Calculo diferencial Universidad-95

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Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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Debe entenderse que la derivada de una función f(x) es otra fun-
ción f´(x) que como es lógico depende de la misma variable indepen-
diente x. Aquí se puede decir que la función derivada cambia con res-
pecto a la variable independiente x. Si sabemos que la derivada geomé-
tricamente representa la pendiente de la recta tangente en un punto, se 
puede decir que la primera derivada f´(x) es una función que muestra 
como está cambiando la pendiente de una recta tangente, cuando cam-
bia el valor de la variable independiente x. 
Definición de derivada en un punto
La derivada de una función f evaluada en un punto cuya abscisa 
es c se denota f´(c) y su valor se calcula como:
𝑓𝑓´(𝑐𝑐) = lím
ℎ→0
𝑓𝑓(𝑐𝑐 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑐𝑐)
ℎ
 
Siempre que el límite exista.
Ejemplo 2: Calcular la derivada de la función f(x)=x2+1 en x=2 
y x=-1
solución
𝑓𝑓′(2) = lím
𝑥𝑥→2
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(2)
𝑥𝑥 − 2
= lím
𝑥𝑥→2
(𝑥𝑥2 + 1) − 5
𝑥𝑥 − 2
= lím
𝑥𝑥→2
𝑥𝑥2 − 4
𝑥𝑥 − 2
= lím
𝑥𝑥→2
(𝑥𝑥 + 2) = 4 
𝑓𝑓′(−1) = lím
𝑥𝑥→−1
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(−1)
𝑥𝑥 − (−1)
= lím
𝑥𝑥→−1
(𝑥𝑥2 + 1) − 2
𝑥𝑥 + 1
 
= lím
𝑥𝑥→−1
𝑥𝑥2 − 1
𝑥𝑥 + 1
= lím
𝑥𝑥→−1
(𝑥𝑥 − 1) = −2 
Ejemplo 3: Derive usando la definición de derivada: f(x)=x3-x+3 
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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solución
Aplicando la definición dada tenemos:
𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = lím
ℎ→0
((𝑥𝑥 + ℎ)3 − (𝑥𝑥 + ℎ) + 3) − (𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥 + 3)
ℎ
 
𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = lím
ℎ→0
�(𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2ℎ + 3𝑥𝑥ℎ2 + ℎ3) − (𝑥𝑥 + ℎ) + 3� − (𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥 + 3)
ℎ
 
Simplificando y factorizando el numerador:
𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = lím
ℎ→0
ℎ(3𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥ℎ + ℎ2 − 1)
ℎ
 
Aplicando el límite: f´(x)=3x2-1
Con esta nueva función derivada determinaremos la derivada en 
el punto x=1. Para este caso simplemente en la función derivada en-
contrada se reemplazas el valor de x y tenemos que f´(1)=3(1) 2-1 es 
decir f´(1)=2 lo que nos dice que la pendiente de la recta tangente a la 
curva en el punto (1,3) es igual a 2. Pero ¿cómo podemos confirmar 
visualmente esto? Como sabemos la pendiente está asociada a una recta 
así que el problema que nos plantearemos ahora es graficar la curva y 
la recta tangente para observar que lo que calculamos es correcto. La 
grafica de la curva no es problema pues tenemos la función; lo que hace 
falta es encontrar la ecuación de la recta que como sabemos debe pasar 
por el punto de tangencia (1,3) y tiene pendiente 2, 
(y-y
1
)=m(x-x
1
)
(y-3)=2(x-1)
y=2x+1
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Graficando la función y la recta tenemos
Figura 5 
Ejemplo 3
3.2.2 Definición matemática de derivada
La derivada de una función f en un número x=a, es: 
𝑓𝑓′(𝑎𝑎) = lím
ℎ→0
𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
ℎ
 
Si este límite existe.