Practiquemos Semana 3 2021 1 v LL VF (1) - John Liñan (4)

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ 
CENTRO PREUNIVERSITARIO 
 
 
PRACTIQUEMOS 
MATEMÁTICA 
SEMANA 3  LETRAS 
2021.1 
 
NÚMEROS Y OPERACIONES 
1. ¿Cuál es el número cuyo b% es 5b? 
 A. 5 C. 500 
 B. 50 D. 
500
1 
 
2. Si el 6% de x más el 8% de 2x es 132, halla el 
valor de x. 
 A. 400 C. 600 
 B. 500 D. 700 
 
3. Se sabe que el a% del 5% de b es c y, 
además, el b% del 20% de c es a. ¿Qué 
porcentaje es a de (a + c)? 
 A. 150% C. 50 % 
 B. 33,3% D. 66,6% 
 
4. Se sabe que el A% de 20B excede al B% del 
30% de 5A en una cantidad igual al 37% de B. 
Calcula el valor de A. 
 A. 2 C. 20 
 B. 4 D. 40 
 
5. Calcula el valor de (A + B). 
 A = 20% más del 20% menos de 800 
 B = 100% más del 99% menos de 1000 
 A. 768 C. 788 
 B. 778 D. 1022 
 
6. Un artículo se compra a $ 240 y se vende a 
$ 280. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia? 
 A. 16,3% C. 16,5% 
 B. 16% D. 16,6% 
 
 
 
 
 
 
 7. Juan tenía 28 años en 2010. Luego, en 2017, 
¿en qué porcentaje habrá aumentado su edad 
respecto de 2010? 
 A. 20% C. 24% 
 B. 25% D. 30% 
 
 8. ¿A qué precio hay que vender una máquina 
que ha costado $ 680 para ganar el 15% del 
precio de venta? 
 A. $ 800 C. $ 820 
 B. $ 782 D. $ 720 
 
 9. Al vender una casa por $ 23 000, se pierde el 
8% del precio de compra. Halla el precio de 
costo de la casa. 
 A. $ 25 000 C. $ 30 000 
 B. $ 26 000 D. $ 27 000 
 
10. Halla en qué porcentaje aumenta el área de un 
cuadrado si la longitud de su lado aumenta en 
100%. 
 A. 400% C. 300% 
 B. 200% D. 280% 
 
11. Se sabe que A es el 75% de B y, además, C 
es el 35% de B. Calcula qué porcentaje de C 
es (A + B). 
 A. 20% C. 400% 
 B. 84% D. 500% 
 
12. En una oficina hay 16 personas, de las cuales 
la cuarta parte son mujeres y los demás son 
hombres. Si se desea que el 40% del personal 
sean mujeres, ¿cuántas mujeres adicionales 
se tendría que contratar? 
 A. 5 C. 3 
 B. 4 D. 6 
  
 
 
2 
 
13. Una fábrica decide reducir en un 10% el precio 
de sus productos. Para lograr incrementar su 
ingreso en 20%, ¿en qué porcentaje deberán 
aumentar sus ventas? 
 A. 30% C. 3,33% 
 B. 33% D. 33,3% 
 
14. Halla la relación entre los precios de venta de 
un reloj cuando se gana el 20% del precio de 
costo y cuando se gana el 20% del precio de 
venta. 
 A. 1 C. 
5
6
 
 B. 
3
2
 D. 
25
24
 
 
15. De un total de z detenidos, x% fueron hallados 
culpables y, de ellos, y% fueron condenados a 
cadena perpetua. ¿Cuántos fueron condenados 
a cadena perpetua? 
 A. xyz C. 
00010
xyz
 
 B. 
100
xyz
 D. 
10
xyz
 
 
16. El precio de una lámpara aumentó en 20% en 
enero, disminuyó en 30% en febrero, aumentó 
en 40% en marzo y disminuyó en 50% en abril. 
Halla la relación entre el precio final y el precio 
inicial de la lámpara. 
 A. 
250
147
 C. 
157
250
 
 B. 
250
157
 D. 
147
250
 
 
17. Un agricultor tiene “a” hectáreas de terreno 
cultivadas con papas y otras “b” hectáreas 
cultivadas con maíz. ¿Qué porcentaje del 
área total del terreno se ha cultivado con 
papas? 
 
 A. 
b
a100
% C. 
b
a
% 
 B. 
ba
a

% D. 
ba
a100

% 
 
18. En una planta industrial, se ha fabricado 1000 
artículos. El 60% de ellos ha sido fabricado por 
la máquina A y el resto por la máquina B. Si se 
sabe que el 5% de lo fabricado por A y el 4% 
de lo fabricado por B es defectuoso, ¿cuántos 
artículos defectuosos hay en los 1000 
artículos? 
 A. 56 C. 36 
 B. 46 D. 66 
 
19. Las ventas de una tienda aumentan cada mes 
en un 70% respecto del mes anterior. A partir 
de enero, las ventas totales de esta tienda en 
los meses de enero, febrero y marzo suman 
$ 1677. ¿Cuánto vendió la tienda en el mes de 
enero? 
 A. $ 200 C. $ 450 
 B. $ 300 D. $ 250 
 
20. Una urna contiene pelotas. Se sabe que el 
45% de ellas son verdes, el 35% son azules y 
el resto son rojas. Paola decide pintar el 40% 
de las pelotas verdes de color rojo y el 20% de 
las pelotas azules también de color rojo. A 
continuación, se decide extraer el 60% de las 
pelotas rojas que hay en ese momento. ¿Qué 
fracción de las pelotas que quedan finalmente 
en la urna son rojas? 
 A. 
73
16
 C. 
75
16
 
 B. 
73
18
 D. 
25
6
 
 
21. Juana compró un terreno. Dos años más 
tarde, decidió ponerlo a la venta a un precio 
60% superior al precio que le costó. Sin 
embargo, nadie lo deseaba comprar. Por ello, 
realizó dos descuentos sucesivos de 20% y 
30%, y logró vender el terreno con una pérdida 
de S/ 52 000. ¿Cuánto pagó Juana por el 
terreno? 
 A. S/ 500 000 C. S/ 600 000 
 B. S/ 560 000 D. S/ 640 000 
 
3 
 
22. El dinero en soles que tiene Arturo equivale al 
60% del dinero en soles de Rodrigo. Ambos 
gastan el 30% y 48% de su dinero, 
respectivamente, por lo que ahora uno de ellos 
tiene S/ 45 más que el otro. ¿Cuánto gastó 
Arturo? 
 A. S/ 81 C. S/ 72 
 B. S/ 96 D. S/ 90 
 
23. El crecimiento anual de la población en una 
región de Asia es del 20%. Si se sabe que en 
1997 la población era de 1 800 000 habitantes, 
¿qué población tendrá la región en el año 
2000? 
 A. 2 940 400 habitantes 
 B. 3 060 400 habitantes 
 C. 3 110 400 habitantes 
 D. 3 124 400 habitantes 
 
24. Dos televisores se han vendido en S/ 900 cada 
uno. En el primero, se gana el 20% del costo 
y, en el segundo, se gana el 20% del precio de 
venta. ¿Cuánto se gana en la venta de los 
dos? 
 A. S/ 210 C. S/ 350 
 B. S/ 330 D. S/ 380 
 
25. Claudia compró un sillón por S/ 2500 con la 
intención de venderlo. Por ello, fija el precio de 
lista incrementando el precio que ella pagó en 
30%. Sin embargo, al no poder venderlo, debe 
hacer dos descuentos sucesivos de 10% y 
20%, y así logra venderlo. ¿Cuál fue la pérdida 
porcentual de Claudia en este negocio? 
 A. 5,6% C. 7,2% 
 B. 6,4% D. 8% 
 
26. Al vender un lote de frutas, se vendió la mitad 
ganando el 10%, la tercera parte ganando el 
5% y el resto perdiendo el 7%. Si al final se 
obtuvo una ganancia total de S/ 66, calcula el 
valor del costo total del lote de frutas. 
 A. S/ 2700 C. S/ 1360 
 B. S/ 1200 D. S/ 1800 
 
27. Dos televisores fueron vendidos por 3 000 000 
pesetas cada uno. Si en la venta del primero 
se ganó el 25% y en la del segundo se perdió 
el 25%, ¿cuánto ganó o perdió? 
 A. No se ganó ni perdió. 
 B. Ganó 400 000 pesetas. 
 C. Ganó 200 000 pesetas. 
 D. Perdió 400 000 pesetas. 
 
28. En una empresa, el 70% de los empleados 
son mujeres. Luego de una ampliación, el 
personal aumenta en 64% y el total de 
hombres en 50%. ¿En qué porcentaje 
aumentó la cantidad de mujeres luego de la 
ampliación? 
 A. 30% C. 60% 
 B. 45% D. 70% 
 
29. En una librería, para fijar el precio de lista de 
un libro, se recarga el precio de costo en 
%.x
4
5





 De esta manera, al venderlo con un 
descuento del x%, se observa que la librería 
no gana ni pierde. Halla el valor de x. 
 A. 5 C. 20 
 B. 15 D. 25 
 
30. Un padre repartió entre sus dos hijos S/ 2000. 
Si el mayor hubiera recibido 25% más y el 
menor hubiera recibido 25% menos, ambos 
habrían recibido lo mismo. ¿Cuánto recibió el 
hermano mayor? 
 A. S/ 1000 C. S/ 1250 
 B. S/ 750 D. S/ 600 
4 
 
ÁLGEBRA 
31. Considera los siguientes polinomios: 
A(x) = 4x 2
n
  6x n8  + x 3n 
B(x) = nx 7n  + (n + 1)x n9  
 Halla el término independiente del polinomio 
C(x) = A(x) . B(x). 
 A. 0 C.  17 
 B. 17 D.  102 
 
32. Si P(x) es un polinomio de grado 7 y Q(x) es 
un polinomio de grado 4, determina el grado 
de la siguiente expresión: 
P 2 (x) + 2P(x)Q(x) + Q
3
(x) 
 A. 37 C. 12 
 B. 22 D. 14 
 
33. Pedro compró (x + 2) objetos a (2x + 1) soles 
cada uno. ¿Cuál será su utilidad total si los 
vende a (3x + 3) soles cada uno? 
 A. x 2 + 4 C. x 2 + 4x + 4 
 B. 4x 2 + 4x + 1 D. 4x 2 + 1 
 
 
34. Si P(x) = 5x + 3, calcula: 
5
)2x(P)2x(P 
 
 A. 2 C. 5 
 B. 4 D. 6 
 
35. Si P(x) = 1  x 2  x 3 , halla elvalor de E. 
E = 
)2(P
)0(P)1(P


. 
 A. 0 C. 
11
1
 
 B. 
5
1
 D. 
5
1
 
 
36. Si P(x) = 5x 2 + 7x – 12, calcula [P(– 1) ] )1(P . 
 A. 1 C. 2 
 B. – 1 D. – 2 
 
37. Si P(x – 2) = 2x + 1, halla P(0) + P(3). 
 A. 11 C. 8 
 B. 16 D. 12 
 
38. Se conoce el siguiente polinomio: 
P(x; y) = x 2n y 3m  6x 1n y 2m + 4x 5n y 3m 
 Si su grado absoluto es 15 y el grado relativo a 
x es 7, calcula m  n. 
 A. 4 C. 6 
 B. 5 D. 7 
 
39. Halla el valor de m + n si el siguiente polinomio 
es homogéneo. 
P(x; y) = 5x m2 y n + 9x 2 y 4 + 7x m y n2 
 A. 4 C. 1 
 B. 2 D. 5 
 
40. Marietta tiene dos álbumes con x hojas cada 
uno. Si cada álbum tiene pegado un número 
de estampillas igual al cubo de su número de 
páginas, ¿cuántas estampillas ha pegado 
Marietta en sus dos álbumes? 
 A. 2x 3 C. 8x 3 
 B. 4x 3 D. 16x 3 
 
 
41. Si P(x + 1) = 3(x ‒ 1)
2
 + 2(x ‒ 1) + 1, halla 
P(x + 2). 
 A. 3x
2
 + 2x ‒ 1 C. 3x
2
 ‒ 2x + 1 
 B. 3x
2
 + 2x + 1 D. 3x
2
 ‒ 2x ‒ 1 
 
42. En una fábrica, la ganancia se representa por 
G(x) = 3x 4 – 2x 3 + x
2
 + 3x + 4. Si el costo está 
representado por C(x) = x 4 + 2x 3 – x
2
 + 3, 
¿cuál será el polinomio que representa el 
ingreso? 
 A. 4x 4 + 4x 2 + 2x + 12 
 B. 4x 4 + 3x + 7 
 C. 2x 5 + 4x 2 + 2x – 12 
 D. 2x 5 + 8 
 
5 
 
43. Halla el valor de a si se sabe que el polinomio 
P(x) es de grado 36. 
P(x) = 0,2 [x 3a5  ] 2 + 7 (x 1a ) 3 
 A. 3 C. 2 
 B. 6 D. 5 
 
44. Un polinomio P(x) cumple las siguientes 
condiciones: 
 La suma de sus coeficientes es 16. 
 El término de menor grado es cinco. 
 P(‒ 1) = 10 
 G.A. (P(x)) = 3 
 Halla el coeficiente del término de segundo 
grado. 
 A. 8 C. 10 
 B. 16 D. 4 
 
45. Si P(x; y) = x 5  y 5 , calcula: 
 P(1; 2) + P(2; 3) + … + P(9; 10) 
 A.  99 999 C. 99 999 
 B. 100 000 D.  100 000 
 
 
46. Se conoce los siguientes polinomios: 
 P(x) = 2ax 2 ‒ x(6 ‒ xb) + 1 
 Q(x) = 6x 2 + 1 ‒ (4a ‒ b)x 
 Si P(x) y Q(x) son polinomios idénticos, 
calcula a ‒ b. 
 A. ‒ 2 C. ‒ 4 
 B. 0 D. 4 
 
47. Dados los polinomios P(x) y Q(x), si 
P(x) = 4x + 6 y Q(x) = P(4x) + 16, halla la 
suma de los coeficientes de Q(x). 
 A. 22 C. 16 
 B. 50 D. 38 
 
48. Se conoce el siguiente polinomio: 
 P(x; y) = x b2a y ba  ‒ 5x b y b2a + 7x ba  y 8 
 Calcula a + b si P(x; y) es un polinomio 
homogéneo. 
 A. 8 C. 10 
 B. 12 D. 18 
 
49. En el polinomio P(x; y) =  5x m y n2m , el 
grado relativo de x es 4. Si el grado relativo 
de y es 10, halla los valores de m y n, 
respectivamente. 
 A. 1 y 2 C. 3 y 4 
 B. 2 y 3 D. 4 y 3 
 
50. Si el polinomio: 
P(x; y; z) = (a + b)x
18
 y
a
 z
b2
 + 4bx
m3
 y
12
 z
p2
 
 + (a ‒ b) x
16
 y
12
 z
13
 
 es homogéneo, halla la suma de sus 
coeficientes. 
 A. 28 C. 38 
 B. 46 D. 36 
 
51. Los siguientes términos algebraicos son 
semejantes: 
 P(x) = 2nx 1n2  ; Q(x) = n 2 x 1
2m  ; R(x) = 2mx 17 
 Halla la suma de sus coeficientes si uno de 
ellos es negativo. 
 A. 2 C. 18 
 B. 91 D. 107 
 
 
52. Si P(x) = 2x 2 + 5, halla P( 1) + P(0). 
 A.  7 C. 5 
 B. 7 D. 12 
 
53. Se conoce el siguiente polinomio: 
P(x; y) = 3x 4m y 2 + 7x 2m y  x 1m y 3 
 Halla el valor de m si se sabe que el grado 
absoluto de P(x; y) es igual a 12. 
 A. 1 C. 5 
 B. 2 D. 10 
 
54. Se conoce la siguiente expresión: 
 E(x) = (a + b 2 )
6 bax  ‒ ab
4 bax  + (b ‒ a)x 
 Si E(x) puede reducirse a un monomio, halla 
este monomio. 
 A. x C. ‒ x 
 B. 2x D. 5x 
6 
 
55. P(x) es un polinomio de primer grado que 
verifica la relación para todo valor de x. 
P(P(x)) ‒ P(6x) = 42 
 Halla el valor de P(4). 
 A. 18 C. 32 
 B. 31 D. 33 
 
56. Si el grado del polinomio P(x) es 8 y el grado 
del polinomio Q(x) es 10, ¿cuáles de las 
siguientes afirmaciones son verdaderas? 
 I. El grado del polinomio [P(x)] 2 Q(x) es 
160. 
 II. El grado del polinomio P(x)[Q(x)] 3 es 38. 
 III. El grado del polinomio [P(x)]
10
 ‒ [Q(x)] 8 
es 80. 
 A. Solo II y III C. Solo II 
 B. Solo I y III D. Solo I y II 
 
57. Si P 




 
3
2x
 = x 4 ‒ (x ‒ 2) 4 , halla el valor de 
E. 
E = P(1) + P(0) 
 A. 560 C. 640 
 B. ‒ 16 D. 280 
 
 
58. Se conoce los siguientes polinomios: 
 P(x + 3) = ax 2 ‒ bx + c 
 Q(x ‒ 3) = x 2 + 5x ‒ 6 
 Si P(x) y Q(x) son polinomios idénticos, halla 
(a + b + c). 
 A. 8 C. 44 
 B. 33 D. 50 
 
59. Se conoce el siguiente polinomio: 
 P(x) = (x
8
 ‒ 2)
n
(x 3 + x 2 ‒ 1) 2 (x
4
 + 1) 2 
 Si el grado absoluto de P(x) es 38, calcula la 
suma de coeficientes de P(x). 
 A. ‒ 4 C. 1 
 B. ‒ 2 D. 2 
 
60. Se conoce el siguiente monomio: 
M(x; y) = 4(m ‒ 2)x
1n
 y
m2
 
 Si su grado absoluto es 10 y el grado relativo 
a y es igual al coeficiente de M(x; y), halla 
m ‒ n. 
 A. 1 C. 4 
 B. 2 D. 3 
 
61. Se sabe que P(x) = 3(x ‒ 2)
a
 + bx + 7 tiene 
como término independiente a 19. Si la suma 
de sus coeficientes es 14, halla a + b. 
 A. 6 C. 5 
 B. 7 D. 8 
 
62. Si P(x) es un polinomio completo y tiene 3n 
términos, calcula el valor de n. 
 P(x) = 2nx n2 + (2n  1)x 1n2  + (2n)x 2n2  + … 
 A. 4 C. 2 
 B. 0,5 D. 1 
 
63. Se conoce el siguiente polinomio ordenado: 
P(x) = 3x
b5
 ‒ x
8
+ 6x
b3
‒ 2x 2
b
+ 11 
 Calcula P(b). 
 A. 1456 C. 3193 
 B. 2875 D. 3207 
 
64. Calcula el valor de a + b si se sabe que, en la 
expresión E(x; y) = 
b22
3 ab2ba
yx
yx


, el grado 
relativo a x es 5 y el grado absoluto es 4. 
 A. 18 C. 12 
 B. 9 D. 15 
7 
 
65. Dado P(x) = 2(x  4) 2 + x  1, se define: 
 A = P( 1) 
 B = la suma de coeficientes de P(x) 
 C = término independiente de P(x) 
 Calcula (A + B + C). 
 A. 97 C. 99 
 B. 92 D. 100 
 
66. Si el grado de P(x) es 12, halla el valor de n. 
P(x) = 3x 4 + 2x n6 + x 7 + x n3 
 A.  9 C. 4 
 B. 7 D. 2 
 
67. Si P(x) = 2x 2 + 3x + 1, halla: 
P(x + 2)  P(x  1) 
 A. 12x + 15 C. 9x + 11 
 B. 8x + 14 D. 12x + 12 
 
68. Se sabe que P(x) es un polinomio de tercer 
grado cuyo coeficiente de segundo grado es 3, 
su coeficiente principal es 2 y su término 
independiente es 4. Si la suma de coeficientes 
de P(x) es 0, halla P(2). 
 A. 12 C. 14 
 B. 16 D. 18 
 
69 Halla el grado absoluto de la expresión 
E(x; y) = 16x 2m2  y 4n si el grado relativo a 
"y" es 12 y el grado de "x" es al grado de "y" 
como 4 es a 3. 
 A. 20 C. 24 
 B. 22 D. 28 
 
70. Si P(x) = 2x 1cb  + 3x 4ba  + 7x 3a es 
completo y ordenado descendentemente, halla 
(a + b + c). 
 A. 1 C. 3 
 B. 6 D. 5 
 
 
GEOMETRÍA Y MEDIDA 
71. En la figura, M es el punto medio de la 
hipotenusa AC . Si BAC = 70°, calcula el 
valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 A. 40° C. 25° 
 B. 20° D. 30° 
 
 
72 En la figura, BM mide 21 cm. Calcula la 
longitud de BG si G es el baricentro del 
triángulo ABC. 
 
 
 
 
 A. 7 cm C. 21 cm 
 B. 14 cm D. 18 cm 
 
73. En un triángulo isósceles ABC, el ángulo B 
mide 120°. Se trazan las alturas desde A y C 
de modo que se cortan en el punto P. Halla 
BAP + BPA. 
 A. 30° C. 60° 
 B. 45° D. 75° 
 
74. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son 
verdaderas? 
 I. El baricentro de todo triángulo es un 
punto interior a dicho triángulo. 
 II. En todo triángulo rectángulo, el 
ortocentro, el baricentro y el circuncentro 
son colineales. 
 III. El ortocentro de un triángulo puede 
equidistar de los lados del mismo. 
 A. Todas C. Solo II y III 
 B. Solo I y II D. Solo I y III 
 
 
x 
B 
C M 
A 
 
G 
B 
C A M 
8 
 
75. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz BD 
(D en AC ), y se une el incentro I con el 
vértice C. Luego, se traza IH (H en AC ) 
perpendicular a AC . Si DIC = 60°, halla 
AIH. 
 A. 60° C. 45° 
 B. 30° D. 50° 
 
 
76. Si BD = 510 m, AM = MC y ABC = 90º, 
calcula AC, aproximadamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 A. 12 5 m C. 6 5m 
 B. 16 5 m D. 8 5 m 
 
77. En un triángulo isósceles ABC, se cumple que 
AB = AC y, además, que las distancias del 
baricentro a los vértices C y A miden 25 m y 
14 m, respectivamente. Halla la medida de la 
base BC . 
 A. 36 m C. 42 m 
 B. 54 m D. 48 m 
 
78. En un triángulo ABC, de circuncentro P, BP 
mide 18 cm. Calcula la longitud de AP . 
 A. 9 cm C. 18 cm 
 B. 12 cm D. 15 cm 
 
79. En un triángulo ABC, se cumple que 
A ‒ C = 50 y que la mediatriz del lado AC 
lo corta en el punto M. Si se traza la bisectriz 
del ángulo B que corta a la mediatriz de AC 
en P, exterior al triángulo ABC, calcula la 
medida del ángulo BPM. 
 A. 25 C. 65 
 B. 40 D. 50 
 
80. En la figura, se muestra el triángulo ABC, cuyo 
circuncentro es D. Halla el valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A. 30° C. 50° 
 B. 40° D. 45° 
 
 
81. En el triángulo ABC, las bisectrices de los 
ángulos interiores se cortan en I. Halla DIC si 
BAC = 72°. 
 
 
 
 
 
 
 A. 26° C. 64° 
 B. 54° D. 44° 
 
82. En un triángulo obtusángulo isósceles ABC, el 
ángulo exterior de A mide 40°. Determina la 
medida del menor ángulo formado entre la 
bisectriz de uno de sus ángulos agudos y la 
mediana relativa al lado mayor. 
 A. 80° C. 75° 
 B. 70° D. 60° 
 
83. En la figura mostrada, MN y PQ son las 
mediatrices de AB y AC , respectivamente. 
Calcula la medida del ángulo NAQ. 
 
 
 
 
 
 
 
 A. 100 C. 120 
 B. 80 D. 60 
 
A 
B 
C 
30° 
20° 
x 
D 
 
A 
B 
C D 
I 
 
B 
D 
C M A 
 37 
 
C 
Q 
P A 
M 
N 
B 
40 
9 
 
84. Las medidas de los ángulos agudos de un 
triángulo rectángulo están en la relación de 2 a 
7. Halla la medida del ángulo que forma la 
mediana y la altura relativas a la hipotenusa. 
 A. 35 C. 50 
 B. 40 D. 45 
 
 
85. Calcula el valor de  si AC = 2BD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A. 16 C. 64 
 B. 32 D. 74 
 
86. En la figura, se cumple que PS y QR son las 
bisectrices de los ángulos QPR y PRS, 
respectivamente. Halla PQR + PSR. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A. 240 C. 320 
 B. 280 D. 330 
 
87. En el triángulo ABC, se cumple que 
2AB = 3BG y G es su baricentro. Halla el 
valor de x. 
 
 
 
 
 
 A. 30 C. 12 
 B. 20 D. 10 
 
88. En un triángulo ABC, la bisectriz interior del 
ángulo A forma, con la bisectriz exterior del 
ángulo C, un ángulo de 42°. Determina la 
medida del ángulo interno C si se sabe que la 
diferencia entre BAC y BCA es 20°, 
respectivamente. 
 A. 20° C. 40° 
 B. 84° D. 38° 
 
89. Indica cuáles de las siguientes proposiciones 
son verdaderas: 
 I. El ortocentro de un triángulo puede 
equidistar de sus lados. 
 II. El circuncentro de un triángulo siempre se 
ubica en el interior de ese triángulo. 
 III. En todo triángulo obtusángulo, el vértice del 
ángulo obtuso es su ortocentro. 
 IV. Si, en un triángulo, el incentro coincide con 
el circuncentro, entonces es equilátero. 
 A. Solo II y III C. Solo I, II y IV 
 B. Solo I y IV D. Solo IV 
 
90. En un triángulo ABC, se cumple que 
BAC = 110°. Además, el ángulo 
comprendido entre la altura y la bisectriz 
exterior que parten del vértice A mide 95°. 
Determina la medida del menor ángulo del 
triángulo. 
 A. 10° C. 30° 
 B. 20° D. 40° 
 
91. En un triángulo acutángulo PQR, cuyo incentro 
es I, la bisectriz que parte de P corta a QR en 
E. Si 7PQI = 2RIE, halla la medida del 
PQI. 
 A. 20 C. 15 
 B. 40 D. 18 
 
92. Halla uno de los ángulos agudos de un 
triángulo rectángulo si la mediana relativa a la 
hipotenusa es perpendicular a la bisectriz 
interior de uno de los ángulos agudos. 
 A. 15° C. 45° 
 B. 75° D. 60° 
 
B 
D A 
16  
C 
 
Q S 
R P 
140 
 C 
G 
x 
7x 
A 
  
B 
10 
 
93. En la figura, AP y HP son las bisectrices de 
los ángulos BAC y BHC, respectivamente. 
Halla la medida de APH si BCA = 36°. 
 
 
 
 
 
 A. 18° C. 28° 
 B. 27° D. 32° 
 
 
94. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la 
distancia del ortocentro al baricentro excede 
en 
6
25
 m a la distancia del baricentro al 
circuncentro. Si AB = 7 m, determina la 
longitud del cateto BC . 
 A. 24 m C. 12 m 
 B. 25 m D. 12,5 m 
 
95. En un triángulo ABC, B = 80° y la mediatriz 
de la altura BH corta a BC en F. Si 
BFH = 80°, calcula BAC 
 A. 80 C. 60 
 B. 70 D. 40 
 
96. En la figura, calcula el valor de  si AC = 2BD. 
 
 
 
 
 
 A. 22,5 C. 25 
 B. 20 D. 45 
 
97. En la figura, BM es la bisectriz del ángulo 
ABC. Si BAC – ACB = 10°, halla el valor 
de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 A. 15° C. 5° 
 B. 10° D. 20° 
 
98. En un triángulo ABC, A = C = 30 y 
AC = 12 cm. Calcula la suma de las distancias 
del ortocentro del triángulo ABC a los vértices. 
 A. 4(6 + 3 ) cm C. 3(4 + 2 3 ) cm 
 B. 6(4 + 3 ) cm D. 12(2 + 3 ) cm 
 
 
99. En la figura mostrada, se cumple que  = 20°. 
Si DE y FG son las bisectrices de los ángulos 
BDC y BFC, respectivamente, calcula x + y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A. 200° C. 220° 
 B. 210° D. 230° 
 
100. En la figura mostrada, I es el incentro del 
triángulo ABC. Halla IAM si AM es mediana 
en el triángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 A. 20 C. 30 
 B. 15 D. 25 
 
H 
C 
M A 
E 
x 
B 
 C 
B 
H 
A 
P 
 
B 
 
D 
C 
A 
 
 
A 
C B 
30 
I 
 
x 
y 
2 2 
 
 
C 
G 
E 
B 
D 
A 
F 
11 
 
101. En un triángulo ABC, AB = BC y B = 40. 
Calcula la medida del ángulo OAH si O y H 
son el circuncentro y el ortocentro del triángulo 
ABC, respectivamente. 
 A. 15 C. 25 
 B. 20 D. 30 
 
102. En la figura mostrada, F y E son los incentros 
de los triángulos GEC y GDC, 
respectivamente. Halla la medida del ángulo 
GFC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A. 150 C. 80 
 B. 140 D. 120 
 
103. En un triángulo obtusángulo e isósceles 
ABC, ABC = 100. Si H y O son el 
ortocentro y el circuncentro del triángulo 
ABC, respectivamente, halla HAO. 
 A. 40 C. 60 
 B. 50 D. 80 
 
104. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, 
se trazan la altura BH y la mediana 
BM (M  HC ). Si HMB = HBC, calcula 
C. 
(PRÁCTICA 2  2018.1) 
 A. 30 C. 36 
 B. 22,5 D. 25 
 
105. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son 
verdaderas? 
 I. El incentro de un triángulo siempre 
equidista de sus vértices. 
 II. En todo triángulo rectángulo, el 
incentro, el circuncentro y el baricentro son 
colineales. 
 III. En todo triángulo obtusángulo, el 
ortocentro se encuentra fuera del 
triángulo. 
(PRÁCTICA 2  2018.1) 
 A. Solo I y II C. Solo III 
 B. Solo II D. Ninguna 
 
106. En la figura mostrada, se cumple que AD y 
BC son las bisectrices de los ángulos BAC y 
ACD, respectivamente. Halla el valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A. 130 C. 110 
 B. 120 D. 100 
 
 
107. En la figura, BM y MD son medianas de los 
triángulos ABC y ADC, respectivamente. Halla 
el valor de x si BAC = 5x; DCA = 6x. 
 
 
 
 
 
 A. 7° C. 9° 
 B. 8° D. 6° 
 
B 
G E 
4 
F 
 
 
 
 
A 
40 
C 
D 
 
D B 
A 
C 
x 
20 
60 
 
A 
B 
C 
D 
2x 
M 
12 
 
108. En la figura, BM y BN son mediatrices de AD 
y DC , respectivamente. Halla el valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A. 20° C. 10° 
 B. 15° D. 12° 
 
109. A partir del gráfico mostrado, calcula el valor 
de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A. 15 C. 20 
 B. 30 D. 40 
 
110. En el triángulo ABC, AB = AC, se trazan la 
altura AD y la ceviana CM . Se sabe que 
DAC =  y BCM = 2. Finalmente, se ubica 
un punto N en AD , tal que CN = BC. Halle la 
medida del ángulo MCN. 
 A. 60 ‒ 2 C. 60 ‒  
 B. 2 ‒ 30 D. 30 +  
 
 
 
 
 
2x 6x 
7x 
A 
B C 
D M 
N 
 
 
 
80 
x 
H 
Q 
θ 
θ 
E 
C A