Polinomio de interpolación de Hermite - Apuntes de Ingeniería Civil

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POLINOMIO DE INTERPOLACION DE HERMITE
En determinadas aplicaciones se precisan métodos de
interpolación que trabajan con datos prescritos de la
función y sus derivadas en una serie de puntos, con el
objeto de aumentar la aproximación en las
proximidades de dichos puntos. Dentro de esta clase
de métodos está la interpolación de Hermite. Aquí se
nos centraremos en el problema de interpolación de
Hermite.
Sean 𝑥0 , 𝑥1, … , 𝑥𝑛 puntos distintos. Conocidos los
valores de la función 𝑓 y su derivada 𝑓′ en 𝑥0 , 𝑥1, … , 𝑥𝑛
se trata de encontrar un polinomio de grado, el menor
posible, que coincida con 𝑓 y con su derivada en los
puntos señalados.
Se demuestra que dicho polinomio existe y es único.
Además tiene grado 2𝑛 + 1 (sabiendo que
disponemos de 2𝑛 + 2 datos para construirlo). A este
polinomio se le llama Polinomio de interpolación de
Hermite de 𝑓 en los puntos 𝑥𝑖, 𝑖 = 0, 1,2, . . , 𝑛.
Para usar este método hay que tener en cuenta:
• Datos numéricos 𝑓 𝑥 ,𝑓′ 𝑥𝑖 , 𝑖 = 0, 1,… , 𝑛2𝑛 + 2 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 .
• Espacio de funciones interpoladoras 𝑃2𝑛+1
• Problema de interpolación polinomial de Hermite:𝑝(𝑥0) = 𝑓(𝑥0),… , 𝑝(𝑥𝑛) = 𝑓(𝑥𝑛)𝑝′(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0),… , 𝑝′(𝑥𝑛) = 𝑓′(𝑥𝑛)
“El problema de interpolación de Hermite se puede extender considerando
valores de derivadas de la función de orden mayor que uno”
Teniendo en cuenta las diferencias divididas con
nodos repetidos se construye el polinomio de
interpolación de Hermite de una función 𝑓 en𝑥0 , 𝑥1, … , 𝑥𝑛 y tiene la siguiente forma:𝐻 𝑥 = 𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥0 , 𝑥0] 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓[𝑥0 , 𝑥0 , 𝑥1](𝑥 − 𝑥0)2 +𝑓[𝑥0 , 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥1] 𝑥 − 𝑥0 2 𝑥 − 𝑥1+ …+ 𝑓[𝑥0, 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛, 𝑥𝑛] 𝑥 − 𝑥0 2 𝑥 − 𝑥1 2… (𝑥 − 𝑥𝑛)𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟏:Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥
Halle el polinomio de interpolación de Hermite de 𝑓 en𝑥0 = 1 y 𝑥1 = 2.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 ; 𝑓′(𝑥) = 1𝑥
𝑓(1) = 0 ; 𝑓′(1) = 1𝑓(2) = 0,69 ; 𝑓′(2) = 0,5𝑖 𝑥𝑖 𝒇(𝑥𝑖) Diferencias Divididas
Primera Segunda Tercera
0 1 0
1
1 1 0 - 0,31
0,69 0,12
2 2 0,69 - 0,19
0,5
3 2 0,69
𝐻 𝑥 = 𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥0 , 𝑥0] 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓[𝑥0 , 𝑥0 , 𝑥1 ](𝑥 − 𝑥0)2 +𝑓[𝑥0 , 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥1] 𝑥 − 𝑥0 2 𝑥 − 𝑥1
𝑥0 = 1 y 𝑥1 = 2.𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 ; 𝑓′(𝑥) = 1𝑥
Así el polinomio de Hermite queda dado
por:
𝐻 𝑥 = 𝑥 − 1 − 0,31 𝑥 − 1 2 + 0,12 𝑥 − 1 2(𝑥 − 2)
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟐: Hallar el polinomio cúbico de Hermite para
la función 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) con nodos 𝑥0 = 0 y 𝑥1 = 𝜋𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑓(0) = 1 ; 𝑓′(0) = 0𝑓(𝜋) = −1 ; 𝑓′(𝜋) = 0𝑖 𝑥𝑖 𝒇(𝑥𝑖) Diferencias Divididas
Primera Segunda Tercera
0 0 1
0
1 0 1 ൗ−2 𝜋2ൗ−2 𝜋 ൗ4 𝜋3
2 𝜋 -1 ൗ2 𝜋2
0
3 𝜋 -1
Por lo tanto el polinomio de Hermite es:𝐻 𝑥 = 1 − 2𝜋2 𝑥2 − 2𝜋3 𝑥2(𝑥 − 𝜋)
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 ∶Encuentre el polinomio de interpolación
de Hermite para que 𝑓(𝑥) y 𝑓′(𝑥) se ajuste a los puntos𝑥0 = −2 y 𝑥1 = 1 . Cuando 𝑓−2 = −12, 𝑓′(−2) = 22,𝑓(1) = 9 y 𝑓′(1) = 10𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________