiente solución general 
𝑋 =
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
1
4
5
4
3
4
1 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
𝑡 ; y para que los coeficientes sean números enteros, asignamos a t=4; lo que 
nos da la siguiente ecuación: 
 
 
 
 
 
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62 
 
Flujo en redes 
Describa los posibles flujos a través de la red 
de tuberías de agua que se muestra en la figura, 
donde el flujo se mide en litros por minuto. 
 
 
Solución En cada nodo, escriba la ecuación 
que representa la conservación del flujo. 
Luego reescriba cada ecuación con las variables 
a la izquierda y la constante a la derecha, para 
obtener un sistema lineal en forma estándar. 
 
 
 
 
Estas ecuaciones describen todos los flujos posibles y permiten analizar la red. Por ejemplo, se 
ve que, si se controla el flujo en la rama AD de modo que t = 5 L/min, entonces los otros flujos 
son f1 = 10, f2 = 0, y f3 = 25. 
Puede hacerlo todavía mejor. Puede encontrar los posibles flujos mínimo y máximo en cada 
rama. Cada uno de los flujos debe ser no negativo. Al examinar la primera y segunda 
ecuaciones a la vez, se ve que t ≤ 15 (de otro modo f1 sería negativo) y t ≤ 5 (de otro modo f2 
sería negativo). La segunda de estas desigualdades es más restrictiva que la primera, de modo 
que debe usarla. La tercera ecuación no aporta más restricciones al parámetro t, así se deduce 
que 0 ≤ t ≤ 5. Al combinar este resultado con las cuatro ecuaciones, se ve que: 
10 ≤ f1 ≤ 15; 0 ≤ f2 ≤ 5; 20 ≤ f3 ≤ 25; 0 ≤ f4 ≤ 5 
 
 
 
 
 
Redes eléctricas 
La red que se muestra en la figura tiene una sola 
fuente de poder A y cinco resistores. Encuentre 
las corrientes I, I2,…, I5. Este es un ejemplo de 
lo que en ingeniería eléctrica se conoce como 
circuito puente de Wheatstone. 
 
La ley de corriente de Kirchhoff produce las 
siguientes ecuaciones en los cuatro nodos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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63 
 
Para los tres circuitos básicos, la ley de voltaje produce: 
(Observe que la rama DAB no tiene resistor y por 
tanto no hay caída de voltaje; por ende, no hay término I en 
la ecuación para el circuito ABEDA. Note también que se 
cambiaron los signos tres veces, porque se avanzó “contra 
la corriente”. Esto no plantea problemas, pues se dejará que 
el signo de la respuesta determine la dirección del flujo de 
corriente.) 
Ahora se tiene un sistema de siete ecuaciones con seis variables: 
 
 
 
Por tanto, la solución (en amperes) es I = 7; I1 = I5 =3, I2=I4 = 4; I3=1. 
El significado del valor negativo en I3 es que la corriente a través de la rama CE fluye en 
dirección opuesta a la que se marcó en el diagrama. 
 
 
Distribución de temperatura 
Un importante asunto en el estudio de transferencia de calor es determinar la distribución de 
temperatura de estado estable de una placa delgada cuando se conoce la temperatura en los 
bordes. 
Suponga que la placa que se ilustra en la figura representa 
una sección transversal de una viga de metal, con flujo de 
calor despreciable en la dirección perpendicular a la placa. 
Sean T1,…, T4 las temperaturas en los cuatro nodos interiores 
de la malla en la figura. La temperatura en un nodo es 
aproximadamente igual al promedio de las temperaturas de 
los cuatro nodos más cercanos, esto es, a la izquierda, arriba, 
a la derecha y abajo. Por ejemplo, 
 
𝑇 = (10 + 20 + 𝑇 + 𝑇 )/4; es decir: 4𝑇 − 𝑇 − 𝑇 = 30 
 
Se deja al estudiante encontrar el SEL que nos permita calcular lo que se pide. 
 
 
 
 
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64 
 
EJERCICIOS: 
 
1) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, analizar el mismo por Roche-Frobenius y 
resolverlo por el método que desee: 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 2 1
3 3 0
7 7 2
x x x
x x x
x x x
   
   
    
 
3
1
2 3 3
3
3
7 1 7 1
11 11 11 11
12 3 12 3
. :
11 11 11 11
1 0
x
x
Rta X x x x
x x
             
       
                   
        
     
          
 
Determinar si los siguientes cinco sistemas de ecuaciones lineales tienen o no solución. Si la 
tienen, indique si es determinada o indeterminada y dé en cada caso los valores de dicha solución, 
excluyendo,según el ejercicio que analice, la solución trivial. 
2 5 4 3 2 5 4 3 2 7 4
2º ) 2 5 ; 3º ) 2 5 ; 4º ) 4 5 7 2
4 6 10 4 5 10 2 1
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
            
              
            
 
0 4 0
5º ) 3 3 0 ; 6º ) 2 0
7 3 0 3 3 2 0
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
      
       
       
 
Respuestas: 
1
3124 3
22º ) 75 ; 3º ) , sin ; 4º ) 1 3
31 1 0
x x
X y Sistema incompatible solucion X y z
z z
          
                        
                
  
 
1
90
55º ) 0 ; 6º ) 9
0 1
x x
X y X y z
z z
 
       
                 
            
  
 
 
7) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
A) 
2 3 2
2 5 3 6
6 5 4
x y z
x y z
x y z
   
   
   
; B) 
3 4 2 5
2 3 6 5 6
3 5 4 2
x y z w
x y z w
x y z w
   
    
    
; C) 
3 2 0
5 8
x y z
x y z
  
    
; 
D) 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 5 4 0
0
6 2 0
4 10 8 0
x x x
x x x
x x x
x x x
  
   
   
   
; 
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65 
 
Respuesta: A) Sistema incompatible, sin solución. B)
11 13
2161 363
156 363
01
x
y
X w
z
w
                                     
; 
C) 
9 16
5 5
16 24
5 5
1 0
x
X y z
z
   
   
     
            
      
   
      
; D) 
0
0
0
x
X y
z
   
       
      
; 
 
8) Calcular el valor de “q” para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales sea compatible: 
2 3
1 2 3
1 2 3
7 10 3
2 3 4 7
2 3
x x
x x x
x x x q
 
   
   
 Respuesta: q = 5 
 
 
9) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, determinar el valor de “K” para que el 
mismo tenga solución no trivial: 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 0
2 2 0
2 2 0
K x x x
x x K x
x x x
  
   
   
 
Respuesta: K = 5 ; K = -1 
 
10) Sean los vectores: ( 1;3;2) (1;1; 1)u y w    . Hallar todos los vectores 
" "x que satisfagan u x w  . (Este ejercicio podrá resolverse después de ver producto 
vectorial). 
Respuesta: 
1
2 3
3
1 1
2 2
3 1
2 2
1 0
x
X x x
x
   
     
             
      
     
 
11) Dados los vectores:      2 ; 5 ; 1 ; 2 ; 5 ; 1 2 ; 10 ; 1u v y w      
comprobar si el vector  6 ; 0 ; 3r   es combinación lineal de los anteriores, determinando 
para ello los valores de los correspondientes escalares. 
Respuesta: Los escalares son: k1 = 0 ; k2 = 2 ; k3 = 1 
 
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66 
 
12) Encontrar los vectores    1 2 1 2; ;a a a y b b b  ; tales que    1 ; 0a b  y
   0 ; 1a b  . Luego expresar el vector ( 2 ; -1 ) como combinación lineal de los vectores 
" " " "a y b . 
Respuesta:        1 2 1 21 1 1 1; ; ; ; ;2 2 2 2a a a b b b     ; mediante los escalares 
1 21 3y   puedo expresar el vector (2; -1) como combinación lineal de los vectores 
" " " "a y b . 
 
13) Sean " " ; " " " "a b y c vectores de R3, tales que: 
   
   
   
1 ; 0 ; 0
0 ; 1 ; 0
2 2 0 ; 0 ; 1
a b c
a b c
a b c
   

   

  
 
Hallar las componentes de " " ; " " " "a b y c . 
Respuesta:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 1 2 1 1 1 3 2
( ; ; ) ; ; ; ( ; ; ) ; ; 0 ; ( ; ; ) ; ;
8 8 8 2 2 8 8 8
a a a a b b b b c c c c                 
     
 
 
14) Sean los vectores: ( 1 ; 3 ; 2) (1 ; 1 ; 1)u y v    . Encontrar todos los vectores 
1 2 3( ; ; )y y y y , tales que: u y v  . (Este ejercicio podrá resolverse después de ver 
producto vectorial). 
Respuesta: 
3
1
2 3 3 3
3
3
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 1 3 1 3 1
, ,
2 2 2 2 2 2
1 0 1 0
y
y
y y y y y haciendo y t resulta y t
y y
                     
           
                               
            
         
                  
 
15) Sean los vectores: ( 2 ; 0 ; 1) ; (3 ; 2 ; 0 ) (1 ; 0 ; 3)u v y w   
a) Encontrar el vector combinación lineal de 𝑢 , �̅� , 𝑤 según los escalares 2 ; -1 ; 3 . 
b) Verificar si el vector (-3 ; - 4 ; -1) es combinación lineal de los vectores 𝑢 , �̅� , 𝑤 ; y en tal caso 
encontrar los escalares correspondientes. 
Respuesta: a) 1 2 3( ; ; ) ( 4 ; 2 ; 11)x x x x   ; b) 1 2 32 ; 2 ; 1     
 
 
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67 
 
16) De acuerdo al gráfico, encontrar los escalares “m” y “n” tales que: 
a) m a nb c  ; b) 0m a nb  
Respuestas: a) 51 ;2 6m n  ; 
 b) 0 ; 0m n  
 
 
 
 
 
17) Responda, ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones en x1 , x2 y x3 , son ecuaciones lineales? 
a) x1 + 2 x1 x2 + x3 = 2; b) x1 + x2 + x3 = sen k (siendo “k” una constante) 
c) 
1
2
1 2 33 2( ) 4x x x   ; d) 1 3 22 7x x x   ; e) 
1
1 2 3( ) 3 5x x x
   ; f) x1 = x3 
Respuesta: b) ; d) y f) son ecuaciones lineales. 
 
18) Hallar el conjunto solución para las siguientes ecuaciones: 
a) 6x – 7y = 3 ; b) 2 x1 + 4 x2 – 7 x3 = 8 ; c) -3 x1 + 4 x2 – 7 x3 + 8 x4 = 5 
d) 2v – w + 3x + y – 4 z = 0 
Respuestas: 
 a) 
6 3 6 3
; " "
7 7 7 7
y x y si x t y t pudiendo t tomar valores entre y         
1 2 3 2 3 1
7 7
) 2 4 ; 2 4 " " " "
2 2
b x x x y si x t y x s x t s pudiendo t y s
tomar valores entre y
        
  
1 2 3 4 2 3 4 1
4 7 8 5 4 7 8 5
) ; ; :
3 3 3 3 3 3 3 3
" " ; " " " "
c x x x x y si x t x s y x r resulta x t s r
pudiendo t s y r tomar valores entre y
           
  
 
1 3 1 1 3 1
) 2 ; ; ; ; : 2
2 2 2 2 2 2
" " ; " " " " " "
d v w x y z y si w t x s y r z q resulta v t s r q
pudiendo t s r y q tomar valores entre y
            
  
 
 
19) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resolverlo por el Método de Cramer: 
3 4 20
5 4 36
x y
x y
 
  
 Respuesta: 𝑋=
𝑥
𝑦 =
8
1
 
 
20) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resolverlo por el Método de Gauss: 
10 15 0
3 4 1
x y
x y
 
  
 Respuesta: 
3
2
x
X
y
   
    
   
 
 
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68 
 
21) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
2 4 3 3
2 5 3 0
3 6 0
w x y z
w x y z
w x y z
   
    
    
 
Respuesta: Para x=t ;𝑋=
𝑤
𝑥
𝑦
𝑧
=
1 + 2𝑡
𝑡
1
2
=
1
0
1
2
+
2
1
0
0
t 
 
22) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
5 2 10
4 3 7 14
9 8 10 31
2 20 13 2
5 4 3 2 4 1
x z u t
y z u
x y u
x y z t
x y z u t
   
       
    
    
 
Respuesta: 
5
3
4
1
2
6
x
y
X z
u
t
  
  
  
   
  
  
      
 
23) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
2 5 4 3
2 5
4 5 10
x y z
x y z
x y z
   
   
   
 
Respuesta: Sistema incompatible; rango matriz principal distinto del rango de la matriz ampliada. 
 
24) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
3 3 0
7 3 0
x x x
x x x
x x x
  
   
   
 
Respuesta: 
3
1
2 3 3 3
3
3
2 2 2
3 3 3
1 1 1
; ; ; " " var
3 3 3
1 1
x
x
X x x x y si x t resulta X t pudiendo t iar entre y
x
x
     
     
       
                       
        
     
          
 
 
25) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
4 0
2 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
  
   
   
 
Respuesta: Sistema homogéneo que sólo admite la solución trivial  x = y = z= 0. 
Álgebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
 
69 
 
 
26) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
7 3 7 0
2 0
3 3 5 3 0
w x y z
w x y z
w x y z
   
    
    
 
Respuesta: 
1
0 0
0 0
1
w z
x
X z
y
z z
     
     
       
     
     
     
 
27) ¿Para qué valor, o para qué valores de la constante “k”, el siguiente sistema de ecuaciones 
lineales: a) no tiene solución; b) tiene exactamente una solución, c) tiene infinitas soluciones? 
3
2 2
x y
x y k
 
  
 
Respuesta: Si k = 6, el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones; si k  6, el 
sistema es incompatible, no tiene solución. Dadas las características del sistema, no existe ningún 
valor para “k” que nos dé un sistema compatible determinado, con una solución única. 
28) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
a x b y k
c x d y l
e x f y m
 
  
  
 
Analice las posiciones relativas de las tres rectas que lo componen, cuando: 
I) El sistema no tiene solución; 
II) El sistema tiene exactamente una solución; 
III) El sistema tiene infinidad de soluciones. 
Respuesta: 
I) Las rectas no tienen un punto común de intersección; II) Las rectas se 
interceptan exactamente en un punto; III) Las tres rectas coinciden. 
 
29) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
2
2 3
x y z a
x z b
x y z c
  
  
    
Demostrar que valor debe tomar “c” en función de “a” y de “b”, para que el sistema sea compatible. 
Respuesta: c = a + b 
 
30) En cada inciso suponga que la matriz ampliada, para un sistema de ecuaciones lineales, se 
ha llevado, por medio de operaciones de filas, a la forma reducida que se da. Exprese la solución 
de los mismos. 
Álgebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
 
70 
 
a) 
1 0 0 4
0 1 0 3
0 0 1 2
 ; b) 
1 0 0 3 2
0 1 0 1 4
0 0 1 1 2
 ; c) 
1 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 
Respuestas: a) Sistema compatible determinado, solución única 
4
3
2
x
X y
z
   
       
      
 ; 
b) Sistema compatible indeterminado, infinitas soluciones 
2 3 2 3
4 4 1
" " , :
2 2 1
0 1
x w
y w
X y si w t resulta X t
z w
w w
        
                  
        
       
       
 
c) Sistema incompatible, sin solución; el rango de la matriz principal es menor que el rango de la 
matriz ampliada. 
31) Resolver cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
2 1
2 8 2 2 2 0
2 2 2 2
) 2 3 1 ; ) 2 5 2 0 ; )
2 4 1
3 7 4 10 7 7 0
3 3 3
x y z w
x x x x x x
x y z w
a x x x b x x x c
x y z w
x x x x x x
x w
    
                                       
 
Respuestas: a) Sistema compatible determinado 
1
2
3
3
1
2
x
X x
x
   
       
      
 ; b) Sistema homogéneo, 
compatible indeterminado, infinitas soluciones  
3
1 1
2 3 3 2
3 3
3
3 3 3
7 7 7
4 4 4
, :
7 7 7
1
x t
x x
X x x y si hacemos x t resulta X x t t
x xx t
            
        
                        
           
     
          
 ; 
c) Sistema no homogéneo, compatible indeterminado, infinitas soluciones: 
1 1 1 0 1
2 2 0 2 0
, :
0 1 0
1 0 0
x w x s
y z y t
X y si hacemos w s y z t resulta X s t
z z z t
w w w s
               
             
                     
             
             
             
 
 
32) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, en donde “a” , “b” y “c” son 
constantes. 
Álgebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
 
71 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
) ; ) 2 0
3 6
0 3 3
x x x a
x y a
I II x x x b
x y b
x x x c
  
            
Respuesta:
2 1 2 1
3 9 3 9)
1 2 1 2
3 9 3 9
a b
x
I X a b
y
a b
            
         
                   
 : 
1
2
3
1 1
3 31 0
1 1
) 2 2 1
3 3
2 1
2 2
2
3 3
a c
x
II X x a b c a b c
x
a b c
       
        
                        
             
     
      
 
33) ¿Para qué valores de “a”, el siguiente sistema es compatible determinado, compatible 
indeterminado o incompatible? 
2
2 3 4
3 5 2
4 ( 14) 2
x y z
x y z
x y a z a
  
   
     
 
Respuesta: Si a = 4  sistema compatible indeterminado; si a = - 4  sistema incompatible; si 
a  4  sistema compatible determinado. 
 
34) Resolver la siguiente ecuación matricial para “a”, “b”, “c” y “d”. 
8 1
3 2 4 7 6
a b b c
d c a d
    
       
 Respuesta: a = 5 ; b = - 3 ; c = 4 ; d = 1 
 
35) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneos 
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
2 4 0
2 3 0
3 0 5 2 0 0
) 2 0 0 ; ) ; )
5 0 0 3 0 0
0 0
2 0
x x x x
x x x
x x x x x x x x
a x x x b c
x x x x x x x x
x x x
x x x x
   
                              
 
Respuesta: a)
3
1
1
2
3 42 3 4
3
3
34
4
1
40
1
10 ; )
4
0
x
x
x
x
x xX x b X y haciendo x t y x s resulta
x
x xx
x
   
      
                    
              
  
 
1 1
2 2
3 3
4 4
1 1
0 04 4
1 1 1 0
1 ; )
4 4 0 0
1 1 0
0
tx x
x x
t sX t s c X
x x
tx x
s
             
                                  
         
             
      
 
Álgebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
 
72 
 
 
36) ¿Para cuál o cuáles valores de “”, el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo 
tiene soluciones no triviales? 
( 3) 0
( 3) 0
x y
x y


  
    Respuesta: El sistema de soluciones lineales homogéneo tiene soluciones 
no triviales para  = 4 y para  = 2. 
 
37) Determinar las relaciones que deben cumplir los segundos miembros y1; y2; y3 para que los 
siguientes sistemas de ecuaciones lineales, sean compatibles. 
1 2 3 1 1 2 3 1
1 2 3 2 1 2 3 2
1 2 3 3 1 2 3 3
2 3 3 3
) 2 3 ; ) 2 2
5 4 3
x x x y x x x y
a x x x y b x x x y
x x x y x x x y
      
       
       
 
Respuesta: 
a) Para que el sistema sea compatible deberá ser: - y1 – 2 y2 + y3 = 0  y1 + 2 y2 - y3 = 0 
b) Para que el sistema sea compatible, deberá ser : 1 2 3 1 2 3
8 5
 y - y - y = 0 7y - 8 y - 5y = 0
7 7
 
38) Determinar las condiciones que debe cumplir el escalar “a” para que el siguiente sistema de 
ecuaciones lineales no tenga solución. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 7 10 4
2 3 4 4
2 3
x x x
x x x
x x x a
  
   
    Respuesta: Para que el sistema de ecuaciones lineales no tenga 
solución deberá ser: a 4 
39) Determinar las condiciones que debe cumplir el escalar “a” para que el siguiente sistema de 
ecuaciones lineales admita solución distinta de la trivial. 
1 2 1 0
2 1 1 . 0
0 1 0
x
y
a z
     
          
           Respuesta: Si a = 5, el sistema de ecuaciones lineales tiene 
solución distinta de la trivial. 
 
40) ¿Para qué valores de “a” y de “b”, el siguiente sistema de ecuaciones lineales, es 
compatible determinado, es compatible indeterminado o es incompatible? 
𝑎𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 = 0
5𝑥 + 2𝑦 + 0𝑧 = 1
𝑥 − 2𝑦 + 𝑏𝑧 = 3
 
Respuesta: Si a . b = 12 con a  3  Sistema incompatible, sin solución; Sí a . b = 12 con a = 
3  Sistema compatible indeterminado, infinitas soluciones; Sí a . b  12  Sistema compatible 
determinado, solución única. 
Álgebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
 
73 
 
41) ¿Qué valor tieneque tomar “m” para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales, sea 
compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible? 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
( 1)
0 ( 1) 0
x x x m
m x x m x m
x m x x m
   
    
     Respuesta: Si m = 1  sistema incompatible; si m  1 
 sistema compatible determinado. 
42) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, averiguar qué valor deben tomar “a”, “b” 
y “c” para que el mismo sea compatible determinado, compatible indeterminado o 
incompatible. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
2 0 0 2
2 1
x a x b x c
x x x
x x x
  
   
     Respuesta: Si a = b = - 2 + c , sistema compatible 
indeterminado; si a  b , sistema compatible determinado, solución única ; si a = b  - 2 + c , 
sistema incompatible. 
 
43) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, hallar los valores de “a” y de “b” que lo 
resuelven. 
2 1
7
3 5
9
a b
a b
  

  

 Respuesta: 
1 1
;
2 3
a b  
 
44) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el Método de Gauss. 
1 2 3 1 2 3 4
1 2 3 1 2 3 4
1 3 1 2 3 4
3 2 2 1 2 8 2 2 2
) 4 13 ; ) 2 3 ; ) 2 4 ; ) 2 1
2 3 4 8 2 7 2 2 1 5 1
x y z x x x x x x x x y z
I x y z II x x x III x x x x IV x y z
x y z x x x x x x y z
               
                     
               
 
Respuesta:
1
1
2
2 4
3
3
4
5 1
221 3
33
) 2 ; ) 2 ; ) ; ) ,
39
3 1 22
01
sin
x
x x
x
I X y II X x III X x IV Sistema incompatible
x
z x
x
solucion
                                                                                
 
 
Álgebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
 
74 
 
45) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el Método de Gauss-
Jordan: 
2 4
2 3 1 2 3 4
2 2 3 6
) ; ) 2 1 ; ) 4 7
3 2 0
3 2 6 2 2
2 3 4 5
x y z w
x y z x y z
x y z w
I II x y z III y z
x y z w
x y z z
x y z w
   
                               
 
Respuesta: 
1
1 1
2
) ; ) 1 ; ) 3
3
2 1
1
x
x x
y
I X II X y III X y
z
z z
w
   
                                    
                     
 
 
46) Determinar en el siguiente sistema de ecuaciones lineales, el valor de “a” para que el 
sistema sea: compatible determinado; compatible indeterminado o incompatible
1
2 3 3
3 2
x y z
x y a z
x a y z
  
   
   
 
Respuesta: Si a = 2  Sistema compatible indeterminado, infinitas soluciones; sí a = -3, 
sistema incompatible, sin solución; sí a  2 y a  -3, sistema compatible determinado, solución 
única. 
47) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, aplicando el Método de Cramer. 
3 3 2 2 3 4 4
) 0 2 1 ; ) 0 2 1
3 5 0 2 2 5 6 7
x y z x y z
I x y z II x y z
x y z x y z
      
       
        
Respuesta: 
1 1
) 1 ; ) 1
1 0
x x
I X y II X y
z z
       
                 
              
 
48) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, aplicando el Método Matricial. 
1 2 3
2 3
1 2
4 5 6 3 2 2
) 6 2 ; ) 2 1
3 4 3 3 5 3
x z x x x
a y z b x x
x z x x
     
      
     
 
Respuesta: 
1
2
3
39 39
31 824
98 9 3) ; )31 24 8
66 2
24 831
x x
a X y b X x
z x
    
       
                     
                   
 
Álgebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
 
75 
 
49) Analizar el siguiente sistema para los distintos valores de “k” 
1
3 2 0
1
k x y
x y
x k y
 
  
  
 
Respuesta: Si k = 1, resulta que x = - 2 e y = 3 . Si k  1 el sistema es incompatible, es decir 
no tiene solución. 
50) Elegir “k” de modo tal que el siguiente SEL tenga solución: 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 1
1 2 1 4 2
1 7 4 11
x x x x
x x x x
x x x x k
   
    
    
 
Respuesta: Si k = 5, sistema compatible indeterminado, infinitas soluciones, siendo los valores 
de: 1 3 4 2 3 4
1 6 4 3 7 3
;
5 5 5 5 5 5
x x x x x x       
51) ¿Qué condición debe cumplir el escalar “k” para que el siguiente sistema de ecuaciones 
lineales admita solución distinta de la trivial? 
2 0
0 0
2 0
x y z
x k y z
x y z
  
   
   
 Respuesta: Si k = 5, sistema compatible indeterminado. 
52) Dadas las matrices: 
1 4 8 6 6
2 0 0
2 3 ; 6 1 1
0 1 1
1 2 4 0 0
A B y C
   
                    
, 
hallar las componentes de una matriz “K”, tal que: A . K . B = C 
Respuesta: La matriz “K” buscada es: K = 
0 2
1 1
 
 
 
 
53) Resolver el siguiente SEL, utilizando el Método de Gauss-Jordan 
2 3 3 2
5 2 3 6
3 2 6 8
x y z t
x y z t
x y z t
    
    
     
 Respuesta: 
0 0 0
9 10 9 10
24 28 24 28
1 0
x
y t
X t
z t
t t
       
                    
       
       
       
 
 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
 
76 
 
SITUACIONES PROBLEMÁTICAS 
 
54) La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 255 km. Un coche sale de A hacia B a una 
velocidad de 90 km/h. Al mismo tiempo, sale otro coche de B hacia A a una velocidad de 80 
km/h. Suponiendo su velocidad constante, calcula el tiempo que tardan en encontrarse, y la 
distancia que ha recorrido cada uno hasta el momento del encuentro. 
Respuesta; t = 1,5 hs /// x = 135 km /// y = 120 km 
 
55) Una caja que contiene monedas con las denominaciones de un centavo, cinco centavos y 
diez centavos tiene 13 de ellas con un valor total de 83 centavos. ¿Cuántas monedas de cada 
tipo hay en la caja? 
Respuesta: Son 3 monedas de 1 cvo, 4 de 5 cvos y 6 de 10 cvos. 
 
56) Graciela es tres veces mayor que Juan, pero en 5 años tendrá el doble de la edad que Juan 
tiene ahora. ¿Qué edades tienen ahora? 
Respuesta: Graciela tiene 15 y Juan 5. 
 
 
57) Una florista ofrece tres tamaños de arreglos florales que contienen rosas, margaritas y 
crisantemos. Cada arreglo pequeño contiene una rosa, tres margaritas y tres crisantemos. Cada 
arreglo mediano contiene dos rosas, cuatro margaritas y seis crisantemos. Cada arreglo grande 
contiene cuatro rosas, ocho margaritas y seis crisantemos. Un día, la florista nota que usó un 
total de 24 rosas, 50 margaritas y 48 crisantemos para surtir pedidos de estos tres tipos de 
arreglos. ¿Cuántos arreglos de cada tipo elaboró? 
Respuesta: dos pequeños, tres medianos, cuatro grandes 
 
58) La suma de las edades de Ana, Bibiana y Carlos es 60. Ana es mayor que Bibiana por el 
mismo número de años que Bibiana es mayor que Carlos. Cuando Bibiana sea tan vieja como 
ahora es Ana, Ana será tres veces más vieja de lo que Carlos es ahora. ¿Cuáles son sus 
edades? 
Respuesta: Ana tiene 28, Bibiana tiene 20, Carlos tiene 12 
 
 
59) Una fuente puede llenarse por los conductos “A” y “B” en 70 minutos; por los conductos “A” y 
“C” en 84 minutos; por los conductos “B” y “C” en 140 minutos. ¿En cuánto tiempo se llena por 
cada uno de los conductos separadamente? 
Respuesta: Por “A” se llena en 7 minutos; por “B” se llena en 63 minutos y por “C” en 77 
minutos. 
 
60) Hierón de Siracusa mandó a hacer una corona de oro con un peso de 7.465 gramos. Para 
saber si el joyero no había sustituido oro por plata, le encargó a Arquímedes que investigará la 
composición de dicha corona. Arquímedes sumergió la corona en agua en donde perdió 467 
gramos de peso. Sabiendo que el oro pierde en el agua 52/1000 de su peso y la plata 95/1000, 
se pregunta ¿Qué cantidad de oro y de plata contenía la corona? 
Respuesta: La corona contenía: 5.631,977 gramos de oro y 1.833,023 gramos de plata. 
 
 
61) Las poblaciones A y B distan 112 Km. El camino entreellas tiene una parte horizontal, una 
parte en subida y una parte en bajada. Un ciclista tarda 6hs 15’ para ir de A a B y 6hs 55’ para ir 
de B a A. Su velocidad es de 18 Km/h en horizontal, de 12 Km/h en subida y de 24 Km/h en 
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77 
 
bajada. Las subidas y bajadas tienen igual pendiente. ¿Cuántos Km hay en horizontal, cuántos 
en subida y cuántos en bajada cuando se va de A a B? 
Respuesta: 60 Km en horizontal, 18 Km en subida y 34 Km en bajada. 
 
 
62) La red de la figura representa el 
flujo del tránsito (en vehículos por hora) 
en varias calles de un solo sentido en el 
centro de Baltimore en un día común, 
poco después del mediodía. 
Determine el patrón de flujo general 
para la red. 
 Respuesta: 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝑥 = 600 − 𝑥
𝑥 = 200 + 𝑥
𝑥 = 400
𝑥 = 500 − 𝑥
𝑥 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒
 
 
 
 
 
63) Determine las corrientes 
 𝐼 ; 𝐼 ; 𝐼 en la red eléctrica que 
se muestra en la figura 
 Respuesta: 𝐼 = 1 𝐴; 𝐼 = 4 𝐴; 𝐼 = 3 𝐴 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64) La figura muestra una red de tuberías con flujos 
medidos en litros por minuto. 
(a) Establezca y resuelva un sistema de ecuaciones 
lineales para encontrar los flujos posibles. 
(b) Si el flujo a través de AB se restringe a 5 L/min, 
¿cuáles serán los flujos a través de las otras ramas? 
(c) ¿Cuáles son los posibles flujos mínimo y máximo a 
través de cada rama? 
(d) Se supuso que el flujo siempre es positivo. ¿Qué 
significaría flujo negativo, si supone que se permite? 
Proporcione una ilustración para este ejemplo. 
 Respuesta: 
a) 𝑓 = 30 − 𝑡; 𝑓 = −10 + 𝑡 ; 𝑓 = 𝑡 
b) 𝑓 = 15 ; 𝑓 = 15 
c) 0 ≤ 𝑓 ≤ 20 ; 0 ≤ 𝑓 ≤ 20 ; 10 ≤ 𝑓 ≤ 30 
d) Flujo negativo significa que el agua fluye hacia atrás, contra la dirección de la flecha 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
 
78 
 
65) Balancear las siguientes ecuaciones químicas 
a) 𝐹𝑒𝑆 + 𝑂 → 𝐹𝑒 𝑂 + 𝑆𝑂 
 
b) 𝐶 𝐻 + 𝑂 → 𝐶𝑂 + 𝐻 𝑂 (Esta reacción ocurre cuando butano, 𝐶 𝐻 , se quema en presencia de 
oxígeno para formar dióxido de carbono y agua.) 
 
c) 𝐶 𝐻 𝑂𝐻 + 𝑂 → 𝐻 𝑂 + 𝐶𝑂 (Esta ecuación representa la combustión de alcohol amílico) 
 
d) 𝑁𝑎 𝐶𝑂 + 𝐶 + 𝑁 → 𝑁𝑎𝐶𝑁 + 𝐶𝑂 
 Respuestas: a) 4𝐹𝑒𝑆 + 11𝑂 → 2𝐹𝑒 𝑂 + 8𝑆𝑂 ; b) 2𝐶 𝐻 + 13𝑂 → 8𝐶𝑂 + 10𝐻 𝑂 ; 
c) 2𝐶 𝐻 𝑂𝐻 + 15𝑂 → 12𝐻 𝑂 + 10𝐶𝑂 ; d) 𝑁𝑎 𝐶𝑂 + 4𝐶 + 𝑁 → 2𝑁𝑎𝐶𝑁 + 3𝐶𝑂 
 
66) Una red de diques de irrigación se muestra en la figura con flujos medidos en miles de litros 
por día. 
(a) Establezca y resuelva un sistema de 
Ecuaciones lineales para encontrar los posibles 
flujos f1, . . . , f5. 
(b) Suponga que DC está cerrado. ¿Qué 
intervalo de flujo se necesitará mantener a 
través de DB? 
(c) De la figura es claro que DB no puede 
cerrarse. (¿Por qué no?) ¿Cómo su solución 
al inciso (a) demuestra esto? 
(d) De su solución al inciso (a), determine los 
flujos mínimo y máximo a través de DB. 
 Respuestas: 
a) 𝑓 = −200 + 𝑠 + 𝑡 ; 𝑓 = 300 − 𝑠 − 𝑡 ; 𝑓 = 𝑡 ; 𝑓 = 150 − 𝑡 ; 𝑓 = 𝑡 
b) 200 ≤ 𝑓 ≤ 300 
 
 
67) Las redes de los incisos (a) y (b) de la figura muestran dos resistores acoplados en serie y 
en paralelo, respectivamente. Se quiere encontrar una fórmula general para la resistencia 
efectiva de cada red; esto es, encontrar 𝑅 de manera que 𝐸 = 𝑅 . 𝐼 
(a) Demuestre que la resistencia efectiva (𝑅 ) de una red con dos resistores acoplados en serie 
[figura a] está dada por 𝑹𝒆𝒇 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 
(b) Demuestre que la resistencia efectiva 𝑅 de una red con dos resistores acoplados en 
paralelo [figura b] está dada por 𝑹𝒆𝒇 =
𝟏
𝟏
𝑹𝟏
𝟏
𝑹𝟐
 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
 
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68) (a) Establezca y resuelva un sistema de 
Ecuaciones lineales para encontrar los posibles 
flujos en la red que se muestra en la figura. 
(b) ¿Es posible que 𝑓 = 100 y 𝑓 = 150? 
(Primero responda esta pregunta con referencia 
a su solución del inciso (a), y luego directamente 
de la figura) 
(c) Si 𝑓 = 0 , ¿cuál será el rango de flujo en 
cada una de las otras ramas? 
Respuestas: 
a) 
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎧
𝑓
1
= 𝑓
6
 
𝑓
2
= 50 + 𝑓
7
 
𝑓
3
= −100 + 𝑓
6
 
𝑓
4
= 100 + 𝑓
6
− 𝑓
7
𝑓
5
= 250 − 𝑓
7
 
𝑓
6
= 𝑓
6
 
𝑓
7
= 𝑓
7
 
 
b) No es posible 
c) 100 ≤ 𝑓 
100 ≤ 𝑓 ≤ 250