Derivadas de Integrales de funciones vectoriales - Apuntes de Ingeniería Civil

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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Sea Ԧ𝑓(𝑡) = ( Ԧ𝑓1(𝑡), Ԧ𝑓2(𝑡), Ԧ𝑓3(𝑡), …, Ԧ𝑓𝑛(𝑡)) . Entonces Ԧ𝑓(𝑡) es
diferenciable en 𝑡 sí y solo sí cada una de las funciones
componentes son diferenciables en 𝑡, siendoԦ𝑓′(𝑡) = (𝑓′1(𝑡), 𝑓′2(𝑡), 𝑓′3(𝑡), …,𝑓′𝑛(𝑡))
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 ∶ Hallar Ԧ𝑓′(𝑡) si:Ԧ𝑓(𝑡) = 𝑡3 − 2𝑡2 + 5, 𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑒2𝑡𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
Ԧ𝑓′(𝑡) = (3𝑡2 − 4𝑡 , 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑠𝑒𝑛𝑡, 2𝑒2𝑡)
Propiedades de la diferenciación
Consideremos dos funciones vectoriales Ԧ𝑓(𝑡), Ԧ𝑔(𝑡) y 𝛼 ∈ 𝑅, 
entonces:
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 ∶ Hallar Ԧ𝑓′′(𝑡) si:Ԧ𝑓(𝑡) = 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑡𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
Ԧ𝑓′(𝑡) = 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑡 + 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡, −𝑠𝑒𝑛𝑡 , 1Ԧ𝑓′(𝑡) = 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑡 + 1
Ԧ𝑓′′(𝑡) = 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑡 + 1 + 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡, −𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 , 1Ԧ𝑓′′(𝑡) = 𝑒𝑡(2𝑐𝑜𝑠𝑡, −2𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡 + 2)
INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Si las componentes de una función vectorial fueran
continuas en un intervalo 𝑎, 𝑏 , entonces cada una de
estas funciones componentes serían integrables en le
intervalo 𝑎, 𝑏 . La siguiente definición establece el
concepto de la integral definida para funciones
vectoriales.
Sea Ԧ𝑓(𝑡) la función vectorialԦ𝑓(𝑡) = (𝑓1(𝑡), 𝑓2(𝑡), 𝑓3(𝑡), …,𝑓𝑛(𝑡))
Continua en cierto intervalo 𝐼 , entonces la integral
definida de Ԧ𝑓(𝑡) entre dos puntos distintos cualesquiera 𝑎 y𝑏 de 𝐼 es:
න𝑎𝑏 Ԧ𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = න𝑎𝑏𝑓1(𝑡)𝑑𝑡 , න𝑎𝑏𝑓2(𝑡)𝑑𝑡 ,න𝑎𝑏𝑓3(𝑡)𝑑𝑡 , … ,න𝑎𝑏𝑓𝑛(𝑡)𝑑𝑡
La integral de la función ∃ siempre que cada una de las
integrales exista.
Y para la integral indefinida de Ԧ𝑓(𝑡) es:න Ԧ𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = න𝑓1(𝑡)𝑑𝑡 ,න𝑓2(𝑡)𝑑𝑡 ,න𝑓3(𝑡)𝑑𝑡 , … ,න𝑓𝑛(𝑡)𝑑𝑡 = Ԧ𝑔(𝑡) + Ԧ𝑐
Siempre que Ԧ𝑔′(𝑡) = Ԧ𝑓(𝑡) ∀𝑡 ∈ 𝐷 Ԧ𝑓 y Ԧ𝑐 se aun vector constante
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 ∶ Hallar:0׬𝜋/2 Ԧ𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ; si Ԧ𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡 , (𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 ∶ Hallar Ԧ𝑓(𝑡) si:𝑓′(𝑡) = 2𝑡, 𝑡𝑡2 + 1 , 𝑡𝑒𝑡 ; Ԧ𝑓(0) = (2 ,−2 ,3)𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
LONGITUD DE CURVA O ARCO
Sea Ԧ𝑓(𝑡): 𝑎, 𝑏 → 𝑅𝑛 es una curva de clase 𝐶 ′. La longitud de Ԧ𝑓(𝑡) desde 𝑡 = 𝑎 hasta 𝑡 =𝑏 está denotado por 𝐿, se define como:𝐿 = න𝑎𝑏 𝑓′(𝑡) 𝑑𝑡 = න𝑎𝑏 (𝑥′)2+(𝑦′)2+(𝑧 ′)2𝑑𝑡𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1: Hallar la longitud de arco de la curva 𝐶 descrito
por la ecuación siguiente:Ԧ𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡 ; en el intervalo 0, 2𝜋𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑥′ = −𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠𝑡(𝑥′)2= 𝑠𝑒𝑛2𝑡 (𝑦′)2= 𝑐𝑜𝑠2𝑡
𝐿 = න02𝜋 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑑𝑡 = න02𝜋 1𝑑𝑡 = 𝑡/02𝜋= 2𝜋 − 0 = 2𝜋𝑢
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 2: Hallar la longitud de arco de la curva descrito
por la siguiente ecuación :Ԧ𝑓(𝑡) = 𝑡3Ԧ𝑖 + 2𝑡2Ԧ𝑗 , 𝑠𝑖 𝑡 ∈ 0,1𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
𝑥 = 𝑡3 𝑦 = 2𝑡2𝑥′ = 3𝑡2 𝑦′ = 4𝑡(𝑥′)2= 9𝑡4 (𝑦′)2= 16𝑡2𝐿 = න01 9𝑡4 + 16𝑡2𝑑𝑡 = න01 𝑡2(9𝑡2 + 16)𝑑𝑡= න01 𝑡2 (9𝑡2+ 16)𝑑𝑡 = න01 (9𝑡2 + 16)𝑡𝑑𝑡= 118න01(9𝑡2 + 16)1/218𝑡𝑑𝑡 = 127(9𝑡2 + 16)3/2 ቤ10= 127 253− 163 = 6127𝑢𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 3: Hallar la longitud de arco deԦ𝑓(𝑡) = 𝑡2Ԧ𝑖 + 2𝑡Ԧ𝑗 , 𝑠𝑖 𝑡 ∈ 0, 1𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________𝑅𝑡𝑎. : 2 + ln(1 + 2) − ln 1)
Sea Ԧ𝑓(𝑡): 𝑎, 𝑏 un camino diferenciable, al vector
no nulo Sea 𝑓′(𝑡) se el denomina vector velocidad
(vector tangente) de la curva en le punto Ԧ𝑓(𝑡0) y
está denotado por Ԧ𝑣(𝑡) = 𝑓′(𝑡)
VECTOR VELOCIDAD, RECTA TANGENTE, VECTOR
ACELERACIÓN Y RAPIDEZ
𝐿𝑡: Ԧ𝑓(𝑡0) + 𝑡𝑓′(𝑡0)/𝑡 ∈ 𝑅
El vector aceleración de una partícula es la
derivada de su vector velocidad respecto del
tiempo. Así, para cada 𝑡 ∈ 𝐼
Sea Ԧ𝛼 𝑡 = Ԧ𝑣′(𝑡) = 𝑓′′(𝑡)
La rapidez de una partícula es definido como la
magnitud del vector velocidad de la partícula en el
instante 𝑡. 𝑣 = Ԧ𝑣(𝑡) = 𝑓′(𝑡)