SESION 11-19 de marzo-Basurto - Benitez gonzalez Jimena

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CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACIÓN PARA EL INGRESO A NIVEL SUPERIOR 
MATEMATICAS 
 
 
SESION 11 
 
5. CALCULO DIFERENCIAL 
5.2 Derivada de funciones algebraicas y trascendentes 
5.2.1. Definición de derivada 
 
Sea 𝑓(𝑥) una función, se define a su derivada 𝑓′(𝑥), como 
 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
 
Para toda x, siempre que el límite exista y se representa por: 
 
𝑦′, 𝑓′(𝑥),
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 𝑜 𝐷𝑥𝑦 
 
5.2.2. Interpretación geométrica 
 
El valor de la derivada en cualquier punto de la curva es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto, 
donde: 
 
∆𝑥: 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑥 
∆𝑦: 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑦 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la gráfica se observa que la pendiente de la recta 𝐿 es: 
 
𝑚𝑡 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
 
 
 
 
 
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MATEMATICAS 
 
 
Si ∆𝑥 tiende a cero, la recta 𝐿 coincide con 𝐿𝑡, entonces la recta de 𝐿𝑡 será el límite de 𝑚𝑡, 
 
lim
∆𝑥→0
𝑚𝑡 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
 
Por definición, la derivada es: 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
 
 
 
Regla de los cuatro pasos 
 
Sea una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces: 
 
1. 𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) 
 
2. ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 
 
3. 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 (𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜) 
 
4. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 (𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛) 
 
Ejemplos: 
 
Encuentra la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 6 
 
Se aplica la regla de los cuatro pasos y se obtiene 
 
1. 𝑦 + ∆𝑦 = 5(𝑥 + ∆𝑥) − 6 
 
2. ∆𝑦 = 5(𝑥 + ∆𝑥) − 6 − (5𝑥 − 6) 
 
3. 
∆𝑦
∆𝑥
=
5𝑥+5∆𝑥−6−5𝑥+6
∆𝑥
=
5∆𝑥
∆𝑥
= 5 
 
4. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
5 = 5 
 
 
Aplica la definición y determina la derivada de 𝑦 = 7𝑥2 − 5𝑥 + 9 
La derivada de la función también se obtiene cuando se utiliza la definición como sigue: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
[7(𝑥 + ∆𝑥)2 − 5(𝑥 + ∆𝑥) + 9] − (7𝑥2 − 5𝑥 + 9)
∆𝑥
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
7(𝑥2 + 2𝑥(∆𝑥) + (∆𝑥)2) − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 9 − 7𝑥2 + 5𝑥 − 9
∆𝑥
 
 
 
 
 
 
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MATEMATICAS 
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
7𝑥2 + 14𝑥(∆𝑥) + 7(∆𝑥)2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 9 − 7𝑥2 + 5𝑥 − 9
∆𝑥
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
14𝑥(∆𝑥) + 7(∆𝑥)2 − 5∆𝑥
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
14𝑥 + 7∆𝑥 − 5 = 14𝑥 − 5 
 
Por consiguiente, la derivada es: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 14𝑥 − 5 
 
5.2.3. Fórmulas de derivadas 
 
La forma directa de obtener la derivada de una función algebraica es la aplicación de las siguientes fórmulas: 
 
1. 
𝑑
𝑑𝑥
𝑐 = 0 
2. 
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 = 1 
3. 
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑣 = 𝑐
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
4. 
𝑑(𝑢+𝑣−𝑤)
𝑑𝑥
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑥
−
𝑑𝑤
𝑑𝑥
 
5. 
𝑑(𝑥𝑛)
𝑑𝑥
= 𝑛𝑥𝑛−1 
6. 
𝑑
𝑑𝑥
𝑣𝑛 = 𝑛𝑣𝑛−1
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
7. 
𝑑
𝑑𝑥
√𝑣
𝑛
=
1
𝑛 √𝑣𝑛−1
𝑛
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
8. 
𝑑
𝑑𝑥
√𝑣 =
1
2√𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
9. 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑢𝑣) = 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
10. 
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑢
𝑣
) = 
𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
−𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑣2
 
11. 
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑐
𝑣
) = −
𝑐
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
12. 
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑣
𝑐
) =
1
𝑐
𝑑𝑣
𝑑𝑥
Ejemplos: 
Calcula la derivada de la función 𝑠 =
1
√𝑡
5 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(
1
√𝑡
5 ) =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑡−
1
5) = −
1
5
𝑡−
1
5−1 = −
1
5
𝑡−
6
5 = −
1
5𝑡
6
5
= −
1
5 √𝑡6
5 
Pero √𝑡6
5
= √𝑡5𝑡
5
= 𝑡 √𝑡
5
, ∴ 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= −
1
5𝑡 √𝑡
5 
Calcula la derivada de la función 𝑦 = (3𝑥2 − 𝑥)7 
 
Se aplica la formula 
𝑑
𝑑𝑥
𝑣𝑛 = 𝑛𝑣𝑛−1
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 y se obtiene: 
 
𝑑
𝑑𝑥
7(3𝑥2 − 𝑥)6 ∙
𝑑
𝑑𝑥
(3𝑥2 − 𝑥) = 7(3𝑥2 − 𝑥)6 ∙ (
𝑑3𝑥2
𝑑𝑥
−
𝑑𝑥
𝑑𝑥
) = 7(3𝑥2 − 𝑥)6(6𝑥 − 1) = (42𝑥 − 7)(3𝑥2 − 𝑥)6 
 
 
 
 
 
 
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MATEMATICAS 
 
 
5.2.4. Regla de la cadena 
 
Sea 𝑦 = 𝑔(𝑢), 𝑢 = 𝑓(𝑥), entonces la derivada de 𝑦 = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)), se define: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
𝑔(𝑓(𝑥)) =
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
Encuentra 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 si 𝑦 = 𝑢2 − 9; 𝑢 = 𝑥2 + 1 
 
Por definición 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
, entonces 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 2𝑢 𝑦 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥, por lo tanto 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (2𝑢)(2𝑥) = 4𝑢𝑥 = 4(𝑥2 + 1)𝑥 = 4𝑥(𝑥2 + 1) 
 
Deriva la función 𝑦 = √𝑥3 − 2𝑥2 + 8
3
, utilizando la regla de la cadena. 
 
Al tomar 𝑢 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 8, entonces 𝑦 = √𝑢
3
, luego 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
3 √𝑢2
3 y 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3𝑥2 − 4𝑥 
 
Al utilizar la regla de la cadena, se obtiene como resultado: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= [
1
3√𝑢2
3 ] [3𝑥
2 − 4𝑥] =
3𝑥2 − 4𝑥
3 √𝑢2
3 =
3𝑥2 − 4𝑥
3 √(𝑥3 − 2𝑥2 + 8)2
3