Semana 2-Derivadas parciales (6) - John Liñan (4)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 3
Semana 2 - Sesión 1
Eduardo Quincho Flores
ESCUELA NAVAL 
DEL PERÚ
MARINA DE GUERRA DEL PERÚ
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN DE LA MARINA
DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN
SUPERIOR, DERIVADA DIRECCIONAL
Y GRADIENTE
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
BIBLIOGRAFÍA
Referencias de Información :
LARSON, RON (2006) CÁLCULO. España.
LOUIS LIETHOLD (2003) CALCULO CON G. ANALITICA. España. Harla
ESPINOZA RAMOS (2009). ANALISIS MATEMATICO 3.Peru .San Marcos.
STEWART, James (2017). Cálculo de varias variables. España. Ed. Mc. Graw – Hill
Bibliografia Virtual:
• Funciones de Varias variables 
http://ww.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html#top
• Integrales dobles http://www.scribd.com/doc/7399298/Integrales-doblesç
http://www.scribd.com/doc/7399298/Integrales-doblesç
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
LOGRO DE LA SESIÓN
Al término de la sesión; el estudiante resuelve ejercicios
y problemas de aplicación de las derivadas direccionales
y gradiente; utilizando sus definiciones y propiedades,
interpretando los resultados obtenidos, con coherencia.
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TEMARIO
Derivadas parciales de orden superior
Derivada Direccional
Gradiente
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SITUACIÓN PROBLEMÁTICA
Suponiendo que la superficie de la colina
adjunta está representada por 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y
se quiere determinar la inclinación de la
colina respecto al eje 𝑧.
• ¿La pendiente o inclinación de la colina
en la dirección de 𝑥 está dada por?
• ¿La pendiente o inclinación de la colina
en la dirección de 𝑦 está dada por?
¿Cómo calcular la pendiente de la colina en cualquier 
dirección?
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DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
➢Se llama derivada parcial de segundo orden de una función 𝑓 a las derivadas
parciales de sus derivadas parciales de primer orden.
➢Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función de dos variables hay 4 derivadas parciales de
segundo orden:
• 𝑓𝑥 𝑥 = 𝑓𝑥𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
• 𝑓𝑥 𝑦 = 𝑓𝑥𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
• 𝑓𝑦 𝑥
= 𝑓𝑦𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
• 𝑓𝑦 𝑦 = 𝑓𝑦𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
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EJEMPLO
Calcule las segundas derivadas parciales de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑥2𝑦2 + 𝑦3
Teorema: Igualdad de las Derivadas Parciales mixtas
Si 𝑓 es una función de 𝑥 y 𝑦 tal que 𝑓𝑥𝑦 y 𝑓𝑦𝑥 son continuas en un disco abierto 𝑫,
entonces, para todo (𝑥, 𝑦) en 𝑫.
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DERIVADA DIRECCIONAL
Sea 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Las derivadas parciales 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 representan las tasas de cambio de
𝑧 en las direcciones de 𝑥 y de 𝑦, es decir, en las direcciones de los vectores
unitarios 𝒊 = (1, 0) y 𝒋 = (0, 1).
Si se quiere determinar la tasa de cambio de 𝑧
en el punto (𝑥𝑜, 𝑦𝑜) en la dirección de un
vector unitario 𝒖 = (𝒂, 𝒃) , consideramos el
punto 𝑃(𝑥𝑜, 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜) sobre la superficie 𝑺 dada por
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). El plano vertical que pasa por 𝑷 en
la dirección 𝒖 intersecta a 𝑺 en una curva 𝑪; la
pendiente de la recta tangente a 𝑪 en 𝑷 es la
tasa de cambio que se busca y se llama
derivada direccional de 𝒇 en la dirección 𝒖.
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DERIVADA DIRECCIONAL
• Definición: La derivada direccional de la función de varias variables 𝑓 en el punto 𝑃 en
la dirección del vector unitario 𝑢 es:
• Si la función 𝑓 tiene dos variables, el punto 𝑃 es 𝑃(𝑥𝑜, 𝑦𝑜) y el vector unitario es 𝒖 = (𝑎, 𝑏),
𝐷𝑢𝑓(𝑃) = limℎ→0
𝑓(𝑃 + ℎ𝑢) − 𝑓(𝑃)
ℎ
𝐷𝑢𝑓(𝑃) = limℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0 + ℎ𝑏) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
ℎ
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DERIVADA DIRECCIONAL
• Teorema: Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es función diferenciable de 𝑥 y de 𝑦, entonces 𝑓 tiene derivada
direccional en un punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0) ,en la dirección de cualquier vector unitario 𝒖 = (𝑎, 𝑏) y
se tiene que:
Además, observe que, para los vectores unitarios 𝒊 = (1, 0) y 𝒋 = (0, 1):
• Observación: Tanto la definición como el teorema anterior se puede extender a una 
función de 3 o más variables.
𝐷𝑢𝑓(𝑃) = 𝑓𝑥(𝑃)𝑎 + 𝑓𝑦(𝑃)𝑏
𝐷𝑖𝑓 𝑃 = 𝑓𝑥 𝑃 y 𝐷𝑗𝑓(𝑃) = 𝑓𝑦(𝑃)
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GRADIENTE
• Sea 𝑓 función de varias variables cuyas derivadas parciales existen.
El gradiente de 𝑓, denotado por 𝛻𝑓, es la función vectorial definida por:
• Para una función de dos variables definida por 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦): 
• Para una función de tres variables definida por 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧):
𝛻𝑓(𝑃) =
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
(𝑃),
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
(𝑃), . . . ,
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
(𝑃)
𝛻𝑓(𝑃) =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑃),
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑃)
𝛻𝑓(𝑃) =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑃),
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑃),
𝜕𝑓
𝜕𝑧
(𝑃)
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DERIVADA DIRECCIONAL EN TÉRMINOS DEL GRADIENTE
𝐷→𝑢𝑓(𝑃) = 𝛻𝑓(𝑃).
→𝑢
Hallar 𝐷𝑢𝑓(1,3) en la dirección de (1,3) hacia (2,4), si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥
2 + 𝑦2
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PROPIEDADES DEL VECTOR GRADIENTE
➢ El valor máximo de 𝐷𝒖𝑓 𝑥0, 𝑦0 se alcanza en la dirección 𝛻𝑓 𝑥0, 𝑦0 . Es decir: 𝑓
en 𝑥0, 𝑦0 crece los más rápido posible en la dirección del vector 𝛻𝑓 𝑥0, 𝑦0 .
➢ La tasa máxima de crecimiento (valor máximo de 𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 ) es 𝛻𝑓(𝑥0, 𝑦0) .
➢ El valor mínimo de 𝐷𝒖𝑓 𝑥0, 𝑦0 se alcanza en la dirección de −𝛻𝑓 𝑥0, 𝑦0 . Es decir:
𝑓 en 𝑥0, 𝑦0 decrecre lo más rápido posible en la dirección −𝛻𝑓 𝑥0, 𝑦0 ,
➢ La tasa mínima de crecimiento (valor mínimo de 𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 ) de 𝑓 en 𝑃 𝑥0, 𝑦0 es
− 𝛻𝑓(𝑥0, 𝑦0) .
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Ejemplo
Hallar 𝐷𝑢𝑓(1,2) en la dirección del vector (2, −3), si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥
2 + 𝑦2
Dado 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
a) Determine 𝐷𝑢𝑓(1,2,3) en la dirección del vector (1,1,1)
b) Determine la dirección en el cual 𝐷𝑢𝑓(1,2,3) es máxima y cuál es su valor.
c) Determine la dirección en el cual 𝐷𝑢𝑓(1,2,3) es mínima y cuál es su valor.
1.
2.
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CIERRE
➢ Si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐿𝑛 𝑦, entonces 𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
𝑦
. ( )
➢ La función 𝑓(𝑥, 𝑦) crece lo más rápido posible en dirección del vector 𝑓(𝑥, 𝑦) . 
➢ El 𝛻𝑓 𝑥0, 𝑦0 indica la tasa máxima de crecimiento de 𝑓. ( )
➢ El 𝛻𝑓(𝑥0, 𝑦0) indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑓. ( )
➢ La función𝑓(𝑥, 𝑦)decrece lo más rápido posible en la dirección de − 𝛻𝑓(𝑥0, 𝑦0) .
Determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Explique por qué o dar un contra 
ejemplo.
( )
( )
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METACOGNICIÓN
➢ ¿Qué hemos aprendido en esta sesión?
➢ ¿Para qué nos sirve el aprendizaje de este tema?
➢ ¿Qué estrategias hemos empleado para el
desarrollo del tema?
➢ ¿Qué dificultades enfrentaste? y ¿cómo las solucionaste?