Clase 3 Medidas de tendencia central

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MEDIDAS DE TENDENCIA 
CENTRAL
Media, Mediana y Moda
¿QUÉ SON LAS MEDIDAS DE TENDENCIA 
CENTRAL?
 Corresponden a valores que generalmente se ubican
en la parte central de un conjunto de datos. Las
medidas estadísticas pretenden "resumir" la
información de la "muestra" para poder tener así un
mejor conocimiento de la Población. (Ellas
permiten analizar los datos en torno a un valor
central). Entre éstas están la media aritmética, la
moda y la mediana.
 El término promedio a menudo es asociado con
todas las medidas de tendencia central.
http://www.ecured.cu/index.php/Poblaci%C3%B3n
media
Es la medida de posición central más utilizada, la más conocida y la 
más sencilla de calcular, debido principalmente a que sus ecuaciones 
se prestan para el manejo algebraico, lo cual la hace de gran 
utilidad.
radica en su sensibilidad al cambio de uno de 
sus valores o a los valores extremos 
demasiado grandes o pequeños.
como la suma de todos los valores
observados, dividido por el número total
de observaciones.
media
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 =
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
ҧ𝑥 =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋯+ 𝑥𝑛
𝑛
=
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
media
Un conjunto de datos consta de cinco valores: 
6, 3, 8, 6 y 4.
Al aplicar la fórmula se encuentra
ҧ𝑥 =
6 + 3 + 8 + 6 + 4
5
=
27
5
= 5,4
 A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden
los números 4,47 y 10,15. ¿Cuál es la media del nuevo
conjunto de números?
MEDIA
ҧ𝑥 =
5(7,31) + 4,47 + 10,15
7
= 7,31
MEDIA 
MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS
ҧ𝑥 =
𝑥1𝑓1 + 𝑥2𝑓2 + 𝑥3𝑓3 +⋯+ 𝑥𝑛𝑓𝑛
𝑛
=
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑛
MEDIA
MEDIA
MEDIA
MEDIANA
MEDIANA
 En el ámbito de la estadística, la mediana representa el valor
de la variable de posición central en un conjunto de datos
ordenados.
Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:
La mediana se representa por ෤𝑥 𝑜 Me.
La mediana se puede hallar sólo para 
variables cuantitativas.
Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.
Calculo de la mediana de datos sin 
agrupar
Ordenamos los datos de menor a mayor (creciente) o 
mayor a menor (decreciente). 
Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición
෤𝑥 = 𝑀𝑒 = 𝑥 𝑛+1
2
Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son:
El valor central es el tercero:
Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo 
( X1, X2 ) y otros dos por encima de él ( X4 , X5 ). 
Si n es par, la mediana es la media
aritmética de los dos valores centrales.
Cuando n es par, los dos datos que están en el
centro de la muestra ocupan las posiciones
Τ𝑛 2 y Τ𝑛 2 + 1 .
Es decir:
𝑀𝑒 =
𝑥 𝑛
2
+ 𝑥 𝑛
2
+1
2
Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son:
Aquí dos valores que están por debajo del
y otros dos que quedan por encima del siguiente 
dato
Por tanto, la mediana de este grupo de 
datos es la media aritmética de estos dos 
datos:
Tenemos los siguientes datos: 6, 4, 3, 2, 4, 5, 5, 6, 5
CALCULA LA MEDIANA >>>
Tenemos los siguientes datos: 8, 10, 7, 9, 12, 11
CALCULA LA MEDIANA >>>
¿Que pasa en una tabla de frecuencias 
sin datos agrupados?
 SE determinan las frecuencias acumuladas en la tabla de frecuencias.
 Si el número de datos es impar se calcula la posición media de los datos 
𝑛+1
2
y 
el valor de Me será el xi que corresponda a la frecuencia absoluta mayor o 
igual a este valor.
 Si el número de datos es par se calcula la posición
𝑛
2
y se busca el valor de la
frecuencia acumulada que contenga este valor, el xi correspondiente será el
primer valor. Para el segundo valor se calcula
𝑛
2
+ 1 y se busca el valor de la
frecuencia acumulada que contenga este valor, el xi correspondiente será el
segundo valor. La media será:
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39
alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:
CALCULA LA MEDIANA >>>
𝑀𝑒 = 𝑥 39+1
2
= 𝑥20 = 5
xi fi Fi
1 2 2
2 2 4
3 4 8
4 5 13
5 8 21
6 9 30
7 3 33
8 4 37
9 2 39
20<21
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38
alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:
CALCULA LA MEDIANA >>>
xi fi Fi
1 2 2
2 2 4
3 4 8
4 5 13
5 6 19
6 9 28
7 4 32
8 4 36
9 2 38
𝑛
2
=
38
2
= 19
𝑛
2
+ 1 =
38
2
+ 1 = 20
𝑥𝑖 = 5
𝑥𝑖+1 = 6
𝑀𝑒 =
(5 + 6)
2
= 5,5
Calculo de la mediana para datos 
agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la
frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma
de las frecuencias absolutas.
Se tiene que buscar en el intervalo en el que las 
frecuencia acumulada sea mayor a:
𝑁
2
Ese es el intervalo de la mediana.
෤𝑥 = 𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 +
𝑁
2
− 𝐹𝑖−1
𝑓𝑖
× 𝑎𝑖
𝐿𝑖 Es el limite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
𝑁
2
Es la semisuma de las frecuencias absolutas (la suma de las frecuencias sobre dos)
𝐹𝑖−1 Es la frecuencia acumulada anterior a la clase donde se encuentra la mediana.
𝑓𝑖 Es la frecuencia de la clase donde se encuentra la mediana.
𝑎𝑖 Es la amplitud de clase.
La mediana es independiente de las amplitudes
de los intervalos.
Calcular la mediana de una distribución estadística que 
viene dada por la siguiente tabla:
Tenemos los siguientes datos:
CALCULA LA MEDIANA >>>
MODA
La moda cuando los datos no están agrupados es
el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. 
Se representa por Mo.
Hallar la moda de la distribución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 
Mo= 4 
Calcular la moda:
Mo= 12 
Un pediatra obtuvo la
siguiente tabla sobre los
meses de edad de 50
niños de su consulta en
el momento de andar
por primera vez:
Moda de datos agrupados
 ¿Cual es la clase de la moda? 
Se toma la clase que tiene la frecuencia mayor.
𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 +
𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1
𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 + 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖+1
× 𝑎𝑖
Si no hay una clase anterior se toma como 0
Calcular la moda de una distribución
estadística que viene dada por la siguiente
tabla:
El histograma de la distribución
correspondiente al peso de 100 alumnos de
Bachillerato es el siguiente:
Calcular la moda:
Importante
 Hablaremos de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una
columna cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la
misma frecuencia absoluta máxima.
 Plurimodal cuando se encuentren múltiples datos que tengan la misma
frecuencia absoluta.
Interpretación
 Las edades de un grupo de estudiantes es:
21, 22, 21, 23, 21, 20, 20, 21, 23, 21, 21, 21, 20, 20, 21, 21
20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 23, 23 
ҧ𝑥 = 21,3125 Años
Me = 21 Años
Mo = 21 Años
El promedio de las edades de estos estudiantes es 21,3125 años.
El 50% de los estudiantes es mayor a 21 años.
El 50% de los estudiantes tiene menos de 21 años.
La edad con más frecuencia es 21 años.
50%
 Número de hijos d e 50 familias en Cali
x f
0 2
1 5
2 20
3 15
4 6
5 1
6 1
ҧ𝑥 = 2,5 hijos
Me = 2 hijos
Mo = 2 hijos
El promedio de hijos en estas 50 familias es 2,5 hijos.
El 50% de las familias tiene menos de 2 hijos.
El 50% de las familias tiene más de 2 hijos.
El número de hijos con más frecuencia en las 50 
familias de Cali es 2.
 Número de horas trabajadas por 130 empleados de una 
empresa.
x f
55-60 5
60-65 18
65-70 20
70-75 50
75-80 17
80-85 16
85-90 4
ҧ𝑥 = 72,11 horas
Me = 72,2 horas
Mo = 74,28 horas
El promedio de horas trabajadas es 72,11 horas.
El 50% de los empleados trabajaron menos de 72,2 horas.
El 50% de los empleados trabajaron más de 72,2 horas.
El número de horas trabajadas con más frecuencia 
es de 74,28 h. (Se usa y si son varias modas)
Como se interpretarían los siguientes 
casos:
 Numero de hermanos de 30 estudiantes en un curso:
 Sueldo de los 70 trabajadores de una empresa:
ҧ𝑥 = 3 Me = 2,2 Mo = 2
ҧ𝑥 = 1´000.000 Me = 947.000 Mo = 950.000
Gracias por su atención.