Función real de un vector - Apuntes de Ingeniería Civil

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FUNCION REAL DE UN VECTOR
(Función de varias variables)
Una función real de un vector o función de varias
variables es la correspondencia de los elementos de
un conjunto de 𝑅𝑛 de vectores o puntos de otro
conjunto 𝑅 de números reales tal que a cada
elemento de 𝑅𝑛 le corresponde solo y solo un
elemento de 𝑅.
𝑈 ⊆ 𝑅𝑛 ⟶𝑅
Un valor real de la función 𝑓 se denota por 𝑧 =𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,… , 𝑥𝑛) donde las variables𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,… , 𝑥𝑛 , se denominan variables
independientes de la función 𝑓 y 𝑧 variable
dependiente.
Ejem.:
Dominio y Rango de una función real de varias 
variables
Sea 𝑓: 𝑅𝑛 ⟶𝑅 el dominio de existencia de la
función 𝑓 denotaremos como 𝐷𝑓 y al rango de
la función 𝑅𝑓.
𝐷𝑓 = Ԧ𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅𝑛 / ∃ 𝑧 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)𝑅𝑓 = 𝑧 ∈ 𝑅 / ∃ Ԧ𝑥 = 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅2 ∧ 𝑧 = 𝑓( Ԧ𝑥)
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 ∶ Determinar el dominio y rango de la función:𝑓(𝑥,𝑦)= 9 − 𝑥2 − 𝑦2𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
Operaciones con funciones de varias variables
Sea 𝑓, 𝑔: 𝑅𝑛 ⟶ 𝑅, entonces:
▪ 𝑓 ± 𝑔 ( Ԧ𝑥) = 𝑓( Ԧ𝑥) ± 𝑔( Ԧ𝑥) , ∀ Ԧ𝑥 ∈ 𝐷𝑓±𝑔 = 𝐷𝑓 ∩𝐷𝑔
▪ 𝑓. 𝑔 ( Ԧ𝑥) = 𝑓( Ԧ𝑥). 𝑔( Ԧ𝑥) , ∀ Ԧ𝑥 ∈ 𝐷𝑓.𝑔 = 𝐷𝑓 ∩𝐷𝑔
▪
𝑓𝑔 ( Ԧ𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) , ∀ Ԧ𝑥 ∈ 𝐷𝑓/𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 − Ԧ𝑥/𝑔( Ԧ𝑥) = 0
▪ 𝑓𝑜𝑔 ( Ԧ𝑥) = 𝑔(𝑓( Ԧ𝑥)) ,𝐷𝑓0𝑔 = Ԧ𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∧ 𝑓( Ԧ𝑥) ∈ 𝐷𝑔
Ejercicios:
1. Determinar y representar los campos de existencia de 
las siguientes funciones:
a) 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2
b) 𝑓(𝑥,𝑦) = 1 + −(𝑥 − 𝑦)2
c. 𝑧 = ln 𝑥 + 𝑦
d. 𝑧 = 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑦
e. 𝑧 = 1 − 𝑥2 + 1 − 𝑦2
f. 𝑓(𝑥,𝑦) = 1 + (𝑥2 + 𝑦2 − 𝑎2)(2𝑎2− 𝑥2 − 𝑦2) , 𝑎 > 0
g. 𝑧 = 𝑥2−𝑦𝑥2+𝑦2−16
2. Exprese el área 𝑆 del triángulo es función de sus tres
lados 𝑥, 𝑦, 𝑧.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
3. Expresar el volumen 𝑉 de una pirámide de base
cuadrangular regular en función de su altura 𝑥 y de su
arista 𝑦𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
4. Expresar el área 𝑆 de la superficie lateral de un tronco
de pirámide hexagonal regular en función de sus lados𝑥, 𝑦 de las bases y de la altura 𝑧.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
𝑅𝑡𝑎. : 𝑆 = 32 (𝑥 + 𝑦) 4𝑧2 + 3(𝑥 − 𝑦)2