TeoriadeColas_pracicasyexamenes_sinresolverI

Vista previa del material en texto

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
1 
 
PROBLEMAS DE PRÁCTICAS Y EXÁMENES ANTERIORES A 2015-II 
 
1. Si a un sistema donde se da un servicio llegan clientes aleatoriamente con un promedio de 10 por 
hora, y un servidor los puede atender a un ritmo promedio de 25 por hora, ¿se pueden formar 
colas? ¿Por qué? 
2. Dos alumnos de la UDEP están haciendo encuestas, como parte de una investigación de mercado, a 
los turistas que llegan al aeropuerto de Piura, después de su visita a esta región. Un alumno solicita 
la colaboración de los turistas preguntándoles si están dispuestos a ser encuestados. En promedio, 
cada hora encuentra a 6,25 turistas que sí están dispuestos a ser encuestados. Una vez hecho el 
contacto, el alumno los lleva a una pequeña sala, ubicada en el mismo aeropuerto, donde está el 
otro alumno, que hace cada encuesta en un promedio de 8 minutos. En la sala hay asientos para 
que esperen 5 personas. Si algún turista encuentra los 5 asientos ocupados, no ingresa y se retira. 
El 40% de los turistas que encuentran dos en cola, no ingresa y se retira. El 60% de los turistas que 
encuentran tres en cola, tampoco ingresa y se retira, y el 80% de los turistas que encuentran cuatro 
en cola, tampoco ingresa y se retira. Además, cuando hay tres o más turistas en cola, algunos de 
éstos se desaniman y se retiran de la sala a razón de 0,8 por hora. Calcule: 
a) El porcentaje de tiempo que el encuestador está ocupado. 
b) El promedio de turistas que hay en la sala esperando. 
c) Cuántos turistas que están dispuestos a ser entrevistados en un día (10 horas), se niegan luego 
a hacerlo. 
d) De todos los turistas que acceden a ser encuestados, qué porcentaje se deja de encuestar por 
una u otra razón. 
 
3. La central telefónica de una empresa de servicios tiene varias líneas para la atención simultánea de 
sus clientes. Cada línea le cuesta a la empresa $7/hora. El tiempo entre llamadas de los clientes 
sigue una distribución exponencial, con un promedio de 1,2 minutos. El tiempo que se tardan en 
atender por la línea telefónica a cada cliente sigue una distribución exponencial, con un promedio 
de 7 minutos. La central telefónica sólo puede tener en espera a 5 clientes que llaman por el 
servicio, o sea que si un cliente llama y ya hay 5 en espera, no es atendido y desiste de llamar. El 
costo de espera por cada cliente que está esperando en cola es de $25/hora. ¿Cuántas líneas le 
conviene tener a la empresa? 
 
4. ¿Qué expresa la propiedad de amnesia en un sistema de salida pura? 
5. Determine, a partir de los postulados de la teoría de colas, la ecuación diferencial a partir de la cual 
se deducen las fórmulas de 𝑃0 y 𝑃𝑛. 
 
6. Un centro de copiado de una universidad recibe los pedidos de fotocopias de los alumnos a razón 
de 30 por hora, considerándose que esta llegada se ajusta a una distribución de Poisson. Para 
brindar este servicio cuenta con una fotocopiadora que puede atender los pedidos de los alumnos 
en un tiempo que sigue una distribución exponencial, con promedio de 1,5 minutos por alumno. 
Como hay varios centros de copiado cerca, cada vez que un alumno llega y encuentra 3 alumnos 
dentro del local (uno usando la fotocopiadora y 2 en cola), prefiere irse a otro lugar. 
a) ¿Qué porcentaje de alumnos que llegan a este centro de copiado se va a otro lugar? 
b) ¿Qué porcentaje de alumnos que llegan a este centro de copiado hace cola? 
c) ¿Qué porcentaje de alumnos que ingresan a este centro de copiado hace cola? 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
2 
 
d) ¿A cuánto tendría que cambiar el tiempo promedio de atención para que el porcentaje de 
alumnos que hace cola disminuya en un 30%? 
 
7. Explique por qué en un sistema, donde ya se ha determinado adecuadamente el número de 
servidores, eventualmente se forman colas. 
 
8. Debido al aumento de las ventas que se prevé para el mes de diciembre, un gran centro comercial, 
que cuenta con dos operadoras de teléfonos, está tratando de determinar cuántas operadoras 
extra debe contratar. Cada operadora puede atender, en promedio, 4 llamadas por minuto (con 
distribución de Poisson). Se espera recibir llamadas con una tasa promedio de 10 llamadas por 
minuto (con distribución de Poisson). 
a) Si el sistema telefónico le permite tener en cola sólo a tres clientes, ¿qué porcentaje de los 
clientes que llaman sí son atendidos? 
b) Si el sistema telefónico le permite tener en cola sólo a tres clientes, ¿cuántas operadoras extra 
debe contratar si se desea atender a más del 90% de los clientes que llaman? 
c) Si el sistema telefónico le permite tener en cola sólo a tres clientes, y algunos de los clientes que 
están en espera se desaniman y dejan la cola a razón de 0,2n clientes por minuto, ¿cuántas 
operadoras extra debe contratar si se desea atender a más del 90% de los clientes que llaman? 
 
 
9. Una empresa tiene estacionamiento dentro de su local, con sólo cuatro espacios para los vehículos 
de sus clientes. Si un vehículo no encuentra espacio para estacionarse, se estaciona al frente, en la 
calle, y permanece allí aunque se desocupe un espacio del estacionamiento. Los vehículos llegan con 
una distribución de Poisson, con una media de 1,75 vehículos por hora, y el tiempo de 
estacionamiento sigue una distribución exponencial, con una media de 40 minutos. 
a) Determine la probabilidad de que un vehículo que llegue al estacionamiento encuentre 
espacio para estacionarse. 
b) ¿Cuántos espacios del estacionamiento permanecen desocupados, en promedio? 
c) ¿Cuántos espacios tendría que tener el estacionamiento si se quisiera que encuentren 
estacionamiento al menos el 90% de los vehículos? 
d) Supóngase que la empresa sólo tiene 10 clientes, y que el tiempo promedio que tarda un 
cliente en volver a la empresa es de 3,2 horas. ¿Cuántos de los vehículos hay, en promedio, 
estacionados en la calle? 
 
 
10. Una tienda es atendida por un solo dependiente, que es capaz de atender a los clientes en un 
promedio de 1,5 minutos. La distribución de los estos tiempos es exponencial. Los clientes llegan con 
una distribución de Poisson, con una tasa media de 30 por hora. 
a) Determine qué porcentaje de clientes que llegan deben hacer cola, y el tamaño promedio de la 
cola. 
b) Suponiendo que en las horas punta, a fin de mes, la tasa media de llegada es de 50 clientes por 
hora, con lo cual una fracción de los clientes que encuentran cola se desaniman y no ingresan a 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
3 
 
la tienda, según la siguiente tabla: 
 (8p) 
n 0 1 2 3 4 5 
r(n) 0 0,1 0,3 0,6 0,8 1 
 
 Determine qué porcentaje de clientes que llegan deben hacer cola, y el tamaño promedio de la 
cola. 
c) Considerando que a fin de mes, en las horas punta, la tasa media de llegada es de 50 clientes 
por hora. Cuando hay más de un cliente en la tienda, se ha dado instrucciones al encargado del 
almacén para que ayude al dependiente a envolver los productos comprados. Esta ayuda reduce 
el tiempo de atención a 1 minuto, en promedio. Considerando que hay clientes que, al ver la 
cola, se desaniman y no ingresan a la tienda, según la misma tabla del apartado anterior, 
determine qué porcentaje de clientes que llegan deben hacer cola, y el tamaño promedio de la 
cola. 
11. Conteste verdadero (V) o falso (F). ( 
a) La manera más práctica de mejorar el nivel de servicio en los sistemas de colas es 
reduciendo los tiempos de servicio. 
b) Durante el estado transitorio, la probabilidad de que un sistema esté vacío no depende del 
tiempo que ha transcurrido desde que se inició el servicio. 
c) Si el tiempoque transcurre hasta que ocurra una salida de un servidor sigue una 
distribución normal, el tiempo que transcurre entre dos salidas consecutivas sigue la misma 
distribución normal. 
d) Si se uniformiza el tiempo de servicio en un sistema, la cola tiende a ser más pequeña. 
e) Lo que busca la teoría de colas esencialmente es reducir los costos de espera. 
f) Si en un sistema hay rechazo y abandono, la razón de abandono es igual a la razón de salida 
promedio menos la tasa efectiva de llegada. 
g) El número de servidores que están ocupados, en promedio, es igual al promedio de clientes 
que hay en el sistema menos el promedio de clientes que hay en cola. 
 
12. Los 12 empleados de un taller acuden eventualmente a una sala donde hay tres máquinas. En 
promedio, un empleado regresa a la sala en busca de una máquina, después de una hora. El tiempo 
que tarda un empleado en una máquina sigue una distribución exponencial, con una media de 10 
minutos. En la sala hay 3 máquinas. Cuando un empleado necesita una máquina y encuentra que las 
tres están ocupadas, y hay un empleado esperando en cola, no le queda más remedio que realizar su 
trabajo sin la ayuda de la máquina. 
a) Construya una tabla que muestre los valores de n, 𝜆𝑛, 𝜇𝑛 y Pn. 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado llegue y encuentre dos o tres máquinas libres? ( 
c) ¿Qué fracción del tiempo un empleado está en la sala? 
d) ¿A cuántos empleados se espera encontrar en el taller? 
 
13. A una tienda donde atienden dos vendedores, llegan clientes con una distribución de Poisson, a 
razón de 10 por minuto. El tiempo que tarda cada vendedor sigue una distribución exponencial, con 
una media de 20 segundos. Cuando en la tienda hay 4 clientes y llega el quinto, comienza a atender 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
4 
 
un vendedor más, quien tiene la misma capacidad de atención que los otros dos vendedores. Cuando 
hay uno o dos clientes en cola, el 50% de los clientes se rehúsa a entrar. Cuando hay 3 clientes en 
cola, el 70% de los clientes se rehúsa a entrar. Cuando hay 4 clientes en cola, el 90% de los clientes se 
rehúsa a entrar. Cuando hay 5 clientes en cola, el 100% de los clientes se rehúsa a entrar. 
a) Construya una tabla que muestre los valores de n, 𝜆𝑛, 𝜇𝑛 y Pn. 
b) ¿A cuántos clientes se espera encontrar en la tienda. 
c) ¿Cuántos clientes se pierden, en promedio, en un día? (Considere que la tienda está abierta 
ocho horas al día). 
d) ¿Cuántos clientes más se perderían, en promedio, en un día, si no atendiera el tercer 
vendedor? 
 
14. Un técnico en reparaciones se ocupa del mantenimiento de 3 máquinas. Para cada máquina, la 
distribución de probabilidades del tiempo antes de que falle es exponencial, con una media de 9 
horas. El tiempo de reparación también es exponencial con una media de 2 horas. 
a) a) Determine la distribución de probabilidades de número de máquinas que no están 
funcionando. 
b) b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna máquina esté funcionando? 
c) c) ¿Cuántas máquinas están funcionando, en promedio? 
d) d) ¿Qué fracción de tiempo está funcionando una máquina? 
e) 
15. Una gestoría dispone de tres personas que atienden al público; cada una de ellas tarda una media de 
10 minutos en atender a un cliente. 
a) Si los clientes llegan con una tasa de 15 por hora: 
- ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar para ser atendido? 
- ¿Cuál es el número medio de clientes en la cola? 
- ¿Cuál es el tiempo medio de espera en el sistema? 
b) Supongamos que se estructura la gestoría en tres servicios: uno dedicado a las gestiones de 
compra/venta, el segundo para documentación (DNI, pasaportes, brevetes, etc.), y el 
tercero para las restantes gestiones. Ahora, la tasa de llegada de los clientes a cada uno de 
los servicios es de 5 por hora. Además, cada uno de los tres empleados está asignado a un 
único servicio. 
- ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar para ser atendido? 
- ¿Cuál es el número medio de clientes en la cola? 
- ¿Cuál es el tiempo medio de espera en el sistema? 
c) ¿Cuál de las dos alternativas anteriores le parece más conveniente? Explique por qué. 
16. Los 12 empleados de un taller acuden a una de tres máquinas cuando la necesitan. En promedio, un 
empleado regresa en busca de una máquina, después de una hora. El tiempo que tarda un empleado 
en una máquina sigue una distribución exponencial, con una media de 10 minutos. En el taller hay 3 
máquinas. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres máquinas estén ocupadas? 
b) ¿Qué fracción de su tiempo un empleado está usando una máquina? 
 
Supóngase que cuando un empleado necesita una máquina y encuentra que las tres están ocupadas, 
no le queda más remedio que realizar su trabajo sin la ayuda de ésta. Esto trae como consecuencia 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
5 
 
que el tiempo promedio que tarda un empleado en regresar en busca de una máquina sea de una 
hora y 5 minutos. 
 
c) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres máquinas estén ocupadas? 
d) ¿Qué fracción de su tiempo un empleado está usando una máquina? 
e) En un día de trabajo (de 8 horas), ¿cuántos empleados se espera que encuentren las tres 
máquinas ocupadas? 
17. Demuestre la propiedad de amnesia de la distribución exponencial: PT > t + h \ T  t = P T > h. 
(2p) 
18. A partir de las siguientes ecuaciones, para el estado estable: 
 n - 1Pn – 1 + n + 1Pn + 1 – (n + n) Pn = 0 
 1P1 – 0 P0 = 0 
Demuestre que: 0
1
1
0 PP
n
i
i
n
i
i
n


=
−
==


 
 
19. Después de las 9 p.m., en la sala de cines UVK Piura sólo atiende una persona en la venta de entradas, 
en tiempos que se distribuyen exponencialmente, con una media de 0,5 min. Los clientes llegan a un 
ritmo de 1,8 por minuto, con una distribución de Poisson. El 40% de los clientes que compran su 
entrada pasan directamente a su sala a ver la película, y el 60% restante deciden comprar alguna 
comida y/o bebida en el mismo local de UVK. Allí, después de las 9 p.m. también atiende una sola 
persona caja, y es capaz de hacerlo a un ritmo de 25 clientes por hora. Sin embargo, por la congestión 
que se forma, algunos clientes se desaniman de comprar al ver el tamaño de la cola, y otros se llegan a 
salir de la cola porque se comienzan a desesperar. En la siguiente tabla se muestran estos datos. (La 
tasa de abandono está expresada en clientes por hora). Se ha calculado que, en promedio, cada cliente 
gasta S/.19.80 en compras de comidas y/o bebidas. 
 
 
 
a) ¿Qué porcentaje de los clientes que llegan al cine compran comida y/o bebidas? 
b) ¿Cuánto pierde UVK, en promedio, por clientes que deciden comprar comida y/o bebidas, y 
finalmente no compran? 
c) ¿Cuántos clientes hay, en promedio, comprando comida y/o bebidas? 
d) ¿Cuánto tiempo demora un cliente de UVK, desde que llega hasta que entra a la sala de cine? 
(suponga que no se hace cola para entrar a la sala). 
 
20. Una cochera tiene espacio para 12 autos. Los clientes llegan a razón de 15,5 por hora. El 50 % de los 
clientes que no encuentran espacio deciden esperar, salvo que encuentren a más de 4 en cola. Los 
que deciden no ingresar, se van a la siguiente manzana, donde hay una cochera muy grande (con el 
piso en mal estado), donde siempre hay espacios libres. En ambas cocheras cada cliente ocupa un 
espacio un promedio de 1 hora, 15 minutos. A la cochera grande también llegan clientes que no 
intentaron ingresar a la pequeña, a razón de 35 por hora. 
n 0 1 2 3 4 5 6 7
r(n) 0 0 0.2 0.5 0.7 0.8 0.9 1
a(n) 0 0 1 2 3 5 7 9
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
6 
 
a) ¿Cuántos autos se espera que haya en las dos cocheras, en total? 
 
b) Los clientes que siempre intentan ir a la cochera pequeña, ¿qué porcentaje de días lo 
consiguen? 
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en cada cochera haya menos de 10 autos?(¿Cuál es la 
probabilidad de que en la cochera pequeña haya menos de 10 autos? Idem en la grande.pata 
cada cochera 
d) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cocheras estén vacías? 
 
21. Los 12 operadores de una fábrica acuden a un almacén de herramientas cuando necesitan alguna. En 
promedio, un operador retorna al almacén después de una hora. El tiempo que tarda un empleado del 
almacén (almacenero) que proporciona las herramientas a los operadores, sigue una distribución 
exponencial, con una media de 10 minutos. En el almacén suele atender un solo empleado; pero 
cuando dentro hay 5 operadores o más, llega un empleado más, y atienden los dos. 
 
a) ¿Cuántos operadores son atendidos en un turno de 8 horas? 
b) ¿Cuántos operadores suelen haber en el almacén, en promedio? 
c) ¿Cuántos almaceneros suelen haber en el almacén, en promedio? 
c) ¿Qué porcentaje del tiempo están operativos los operarios, es decir, fuera del almacén? 
Si en el almacén estuvieran permanentemente dos almaceneros: 
d) ¿Cuántos operadores serían atendidos en un turno de 8 horas? 
e) ¿Qué porcentaje del tiempo estarían operativos los operarios, es decir, fuera del almacén? 
SOLUCIÓN: 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
7 
 
 
 
 
22. Una farmacia ubicada en el centro de Piura cuenta con una máquina que expende tickets numerados 
para ordenar la atención a los clientes. Los tiempos entre dos llegadas consecutivas siguen una 
distribución exponencial. Entre las 5 y las 7 pm, el promedio entre llegadas es de 5 segundos, y entre 
las 7 y las 9 pm, de 6 segundos. 
La máquina, que es capaz de atender hasta 12 clientes por minuto, atiende con un tiempo que sigue 
una distribución exponencial. 
Cuando les llega el turno (una pantalla muestra su número) los clientes hacen su pedido directamente 
al primero de los empleados del mostrador que se desocupe. Entre las 5 y las 7 pm. hay 8 empleados 
en el mostrador, y entre las 7 y las 9 pm. hay 6 empleados en el mostrador. El tiempo que tarda un 
empleado en atender a los clientes sigue una distribución exponencial con una media de 15 segundos. 
M = 12 c) s prom 1.3633
 = 1
 = 6
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
n-s 0 0 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9 10
n 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
n 0 6 6 6 6 12 12 12 12 12 12 12 12
1 2 3.66667 6.11111 9.16667 6.11111 3.56481 1.78241 0.74267 0.24756 0.06189 0.01031 0.00086
Pn 0.02901 0.05803 0.10638 0.17731 0.26596 0.17731 0.10343 0.05171 0.02155 0.00718 0.0018 0.0003 2.5E-05
0.6367 0.3633
 prom 8.00573 prom/ 1.33429 a) 64.0459 8*prom
 prom 8.00573
L 3.99427 b) c) 1-L/M = 0.66714
Lq 2.65998 L - Lq 1.33429
W 0.49893 % operativo
Wq 0.33226 W - Wq 0.16667 hs 10 min 0.66714
M = 12 s = 2
 = 1
 = 6
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
n-s 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
n 0 6 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
1 2 1.83333 1.52778 1.14583 0.76389 0.4456 0.2228 0.09283 0.03094 0.00774 0.00129 0.00011
Pn 0.11023 0.22045 0.20208 0.1684 0.1263 0.0842 0.04912 0.02456 0.01023 0.00341 0.00085 0.00014 1.2E-05
 prom 9.35454 lprom/m 1.55909 d) 74.8363
 prom 9.35454
L 2.64546 e) 1-L/M = 0.77955
Lq 1.08637 L - Lq 1.55909
W 0.2828 % operativo
Wq 0.11613 W - Wq 0.16667 hs 10 min 0.77955
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
8 
 
Algunos de los clientes que recogieron su ticket, desisten de hacer el pedido en el mostrador y se van a 
una farmacia vecina, tal como se expresa en la siguiente tabla: 
n < 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
r(n) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 
 
Una vez que los atienden en el mostrador, el 85% de los clientes se dirigen a caja a pagar y recoger su 
pedido (hay 2 cajas). El 15% restante no encuentra el pedido que quieren hacer y se van a otra 
farmacia. El tiempo de atención en caja es exponencial, con una media de 12 segundos. 
En el Open Plaza de Piura hay otra farmacia de los mismos dueños, con una máquina de tickets igual a 
la del centro, donde los tiempos entre llegadas son, en promedio, de 7,5 segundos entre las 5 y las 7 
p.m, y de 6 segundos entre las 7 y las 9 pm. Aquí atienden en el mostrador 4 empleados entre las 5 y 
las 7 pm, y 6 empleados entre las 7 y las 9 pm. 
En la farmacia de Open Plaza el rechazo es el mismo que en el centro. Aquí, al igual que en la farmacia 
del centro, el 85% de los clientes se dirigen a caja a pagar y recoger su pedido (hay 2 cajas). El 15% 
restante no encuentra el pedido que quieren hacer y se van a otra farmacia. 
Como se ve, en cada uno de los dos turnos hay 12 empleados atendiendo en el mostrador, y se 
considera que todos son igualmente capaces. 
Se ha estimado que en la farmacia del centro un cliente gasta un promedio de S/.15; mientras que en 
Open Plaza un cliente gasta un promedio de S/.25. 
 
a) Para cada farmacia, ¿cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que hacer cola en la máquina 
de tickets, en el mostrador y en caja? 
b) ¿Cuántos clientes hay, en promedio, dentro de cada farmacia? 
c) ¿Qué porcentaje de los clientes que llegan a cada farmacia, sí hacen un pedido? 
d) ¿En qué farmacia se reportan mayores ingresos entre las 5 y las 9 pm? 
 
23. En la biblioteca de una universidad hay un número grande de PCs para que los estudiantes puedan 
hacer las reservas de los libros que desean llevar a casa. Los alumnos hacen sus pedidos a razón de 
12,5 por minuto. Cada alumno se demora un promedio de 1,2 minutos en la PC. 
a) ¿Cuántos alumnos hay, en promedio, usando las PCs? 
b) ¿Cuánto tiempo está un alumno haciendo su pedido, en promedio? 
c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar más de 5 PCs ocupadas? 
 
24. Una cochera, ubicada en una gran avenida, tiene espacio para 12 autos. Los clientes llegan a razón de 
15,5 por hora. Los que no encuentran espacio no pueden esperar, y no les queda más remedio que ir a 
la siguiente manzana, donde hay una cochera muy grande (con el piso en mal estado), donde siempre 
hay espacios libres. En ambas cocheras cada cliente ocupa un espacio un promedio de 1 hora, 15 
minutos. A la cochera grande también llegan clientes que no intentaron ingresar a la pequeña, a razón 
de 35 por hora. 
e) ¿Cuántos autos se espera que haya en las dos cocheras, en total? (10p) 
f) Los clientes que siempre intentan ir a la cochera pequeña, ¿qué porcentaje de días lo 
consiguen? 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
9 
 
g) ¿Cuál es la probabilidad de que en cada cochera haya menos de 10 autos? 
h) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cocheras estén vacías? 
25. La escalera eléctrica del aeropuerto de Lima puede trasladar a 28 personas por minuto. En el horario 
de 4 p.m. a 7 p.m., la llegada a esta escalera es de 30 personas por minuto; sin embargo, cuando está 
muy congestionada, algunas personas desisten de usarla y suben por unas escaleras amplias que hay al 
lado. Se ha podido clasificar en dos grupos a las personas que desisten de usar la escalera eléctrica: 
- Los que no quieren usarla cuando hay n – 1 personas haciendo cola: 
 (7p) 
n – 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ≥12 
Fracción 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 0,6 0,6 0,7 0,7 0,8 
- Los que dejan la cola porque están apurados: 
n – 1 6 7 8 9 10 11 ≥12 
Personas/min 2 2 2 3 3 3 4 
 
a) ¿Cuál es el tiempo de servicio de la escalera eléctrica? Para una persona cualquiera, diga cuándo 
se inicia y cuándo finaliza este servicio. 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de5 personas en cola frente a la escalera eléctrica? 
c) ¿Cuántas personas hay en cola frente a la escalera eléctrica, en promedio? 
d) ¿Qué fracción de las personas que llegan dispuestos a usar la escalera eléctrica, suben por las 
otras escaleras? 
e) De las personas que llegan dispuestos a usar la escalera eléctrica, ¿qué cantidad se espera que 
suban por las otras escaleras en el lapso de 4 p.m. a 7 p.m? 
 
 
26. Una farmacia cuenta con una máquina que expende tickets numerados para ordenar la atención a los 
clientes. Los tiempos entre dos llegadas consecutivas siguen una distribución exponencial, con un 
promedio de 6 segundos. La máquina, que es capaz de atender hasta 12 clientes por minuto, atiende 
con un tiempo que sigue una distribución exponencial. 
Cuando les llega el turno (una pantalla muestra su número) los clientes hacen su pedido 
directamente al primero de los 5 empleados del mostrador que se desocupe. El tiempo que tarda 
un empleado en atender a los clientes sigue una distribución exponencial con una media de 15 
segundos. Algunos de los clientes que recogen su ticket, desisten de hacer el pedido en el 
mostrador, tal como se expresa en la siguiente tabla: 
n < 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
r(n) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 
 
Una vez que los atienden en el mostrador, el 80% de los clientes se dirigen a caja a pagar y recoger 
su pedido (hay 2 cajas). El 20% restante no encuentra el pedido que quieren hacer y se van a otra 
farmacia. El tiempo de atención en caja es exponencial, con una media de 12 segundos. 
e) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que hacer cola en la máquina de tickets, en el 
mostrador y en caja? 
f) ¿Cuántos clientes hay, en promedio, dentro de esta farmacia? Asuma que ningún cliente espera 
fuera. 
g) ¿Qué porcentaje de los clientes que llegan a la farmacia, sí hacen un pedido? 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
10 
 
Supóngase que el dueño de la farmacia no quiere que más del 30% de los clientes que llegan a caja 
tengan que esperar. ¿Cuántas cajas tendría que poner para conseguirlo? 
 
27. Una empresa que da servicio de taxi a domicilio cuenta con una instalación para el lavado de sus 
vehículos durante las 24 horas del día. Se ha determinado que los vehículos llegan a las instalaciones 
de lavado con tiempos que siguen una distribución exponencial, con un promedio de 22,5 minutos. El 
administrador del servicio de lavado ha calculado que el tiempo que toma lavar un vehículo también 
sigue una distribución exponencial, y depende del número de empleados que limpian 
simultáneamente un vehículo. Así, un solo empleado puede lavar un vehículo en 50 minutos, dos lo 
pueden hacer en 25 minutos, tres en 16,666.. minutos, cuatro en 12,5 minutos, etc. El administrador 
paga a sus empleados S/.6 por hora, y ha estimado que el costo por un vehículo que no esté operativo 
es de S/.15 por hora. 
a) Determine cuántos empleados conviene contratar para el lavado si se quiere minimizar los 
costos. Determine además el tiempo promedio que se pasaría un vehículo en la instalación de 
lavado para ese número de empleados, y qué tan probable es que en un momento cualquiera 
haya más de 3 vehículos haciendo cola. 
b) Determine cuántos empleados conviene contratar para el lavado si se quiere minimizar los 
costos, suponiendo que en el local sólo hay espacio para que esperen en cola tres vehículos. 
Determine además el tiempo promedio que se pasaría un vehículo en la instalación de lavado 
para ese número de empleados, y qué porcentaje de vehículos que llegan, deben irse porque no 
tienen espacio para esperar. 
28. Una tienda de repuestos para autos cuenta con cuatro empleados, frente a un mostrador, para 
atender a sus clientes que llegan con una distribución de Poisson, a un ritmo promedio de 15 por hora. 
Cada empleado atiende a los clientes en un tiempo que sigue una distribución exponencial, con un 
promedio de 5 minutos. Este tiempo incluye: el tiempo que tarda en tomar el pedido, ir al almacén, 
conseguir el pedido, volver al mostrador y entregarle el pedido al cliente. El tiempo que tarda en ir al 
almacén y volver al mostrador es, en promedio, 1 minuto. Cuando los empleados ingresan al almacén, 
son atendidos por uno de los dos almaceneros que hay, en tiempos que siguen distribuciones 
exponenciales, con promedios de 2 minutos cada uno. 
 
El 50% de los clientes que encuentran ocho clientes en la tienda, se van a otra tienda. 
El 75% de los clientes que encuentran nueve clientes en la tienda, se van a otra tienda. 
El 100% de los clientes que encuentran diez clientes en la tienda, se van a otra tienda. 
a) ¿Cuánto tarda un empleado, en promedio, en tomar y entregar el pedido al cliente? 
b) ¿Cuánto tarda un empleado, en promedio, en conseguir el pedido para el cliente? 
c) ¿A cuántos clientes atienden en esta tienda, en promedio, en una hora? 
d) ¿Cuántos empleados hay, en promedio, en el almacén? 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
11 
 
e) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado sea atendido en el almacén sin tener que hacer cola? 
 
 
29. Un servicio de lavado de autos atiende a sus clientes que llegan con una distribución de Poisson, a 
razón de 12 por hora. El número de empleados es tal, que pueden lavar hasta 5 autos 
simultáneamente. El tiempo que se tardan en lavar un auto, que depende del tamaño de éste y del 
estado en que se encuentre, sigue una distribución exponencial, con una media de 30 minutos. El 50% 
de los clientes que llegan a este local no están dispuestos a ingresar si tuvieran que hacer cola. El 50% 
restante sí está dispuesto a hacer cola siempre. 
a) ¿Qué porcentaje de los clientes que llegan hacen cola? 
b) ¿Qué porcentaje de clientes se pierden? 
c) ¿Cuántos clientes hay en el servicio de lavado, en promedio? 
d) ¿A cuántos clientes se atiende simultáneamente, en promedio? 
 
Si ningún cliente del servicio de lavado del problema anterior estuviera dispuesto a esperar, ¿a cuántos 
autos tendrían que lavar simultáneamente para que no se pierda a más del 5% de los clientes que 
llegan? 
 
30. Un restaurante ofrece menú a sus clientes que llegan con una distribución de Poisson, a razón de 22 
por hora. Los clientes deben tomar una bandeja y servirse los platos que ya están servidos en unos 
mostradores suficientemente grandes para que nunca se formen colas. Además, hay mesas y sillas 
suficientes para que nadie tenga que esperar. El tiempo que permanece un cliente en el restaurante 
sigue una distribución de Poisson, con una media de 15 minutos. 
a) ¿Cuántos clientes hay en el restaurante, en promedio? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un momento haya menos de 5 clientes en el restaurante? 
 
31. Un salón de belleza cuenta con tres áreas: pintado de cabello, cepillado y pedicure-manicure. 
Supóngase que a pintado llegan un promedio de 2 clientas por hora. De las clientas que salen de 
pintado, el 80% pasa a cepillado, y el 20% restante paga y se va. A cepillado llegan además, de la calle, 
un promedio de 2 clientas por hora. De las clientas que salen de cepillado, el 60% pasa a pedicure-
manicure y el 40% restante paga y se va. A ésta última área llegan además, de la calle, un promedio de 
1 clienta por hora. En pintado trabajan dos empleadas, cada una de las cuales es capaz de atender a 
una clienta en 40 minutos, en promedio. En cepillado trabajan también dos empleadas, cada una de 
las cuales es capaz de atender a una clienta en 25 minutos, en promedio. En pedicure-manicure 
trabajan también dos empleadas, cada una de las cuales es capaz de atender a una clienta en 40 
minutos, en promedio. Supóngase además que cada clienta paga S/.80 en pintado, S/.20 en cepillado y 
S/.30 en pedicure-manicure.Si llegan clientas y encuentran 4, 5 ó 6 clientas, ya sea en pintado o en 
cepillado, se rehúsan a entrar el 20%, 60% y 100%, respectivamente. En cambio, si llegan clientas a 
pedicure-manicure y encuentran 4, 5 ó 6 clientas, se rehúsan a entrar el 60%, 80% y 100%, 
respectivamente. 
a) Determine cuántas clientas suelen haber en el salón de belleza, en promedio. 
b) Determine cuánto se espera recaudar en un día de trabajo (de 10 horas). 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
12 
 
c) Determine cuántas clientas se espera que pasen por las tres áreas, consecutivamente, en un día de 
trabajo (de 10 horas). 
d) Determine cuántas horas se espera que pase en el salón de belleza una clienta que pase por las tres 
áreas, consecutivamente. 
e) Determine a cuántas clientas se espera atender en un día de trabajo (de 10 horas). Nota: no cuente 
2 ó 3 veces a las clientas que pasan por 2 ó más áreas. 
 
 
32. El dueño de una conocida cebichería de Piura ha tomado datos que le han permitido estimar lo 
siguiente: entre las 12:00 m y las 15:00 pm. llegan un promedio de 7,5 grupos de clientes por hora. En 
promedio, cada grupo está compuesto por 4,24 personas, y cada grupo ocupa una mesa durante 75,25 
minutos. 
Supóngase, además, que sólo se permite el ingreso de clientes en el horario de 12:00 m a 15:00 pm 
a) Si la cebichería cuenta con 11 mesas, ¿cuántas están ocupadas, en promedio? ¿Cuántos clientes 
suelen estar esperando a que se desocupe una mesa, en promedio? 
b) Si la cebichería cuenta con 11 mesas y todas las mesas están ocupadas, los clientes que llegan están 
dispuesto a esperar a que se desocupe una, sólo si hay un máximo de dos grupos esperando. ¿Cuántas 
mesas estarían ocupadas, en promedio? ¿Cuántos clientes se perderían en un día? 
c) Si la cebichería cuenta con 11 mesas y todas las mesas están ocupadas, ningún cliente que llega a 
esta cebichería está dispuesto a esperar a que se desocupe una, pues en esa zona hay otras 
cebicherías de la misma calidad. ¿Cuántas mesas estarían ocupadas, en promedio? ¿Cuántos clientes 
se perderían en un día? 
d) Si todas las mesas están ocupadas, ningún cliente que llega a esta cebichería está dispuesto a 
esperar a que se desocupe una, pues en esa zona hay otras cebicherías de la misma calidad. ¿Cuántas 
mesas conviene tener para que no se pierda a más del 5% de los clientes? 
 Supóngase que la cebichería del problema 1d está en una zona donde no tiene competencia, y que 
algunos clientes que llegan y encuentran todas las mesas ocupadas, suelen esperar. Concretamente, el 
60% de los clientes que encuentran todas las mesas ocupadas, sin ningún grupo en cola, se desaniman 
y se van. Este porcentaje aumenta a 70%, 80%, 90% y 100% si los clientes encuentran 1, 2, 3 ó 4 grupos 
de clientes en cola. ¿Cuántas mesas conviene tener para que no se pierdan más del 5% de los clientes? 
 
33. Jaime ha instalado dos puestos de venta en un área de descanso de una autopista: uno para venta de 
helados y el otro para venta de hamburguesas. En cada uno de éstos, los clientes son atendidos sólo 
por una persona. La tasa media de llegadas de los clientes es de 30 vehículos por hora al puesto de 
helados y 10 vehículos por hora al puesto de hamburguesas. En el puesto de helados se puede atender 
hasta 25 vehículos por hora y en el de hamburguesas hasta 20 vehículos por hora (asuma que las 
llegadas y salidas siguen una distribución de Poisson). Cuando en la cola del puesto de helados hay 4 
vehículos, la mitad de los vehículos que llegan se desaniman y se van; cuando hay 5 vehículos en cola, 
el 75% de los vehículos que llegan se desaniman y se van; y cuando hay 6 vehículos en cola, todos se 
desaniman y se van. El beneficio neto promedio por los helados vendidos a cada vehículo es de 7 soles, 
y por las hamburguesas 10 soles. Ambos puestos están abiertos durante 10 horas diarias. 
a) ¿Cuántos vehículos suelen haber haciendo cola? 
b) ¿Cuánto pierde en un día por clientes que se desaniman por la cola? 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
13 
 
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un vehículo que llegue al puesto de helados no necesite hacer 
cola? 
 
Jaime, que ha visto que se pierde mucho dinero por clientes que se desaniman por la cola en el puesto 
de helados, ha pensado que un empleado que trabaja en el puesto de hamburguesas debería pasar a 
atender en este puesto cuando vea que hay 3 vehículos o más en cola. Él ha calculado que, en esos 
momentos, la capacidad de atención en el puesto de hamburguesas descendería a 15 vehículos por 
hora; pero en el puesto de helados habría 2 empleados, con capacidad, cada uno, de atender a 25 
clientes por hora. Jaime asume que el tamaño de la cola en el puesto de hamburguesas no crecerá lo 
suficiente como para que algunos clientes desistan de comprar hamburguesas. Bajo estas nuevas 
condiciones: 
d) ¿Cuántos vehículos suelen haber haciendo cola? Compare este resultado con el anterior y 
comente. 
e) ¿Cuánto pierde en un día por clientes que se desaniman por la cola? Compare este resultado 
con el anterior y comente. 
f) ¿Cuál es la probabilidad de que un vehículo que llegue al puesto de helados no necesite hacer 
cola? Compare este resultado con el anterior y comente. 
34. CONTESTE BREVEMENTE: 
1. Si en un sistema hay 8 personas atendiendo a los clientes que llegan por un servicio, ¿esto indica 
que el número de servidores que tiene dicho sistema es 8? Explique. 
2. Si a un sistema llegan  clientes por minuto, en promedio, explique por qué el tiempo promedio 
que pasa un cliente en el sistema es L/ minutos. 
3. Si a un sistema llegan  clientes por minuto, en promedio, y el servidor es capaz de atenderlos a un 
ritmo de  clientes por minuto, en promedio, demuestre que el promedio de clientes que ingresan 
es igual al promedio de clientes que salen. 
4. Explique a qué conclusión importante se llega gracias a la propiedad de amnesia de la función 
exponencial en un sistema de salida pura 
 
 
35. Una empresa constructora está realizando una obra y necesita una mezcladora y varias carretillas 
(suponga que el número de carretillas es muy alto). Se estima que en horas pico se necesitará hasta 1 
m3/minuto de concreto. Considerando que la mezcladora alimenta directamente carretillas manejadas 
por una cuadrilla de obreros bien organizada, ¿con qué ritmo deberá trabajar la mezcladora si se 
quiere que, en promedio, no haya más de tres obreros esperando por el llenado de su carretilla? 
¿Cuántas carretillas hay en cola, en promedio? Nota: asuma que con 1 m3 de concreto se llenan 10 
carretillas. 
a) Supóngase que el tiempo de llenado de cada carretilla sigue una distribución exponencial. 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
14 
 
b) Supóngase que el tiempo de llenado de cada carretilla es constante. 
c) Compare los resultados de los apartados a y b, y explique. 
 
SOLUCIÓN 
. a) min/3,1375,0
10
3
1
carrL

=
−
= 




 
 La mezcladora debe trabajar a 1,33 m3/min. 
 Lq = L –  = 3 – 0,75 = 2,25 carretillas. 
 
 b) min/94,118377,0
10
3
)1(2
2
carrL =+
−
= 




 
 La mezcladora debe trabajar a 1,194 m3/min. 
 Lq = L –  = 3 – 0,8377 = 2,16 carretillas. 
 
c) Como la variabilidad en el tiempo de servicio es causante de colas, es lógico esperar que el 
promedio de carretillas en cola sea mayor en el apartado a. 
 
36. Un supermercado abre a las 10:00 am. Durante los primeros minutos, los clientes llegan a un ritmo de 
1,5 por minuto. Determine la probabilidad de que: (3p) 
a) A las 10:05 hayan llegado 10 clientes. 
b) A las 10:15 no haya llegadonadie. 
c) Entre las 10:10 y las 10:15 llegue un cliente. 
SOLUCIÓN: 
 
 = 1,5 clientes/min. 
a) 08583,0
!10
)55,1(
)5(
10)5(5,1
10 =

=
−e
P 
b) 10)15(5,10 1069,1)15(
−− ==eP 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
15 
 
c) 00415,0
!1
)55,1(
)5(
1)5(5,1
1 =

=
−e
P 
37. El centro de copiado de una universidad recibe los pedidos de fotocopias de los alumnos a razón de 
102 por hora, considerándose que esta llegada se ajusta a una distribución de Poisson. Para brindar 
este servicio cuenta con fotocopiadoras que pueden atender los pedidos de los alumnos en un tiempo 
que sigue una distribución exponencial, con promedio de dos minutos y 30 segundos por alumno. El 
personal de esta oficina no recibe los pedidos grandes. Determine cuántas fotocopiadoras debe tener 
el centro de copiado para que un alumno no tenga que esperar, en promedio, más de un minuto antes 
de que se le atienda. 
 
Supóngase que el centro de copiado tiene 5 fotocopiadoras: 
 
a) ¿Cuántos fotocopiadoras se espera encontrar ocupadas? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que llega al centro de copiado tenga que esperar? 
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que llega al centro de copiado encuentre más de 3 
fotocopiadoras desocupadas? 
d) ¿Cuánto tiempo espera pasar un alumno en el centro de copiado? 
 
38. En un taller donde trabajan 10 obreros, hay un esmeril. Cada obrero requiere el esmeril 
aproximadamente 10 veces al día. Cada vez que alguien usa el esmeril, tarda un promedio de 8 
minutos. Asuma que los obreros trabajan 8 horas al día. 
a) ¿Cuánto tiempo pierde un obrero cada vez que requiere del esmeril del taller? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un obrero tenga que hacer cola cuando requiera el esmeril? 
c) ¿Cuántos obreros están operativos, en promedio? 
 
39. Una clínica particular, que trabaja las 24 horas del día, cuenta con cinco ambulancias para atender 
pedidos de emergencia. Estos pedidos se reciben en una central telefónica lo suficientemente grande 
para que ningún cliente encuentre la línea ocupada. Cuando un cliente llama y no encuentra una 
ambulancia disponible, desiste y pide la ambulancia a otra clínica. Los tiempos entre pedidos de 
ambulancia tienen una distribución exponencial, con una media de 30 minutos. El tiempo que tarda 
una ambulancia en atender un pedido (lo que tarda desde que sale de la clínica a recoger al paciente 
hasta que retorna a la clínica) también tiene una distribución exponencial, con una media de 2 horas y 
15 minutos. 
a) ¿Qué porcentaje de clientes que llaman a esta clínica sí son atendidos con una ambulancia? 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
16 
 
b) ¿Cuántos clientes pierde la clínica en un día, en promedio, porque no encuentran una 
ambulancia disponible? 
c) ¿Cuántas ambulancias se espera encontrar estacionadas en la clínica? 
 
SOLUCIÓN: 
 
 
 
40. El administrador de la clínica del problema anterior quiere disminuir a menos de la cuarta parte el 
promedio de clientes que deja de atender en un día. ¿Cuántas ambulancias debería tener? 
a) ¿Qué porcentaje de clientes que llaman a esta clínica sí son atendidos con una ambulancia? 
b) ¿Cuántas ambulancias se espera encontrar estacionadas en la clínica? 
SOLUCIÓN: 
1) 1/ = 0,5 horas s
1/ = 2,25 horas 5
n 0 1 2 3 4 5
n 2 2 2 2 2 0
n 0 0,4444444 0,8888889 1,3333333 1,7777778 2,2222222
1 4,5 10,125 15,1875 17,085938 15,377344 63,2757813
n 0 1 2 3 4 5
Pn 0,0158038 0,0711173 0,1600138 0,2400207 0,2700233 0,243021
L = 3,4064055 clientes
prom = 1,5140 clientes/hora 36,334992 clientes/día
W = 2,25 horas
a) 1-Ps = 75,698%
b) No atienden a: n - prom = 0,4860 clientes/hora = 11,665 clientes/día
c) s - L = 1,594 ambulancias.
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
17 
 
 
 
 
41. Conteste brevemente las siguientes preguntas: 
a) ¿Cómo se deduce que el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial, sabiendo que 
el tiempo que transcurre para que ocurra la primera salida tiene una distribución exponencial. 
(1p) 
c) Si a un sistema llegan  clientes por minuto, ¿por qué el tiempo promedio que pasa un cliente 
haciendo cola es Lq/ minutos. (1p) 
d) Si en un sistema hay 12 personas atendiendo a los clientes que llegan por un servicio, ¿cómo 
sabría cuál es el número de servidores que tiene dicho sistema? (1p) 
42. Una bodega es atendida por el dueño. Los clientes llegan a la bodega según una distribución de 
Poisson, con una tasa media 30 por hora. Cuando solamente hay un cliente, éste es atendido por el 
dueño en un tiempo de servicio promedio de 1,5 minutos. Sin embargo, cuando hay más de un 
cliente en la bodega, se ha dado instrucciones al encargado del almacén para que ayude al dueño a 
envolver los productos comprados. Esta ayuda reduce el tiempo de atención a 1 minuto. En ambos 
casos, la distribución de los tiempos de servicio es exponencial. Determine cuántos clientes se espera 
encontrar en la bodega y cuánto tiempo se espera que pase cada cliente en la bodega. 
 
43. Una estación de servicio tiene una bomba de gasolina. Los autos que requieren servicio llegan con 
una distribución de Poisson, con una tasa media de 25 autos por hora. Si la bomba está ocupada, 
algunos clientes se van a otra estación. En particular, si hay n autos en la estación, la probabilidad de 
que un cliente potencial se vaya es de n/5, para n = 1, 2, 3, 4, 5. El tiempo requerido para servir un 
auto sigue una distribución exponencial, con una media de 3 minutos. Cuando en la estación hay 2, 3 
ó 4 clientes, éstos se van de la cola a razones 1, 2 y 3 clientes por hora, respectivamente. 
2) Si el promedio de clientes que deja de atender en un día disminuye a la cuarta parte, Ps también disminuye a la cuarta parte.
Viendo en el gráfico, para Ps = 0,0607553; / = 4,5  s está entre 7 y 8.
1/ = 0,5 horas s
1/ = 2,25 horas 8
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
n 2 2 2 2 2 2 2 2 0
n 0 0,4444444 0,8888889 1,3333333 1,7777778 2,2222222 2,66666667 3,1111111 3,5555556
1 4,5 10,125 15,1875 17,085938 15,377344 11,5330078 7,4140765 4,170418 86,393284
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Pn 0,011575 0,0520874 0,1171966 0,1757949 0,1977693 0,1779924 0,13349426 0,0858177 0,0482725
L = 4,2827738 clientes
prom = 1,9035 clientes/hora 45,682921 clientes/día
W = 2,25 horas
a) 1-Ps = 95,173%
b) s - L = 3,717 ambulancias.
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
18 
 
a) Determine cuántos clientes se espera perder en un día, si la estación trabaja 10 horas al día. 
b) ¿Cuánto tiempo pasa, en promedio, un cliente que sí es atendido? 
44. Un vendedor de helados ha instalado dos puestos de venta en un área de descanso de una autopista. 
El concesionario de la autopista le ha alquilado un espacio con capacidad para 6 vehículos, contando 
los que están siendo atendidos. La tasa media de llegadas de los clientes es de 40 vehículos por hora 
y cada puesto puede servir hasta 25 vehículos por hora (asuma que las llegadas y salidas siguen una 
distribución de Poisson). El beneficio neto por los helados vendidos a cada vehículo es de 7 soles. 
Teniendo en cuenta que el puesto de venta de helados está abierto durante 14 horas diarias, y que el 
concesionario de autopistas está dispuesto a alquilarle espacio adicional, a 50 soles/día por cada 
espacio para un vehículo, ¿qué debe hacer? ¿Ha de alquilar espacios extra? En caso afirmativo, 
¿cuántos? 
 
45. Una oficina pública cuenta con un estacionamiento gratuito con cuatro plazas para los clientes. Los 
autoscon intención de estacionarse llegan a un ritmo de 6 por hora, en promedio. Si encuentran 
plaza se estacionan. Si no, deben buscar otro lugar, por ejemplo un estacionamiento privado, cerca 
de allí. En promedio, cada auto permanece estacionado 30 minutos. Se asume que los clientes llegan 
con una distribución de Poisson y que el tiempo de estacionamiento sigue una distribución 
exponencial. 
a) ¿Qué porcentaje de autos que lleguen al estacionamiento público gratuito pueden 
estacionarse? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos amigos, que llegan juntos a dicha oficina, puedan 
estacionarse? 
c) ¿Cuántas plazas de estacionamiento público gratuito deberían existir para que el 88% de los 
autos que se dirigen esa oficina pública puedan estacionarse allí? 
46. Si a un sistema llegan clientes aleatoriamente con un promedio de a por hora, y un servidor tiene 
capacidad para atenderlos a un ritmo constante de (a + 2) por hora, ¿se pueden formar colas? ¿Por 
qué? 
 
47. ¿Cuándo no importa que el factor de utilización sea mayor que 1? 
a) Nunca 
b) Sólo cuando hay autoservicio. 
c) Sólo cuando no se admite cola. 
d) Sólo cuando hay rechazo y/o abandono. 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
19 
 
e) Sólo cuando se restringe la cola. 
 
48. El número clientes por hora que llegan a un consultorio médico sigue una distribución de Poisson, a 
razón de 5 clientes por hora. El médico los atiende en un tiempo que sigue una distribución 
exponencial, con un promedio de 6 minutos. Si el consultorio abre sus puertas a las 9 a.m.: 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que a las 9:10 a.m. no haya llegado nadie? 
b) Suponga que son las 9:15 y todavía no llega nadie al consultorio. ¿Cuál es la probabilidad de 
que el primer cliente llegue después de las 9:25 a.m.? 
c) ¿A cuántos clientes espera atender el médico en 6 horas de trabajo? 
SOLUCION: 
a) P0(1/6) = e–5(1/6) = 0,4346 
 
b) 0,4346 
 
c) En 6 horas espera atender a 5  6 = 30 clientes 
 
 
49. Un fisioterapista puede atender a 8 clientes por hora. Suponga llegada de Poisson y tiempo de 
servicio exponencial. Trace una gráfica que muestre cómo aumentaría el tiempo promedio que pasa 
un cliente haciendo cola en el consultorio conforme mayor sea la razón de llegada. Interprete la 
gráfica. ¿Es posible que tenga una cola de más de 40 clientes? Explique 
SOLUCIÓN 
Cuando la razón de llegada () se acerca a la razón de salida () = El tiempo promedio que se pasa un 
cliente esperando crece, y puede llegar, teóricamente, a infinito. 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
20 
 
 
50. A un consultorio que es atendido por un médico llegan 6 pacientes por hora, con una distribución de 
Poisson. El tiempo medio que el médico emplea con cada paciente es de 15 minutos, con una 
distribución exponencial. El 50% de los clientes que encuentran 4 ó 5 clientes haciendo cola se 
desaniman y no ingresan. Los clientes que encuentran más de 5 pacientes haciendo cola se 
desaniman y no ingresan. El 60% de los pacientes que salen del consultorio deben hacerse un 
análisis, por lo que pasan, después de la consulta, al laboratorio, donde se les extrae sangre. Este 
servicio lo realiza una enfermera que tarda una media de 6 minutos por paciente, siguiendo una 
distribución exponencial. Además de los pacientes procedentes del consultorio, acuden al laboratorio 
otros pacientes, a razón de 5 clientes/hora, siguiendo una distribución de Poisson. Otra posibilidad es 
que se requiera hacer una resonancia magnética. El 25% de los pacientes que salen del consultorio 
pasan directamente a hacerse esta prueba (no van al laboratorio). El tiempo promedio que tarda esta 
prueba es de 15 minutos, con una distribución exponencial. A este servicio (prueba de resonancia 
magnética) llegan también pacientes procedentes de una clínica cercana que no tiene el equipo 
necesario para hacerla. Dicha clínica solicita este servicio con una frecuencia de 2 pacientes/hora, 
con una distribución de Poisson. Determine: 
a) El tiempo promedio que pasa un cliente en cada servicio. 
b) El tiempo promedio de espera de un cliente que va al consultorio y al laboratorio. 
c) El tiempo promedio que permanece desocupado el equipo de resonancia magnética en una 
jornada de 8 horas. 
d) El tiempo promedio que permanece desocupado el equipo de resonancia magnética en una 
jornada de 8 horas, suponiendo que el tiempo promedio que tarda esta prueba es siempre el 
mismo. 
e) La probabilidad de que en todo el local haya al menos un paciente. 
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Razón de llegada
P
ro
m
ed
io
 d
e 
cl
ie
n
te
s 
en
 c
o
la
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
21 
 
Consultorio
1 = 4/h
Laboratorio
2 = 10/h
Resonancia
Magnética
3 = 4/h
1
22
21
31
32
n - 1 0 0 1 2 3 4 5 6
n 0 1 2 3 4 5 6 7
r(n) 0 0 0 0 0 0,5 0,5 1
 n 6 6 6 6 6 3 3 0
f) El número promedio de pacientes que se desaniman de ingresar al consultorio en una jornada 
de 8 horas 
 
SOLUCIÓN: 
 
Hay tres sistemas de colas, como se muestra en el siguiente esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consultorio: 
 
 
 
 
 
032522,0
4
36
4
36
4
6
4
6
4
6
4
6
4
6
1
7
25
6
5
5
5
4
4
3
3
2
2
0 =




 
+

++++++=P 
Entonces: 
 
 
hPnn /86991,3 ==  
 
Laboratorio: 
h/321946,260,086991,322 == (del consultorio) 
h/521 = (de otro lado) 
 2 = 7,321946 / h (en total) 
 2 = 7,321946 / 10 = 0,7321195 
 
Resonancia magnética: 
h/967478,025,086991,331 == (del consultorio) 
h/232 = (de una clínica) 
 3 = 2,967478 / h (en total) 
 3 = 2,967478 / 4 = 0,7418695 
 
a) 
Consultorio: 50162,4== nnPL clientes  min79,691632,186991,3/50162,4/ ==== hLW  
Laboratorio: hW 373405,0
321946,710
1
=
−
= = 22,40 min. 
n 0 1 2 3 4 5 6 7
Pn 0,03252 0,04878 0,07318 0,10976 0,16464 0,24697 0,18523 0,13892
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
22 
 
Resonancia Magnética: hW 9685,0
967478,24
1
=
−
= = 58,11 min. 
 
b) Consultorio: hPsnL nq 913236,0)(1 =−= = 3,534142 clientes 
 hWq 913236,086991,3/534142,31 == = 54,79 min. 
 Laboratorio: hWq 273405,0
)321946,710(10
321946,7
2 =
−
= = 16,40 min. 
 
Sumando: Wq = 54,79 + 16,40 = 71,19 min. 
 
c) P03 = 1 –  = 1 – (2,967478 / 4) = 0,2581305 
 Tiempo promedio desocupado en 8 horas = 8  0,2581305 = 2,065 h 
 
d) 2,065 h 
e) 1 – (P01  P02  P03) = 1 – (0,032522  0,2678805  0,2581305) = 0,99775 
f) Nº promedio de clientes que no ingresan al laboratorio: 04,178)86991,36(8)( =−=−
clientes 
 
51. Una oficina de atención al público de una empresa dispone de tres personas que atienden al público. 
Cada una de ellas tarda una media de 10 minutos en atender a un cliente. Los clientes forman una 
sola cola, y son atendidos por los empleados de la empresa conforme éstos se van desocupando. 
a) Supóngase que los clientes llegan con una tasa de 15 por hora. 
a.1) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar para ser atendido? 
a.2) ¿Cuál es el promedio de clientes en la cola? 
a.3) ¿Cuál es el tiempo medio de espera? 
b) Supóngase que se estructura la oficina en tres servicios: uno dedicado a las gestiones de 
compra/venta, el segundo para documentación (DNI, pasaportes, brevetes, etc.) y el tercero 
para las restantes gestiones. Ahora, la tasa de llegada de los clientes a cada uno de los servicios 
es de 5 por hora. 
b.1) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar para ser atendido? 
b.2) ¿Cuál es el promedio de clientes en la cola? 
b.3) ¿Cuál es el tiempo mediode espera? 
c) ¿Cuál de las 2 alternativas anteriores le parece más conveniente? Explique. 
d) Para la primera alternativa (apartado a), ¿cuál es la probabilidad de que un cliente sea atendido 
por Tomás? 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
23 
 
 
SOLUCIÓN 
s = 3 
 = 6 cl / h.   = 5/6 
 = 15 cl / h 
 
P0 = 0,044944; P1 = 0, 1123596; P2 = 0,1404494 
 
a1) P(esperar) = 1 – P0 – P1 – P2 = 0,70225 
a2) Lq = 3,5112 clientes 
a3) Wq = 0,23403 h. W = 0,4007 h. 
 
Considerando tres sistemas independientes, en cada uno: 
s = 1;  = 5 cl / h;  = 6 cl / h.: 
 
b1) P(esperar) = 1 – P0 = 5/6 = 0,83333 
b2) Lq = 4,16666 clientes (en total hay 12,5 clientes) 
b3) Wq = 5/6 h. = 0,83333 h. W = 1 h. 
 
c) Conviene la alternativa (a), pues tanto Lq como Wq son menores. 
 
d) ( )
3
1
3
1
...
3
1
3
1
2
1
3
2
3
1
43210 ==+++++=  nPPPPPPP 
 
52. En una pequeña ciudad operan dos empresas de taxis. Cada una de ellas tiene dos taxis, y ambas se 
reparten el mercado en condiciones de igualdad. Esto resulta evidente por el hecho de que las 
llamadas telefónicas que llegan al servicio de atención al público de cada una de las empresas, siguen 
una distribución de Poisson con un promedio de 10 llamadas por hora en ambos casos. La duración 
media de una carrera de taxi es de 11,5 minutos, y sigue una distribución exponencial. 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
24 
 
a) Uno de los hombres de negocios de la ciudad ha comprado recientemente las dos empresas, y 
su primera preocupación es fusionar los dos servicios de atención al público en uno solo, con el 
objetivo de ofrecer un servicio más rápido a los clientes, es decir, que tengan que esperar menos 
a que los recoja el taxi solicitado. ¿Será esto cierto, que un único servicio de recepción de 
llamadas que fusione los dos existentes será más eficiente que los dos trabajando 
independientemente? 
b) A pesar de todo, operando con un servicio único de atención al cliente, el propietario de la 
empresa fusionada piensa que el tiempo de espera hasta que el cliente recibe el servicio es 
excesivo, y como no dispone de capital para incrementar el número de taxis decide que la 
oficina que atiende las llamadas de los clientes para pedir servicio les comunique que no puede 
atender su petición cuando la lista de clientes a la espera de ser atendidos sea de 10. ¿Qué 
efectos tendrá esta decisión en los tiempos de espera? ¿Cuál será el porcentaje de clientes 
perdidos? 
53. Un taller cuenta con tres máquinas idénticas que se averían con una distribución de Poisson a razón 
de 0,3 por día. El costo por tener una máquina parada durante un día es de $A. El taller cuenta con 
dos equipos para la detección y reparación de averías. Para cada uno de ellos el tiempo necesario 
para una reparación se distribuye exponencialmente. Uno de los equipos, el más antiguo, tiene un 
costo de funcionamiento de $R/día y puede realizar hasta μ reparaciones/día, el doble de la tasa de 
averías de cada máquina. El otro equipo, más moderno, tiene un rendimiento triple que el del 
primero y un costo de funcionamiento también triple. El jefe de taller tiene que decidir entre dos 
políticas, para lo cual desea estimar los costes medios: 
▪ Política 1: utilizar el equipo antiguo cuando sólo hay una máquina averiada. 
▪ Política 2: utilizar el equipo moderno cuando sólo hay una máquina averiada. 
Evidentemente, cuando hay dos máquinas averiadas, o las tres, trabajan los dos equipos de 
reparación. ¿Cuál es la política óptima? 
54. Suponga que una estación de servicio tiene dos lavadoras automáticas de autos. La primera sólo 
usa agua. La segunda usa agua y tiene la opción para usar shampoo y/o cera. Considerando que 
usando solamente agua el auto no queda tan limpio, este lavado dura tanto como el otro, que 
emplea shampoo y/o cera. Si la llegada de autos es la misma en las dos lavadoras, ¿en cuál se 
producen las mayores colas? ¿Por qué? 
 
55. El encargado de atender en la única ventanilla de Registros Civiles de una pequeña ciudad podría 
atender un promedio de 120 personas en 8 horas si estuviese constantemente ocupado. Suponga 
que el tiempo necesario para atender a una persona sigue una distribución exponencial. Si llegan a la 
ventanilla un promedio de una persona cada 6 minutos: 
 
a) ¿Cuál es el tiempo medio de servicio? 
b) ¿Qué porcentaje del tiempo estará ocupado? 
c) ¿Cuánto tiempo se espera que esté una persona que va a Registros Civiles? 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
25 
 
d) ¿Qué porcentaje del día se espera encontrar más de 3 personas en Registros Civiles? 
 
56. Una cebichería al paso recientemente instalada en el centro de Piura atiende a sus clientes en un 
local con sillas suficientes para atenderlos a todos sin que tengan que esperar a que se desocupe 
una. Estas sillas se encuentran dispuestas frente a cuatro barras. Los clientes llegan con una 
distribución de Poisson a razón de 1,5 clientes por minuto y deben pasar, en primer lugar, por la caja 
registradora, donde hacen su pedido y pagan. El dueño del local los atiende en la caja en un tiempo 
que sigue una distribución exponencial, con un promedio de 32 segundos. Después de esto, los 
clientes pasan a una silla frente a una de las barras. Aquí son atendidos inmediatamente, gracias a 
que hay un número de mozos suficiente para que los clientes no tengan que esperar. Se estima que 
el tiempo que están los clientes ocupando una silla sigue una distribución exponencial, con una 
media de 15 minutos. Este tiempo ya incluye lo que tarda un mozo en servirle el cebiche. 
 
a) ¿Cuántos clientes hay, en promedio, en esta cebichería? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en las barras haya un máximo de 5 clientes? 
c) Si el dueño de la cebichería pierde una buena parte del área donde están las sillas y se ve 
obligado a reducir el número de éstas, ¿cuántas le conviene tener si no desea que el local se 
congestione indefinidamente? 
 
57. Los pasajeros de Lan Perú que llegan al aeropuerto de Lima deben acercarse a los mostradores de 
esta aerolínea a “chequear” su pasaje y/o entregar su equipaje. En el horario de 4 pm. a 7 pm., esta 
llegada suele tener una distribución de Poisson, con una media de 10 pasajeros por minuto. Los 8 
empleados de Lan Perú atienden a los pasajeros en un tiempo que sigue una distribución 
exponencial, con un promedio de 40 segundos. Luego de chequear su pasaje y/o entregar el 
equipaje, estos pasajeros deben pagar su impuesto, por lo que se dirigen a unas ventanillas donde 
atienden 10 empleados. A estas ventanillas llegan los pasajeros de Lan Perú que acaban de chequear 
y/o entregar equipaje y también aquellos que chequearon por Internet que sólo llevan equipaje de 
mano (aproximadamente el 40% de los pasajeros de Lan Perú). Además llegan pasajeros de las 
demás aerolíneas, incluyendo aquellos que viajan al extranjero, que se estiman en 32 pasajeros por 
minuto. Se estima que el tiempo dio para pagar el impuesto es de 12 segundos. Después de esto, 
todos los pasajeros de vuelos nacionales (aproximadamente el 75% del total de pasajeros) pasan por 
el control de rayos X, conformado por 4 máquinas. Aquí, el tiempo de control sigue una distribución 
exponencial con un promedio de 6 segundos. Después de esto, ya se dirigen a su respectiva sala de 
embarque. Determine: 
a) El tiempo promedio que tarda un pasajero de Lan Perú en llegar a la sala de embarque, 
suponiendo que no ha chequeado por Internet y que no se detiene en ningún restaurante o 
tienda durante esta travesía. 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
26 
 
b) El tiempo promedio que tarda un pasajero de Lan Perú en llegar a la sala de embarque, 
suponiendo que sí ha chequeado por Internet, sólo lleva equipaje de mano y que no se detiene 
en ningún restaurante o tienda durante esta travesía. 
c) El número promedio de pasajeros haciendo cola para pagar su impuesto. 
d) La probabilidad de que un pasajero de Lan Perú que no ha chequeado por Internet llegue al 
control de rayos X sin haber hecho cola antes. 
 
58. En el Departamento de Organización Industrial de una Facultad de Ingeniería hay 8 profesores que 
usan 4 computadoras portátiles, que las van solicitando en estricto orden de llegada. Cuando ya hay 
7 solicitudes ya presentadas, la razón de llegada de solicitudes es de 1,8 por día. El tiempo promedio 
que los profesores emplean estas portátiles es de 2 horas. 
 
a) Determine el promedio de profesores esperando a que se desocupe una portátil. 
b) Supóngase que los profesores que no encuentran una portátil disponible desisten de usarla. 
¿Qué fracción de profesores se espera que desistan de usar una portátil por no encontrar una 
disponible? 
59. Entre las 10 a.m. y las 2 p.m., en un banco en Piura, a cada una de las dos máquinas que entregan 
tickets numerados para ordenar la atención llegan, con una distribución de Poisson, un promedio de 
33 clientes por minuto (suponga que no hay prioridades). El tiempo que se tardan los clientes en 
obtener el ticket sigue una distribución exponencial (no es constante pues los clientes no son 
igualmente hábiles en usar la máquina), con un promedio de 2,4 segundos. Los clientes que 
escogieron la máquina 1 deben esperar su turno en las ventanillas 1 a 10. Los clientes que escogieron 
la máquina 2 deben esperar su turno en las ventanillas 11 a 20. Se asume que los clientes escogen 
ambas máquinas por igual. El 20 % de los clientes que llegan cuando en la cola de una máquina 
expendedora de tickets hay 4 clientes, decide irse para retornar otro día o en otro horario. 
Igualmente el 40 % de los clientes que llegan cuando en la cola de una máquina expendedora de 
tickets hay 5 clientes, y el 60 % de los clientes que llegan cuando en la cola de una máquina 
expendedora de tickets hay 6 clientes, el 80 % de los clientes que llegan cuando en la cola de una 
máquina expendedora de tickets hay 7 clientes y el 100 % de los clientes que llegan cuando en la cola 
de una máquina expendedora de tickets hay 8 clientes. 
En las ventanillas hay empleados que atienden en un tiempo que sigue una distribución 
exponencial, con un promedio de 24 segundos. 
a) ¿Qué porcentaje de los clientes no hacen cola en ningún momento? 
b) ¿Cuántos minutos, entre las 10 a.m. y las 2 p.m, se espera que un empleado (Jaime) esté 
ocupado? 
c) ¿A cuántos clientes se espera encontrar en este banco? 
d) ¿Cuánto tiempo se espera que pase un cliente en el banco? 
 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
27 
 
60. Conteste brevemente: 
a) Suponga que las llegadas a dos sistemas de colas consecutivos son aleatorias, y que el tiempo de 
servicio del primer sistema es constante. ¿Cómo será la llegada al segundo sistema? Explique. 
b) ¿Por qué siempre se supone que  < ? ¿Puede usted concebir alguna situación en la que  > ? 
Explique. 
c) Si a usted se le encarga que haga un estudio de la cola que se forma en la oficina de pagos en 
S.S.A.A de la UDEP, ¿qué datos recopilaría? ¿Cómo los recopilaría? 
61. Suponga que un banco tiene un cajero automático dentro de una pequeña sala, donde llegan los 
clientes con una distribución de Poisson. Durante 12 horas del día, de 9 am a 9 pm, los clientes llegan 
a razón de 15 por hora. El cajero maneja las solicitudes de servicio con tiempos distribuidos 
exponencialmente, con un promedio de 5 minutos. Cuando llegan clientes que encuentran tres en 
cola, suelen desanimarse e irse el 40%; si encuentran cuatro en cola, suelen desanimarse e irse el 
60%; si encuentran cinco en cola, suelen desanimarse e irse el 80%; y si encuentran seis en cola, ya 
no entran pues no hay espacio en la sala, y prefieren irse a otro local del banco. Asimismo, cuando 
los clientes ingresan y están en cola esperando más de lo que esperaban, se van del local. Se ha 
estimado que cuando hay 4, 5 ó 6 en cola, los clientes abandonan ésta a razón de 2, 3 y 4 clientes por 
hora. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega a este cajero tenga que esperar para usar el 
cajero? 
b) ¿Cuántos clientes llegan a usar el cajero en el horario de 9 am a 9 pm? 
 
62. Una empresa que da servicio técnico para PCs cuenta con tres técnicos. Por razones de control de 
calidad, una vez que se asigna una PC a un técnico, no se asigna a otro. Suponiendo que las PCs 
llegan con una distribución de Poisson, a razón de 30 por mes (20 días de trabajo por mes) y que el 
tiempo de servicio sigue una distribución exponencial con una media de medio día: 
a) ¿Cuánto tiempo permanecerá, en promedio, una PC en este taller? 
b) ¿Qué porcentaje de su tiempo están ociosos los técnicos? 
c) ¿En qué porcentaje se reduciría el porcentaje hallado en (b) si hubiera un técnico más? 
 
63. El centro de investigación de la Facultad de Ingeniería de una universidad cuenta con dos 
fotocopiadoras, en una sala de la biblioteca, que son operadas por los 9 estudiantes de doctorado. La 
llegada de estos doctorandos a la sala de fotocopiado sigue una distribución de Poisson, siendo la 
tasa de llegada dependiente del número de doctorandos que están fuera de la sala, de tal manera 
que cuando hay un solo doctorando fuera de la sala, la razón de llegada es de uno por hora. El 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
28 
 
tiempo que usan una fotocopiadora sigue una distribución exponencial, con una media de 10 
minutos. Cuando está congestionada la sala, algunos de ellos suelen irse al centro de copiado que 
hay muy cerca, aunque tengan que pagar por las fotocopias. Cuando hay 4 en cola, suelen esperar el 
80%; el 20% se va. Cuando hay 5 en cola, suelen esperar el 60%; el 40% se va. Cuando hay 6 en cola, 
suelen esperar el 20%; el 80% se va. Cuando hay 7 en cola, no espera nadie. 
a) Determine la probabilidad de que un doctorando llegue a la sala de fotocopias y no 
tenga que esperar para sacar sus fotocopias. 
b) ¿Qué porcentaje de doctorandos se van a sacar fotocopias a otro lugar? 
c) ¿Cuántos doctorandos llegan a la sala de fotocopias en un día? Suponga que ellos 
permanecen en dicha Facultad 10 horas al día. 
d) ¿Cuánto tiempo se pasa un doctorando en la sala de fotocopias cada vez que va allí? 
e) Resuelva el problema anterior para el caso en que nadie esté dispuesto a hacer cola. 
 
 
64. Una empresa tiene como política aceptar bachilleres egresados de Ingeniería de la UDEP para hacer 
prácticas pre-profesionales, quienes llegan a solicitar estas prácticas siguiendo una distribución de 
Poisson a razón de 18 por año. Debido a las limitaciones del personal que trabaja en la empresa, sólo 
se admiten hasta 5 practicantes. El tiempo que duran estas prácticas, que depende del trabajo que se 
le asigne al bachiller, sigue una distribución exponencial, con un promedio de 8 semanas. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar más de 3 practicantes a la vez? 
b) ¿Cuántos practicantes se espera encontrar en esta empresa? 
c) ¿Cuántos bachilleres de Ingeniería de la UDEP no consiguen prácticas en esta empresa en un 
año? 
 
65. El administrador de un supermercado ha tomado datos durante algún tiempo, que le han permitido 
determinar que, en el horario de 5 p.m. a 8 p.m., los clientes llegan a la caja rápida con unadistribución de Poisson, a un promedio de 30 por hora. Además determinó que el tiempo de servicio 
de la cajera sigue una distribución exponencial, pero ha perdido el dato del promedio. ¿Cómo haría 
usted para averiguarlo si no quiere usar el reloj, para evitar errores de aproximación? 
 
66. Juan tiene una casa de cambio en una gran zona comercial de Lima, que cuenta con tres ventanillas 
para atender a los clientes. En cada ventanilla, los clientes son atendidos por un empleado, en un 
tiempo que sigue una distribución exponencial, con un promedio de un minuto y 25 segundos. Frente 
a cada ventanilla se forma una cola, pero como los clientes se cambian de cola cuando ven otra más 
pequeña, se puede asumir que el sistema de colas se comporta igual que si hubiera una sola cola. En 
las horas punta, los clientes llegan a la casa de cambio con una distribución de Poisson, a razón de 3 
clientes por minuto. En promedio, cada cliente que es atendido en la casa de cambio, reporta una 
utilidad de S/.3,90. 
a) ¿Cuál es la utilidad promedio por hora de la casa de cambio en las horas punta? 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
29 
 
b) ¿Cuántos clientes suelen haber, en promedio, en las horas punta? 
 Supóngase que la demanda de cambio (de soles o moneda extranjera) aumenta a 4 clientes por 
minuto en las horas punta; pero la mitad de los clientes que, al llegar, se tendrían que ubicar en 
tercera posición frente a la ventanilla menos congestionada, prefieren irse a otra casa de cambio 
vecina. Y si algún cliente que se tuviera que ubicar en cuarta posición frente a la ventanilla menos 
congestionada, prefiere irse a otra casa de cambio vecina. 
c) ¿Cuál es la utilidad promedio por hora de la casa de cambio en las horas punta? 
d) ¿Cuántos clientes suelen haber, en promedio, en las horas punta? 
e) ¿Cuánto tiempo se pasa un cliente en la casa de cambio, en promedio, en las horas punta? 
f) ¿Cuánto pierde en promedio, por hora, por clientes que se van a una casa de cambio vecina, en 
las horas punta? 
Supóngase que, cuando en la casa de cambio hay por lo menos 6 clientes, hay abandono de la cola 
(se van a una casa de cambio vecina), a razón de un cliente cada 4 minutos. 
g) ¿Cuál es la utilidad promedio por hora de la casa de cambio en las horas punta? 
h) ¿Cuántos clientes suelen haber, en promedio, en las horas punta? 
i) ¿Cuánto tiempo se pasa un cliente en la casa de cambio, en promedio, en las horas punta? 
j) ¿Cuánto pierde en promedio, por hora, por clientes que se van a una casa de cambio vecina, en 
las horas punta? 
 
67. Dos socios quieren abrir unas cabinas de Internet en una zona comercial donde hay otras cabinas 
similares. Así, cuando un cliente llega a un local de estos, si encuentra todas las cabinas ocupadas y 
un cliente haciendo cola, se va a otro local. Los socios han estimado, después de tomar datos 
suficientes, que los clientes llegarán a su local con una distribución de Poisson, a razón de 9 por hora, 
y que el tiempo que pasan en la cabina sigue una distribución aproximadamente exponencial, con un 
promedio de una hora. ¿Cuántas cabinas deben tener en su local si quieren captar siempre a más del 
80% de los clientes que lleguen? 
 
68. Suponga que un taller tiene 5 máquinas idénticas, que necesitan mantenimiento cada 2 días, en 
promedio. El taller cuenta con dos mecánicos, cada uno de los cuales tarda un promedio de 2,5 días 
en reparar una máquina. Los tiempos entre descomposturas y los de servicio de mantenimiento se 
distribuyen exponencialmente. Debido a la urgencia de las reparaciones, se plantea la posibilidad de 
sustituir a los dos mecánicos por uno muy rápido que repara las máquinas en la mitad del tiempo, 
pero cobra igual que los otros dos juntos. 
a) ¿Qué le conviene al dueño del taller? 
b) ¿Qué dato(s) necesitaría conocer para determinar a partir de qué sueldo del mecánico rápido ya 
convendría contratarlo? Asuma que se conoce cuánto cobran los dos mecánicos que trabajan 
actualmente. 
 
69. Si se sabe que el tiempo que tarda en salir el primer cliente en un sistema de colas sigue una 
distribución exponencial, explique cómo llega a concluirse que el tiempo de servicio sigue también 
una distribución exponencial. 
 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
30 
 
70. Para un modelo M/M/1/DG// donde la tasa de salida es de 40 clientes por hora, trace una gráfica 
que muestre cómo aumenta el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema conforme 
aumenta el factor de utilización. Interprete la gráfica. 
 
 
71. En las horas de mayor congestión de un banco en Piura, a la máquina que entrega tickets numerados 
para ordenar la atención (suponga que no hay prioridades) llegan un promedio de 27 clientes por 
minuto (con una distribución de Poisson). ¿Cuánto debe tardar la máquina en entregar cada ticket, 
como máximo, si se quiere que el tiempo promedio de espera de los clientes esté bajo los 10 
segundos? En este caso, ¿cuál sería el tamaño promedio de la cola? 
 
72. Una fábrica tiene un almacén de herramientas a donde acuden los operarios en busca de una 
herramienta especial. Los operarios solicitan el servicio a una tasa promedio de 20 veces por hora 
(con una distribución de Poisson). Se requiere un promedio de 4 minutos para atender el pedido de 
un operario. A cada operario se le paga $8 por hora y a cada empleado del almacén de herramientas 
$3 por hora. Si aumentando el número de empleados se lograra reducir en forma proporcional el 
tiempo de servicio (asuma que se atiende a un operario a la vez), ¿cuántos empleados conviene 
contratar en el almacén de herramientas 
a) Suponga que el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial 
b) Suponga que el tiempo de servicio sigue una distribución normal, con una desviación estándar 
igual a 1 minuto. 
73. Una empresa que alquila autos tiene sus propias instalaciones de lavado y limpieza de sus propios 
autos para dejarlos operativos para el próximo alquiler. Los autos llegan a dichas instalaciones con 
una distribución de Poisson a un promedio de 8 por día. Se ha determinado que los autos pueden 
limpiarse a un ritmo de 2k por día, siendo k el número de personas que trabajan en la limpieza de un 
mismo auto. El tiempo de lavado y limpieza se ajusta a una distribución exponencial. La empresa 
paga a sus trabajadores S/.30 por día y ha estimado que el costo por tener un auto no disponible 
para ser alquilado es de S/.25 por día. 
a) Determine el número de empleados que debe contratar. 
b) La empresa está considerando añadir un espacio para lavado y limpieza, que le permita atender 
a otro auto simultáneamente, a un costo de S/.50 diarios. Considere nuevamente que los autos 
pueden limpiarse a un ritmo de 2k por día, siendo k el número de personas que trabajan en la 
limpieza de un mismo auto. Determine si le conviene añadir el espacio adicional. 
 
74. La SUNAT abrió hace dos años una oficina sucursal en Sullana para ayudar a los contribuyentes a 
llenar sus declaraciones juradas. Esta oficina contó desde un principio con un consultor de 
impuestos. De la experiencia pasada, se ha determinado que el tiempo de servicio del consultor varía 
exponencialmente con un promedio de 15 minutos. Durante su primer año de existencia, la oficina 
recibía un promedio de 3 contribuyentes por hora (asuma una distribución de Poisson). La oficina 
tiene una sala de espera, en donde los contribuyentes pueden esperar a que se desocupe el siguiente 
consultor. 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 TEMA 4: TEORÍA DE COLAS 
 
 
31 
 
a) ¿Qué porcentaje de contribuyentes que entran a esta oficina deben esperar en la cola