CLASE 14-PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

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ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA II: CLASE N° 14 
PROFESORA: GIMENEZ SABINA 
 
El cálculo de determinantes de orden superior a 3, se puede hacer aplicando la definición. Cuánto 
mayor sea el orden, más extenso y complicado será el cálculo. Para abreviar la resolución 
estudiaremos algunas propiedades que se basan en la definición y que nos permitirán resolver los 
determinantes en forma simple. 
Propiedades de los determinantes: 
1) Todo elemento es igual a la suma de los productos de los elementos de cualquier línea por sus 
adjuntos correspondientes. 
De esta propiedad se deduce que para calcular en determinante, se puede elegir una fila o columna 
más conveniente. 
EJEMPLO: 
Desarrolle el determinante de (
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) por los elementos de una fila. 
Elijo la segunda columna ya que tiene más ceros: 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
| ( ) |
 
 
 
| ( )( ) |
 
 
 
| 
 ( ) 
 
Actividad: Escriba el determinante que corresponde si su desarrollo por los elementos de la 
tercer columna es: 
|
 
 
 
| |
 
 
 
| |
 
 
 
| |
 
 
 
| 
 
2)Los determinantes de matrices transpuestas son iguales. Es decir, | | | | 
A partir de esta propiedad podemos afirmar que todo lo que es válido para las filas , es válido para 
las columnas y recíprocamente. Por eso sólo diremos líneas en la siguiente propiedad. 
3) Si una matriz cuadrada tiene todos los elementos de una de sus líneas nulos, su determinante es 
nulo. 
4) Si en una matriz se multiplica (o dividen) todos los elementos de una de sus líneas por un 
número distinto de cero, el determinante queda multiplicado (dividido) por dicho número. 
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5) Un determinante cambia de signo si se intercambian entre sí dos líneas paralelas (fila por fila o 
columna por columna). 
6) Si en una matriz existen dos líneas paralelas iguales, el determinante es nulo. 
7) Si en una matriz cuadrada una línea es combinación lineal de las restantes líneas paralelas a 
ella, su determinante es nulo. 
8) Si en una matriz cuadrada una línea es proporcional a la otra línea paralela, su determinante 
es nulo. 
9)Si de una matriz A se obtiene otra A
*
sustituyendo en la anterior una línea por la que resulta de 
sumarle a ella otra línea paralela previamente multiplicada por un número, ambas tienen el 
mismo determinante. 
10) En todo determinante, la suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos 
de otra línea paralela a ella es nula. Es decir 
∑ ( ) ∑ 
 
 
 
 
 ( ) 
Ejemplos: 
Halle sin resolver, el valor de los siguientes determinante indicando la propiedad aplicada. 
Verifique la misma resolviéndolos (esto último, deberán hacerlo ustedes): 
a) | | |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
| 
El determinante es nulo ya que una de sus líneas es completamente nula. 
b) | | |
 
 
 
| 
Como hay dos líneas paralelas iguales, 1er y 3er columna, el determinante es nulo 
c) | | |
 
 
 
| 
En esta matriz una línea, 2da fila, es la suma de las otras dos filas. Por lo tanto el determinante de la 
matriz C es nulo. 
d) | | ||
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|| 
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La 1er columna es una combinación lineal de la 2da y 3er columna, podemos ver que se cumple que 
 . El determinante es cero 
e) | | |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
| 
Aquí la 3er fila se obtiene restando la segunda y la cuarta, es decir, una línea es combinación lineal 
de líneas paralelas; por lo tanto el determinante es cero. 
f) | | |
 
 
 
| 
En esta matriz, una línea es proporcional a otra, en consecuencia, su determinante es nulo. 
Observemos que 
 
Actividad: 
1) Sea la matriz (
 
 
 
). Si | | calcule y justifique las respuestas: 
a) El determinante de (
 
 
 
) 
b) El determinante de (
 
 
 
) 
c) el determinante de (
 
 
 
) 
2) Leer capítulo 3.4 Regla de Cramer página 219