Calculo diferencial Universidad-94

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CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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Ahora que ya estamos familiarizados con el manejo del sistema 
cartesiano respondamos lo siguiente: Si la escalera se representa por una 
recta, usted se para al inicio de la escalera y realiza un desplazamiento 
en el eje x de 20 cm, ¿en cuál de los dos casos el desplazamiento en y es 
mayor y en cuál es menor para el mismo desplazamiento en x de 20 cm?
Si x cambia de x1 a x2 el cambio en x conocido como incremento en x
Si y cambia de y1 a y2 el cambio en y conocido como incremento en y
Figura 3
Incremento en x:
∆x=x
f
 – x
i
Incremento en y:
∆y=y
f 
– y
i
=f(x
0
+∆x) – f(x
0
)
∆y=f(x
0
+∆x) – f(x
0
)
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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3.2 La derivada: interpretación geométrica, definición 
matemática y notación
3.2.1 Interpretación geométrica de la derivada
La Derivada se interpreta geométricamente como la pendiente 
de la recta tangente a una curva. Una vez que se conoce el concepto de 
tasa de cambio promedio se puede empezar a explorar el concepto de 
derivada de una forma geométrica. Desde un punto de vista simple la 
derivada de una función es una tasa de cambio promedio en un inter-
valo extremadamente pequeño definido como x
1 
≤ x ≤ x
1
+h cuando h 
tiende a cero.
Que daría:
lím
ℎ→0
∆𝑦𝑦
∆𝑥𝑥
=
𝑓𝑓(𝑥𝑥1 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)
ℎ
=
𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑥𝑥
 
Nota: observe que se puede encontrar con ejercicios donde puede 
tener diferente nomenclatura para la variación en x, es decir puede en-
contrar como ∆x o simplemente como h.
Ejemplo 1: Determinar la derivada de la siguiente función
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 − 2 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) = 3(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) − 2 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lím
∆𝑥𝑥→0
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
∆𝑥𝑥
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lím
∆𝑥𝑥→0
3(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) − 2 − (3𝑥𝑥 − 2)
∆𝑥𝑥
 
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𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lím
∆𝑥𝑥→0
3𝑥𝑥 + 3∆𝑥𝑥 − 2 − 3𝑥𝑥 + 2
∆𝑥𝑥
=
3∆𝑥𝑥
∆𝑥𝑥
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lím
∆𝑥𝑥→0
3 = 3 
Más adelante analizaremos con detenimiento su significado mate-
mático pero en este momento lo que nos interesa es ver qué sucede con la 
recta secante cuando la variación de x que llamamos h va tendiendo a cero.
Figura 4 
Tendencia de recta secante a recta tangente cuando h tiende a cero
Como se puede ver fácilmente cuando h tiende a cero las rectas 
secantes terminan en un límite, que es la recta tangente a la curva en un 
punto (x, f(x)). 
En conclusión, la derivada de una función f es otra función f ’ 
(que se lee f prima) y que está definida como:
𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = lím
ℎ→0
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
ℎ
 
Siempre que el límite exista.