CLASE 19-20 - Composición de funciones

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CÁLCULO I: CLASE N° 19 Y 20- COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 
PROFESORA: Gimenez Sabina 
Composición de funciones 
En un laboratorio tienen un cultivo de bacterias. Se sabe que el número de bacterias, “b”, 
depende de la temperatura ambiente, t, (en grados centígrados) de acuerdo con la siguiente 
fórmula: ( ) . La temperatura depende, a su vez, del tiempo 
transcurrido desde el momento en que se comienza el cultivo, en horas, “h”, de acuerdo con la 
siguiente ley: ( ) . 
a) ¿Cuántas bacterias habrá después de 2hs? 
b) Escriba una fórmula que vincule “b” a “h”. 
a) tenemos dos funciones vinculadas entre sí y la primera depende de la segunda. La pregunta que se 
nos hace es: ¿Cuántas bacterias habrá después de 2hs? 
Aquí el dato que nos dan son las 2hs, por lo tanto, considerando que no se nos brindó una fórmula 
que vincule directamente la cantidad de bacterias con el tiempo transcurrido, primero deberemos 
pensar qué temperatura habrá después de 2hs 
 ( ) ( ) 
Ahora, conociendo la temperatura que habrá después de 2hs podemos calcular la cantidad de 
bacterias que habrá en ese tiempo que transcurrió 
 ( ) ( ) 
Rta: Después de 2hs la cantidad de bacterias será de 3525. 
b) es más práctico buscar una fórmula en la que se pueda reemplazar directamente el número de 
horas transcurridas y obtener la cantidad de bacterias. 
Como t depende de h, reemplazamos en la primer función t por su fórmula: 
1er ( ) ( ) ( ) ( ) 
2da ( ) aplicamos la propiedad distributiva: 
 
 ( ) 
Por lo tanto, si , vamos a comprobar que nos da el mismo resultado que obtuvimos antes: 
 ( ) 
 
El procedimiento que utilizamos para resolver el inciso b) se conoce como “COMPOSICIÓN DE 
FUNCIONES”. 
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PROFESORA: Gimenez Sabina 
DEFINICIÓN: Para las funciones f y g la función compuesta de g con f se representa , 
tiene los valores del rango o imagen definidos por 
( )( ) , ( )- 
Y su dominio son todas las x del dominio de f para las cuales f(x) está en el dominio de g. 
Ejemplo: 
Dadas las funciones ( ) ( ) . 
a) Encuentre ( )( ) y determine su dominio. 
 , ( )- ( ) ( ) 
 
b) Halle ( )( ) y establezca su dominio 
 , ( )- ( ) ( ) 
 
c) Calcule , ( )- por dos caminos distintos, es decir, utilizando las funciones por separado y a 
través de la función compuesta. 
 , ( )- 
 ( ) 
 ( ) 
 
OBSERVACIÓN: y son dos funciones diferentes 
 
Ejemplo: 
Componer , determine sus dominios, siendo: ( ) 
 
 
 ( ) √ 
 
Primeo analizamos el dominio de f(x) y g(x) por separado: 
 ( ) 
 
 
 , el denominador no puede ser cero, por lo tanto: 
 
 
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 √ 
Es decir que el dominio de f(x) son todos los reales distintos de x=1 y x= -1 
 * + 
 
 ( ) √ , como el índice de la raíz es un número par, el radicando no puede ser un número 
negativo, por lo tanto el dominio de g(x) son todos los reales mayores o iguales a cero: 
 * + 
 
 Componemos ( )( ) (√ ) 
 
(√ )
 
 
 
 
 
 
Para encontrar el dominio de fog tenemos que tener en cuenta que x debe pertenecer al dominio de g 
y que la función g(x) debe pertenecer al dominio de f, esto lo analizamos de la siguiente manera: 
 ⏟ 
 
 ( ) ⏟ 
√ √ 
 
 
Por lo tanto el dominio de fog es: 
 * + 
Observen que como el dominio de g(x) excluye a los números negativos, entonces también hay que 
excluirlos del dominio de la función compuesta fog. 
 Componemos ( )( ) .
 
 
/ √
 
 
 
 
√ 
 
Para anlizar el dominio de gof debemos tener en cuenta que x debe pertenecer al dominio de f y que 
la función f(x) debe pertenecer al dominio de g: 
 ⏟ 
 
 ( ) ⏟ 
 
 
 
 
 
Vamos a analizar 
 
 
 punto críticos: 
En el numerador no hay puntos críticos porque hay una constante 
En el Denominador: 
 
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Como se trata de una inecuación en la cual aparece x elevado al cuadrado, tenemos que tener en 
cuenta la ley √ | | y considerando la propiedad del valor absoluto, aplicándola a nuestro caso, nos 
queda: 
Por lo tanto, el dominio de gof es: 
 * + 
 
Actividad: 
Componer fog y gof siendo ( ) √ ( ) 
 
 
 e indicar sus dominios 
Mirar el video en el enlace siguiente: https://www.youtube.com/watch?v=fLiwtU-8KN4 
 
https://www.youtube.com/watch?v=fLiwtU-8KN4