Calculo diferencial Universidad-98

Vista previa del material en texto

CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
291
Tenemos:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = lím
ℎ→0
(𝑥𝑥 + ℎ)3 − 𝑥𝑥3
ℎ
 
 = lím
ℎ→0
𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2ℎ + 3𝑥𝑥ℎ2 + ℎ3 − 𝑥𝑥3
ℎ
 
 = lím
ℎ→0
(3𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥ℎ + ℎ2)ℎ
ℎ
 
= lím
ℎ→0
3𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥ℎ + ℎ2 
= 3𝑥𝑥2 
Figura 10
Derivada de la función cúbica cx3
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
(𝑐𝑐𝑥𝑥3) = 3𝑐𝑐𝑥𝑥2 
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
292
Según los ejemplos realizados podemos indicar para cualquier 
potencia en general que:
Regla de la Potencia
A continuación se presenta una tabla de derivadas simples y re-
glas de derivación:
Tabla 1 Derivadas simples y reglas de derivación
TABLA DE DERIVADAS SIMPLES Y REGLAS DE DERIVACION
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
(𝑐𝑐) = 0 Derivada de una función 
constante
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
(𝑥𝑥𝑛𝑛) = 𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛−1 Regla de la potencia
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑐𝑐𝑓𝑓(𝑥𝑥)] = 𝑐𝑐
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑓𝑓(𝑥𝑥) Regla del múltiplo constante, siendo f una función deriva-
ble y c una constante
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑔𝑔(𝑥𝑥)] =
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑓𝑓(𝑥𝑥) +
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑔𝑔(𝑥𝑥) Regla de la suma
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑔𝑔(𝑥𝑥)] =
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑓𝑓(𝑥𝑥) −
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑔𝑔(𝑥𝑥) Regla de la diferencia
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)] = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑔𝑔(𝑥𝑥)] + 𝑔𝑔(𝑥𝑥)
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑓𝑓(𝑥𝑥)] Regla del producto
Regla del cociente
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
(𝑒𝑒𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 Derivada de la función expo-
nencial natural
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
293
EjErcicios rEsuEltos
ER2. Derivar 𝑦𝑦 = �𝑥𝑥53 
solución
Para resolver podemos primero representar esta expresión en for-
ma de potencia fraccionaria y nos queda:
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥
5
3 
Aplicando la regla de la potencia tenemos:
𝑦𝑦′ =
5
3
𝑥𝑥�
5
3−1� =
5
3
𝑥𝑥
2
3 
ER3. Derivar 𝑦𝑦 =
√𝑥𝑥34
2𝑥𝑥
 
solución
Expresamos le numerador en forma de potencia fraccionaria:
𝑦𝑦 =
𝑥𝑥
3
4
2𝑥𝑥
 
Derivamos aplicando la regla del cociente de acuerdo a la tabla 1.
 y 
 x 
B (0,3)
l1
A (-2,0)
𝑦𝑦′ =
3
4 𝑥𝑥
−14(2𝑥𝑥) − 𝑥𝑥
3
4(2)
4𝑥𝑥2
=
3
2 𝑥𝑥
3
4 − 2𝑥𝑥
3
4
4𝑥𝑥2
=
−12 𝑥𝑥
3
4
4𝑥𝑥2
= −
1
8𝑥𝑥
5
4