Calculo diferencial Universidad-83

Vista previa del material en texto

Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
246
EjErcicios propuEstos
EP1. En los siguientes casos indique las funciones que pueden 
tener asíntotas oblicuas justificando su respuesta:
• f(x) = (x2+5)/x
• g(x) = (x2+x)/x
• h(x) = (x2+1)/(x-3)
2.8 Continuidad
Un proceso es continuo cuando se lleva a cabo gradualmente y 
sin ninguna interrupción o cambio brusco, por ejemplo las clases de la 
universidad no son continuas porque se interrumpen en las vacaciones 
y se regresa a estudiar luego de las vacaciones, un proceso continuo sería 
por ejemplo el movimiento de la tierra en torno a su propio eje lo que 
provoca el día y la noche; este concepto aplicado a las matemáticas nos 
indicaría que una función es continua en un punto, en un intervalo o en 
toda la función si al asignarse el valor de la o las variables independien-
tes en la función, nos da un valor para la variable dependiente.
Tabla 33
DEFINICIÓN
Una función f es continua en un número x = a si: 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = lím
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
Lo que implica que:
a) 𝑓𝑓(𝑎𝑎) 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑒𝑒 (𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑒𝑒𝑛𝑛𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑜𝑜𝑚𝑚𝑠𝑠𝑛𝑛𝑠𝑠𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓) 
b) lím
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑒𝑒 
c) 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = lím
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
EjErcicios rEsuEltos
ER1. Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
𝑥𝑥 + 1 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 > 1
 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 1 Determinar si f es continua 
en a = 1
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
247
solución
Aplicando la definición tenemos: Una función f es continua en 
un número x=a si:
• f(a) existe, a pertenece al dominio de f
f(1) no existe, 1 no pertenece al dominio de la función, por lo 
tanto no hace falta verificar b) y c). 
Se concluye que la función es discontinua en dicho valor.
Figura 138
ER2. Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
𝑥𝑥2 + 2 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≤ 2
 𝑥𝑥 + 4 𝑠𝑠𝑠𝑠 2 < 𝑥𝑥 < 6
6 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 = 6 
 
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
248
a. Determinar si f es continua en a = 2
b. Determinar si f es continua en a = 6
solución
a. Determinar si f es continua en a = 2
• El valor a = 2 pertenece al dominio en el primer tramo de la 
función, evaluando dicho punto tenemos: f(2) = 6
• Verificamos si lím𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑒𝑒 : existe
Como los límites unilaterales son iguales, se concluye que:
lím
𝑥𝑥→2
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 6 
• Ya que 6 = 6, se tiene que 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = lím𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
Por lo tanto la función es continua en a = 2
b. Determinar si f es continua en a = 6
• El valor a = 6 pertenece al dominio en el tercer tramo de la 
función, evaluando dicho punto tenemos: f(6) = 6
 lím
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑒𝑒