Unidad 2 - Matrices

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7
UNIDAD N°2: Matrices 
Suma de Matrices 
 
Producto de una Matriz por un Escalar 
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
..... .....
..... .....
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..... .....
n n
n n
m m mn m m mn
a a a ka ka ka
a a a ka ka ka
A k A
a a a ka ka ka
   
   
     
   
   
      
 
Ejercicios resueltos: 
Dadas las matrices: 
𝐴 =
2 −4 1
0 3 5
 ; 𝐵 =
−1 3 1
2 0 5
 ; 𝐶 =
0 1 2
0 −1 3
 
A) 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝐴 + 𝐵 
𝐴 + 𝐵 =
2 −4 1
0 3 5
+
−1 3 1
2 0 5
=
2 − 1 −4 + 3 1 + 1
0 + 2 3 + 0 5 + 5
=
1 −1 2
2 3 10
 
B) 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 3𝐴 − 2𝐶 
3𝐴 − 2𝐶 = 3
2 −4 1
0 3 5
− 2
0 1 2
0 −1 3
=
6 −12 3
0 9 15
−
0 2 4
0 −2 6
= 
=
6 − 0 −12 − 2 3 − 4
0 − 0 9 − (−2) 15 − 6
=
6 −14 −1
0 11 9
 
C) 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝐴 
𝐴 =
2 −4 1
0 3 5
 ; 𝐴 =
2 0
−4 3
1 5
 
 Dadas las matrices: 
2 4 1 1 3 1 0 1 2
; ;
0 3 5 2 0 5 0 1 3
A B C
      
            
 
Resolver: 
1) B – C = ; 2) A + (B + C) = ; 3) B + A = ; 4) (A + B) + C = 
5) B + (-C) = ; 6) B + (- B) = ; 7) A + N = (siendo “N” la matriz nula) 
8) 3 (A+B)= ; 9) 3 A + 3 B = ; 10) (5 - 3) A = 
11) 5 A – 3 A = ; 12) 3 (2 B) = ; 13) (3 . 2)B = ; 14) (BT)T = 
15) (B + C)T = ; 16) CT + BT = ; 17) BT + CT = ; 18) (3 B - A)T = 
19) (A + B + C)T = ; 20) A + BT = 
¿Qué propiedad demuestra considerando los ejercicios números 2 y 4?. 
11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1
21 22 2 21 22 2 21 21 22
1 2 1 2
..... ..... .....
..... .....
;
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..... .....
n n n n
n n
m m mn m m mn
a a a b b b a b a b a b
a a a b b b a b a b
A B A B
a a a b b b
     
            
   
   
      
22 2 2
1 1 2 2
.....
..... ..... ..... .....
.....
n n
m m m m mn mn
a b
a b a b a b
 
  
 
     
 8
¿Qué conclusión extrae del ejercicio 6?; y del ejercicio 7?; ¿Qué conclusión le merece la 
comparación de los ejercicios 8 y 9?, puede enunciar alguna propiedad?; ¿y de los 
ejercicios 10 y 11?; ¿y de los 12 y 13? 
En el ejercicio número 14, ¿qué operación realiza? En el ejercicio número 14, ¿qué 
conclusión le merece? De la comparación de los ejercicios números 15, 16 y 17; ¿qué 
conclusión extrae? Del ejercicio número 20, ¿puede extraer alguna conclusión? 
Respuestas: 
1) B–C = 
1 2 1
2 1 2
  
 
 
; 2) A+(B+C) =
1 0 4
2 2 13
 
 
 
; 3) B+A=
1 1 2
2 3 10
 
 
 
; 
4) (A+B)+C= 
1 0 4
2 2 13
 
 
 
: 5) B + (-C) = 
1 2 1
2 1 2
  
 
 
 ; 6) B + (- B) = 
0 0 0
0 0 0
 
 
 
 
7) A + N = 
2 4 1
0 3 5
 
 
 
 ; 8) 3 (A + B) = 
3 3 6
6 9 30
 
 
 
; 9) 3A+3B= 
3 3 6
6 9 30
 
 
 
 
10) (5 - 3) A= 
4 8 2
0 6 10
 
 
 
; 11) 5A - 3A = 
4 8 2
0 6 10
 
 
 
 ; 12) 3 (2 B) = 
6 18 6
12 0 30
 
 
 
 
13) (3 . 2) B = 
6 18 6
12 0 30
 
 
 
; 14) (BT)T = 
1 3 1
2 0 5
 
 
 
 ; 15) (B + C)T = 
1 2
4 1
3 8
 
  
  
 
16) CT + BT = 
1 2
4 1
3 8
 
  
  
; 17) BT + CT= 
1 2
4 1
3 8
 
  
  
 ; 18) (3B - A)T = 
5 6
13 3
2 10
 
  
  
 
19) (A + B + C)T = 
1 2
0 2
4 13
 
 
 
  
; 20) A + BT = 
Operacion
no
conformable





 
 Dadas las siguientes matrices: 
1 3 5 0 1 2 1 2 6 1 2 3
0 2 4 ; 1 0 3 ; 3 4 7 ; 2 4 5
0 0 6 2 3 0 5 8 9 3 5 8
E F G H
        
                  
                
 
Resolver: 
21) ET = ¿Qué tipo de matriz es “E”?, y después de la operación? 
22) FT =; 
23) – F =; ¿Qué tipo de matriz es “F”? De la comparación de los ejercicios 22 y 23 ¿qué 
conclusión extrae? 
24) G + GT = 
25) G – GT = ; Del resultado del ejercicio 24, ¿Qué conclusión puede obtener? y del 
número 25? Para que esto ocurra, ¿cómo debe ser la matriz “G”? 
26) HT = ¿Qué tipo de matriz es “H”? ¿Qué conclusión extrae de este resultado? ; 
27)    1 1
2 2
T TH H H H    ¿Conclusión? ; 
28) F + FT= ¿Conclusión? 
 9
 
Respuestas.: 
 21) ET = 
1 0 0
3 2 0
5 4 6
 
 
 
  
; 22) FT = 
0 1 2
1 0 3
2 3 0
 
   
  
; 23) – F = 
0 1 2
1 0 3
2 3 0
 
   
  
 ; 
24) G + GT = 
2 5 11
5 8 15
11 15 18
 
 
 
  
 ; 25) G – GT =
0 1 1
1 0 1
1 1 0
 
  
  
 ; 26) HT = 
1 2 3
2 4 5
3 5 8
 
  
  
 
27)    1 1
2 2
T TH H H H   
1 2 3
2 4 5
3 5 8
 
  
  
 ; 28) F + FT = 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
 
  
 
 Dadas las matrices 
1 1 4 2 3 4
;
0 4 2 1 0 2
A B
    
        , 
Resolver: 
29) A + B = ; 30) –1 B = ; 31) A – B = ; 32) 4(B + C) = 
33) 2 A = ; 34) (-3) A + 2 B = 
Respuestas: 
29) A + B = 
3 2 0
1 4 4
 
  
 ; 30) –1 B = 
2 3 4
1 0 2
  
   
 ; 31) A – B = 
1 4 8
1 4 0
  
   
 
32) 4(B + C) = 
12 8 0
4 16 16
 
  
 ; 33) 2 A = 
2 2 8
0 8 4
 
  
 ; 34) (-3) A + 2 B = 
1 9 20
2 12 2
 
  
 
 Dadas las matrices 
2 2 3 0 1 3
4 1 3 ; 4 5 1
4 5 4 1 2 4
A B
    
         
      
 , 
Resolver: 
35) AT = ; 36) BT = ; 37) (A + B)T = ; 38) AT + A = ; 
39) Verificar si AT + BT = (A + B)T. Analice el ejercicio 38) y diga qué tipo de matriz es “A”?; 
del resultado ¿qué matriz obtuvo? 
Respuestas: 
35) AT = 
2 4 4
2 1 5
3 3 4
 
 
 
   
; 36) BT = 
0 4 1
1 5 2
3 1 4
 
  
  
; 37) (A + B)T = 
2 8 5
3 4 7
6 2 8
 
  
   
 
 10
38) AT + A = 
4 6 1
6 2 2
1 2 8
 
 
 
  
 ; 39) AT + BT = 
2 8 5
3 4 7
6 2 8
 
  
   
= 
2 8 5
3 4 7
6 2 8
 
  
   
= (A + B)T 
 Dadas las siguientes matrices 
𝐴 =
1 2
3 4
 ; 𝐵 =
−10 1
1 10
; 𝐶 = [1 2 3]; 𝐷 =
4 7 8
9 1 10
; 
𝐸 =
−1 −1 2
−2 2 1
; 𝐹 =
1 0
3 2
7 −1
 
Resolver: 
40) A + 2B = ; 41) –5 F = ; 42) - C = ; 43) 4D + 4E = 
Respuestas: 
40) A + 2B = 
19 4
5 24
 
 
 
; 41) –5 F = 
5 0
15 10
35 5
 
   
  
 ; 42) - C =  1 2 3   
43) 4D + 4E = 
12 24 40
28 12 44
 
 
 
 
 Dadas las matrices: 
1 2 3 2
3 4 1 5
5 6 4 3
A y B
    
        
      
 
de orden 3 x 2, hallar una matriz “D”, de modo tal que: 
44) A + B – D = Matriz Nula ; 45) 2 A + 3 B – 4 D = 5 A. 
Respuestas: 
44) D = 
1 2
3 4
5 6
x x
x x
x x
 
 
 
  
 = 
2 0
4 1
9 9
 
  
  
 ; 45) D = 
3 3
3 27
2 4
3 9
4 4
   
  
 
    
 
 Considerando las matrices 
1 2 1 0 5 4
0 2 3 1 3 2
A y B
   
    
   
 
46) determinar la matriz “ X ”, tal que: 2A + 3B – X = Matriz Nula. 
Respuesta: 
1 2 3
4 5 6
x x x
x x x
 
 
 
 = 
2 19 10
3 13 12
 
 
 
 
 
 
 11
Multiplicación de Matrices 
 b11 b12 
 b21 b22 
 b31 b32 
 a11 a12 a13 a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32 
 a21 a22 a23 a21b11+a22b21+a23b31a21b12+a22b22+a23b32 
Ejemplo con números: 
 1 0 
 2 –1 B3x2 
 4 1 
 A2x3 -2 3 1 8 -2 
 5 6 4 33 -2 C2x2 
 3 9 5 41 -4 
Aclaración: 
Se ha efectuado en forma práctica (en números), el producto de la matriz “A” de orden dos 
por tres (2x3) por la matriz “B” de orden tres por dos (3x2), obteniendo como resultado la 
matriz “C” de orden dos por dos (2x2). 
Podemos observar en este ejemplo que tanto en la matriz “A” (la matriz que premultiplica) 
como en la Matriz “C” (matriz resultado), que existe en ambas una fila adicional (números 
encerrados en un cuadrito). 
La fila adicional de la matriz “A” ha sido constituida sumando los elementos de dicha matriz 
por columnas, o sea, de la primera columna: -2 + 5 = 3 ; de la segunda columna: 3 + 6 = 9 
; de la tercera columna: 1 + 4 = 5. Una vez constituida dicha fila adicional en la matriz “A”, 
utilizo la misma como si se tratara de una fila más de “A”, operando la misma en forma 
similar a las otras filas de “A”, lo cual me da por resultado la tercer fila de la matriz “C”. 
Los números de esta tercer fila de la matriz resultado “C”, deben ser iguales a la suma de 
los elementos de las columnas de dicha matriz “C”, o sea: 
41 = 8 + 33 , y , -4 = -2 + (-2). 
Esta operación adicional al producto de las matrices “A” y “B” nos permite comprobar la 
exactitud de los resultados obtenidos; es decir se trata de una verificación del producto de 
las matrices “A” y “B”. 
 Dadas las siguientes matrices: 
 
4 6 1 2 4
3 0 2 ; 0 1 ; 3 1 2
1 2 5 1 2
K L M
   
        
       
 
de las siguientes expresiones, encontrar aquellas que estén definidas: 
47) K . L = ; 48) L . K = ; 49) K2 = ; 50) L2 = ; 51) K . KT = ; 52) KT. K = 
53) L . LT = ; 54) LT. L = ; 55) (K . L)T = ; 56) LT. KT = ; 57) K . M = 
58) K . MT = ; 59) M . K = ; 60) M . MT = ; 61) MT. M = ; 62) M . K . L = 
63) (K . L)T. MT = 
 12
¿Qué conclusión obtiene al observar los resultados de los ejercicios 51 y 52?, ¿Qué 
conclusión le merece al observar los resultados de los ejercicios 55 y 56?, ¿Qué conclusión 
obtiene al observar el resultado del ejercicio 61?, ¿Qué matriz obtuvo? 
Respuestas: 
47) K . L =
9 20
4 16
3 12
 
 
 
  
 ; 48) L . K = Operación no conformable ; 49) 𝐾 =
33 26 3
14 14 7
3 −4 20
 
50) L2 = Operación no conformable ; 51) 𝐾. 𝐾 =
53 10 −13
10 13 13
−13 13 30
 ; 
52)𝐾 . 𝐾 =
26 22 7
22 40 −16
7 −16 30
 ; 53) 𝐿. 𝐿 =
20 4 6
4 1 2
6 2 5
 ; 54)𝐿 . 𝐿 = 5 6
6 21
 
55)(𝐾. 𝐿) = 9 4 −3
20 16 12
 ; 56) 𝐿 𝐾 = 9 4 −3
20 16 12
 
57) K.M = Operación no conformable ; 58)𝐾. 𝑀 =
16
13
11
 ; 59)𝑀. 𝐾 = [17 14 9] ; 
60)𝑀. 𝑀 = [14] ; 61)𝑀 . 𝑀 =
9 3 6
3 1 2
6 2 4
 ; 62) 𝑀. 𝐾. 𝐿 = [25 100] ; 63)(𝐾. 𝐿) . 𝑀 =
25
100
 
 Dadas las matrices: 
1 4 6
2 1 5
; 2 3 1
3 2 8
1 2 2
C D
 
           
 
Hallar de ser compatible: 
64) C . D = ; 65) D . C = 
Respuestas: 
64) C . D = 
9 21 23
15 34 36
 
 
  
; 65) D . C = Operación no conformable 
 Dada la matriz 
A = 
2 5 4
1 3 0
2 6 0
 
 
 
  
 
66) hallar A2. 
Respuesta: 
66) A2 = 
17 49 8
5 14 4
10 28 8
 
 
 
   
 13
 Considerando las matrices: 
 
2 2 4
1 2 1
4 5 6 ; 3 ; ; 1 5
4 0 2
1 2 2
A B C D
   
                   
;
1 1 2 2
3 2 5 ; 1
2 1 0 3
E F
   
        
      
 ; 
hallar: 
67) A . B = ; 68) B . A = ; 69) C . D = ; 70) E . F = 
Respuestas: 
67) 𝐴. 𝐵 = [17] ; 68)𝐵. 𝐴 =
8 10 12
12 15 18
−4 −5 −6
 ; 69)𝐶. 𝐷 = 2 8
4 −12
 ; 70)𝐸. 𝐹 =
9
19
−5
 
 Dadas las matrices: 
A = 
1 1 1
3 2 1
2 1 0
 
   
  
 y B = 
1 2 3
2 4 6
1 2 3
 
 
 
  
 
verificar si se cumplen las siguientes proposiciones: 
71) (A . B)T = AT. BT ; 72) A . B = B . A 
73) A . B = Matriz Nula siendo A  0 y B  0, es decir, ni “ A ” ni “ B ” son matrices nulas. 
Respuestas: 
71) (A . B)T = 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
 
   
 
11 22 11
6 12 6
1 2 1
   
 
 
    
 = AT . BT; 
72) A . B = 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
 
   
 
11 6 1
22 12 2
11 6 1
  
   
    
= B . A ; 73) A . B = 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
 
  
 
 Dada la matriz 
A = 
2 1 1
0 1 2
1 0 1
 
 
 
  
 
74) calcular A2 . 
Respuesta: 
74) A2 = 
5 3 1
2 1 4
3 1 2
 
 
 
   
 
 
 14
 Utilizando las matrices: 
1 2 4 2 4 2
3 1 5 1 2 1
2 4 0 1 2 1
P y Q
    
         
       
 
resolver: 
75) P . Q ; 76) Q . P 
Respuestas: 
75)P . Q = 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
 
  
 ; 76) Q . P = 
10 8 28
5 4 14
5 4 14
 
   
   
 
 Dadas las matrices 
1 2 0
1 1 1
2 1 1
2 2 2
3 3 1
A y B
 
            
 
77)resolver : A . B. Del resultado obtenido, ¿qué conclusión obtiene? 
Respuesta: 
77) A . B = 
0 0 0
0 0 0
 
 
 
 
 Supongamos que “A” y “B” son matrices de orden cuatro por cinco y que “C”, “D” y 
“E” son matrices de orden cinco por dos, cuatro por dos y cinco por cuatro 
respectivamente. Determinar cuáles de las siguientes expresiones matriciales están 
definidas. Para las operaciones que estén definidas, dé el tamaño de la matriz 
resultado. 
78) B . A = ; 79) A . C + D = ; 80) A . E + B = 
 81) A . B + B = ; 82) E .(A + B) = ; 83) E . (A . C) = 
Respuestas: 
78) Operación no conformable 
79) Operación definida, su resultado es una matriz de orden cuatro por dos. 
80) Operación no conformable 
81) Operación no conformable 
82) Operación definida, se obtiene como resultado una matriz de orden cinco por cinco 
83) Operación definida, su resultado es una matriz de orden cinco por dos. 
 Dadas las matrices 
4
0 6 4 5 3 1
; ; 1
1 3 8 2 2 3
6
A B C
 
                    
 y
2
3
D
 
  
 
 , 
 15
84) calcular: (A + B) . C – D = 
Respuesta: 
84) (A + B) . C – D = 21
74
 
 
 
 
 Dadas las matrices: 
1 1
2 1 1 1
; 2 0
3 1 1 3
3 1
A B y C
 
               
 , 
85) probar sí: (A .B) . C = A . (B .C).Del resultado obtenido, ¿qué conclusión puede obtener 
respecto a las propiedades del producto de matrices? 
Respuesta: 
85) (A.B).C =
10
14
 
 
 
= A.(B.C) ; esto confirma que el producto de matrices goza de la 
propiedad asociativa. 
 Dadas las matrices: 
1 2
1 2 1 3 0 0 2 1
; ; 0 3
0 1 2 1 1 3 2 1
2 5
A B C y D
 
                          
, 
probar sí: 86) A.(B+C) = A.B+A.C ; 87) (B+C).D = B.D+C.D. 
De los resultados obtenidos, ¿qué le permite asegurar respecto al producto de matrices?. 
Respuestas: 
86) A . (B + C) = 
1 11 1
1 3 0
  
  
= A . B + A . C ; 87) (B + C).D=
1 12
1 7
 
  
= B . D + C . D 
 Dadas las matrices: 
1 2 0
1 2 0 0 1 1
; 2 1 1
0 1 2 2 3 0
3 3 1
A B y C
 
               
 
87) Probar sí: A .B = C .B . 
88) De la comprobación que acaba de efectuar, ¿Qué conclusión le merecen los resultados 
obtenidos? ; ¿Qué implicanlos mismos? 
Respuesta: 
87) A . B = 
5 4 2
8 7 3
 
 
 
= C . B 
88) Hemos podido probar que A . B = C . B, lo cual no implica que la matriz “A” sea igual 
a la matriz “C”  A  C. 
89) Sean A y B dos matrices que pertenecen al espacio n x n, es decir dos matrices 
cuadradas de orden “n”. Bajo que condición se verifica: (A + B)2 = A2 + 2 A. B + B2 
Respuesta: 
 16
89) Esta relación se cumple si la matriz “A” es la inversa de “B” o “B” es la inversa de “A”. 
 
 Dadas las matrices: 
 
3 2 4 0 0 1
;
1 3 1 5 4 6
A B y C
     
            
; y los escalares: a = -3 y b = 2 ; probar que: 
 
90) A + (B + C) = (A + B) + C 
 
91) (A . B) . C = A . (B . C) 
 
92) (a + b) . C = a . C + b . C 
 
93) a . (B – C) = a . B – a . C 
Respuestas: 
90) A + (B + C) = 
7 1
4 14
 
 
 
= (A + B) + C ; 91) (A . B) . C = 
40 46
60 91
 
 
 
= A . (B . C) 
92) (a + b) . C = 
0 1
4 6
 
   
= a . C + b . C ; 93) a . (B – C) = 
12 3
9 3
  
 
 
= a. B – a . C 
 
 
 Dadas las matrices: 
2 1 8 2 0 2
; ;
0 1 0 1 0 0
A B C
     
       
     
; calcular, aplicando propiedades: 
 
94) (AT . B)T = 
 
95) (CT. A)T . CT = 
Respuestas: 
94) (AT.B)T = 
16 8
4 3
0 0
 
 
 
  
 ; 95) (CT. A)T. CT = 
8 0
4 0
 
 
 
 
 
 
 Dadas las matrices: 
1 0 0 1 0
0 2 0 ; 2 0
0 0 0 0 7
D E y F
     
            
          
; calcular: 
 
96) (DT. E .FT)T = 
97) (ET. F)T. D = 
 17
Respuestas: 
96) (DT. E .FT)T = 
0 0 0
0 0 0
7 28 0
 
 
 
   
; 97) (ET.F)T. D = Operación no conformable 
 
 Dadas las matrices: 
3 0 0 4
0 2 0 5
0 0 3 6
A y Z
   
       
      
 
98) Determinar las componentes de la matriz 𝑋 =
𝑥
𝑥
𝑥
 tal que se verifique la expresión: 
(A – I)T. X = A . X + 3 Z, siendo “ I ” la matriz identidad del mismo orden que la matriz “A”. 
Respuesta: 
98) 𝑋 =
𝑥
𝑥
𝑥
=
−12
−15
−18
 
 
 
 Dadas las matrices: 
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 23 33 31 32 33
a a a b b b
A a a a y B b b b
a a a b b b
   
       
      
; comprobar si: 
 
99) (AT)T = A 
 
100) (A+B)T = AT+BT 
 
101) (A . B)T = BT . AT 
 
102) (k . A)T = k . AT 
 
 
 18
Matriz Elemental 
Efectuando una operación elemental sobre la matriz “I”, resulta: 
12
1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1
I e E
   
         
      
 
Ejercicios resueltos 
A) Dar la matriz elemental “E” de orden tres por tres (E  R3x3), correspondiente a cada 
una de las operaciones elementales siguientes: e13 ; e12(-2) e2(-1) ; 
13 1 12( 2) 2
1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 2 0
0 1 0 0 1 0 ; 0 1 0 0 1 0 ;
0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1
e E e E
       
                   
              
2( 1) 3
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
e E
   
         
      
 
B) Dada la matriz 𝐴 =
1 2
0 3
2 −1
 y utilizando las matrices elementales correspondientes 
al apartado A), verificar en cada caso que la operación elemental sobre “A” es igual 
al producto de la matriz “E” por la matriz “A”  e(A) = E . A 
 
13 1
1 2 2 1 0 0 1 1 2 2 1
0 3 0 3 (1) ; . 0 1 0 . 0 3 0 3 (2) (1) (2)
2 1 1 2 1 0 0 2 1 1 2
e E A
          
                       
                   
 
12( 2) 2
1 2 1 4 1 2 0 1 2 1 4
0 3 0 3 (3) ; . 0 1 0 . 0 3 0 3 (4) (3) (4)
2 1 2 1 0 0 1 2 1 2 1
e E A
           
                       
                     
 
2( 1) 3
1 2 1 2 1 0 0 1 2 1 2
0 3 0 3 (5) ; . 0 1 0 . 0 3 0 3 (6) (5) (6)
2 1 2 1 1 0 0 2 1 2 1
e E A
         
                          
                     
 
C) Encontrar la matriz “P” que transforma la matriz “A” en su reducida por filas 
𝐴 =
 2 −1
 5 2
−3 0
 
Para obtener la matriz reducida por filas de la matriz “A”, deberíamos efectuar sobre la 
misma, operaciones elementales que transformen dicha matriz en su reducida por filas, es 
decir: 
 19
1
21
31
2
2 1 1
5 2 7 (1/ 2)
3 0 3
1 11 2 2
5 2 7 ( 5)
3 0 3
1 11 2 2
9 90 (3)2 2
3 0 3
1 11 2 2
9 9 20 ( )2 2 9
3 30 2 2
CC
e
e
e
e

 


 

 

 
 
32
12
1 11 2 2
30 1 1 ( )2
3 30 2 2
1 11 2 2
10 1 1 ( )2
0 0 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
e
e

 

 
Siendo entonces la matriz P = E6 . E5 . E4 . E3 . E2 . E1 ; resultando entonces: 
2 1 09 9
5 2 09 9
6 3 19 9
P
 
 
  
 
 
  
 ; y 
2 1 09 9 2 1 1 0
5 2. 0 . 5 2 0 19 9
3 0 0 06 3 19 9
P A
 
    
          
        
  
 
D) Dada la matriz 𝐴 =
1 2
0 1
2 1
, dar la matriz elemental “E”, tal que: E . A = B; siendo: 
𝐵 =
1 2
2 1
0 1
 
Comparando la matriz dada “A” con la matriz “B”, podemos observar que en la matriz “A” 
se han cambiado la segunda con la tercer fila para obtener la matriz “B”. Entonces, para 
obtener la matriz elemental “E” deberé efectuar sobre la matriz identidad de orden 3 x 3 
una operación elemental que cambie la fila dos con la fila tres en la matriz unidad, o sea: 
Para poder confeccionar la matriz “P” pedida, debemos 
tener las matrices elementales E1 , E2 , E3 , etc. 
construidas con las matrices identidades a las cuales les 
aplicamos las operaciones elementales utilizadas para 
transformar la matriz dada “A” a la matriz reducida por 
filas, o sea: 
1 1
1 0 01 0 0 2
0 1 0 (1 / 2) 0 1 0
0 0 1 0 0 1
e E
                 
 
21 2
1 0 0 1 0 0
0 1 0 ( 5) 5 1 0
0 0 1 0 0 1
e E
   
          
      
 
31 3
1 0 0 1 0 0
0 1 0 (3) 0 1 0
0 0 1 3 0 1
e E
   
        
      
 
2 4
1 0 01 0 0
2 20 1 0 ( ) 0 09 9
0 0 1 3 0 1
e E
  
      
     
32 5
1 0 0 1 0 0
30 1 0 ( ) 0 1 02
0 0 1 30 12
e E
                 
 
12 6
11 01 0 0 2
10 1 0 ( ) 0 1 02
0 0 1 0 0 1
e E
                 
 
 20
32 32
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 2
0 1 0 0 0 1 , . 0 0 1 . 0 1 2 1
0 0 1 0 1 0 0 1 0 2 1 0 1
E I e e E tal que E A B
         
                          
                  
 
E) Dada la siguiente matriz, encontrar la matriz reducida por filas mediante operaciones 
elementales; además dar su rango. 
𝐴 =
1 0 1 0
0 1 −1 1
1 1 0 0
 
3 1
3 2
2 3
3
1 0 1 0 2
0 1 1 1 1 ( 1)
1 1 0 0 2
1 0 1 0 2
0 1 1 1 1 ( 1)
0 1 1 0 0
1 0 1 0 2
0 1 1 1 1 (1)
0 0 0 1 1
1 0 1 0 2
0 1 1 0 0 ( 1)
0 0 0 1 1
1 0 1 0 2
0 1 1 0 0
0 0 0 1 1
C C
e
e
e
e
 
 


 
 
 

 
F) Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz utilizando operaciones elementales 
sobre filas (matriz reducida por filas) 
𝐴 =
2 1
5 3
 
Dado el ejercicio la matriz 𝐴 = 2 1
5 3
 queremos encontrar su inversa, o sea A-1 , mediante 
la utilización de operaciones elementales. 
 
21(1 / 2 )
21( 5 )
2 ( 2 )
112 2
2 1 1 0 4
5 3 0 1 9
1 11 0 22 2
5 3 0 1 9
1 11 0 22 2
510 1 12 2
1 11 0 22 2
0 1 5 2 2
1 0 3 1 3
0 1 5 2 2
A I
CC
e
e
e
e


 
 
 

 
 
 
→ 
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 1
A
 
   
  
 
 
 r = h = 3 
 
 21
 
Hemos colocado la matriz “A” y al lado de la misma la matriz identidad o unidad del mismo 
tamaño que “A”. Aparece además una columna adicional identificada como cc que significa 
columna control. De esta columna hemos determinado sus dos primeros números 4 y 9, 
los cuales los encontramos sumando los elementos de la primera fila: 2 + 1 + 1 + 0 = 4 y 
luego los elementos de la segunda fila: 5 + 3 + 0 + 1 = 9 . Con estos dosnúmeros 
trabajamos como si fueran elementos de las matrices dadas y luego de cada operación 
efectuada, la suma de los elementos de la fila me debe dar el número de la columna control 
obtenido como resultado de las operaciones. Si dichos números no concuerdan es señal 
que en alguna operación nos hemos equivocado y habrá que revisar las mismas, cosa que 
al llegar al final, la matriz inversa obtenida sea la correcta. 
Debemos también tener presente que: 
A . A-1 = A-1. A = I 
 En cada caso dar la matriz “P” que transforma a la matriz “A” en su reducida por 
filas: 
103)𝐴 =
1 3 2 1
5 −1 0 1
0 1 2 6
 ; 104)𝐴 =
1 3 2
4 −1 0
0 1 1
 
 
Respuestas: 
103) 𝑃 =
⎣
⎢
⎢
⎡
1
11
2
11
−1
11
5
11
−1
11
−5
11
−5
22
1
22
16
22 ⎦
⎥
⎥
⎤
=
⎣
⎢
⎢
⎡
1
11
2
11
−1
11
5
11
−1
11
−5
11
−5
22
1
22
8
11 ⎦
⎥
⎥
⎤
 
104)𝑃 =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
13
65
13
65
−2
5
52
65
−13
65
−8
5
−4
5
1
5
16
22⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
1
5
1
5
−2
5
4
5
−1
5
−8
5
−4
5
1
5
16
22⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
 
 
 Dada la matriz 𝐴 =
1 2
0 1
2 1
,en cada caso, dar la matriz elemental “E”, tal que: 
E . A = B ; siendo: 105) 𝐵 =
1 2
0 3
2 1
 ; 106) 𝐵 =
1 5
0 1
2 1
 ; 107) 𝐵 =
0 1
1 2
2 1
 
Respuestas: 
105) 𝐸 =
1 0 0
0 3 0
0 0 1
 ; 106) 𝐸 =
1 3 0
0 1 0
0 0 1
 ; 107)𝐸 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
 
 
108) Dadas las matrices: 
1 1 0 2 0 0 1 1
1 3 1 5 0 1 0 1
1 13 3 7 1 0 1 1
F y G
    
        
      
; determinar si las 
mismas son equivalentes por filas. 
Respuesta: Las matrices “F” y “G” no son equivalentes por filas. 
 
 22
 Dadas las matrices 
2 1 7 11
5 2 2 3
3 0 1 12
H y L
                  
 
 
109) determinar si las mismas son equivalentes por filas. 
Respuesta: Las matrices “H” y “L” son equivalentes por filas. 
 
 
 Mostrar que las matrices 
1 1 2
2 2
3 3
2 3A A A
A A y B A
A A
   
       
       
110) son equivalentes por filas. 
Respuesta: Las matrices “A” y “B” son equivalentes por filas. 
 
 
 Dadas las siguientes matrices, señalar: 
111) Las matrices reducidas por filas. Para las que no lo sean, especificar que condición o 
condiciones no se verifican 
 
112) El rango de cada matriz 
 
113) En los casos en que la matriz no sea reducida, encontrar la matriz reducida por filas. 
 
1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 3 0 0 1 0 2 0
0 1 3 0 ; 0 1 1 0 ; 0 0 0 1 ; 0 0 1 4 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 1 3 0 0 0 1 0 2 0 1 1 0 0
0 1 0 ; 0 0 1 0 ; 1 0 2 1 ; 2 0 3 0 5
0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 6
A B C D
E F G M
       
                   
              
       
               
           
1 0
; 0 1
0 0
N
  
    
     
 
 
 
 23
 114) Dadas las siguientes matrices, encontrar la matriz reducida por filas mediante 
operaciones elementales; además dar su rango. 
𝐵 =
2 1
5 3
 ; 𝐶 =
1 −1 2
2 1 1
 ; 𝐷 =
1 2 0 −1
2 4 1 4
1 5 −1 2
 
 
1 2 3 3 3 2 4
1 2 3 0 0 1 0 3
0 1 0 0 0 0 0
0 1 2 3 0 ; 0 0 0 ; ;
2 3 2 1 1 1 2
0 0 1 2 3 10 1 2 1 1 2 2 2 1 3
E F G H
                                           
 
3 1 1
2 6 2 1 6 24 24 5
2 0 5 130 3 6 1 2 3 4 0 2; ; ;5 3 13
2 3 4 0 2 6 2 1 6 11 0 1
6 24 24 5 0 3 6 1
0 0 1
I J K L
 
     
                 
             
      
 
 
1 0 2 1 0 0 3 1
2 1 1
1 1 1 1 0 1 0 1
1 0 1 ; ;
2 1 3 0 1 0 1 0
3 1 0
3 2 4 2 3 1 6 2
M N Ñ
   
     
            
      
   
 
Respuestas: 
1 0
0 1
2
B
r h
 
 
 
 
 ;
1 0 1
0 1 1
2
C
r h
 
  
 
; 
1 0 0 7
0 1 0 3
0 0 1 6
3
D
r h
 
   
  
 
1 0 0 4 3
0 1 0 1 6
0 0 1 2 3
3
E
r h
 
    
  
 
 ;
1 0 3
10 1 2
0 0 0
2
F
r h
 
 
  
 
 
 
 ; 
1 0
0 1
0 0
0 0
2
G
r h
 
 
 
 
 
 
 
 ;
1 0 2 0 1
0 1 3 0 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
3
H
r h
 
  
 
 
 
 
11 0 0 2
10 1 0 3
0 0 1 0
0 0 0 0
3
I
r h
 
 
 
  
 
 
  
 
 ;
11 0 0 2
10 1 0 3
0 0 1 0
0 0 0 0
3
J
r h
 
 
 
  
 
 
  
 
 ;
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
3
K
r h
 
 
 
 
 
 
  
 
 
; 
11 6
0 0
2
L
r h
 
  
  
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
M
r h
 
  
  
 
 ;
1 0 2 0
0 1 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3 3
N
Rango igual a r
 
  
 
 
 
 
 ;
11 0 0 3
0 1 0 1
10 0 1 3
0 0 0 0
3
Ñ
r h
 
 
 
  
 
 
  
 
 
 
 24
 Calcular la matriz inversa de las siguientes matrices utilizando operaciones 
elementales sobre filas (matriz reducida por filas) 
115) 𝐵 = −1 5
2 3
 ; 116) 𝐶 =
3 0 1
0 5 0
−1 1 −1
 ; 117) 𝐷 =
2 0 −1
5 1 0
0 1 3
 ; 
118) 𝐸 =
2 −1 0
0 −2 1
1 0 1
 ; 119) 𝐹 =
−4 0 0
0 3 0
0 0 1/2
 ; 120) 𝐺 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
 ; 
121) 𝐻 = cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃
−𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃
 ; 122) 𝐽 = 𝑎 𝑏
𝑏 𝑎
 ; 123) 𝐾 =
2 0 −1
3 2 5
7 2 3
 ; 
124) 𝐿 = 3 1
5 2
 ; 125) 𝑀 = 2 −3
4 4
 ; 126) 𝑁 =
1 2 −2
−1 3 0
0 −2 1
 
Respuestas: 
 1 1 1 1
1 1 1 2 1 1
2 10 2 5 5 53 1 13 5
13 13 1 1 2 2; 0 0 ; 15 6 5 ;5 5 5 52 1
5 2 213 13 3 3 2 1 41
5 5 52 10 2
B C D E   
    
     
                 
              
 
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 0 04 0 1 0
cos10 0 ; 1 0 0 ; ;3 cos
0 0 10 0 2
a b
sen a b a bF G H J
sen b a
a b a b
 
 
   
                                   
 
𝐾 =No existe ; 1 1 1 1
0 0 3 2 6312 1 5 200 ; ; ; 1 1 2
5 3 1 1
2 2 55 102 1 1
K L M N   
 
                           
  
 
 
 127 Considerando las matrices 
3 1 2 3
5 2 4 4
A y B
   
    
   
 , comprobar si se 
satisface la relación (A . B)-1 = B-1. A-13 
 
 128) Calcule la matriz X tal que A . X = A + B siendo A = 2 1
0 1
 y B = 3 3
1 1
 
 
Respuesta 
 
X = 2 1
1 2
 
 
 129) Obtener la matriz X que verifica A . X = 2B – C siendo: 
A = 2 1
−5 0
 ; B = 3 −4
−1 1
 y C= −2 −7
13 2
 
 
Respuesta 
X = 3 0
2 −1
 
 
 25
 130) Considerando la matriz A = −1 2
0 1
 y B = −3 0
2 −1
. Resuelva la ecuación 
matricial A . X . At – B = 2 I , donde I es la matriz identidad de orden 2. 
 
Respuesta: 
 
X = −1 2
0 1
 
 
 131) Calcule la matriz X en cada una de las siguientes ecuaciones matriciales : 
 
a) X + A = 3X 
b) 5X + A = X + B 
c) X + AX = B 
d) 2X + XA = B 
e) AX + BX = C 
f) AX + A =BX 
 
Siendo A = 1 2
0 1
 ; B= −1 0
3 1
 y C = −1 −1
−1 0
 
 
Respuesta 
a) X = 
1
0
; b) X = 
− −
0
; c) X= 
−2 −
; d) X =
−
1 −
 
e) X = 
0
− −
; f) X = 
0
− −
 
 
132) Calcule la matriz X de la siguiente ecuación matricial X.A.B – X.C = 2C siendo 
A= 1 1
3 4
 ; B= 2 1
1 1
 y C= 1 2
1 3
 
 
Respuesta: 
 
X= 
−7/2 1
−23/4 3/2
 
 
 
 
 
 26
APLICACIONES DE MATRICES 
 
 133) Dadas las matrices: A = 
20 30 50
30 20 60
30 30 32
 Y B= 
5
45
10
 
 
Las columnas de A representan los litros de líquido 1, líquido 2 y líquido 3 que se han 
echado en tres bidones para formar cocteles, mientras que las filas representan distintos 
bidones en los que se mezclan. Por su parte, la matriz B representa los precios por litro de 
cada uno de los 3 líquidos. 
 
Responda: 
A) ¿Cuál es el significado real de la multiplicación A.B? 
B) Sea C la matriz [10 4 5]. Hallar C.A.B y dar su significado real 
 
Respuesta: 
 A) A.B = 
1950
1650
1820
 1950: Representa el precio del bidón 1 ; 1650: Representa elprecio del 
bidón 2; 1820: Representa el precio del bidón 3 
B) C.A.B = 35200. Representa el valor de 10 bidones 1, 4 bidones 2 y 5 bidones 3. 
 
 
 
 134) Una firma de automóviles dispone de dos plantas de fabricación, una en 
España y otra en Inglaterra, en los que fabrica dos modelos de coches M1 y M2, de 
tres colores x, y, z. Su capacidad de producción diaria en cada planta está dada por 
las siguientes matrices (A para España y B para Inglaterra). 
 
A =
300 95
250 100
200 100
 B=
190 90
200 100
150 80
 
A) Determinar la representación matricial de la producción total por día 
B) Si se eleva la producción en España un 20% y se disminuye en Inglaterra un 10%, ¿Qué 
matriz representa la nueva producción total? 
Respuesta: 
 M1 M2 
A) A + B = 
300 95
250 100
200 100
 
𝑥
𝑦
𝑧
 
M1 M2 
B) Anueva + Bnueva = 1,2 A + 0.9 B = 
531 195
410 210
375 192
 
𝑥
𝑦
𝑧
 
 
 
 
 135) Un construtor hace una urbanización con tres típos de viviendas: S (sencillas), 
N (normales) y L (lujo). Cada vivienda sencilla tiene 1 ventana gande, 7 medianas y 
1 pequeña. Cada vivienda normal tiene 2 ventanas grandes, 9 medianas y 2 
pequeñas. Y cada vivienda de lujo tiene 4 ventanas grandes, 10 medianas y 3 
pequeñas. Cada ventana grande tiene 4 cristales y 8 bisagras, cada ventana 
mediana tiene dos cristales y 4 bisagras; y cada ventana pequeña tiene 1 cristal y 2 
bisagras. 
 27
A) Escribir una matriz que describa el número y tamaño de ventanas en cada tipo de 
vivienda; y otra matriz que exprese el número de cristales y el número de bisagras en cada 
tipo de ventana. 
B) Calcular una matriz que exprese el número de cristales y de bisagras necesarias en 
cada tipo de vivienda. 
 
 
Respuesta: 
 G M P C B 
A) A = 
1 7 1
2 9 2
4 10 3
 
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑆
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑀
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝐿 
 B= 
4 8
2 4
1 2
𝐺
𝑀
𝑃
 
 
 C B 
B) A.B = 
19 38
28 56
39 78
𝑆
𝑀
𝐿