LL - TRIÁNGULOS_TEOREMAS FUNDAMENTALES - John Liñan (2)

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REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 1 
 
Capítulo 3 
Triángulos 
 
TANGRAM 
Se cuenta que un día en China, hace 4 000 años, el emperador Tan dividió un cuadrado en siete partes. Tan 
así descubrió una forma de entretener al construir figuras usando estas fichas. 
Este rompecabezas posibilita la construcción de diversas figuras a partir de siete polígonos más simples. 
Construcción de un Tangram 
Para obtener un tangram basta descomponer un cuadrado tal como se muestra en la figura: 
 
Con esta descomposición se obtiene 7 polígonos: 5 triángulos, 1 cuadrado y 1 paralelogramo. En esta 
construcción se cumple que: 
AF = FB = ED 
DI = IH = GB 
Composición de figuras usando un Tangram 
Algunas figuras que se pueden formar utilizando el tangram: 
 
 
 
Tomado de: 
http://www.cefetsp.br/edu/guerato/mat_cur_tangran.htm 
 
http://www.cefetsp.br/edu/guerato/mat_cur_tangran.htm
 
2 C E P R E P U C 2021.1 
 
TRIÁNGULOS 
 
Un triángulo es la figura geométrica formada por la unión de tres segmentos que resultan de unir tres puntos 
no colineales de un plano. Es el polígono de menor número de lados. 
 
Así, en el triángulo ABC: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTACIÓN: ABC 
 
PERÍMETRO 
Se denomina perímetro de un triángulo a la suma de las longitudes de sus tres lados. Se denota por 2p. 
 
Así, en el  ABC: 
PERÍMETRO 2p = a + b + c 
SEMIPERÍMETRO p = 
2
cba 
 
 
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS 
 
I. SEGÚN SUS LADOS 
 
 
EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AB = BC = AC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AB = BC 
AC : base del ABC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AB  BC  AC 
 
 
ELEMENTOS NOTACIÓN 
VÉRTICES A, B, C 
LADOS a, b, c 
ÁNGULOS INTERIORES  ,  ,  
ÁNGULOS EXTERIORES m , n , p 
 
 
B 
 
B 
C A 
 A 
C 
B 
A C 
 
C 
A 
B 
c a 
b 
m 
  
 
n 
F 
H 
D 
E 
B 
C 
p 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 3 
II. SEGÚN SUS ÁNGULOS 
 
 
 RECTÁNGULO OBLICUÁNGULO 
 
 
 
 
  = 90° 
 
 
TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO 
 
 
 
EJEMPLOS 
La suma de las medidas de los 
ángulos interiores de un triángulo es 
180°. 
 
 
 
 Halla x. 
 
La medida de todo ángulo exterior de 
un triángulo es igual a la suma de las 
medidas de los ángulos interiores no 
adyacentes. 
 
 
 
 
 
 Halla x. 
 
La suma de las medidas de los 
ángulos exteriores de un triángulo es 
360°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Halla x. 
 
 
  90°,  < 90°,  < 90° 
 
 
 > 90° 

 
 
ACUTÁNGULO OBTUSÁNGULO 
 
 
 
 
  
n 
m 
p 
n 
p m 
B 
A C 
B 
A C 
B 
A 
C 
hipotenusa 
cateto 
cateto 
 
B
 
L3 
C 
B
 
L3 
A 
L3 
° 
B 
L
3 
A C 
L3 
° 
ELEMENTOS NOTACIÓN 
VÉRTICES A, B, C 
LADOS a, b, c 
ÁNGULOS 
INTERIORES 
 ,  ,  
ÁNGULOS 
EXTERIORES 
m , n , p 
 
A 
L3 
° 
A C 
 +  +  = 180° 
m + n + p = 360° 
x 
B 
40° 70° 
A C 
 
B 
88° 
x 
45° 
A C 
93° B 
120° 
x 
C 
A 
x = 
x = 
m = β +  
n =  +  
p =  + β 
x = 
 
4 C E P R E P U C 2021.1 
Ejemplos 
 
1. En la figura, halla el valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. En la figura mostrada, el triángulo BCD es 
isósceles de base en BC . Si DE  DF , halla 
el valor de x. 
3. En la figura, se cumple que AE = ED = BD = BC. 
Halla el valor de . 
4. En el gráfico mostrado, ABC es un triángulo 
equilátero, AC = PC y BPQ es un triángulo 
isósceles de base en BQ . Halla el valor de x. 
  
130° 
 
 
x 
x 
C 
 
B 
E 
A 
 
D 
 
x 
F 
D C 
A 
B 
20 
30 
E 
 
P 
C A 
B 
Q 
B 
C A 
x 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 5 
5. En la figura, L1 // L2, ABC = 3 (BAC), AN = BN y 
CM es la bisectriz del BCN. Halla el valor de x. 
6. En la figura mostrada, halla el valor de x si 
AD = BD y BE = EC. 
 
 
 
 
 
 
 
7. En la figura, PU = US, UQ = TU y el triángulo STU 
es equilátero. Halla el valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. En la figura, a + b = 220 y CN = MN. Halla el 
valor de x. 
 
 
x 
T 
Q 
U 
P 
S 
R 
  
 
A B 
M 
N 
x 
25 
C 
L1 
L2 
 
5x 
2x 
B 
A 
D E 
C 
 
 
 
N x 
C 
M 
a 
A 
B 
b 
 
6 C E P R E P U C 2021.1 
 
9. En el gráfico, calcula 
y
x
. 
 
 
 
 
 
10. Halla el valor de  si se sabe que MP = NP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. En la figura, halla x + y + z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. En la figura, AB = AE, AF = FE, FD = DC y 
EC = FC. Calcula BAC si FDC = 40. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
2 
 
N 
2 
 M 
P 
 
2 
C A 
 
100 
B 
 
 
 
x 
20 
 
 
y 
A C 
 
y 60 
x 
 
 
β 
β 
θ 
θ 
 
 
z 
 
 
D 
E 
B 
A F C 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 7 
 13. En la figura, BE // CD y CE = ED. Calcula el 
valor de α. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
D 
B 
A 
 
65 
75 
E 
 
8 C E P R E P U C 2021.1 
 
DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO 
 
En todo triángulo, la longitud de un lado es menor 
que la suma de los otros dos, pero mayor que su 
diferencia. 
 
Dado el triángulo ABC: 
 
 
 
se cumple que: 
 b  c < a < b + c 
 a  c < b < a + c 
 b – a < c < a + b 
 
En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor 
ángulo y a mayor ángulo se opone mayor lado. 
 
Dado el triángulo ABC: 
 
 
 
 
 
 
se cumple que: 
 b  c   >  
 b  a   >  
 c < a   <  
 
 
 C A 
B 
b C A 
B 
c a 
a c 
 
 
 
b 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 9 
 
Ejemplos 
1. En un triángulo ABC, se cumple que AB = 6 m y 
BC = 5 m. Halla la suma de los dígitos del 
perímetro del triángulo si la longitud del lado AC 
es el doble de uno de los otros dos lados. 
 
2. En la figura, determina el segmento de menor 
longitud. 
 
 
 
 
 
 
3. En un triángulo equilátero ABC, se toma un 
punto P exterior y relativo a AB . Si PA = 5 cm y 
PB = 4 cm, calcula el máximo valor entero que 
puede tomar el perímetro ABC. 
 
 
 
 
B 
C 
70° 
30° 
110° 100° 
50° 
80° E 
60° 64°