Tema_3_Simulación_2018-II_-CASOS O2

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Tema 3 
Simulación
Investigación de Operaciones - 2
CASOS DE APLICACIÓN
Tema 3- Simulación 
Investigación de Operaciones - 2
CASO 1: Proceso de Manufactura
CASO 2: Determinación del tamaño del pedido de una revista
CASO 3: Control de inventario de pantallas de computadoras
CASO 4: Atención en un puesto de servicio
3Investigación de Operaciones 2
CASO 1: Proceso de manufactura
La fabricación de un artículo de manufactura tiene dos etapas. La duración de la etapa 1
tiene una duración de acuerdo a una distribución uniforme entre 3 y 6 minutos. La
duración de la etapa 2 sigue una distribución normal de media 10 minutos y desviación
típica 2, pero truncada entre 4 y 14. Después de estos dos procesos se realiza una tarea
de inspección cuya duración sigue una exponencial de media 2 minutos. Si como
resultado de esta inspección resulta que el artículo no está conforme, lo que sucede el
12% de los artículos, hay que realizar un proceso de conformado cuya duración sigue una
lognormal de media 5 y desviación típica 2.
Tras este proceso, se plantea si al artículo se le aplica un post-procesado, con lo que el
artículo tendría la categoría de “Premium”. Sólo se realiza esta post-procesado si el
artículo ha demorado menos de 17 minutos en las etapas anteriores. Este post-procesado
tiene una duración uniforme entre 5 y 7.
El coste unitario de la etapa 1 es de $5, el de la etapa 2 es de $10, la inspección tiene un
coste de $1. La etapa de conformado tiene un coste de $3, y la de post-procesado de 3$.
El precio de venta de los artículos regulares es de $30, y el de los Premium de $40.
• Distribución de los tiempos
• % de artículos Premium
• Beneficio medio
• % de artículos que se hacen en más de 20 minutos
• % artículos que se hacen en menos de 15 minutos
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Simulación de una distribución truncada en el intervalo (a,b)
Una distribución truncada en cierto intervalo es una distribución que sólo puede
tomar valores en dicho intervalo. Es una distribución condicionada a dicho
intervalo. Si 𝐹 𝑥 es la función de distribución de 𝑋 sin truncar, la función de
distribución truncada en (a,b) será:
𝐹𝑇 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 =
𝑃(𝑎 < 𝑥 < 𝑥𝑜)
𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏)
=
𝐹 𝑥𝑜 − 𝐹(𝑎)
𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
Si sólo puede tomar valores entre a y b, la probabilidad de estar entre a y b será 1.
Por tanto, la función de densidad será similar a la de la función sin truncar, pero
con densidades aumentadas para que la integral entre a y b sea 1 (ver figura).
En la figura, la distribución en azul es N(16,1).
La distribución N(16,1) truncada en 𝑥 > 15 es
la distribución en amarillo, que es similar a la
azul para 𝑥 > 15 pero expandida para que
integre a 1 en 𝑥 > 15.
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Para simular de la distribución 𝐹𝑇(𝑥) a partir de la función inversa de 𝐹 𝑥
podemos ayudarnos del teorema de la función inversa:
𝐹𝑇 𝑥 =
𝐹 𝑥 − 𝐹(𝑎)
𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
= 𝑢 ⇒ 𝐹 𝑥 = 𝐹 𝑎 + 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 𝑢
⇒ 𝑥 = 𝐹−1 𝑢𝑎 + 𝑢𝑏 − 𝑢𝑎 𝑢
donde 𝑢𝑎 = 𝐹 𝑎 , 𝑢𝑏 = 𝐹 𝑏 y 𝑢 es un número aleatorio de la 𝑈(0,1)
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
𝑢𝑏 = 𝐹(𝑏)
𝑢𝑎 = 𝐹(𝑎)
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𝐹𝑇 𝑥 =
𝐹 𝑥 − 𝐹(𝑎)
𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
= 𝑢 ⇒ 𝐹 𝑥 = 𝐹 𝑎 + 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 𝑢
⇒ 𝑥 = 𝐹−1 𝑢𝑎 + 𝑢𝑏 − 𝑢𝑎 𝑢
Una forma sencilla de generar estos valores en Excel es:
1. Generamos un número aleatorio de la 𝑈(0,1), que llamaremos 𝑢.
Con Excel: =ALEATORIO()
2. A partir del modelo sin truncar, hayamos 𝑢𝑎 = 𝐹 𝑎 y 𝑢𝑏 = 𝐹 𝑏
Con Excel y para una normal:
𝑢𝑎=DISTR.NORM.N(a;𝜇;𝜎;VERDADERO)
𝑢𝑏=DISTR.NORM.N(b;𝜇;𝜎;VERDADERO)
3. Generamos un número de la 𝑈(𝑢𝑎 , 𝑢𝑏) mediante la transformación 
𝑢∗ = 𝑢𝑎 + 𝑢𝑏 − 𝑢𝑎 𝑢
4. Utilizando la función inversa de 𝑋 obtenemos 𝑥 = 𝐹−1 𝑢∗
Con Excel y para una normal: =INV.NORM(𝑢∗; 𝜇;𝜎)
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3.1Método de la inversa
Distribución log-normal
Resumimos la log-normal, pues suele haber confusión con su notación.
Se dice que 𝑋 sigue una distribución lognormal 𝑋 ∼ 𝐿𝑛𝑁(𝜇, 𝜎) si 𝑌 = ln 𝑋 sigue una distribución 
normal 𝑌 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎).
Hay que tener cuidado con la notación de los parámetros, pues 𝜇 y 𝜎 son la media y desviación 
típica de Y = ln(𝑋) y no de 𝑋. La media y desviación típica de 𝑋 son:
𝑚 = 𝐸 𝑋 = 𝑒𝜇+
𝜎2
2
𝑣 = Var 𝑋 = 𝑒2𝜇+𝜎
2
× (𝑒𝜎
2
− 1)
𝜇 = ln
𝑚
1+ 𝑣/𝑚2
𝜎 = ln 1 +
𝑣
𝑚2
Se suele denominar:
𝜇: parámetro de localización
𝜎: parámetro de escala
En Excel: para definir la lognormal piden:
‘media’=𝜇
‘desviación estándar’=𝜎
pues especifican que son de ln 𝑋
8Investigación de Operaciones 2
CASO 2: Determinación del tamaño del pedido de una revista
La librería ATENAS tiene una amplia sección de revistas de
divulgación. Una de ellas es la revista ARQUITECH, que es una
revista de edición mensual sobre temas de arquitectura moderna.
La librería debe decidir el número óptimo de ejemplares que debe
pedir cada mes de dicha revista (el mismo problema ha de
resolver con todas las revistas que vende). Ha de hacerlo en
función de la demanda de la revista, de su precio de compra y
venta, así como del precio que le abona la editorial por cada
ejemplar que devuelve a la editorial por no haberlo vendido.
De los registros históricos que posee esta librería se ha podido
determinar que la demanda (mensual) de esta revista (ver tabla)
Demanda
X Prob Acum
5 0.10 0.10
15 0.40 0.50
30 0.30 0.80
40 0.15 0.95
50 0.05 1.00
El precio que paga la librería a la editorial por cada ejemplar de la
revista que les compra es de $3, mientras que el precio de venta al
público es de $5. Los ejemplares no vendidos son devueltos a la
editorial, consiguiendo un reembolso de $2.
1. ¿Cuál es el número óptimo de ejemplares que debe pedir para
cubrir las ventas de un mes con el máximo beneficio?
2. En el óptimo, ¿Qué proporción de clientes se queda sin revista?
9Investigación de Operaciones 2
CASO 3 Control de inventario de pantallas de computadoras
La compañía LDP comercializa material informático. Una de sus
preocupaciones es evitar roturas de inventario de equipos que puedan
adquirirse fácilmente en otros establecimientos. En este caso, nos
ocuparemos del nivel de inventario de cierta pantalla de computadora.
La política actual es realizar un pedido de estas pantallas cuando el
nivel de inventario sea menor o igual a 28 unidades. Cuando el nivel de
inventario al final del día es menor o igual a 28, en la mañana del día
siguiente se hace el pedido
El coste unitario de tener una pantalla en el almacén se estima es $ 0.05/día por cada pantalla que se
encuentre en inventario al finalizar el día. El beneficio que obtiene por cada pantalla vendida es de $200
(cuestan $300 y venden a $500).
La demanda diaria es una Poisson de media 5 (puedes despreciar sucesos con probabilidades menores a
0.0001)
Tiempo de entrega
días prob
3 0.2
4 0.6
5 0.2
El plazo de entrega del pedido no es fijo, sino que es una variable aleatoria con la
función de probabilidad que se muestra en la Tabla 1. Los pedidos se reciben
igualmente al inicio de la jornada, por lo que pueden ser utilizados para cubrir la
demanda de ese día. Si, por ejemplo, el inventario al finalizar el día 2 es menor o
igual a 28 unidades, se hace un pedido de 50 unidades en la mañana del día 3. Si
el tiempo de entrega resulta ser de 4 días, el pedido llegará el día 7 a primera
hora, y podrá ser servido a los clientes de ese día 7.
Tabla 1
• Calcula el nivel óptimo del tamaño de pedido con el resto de variables en su estado actual
• Calcula el nivel óptimo de punto de pedido (nivel mínimo de inventario para lanzar un pedido)
• Calcula los niveles óptimos de tamaño de pedido y punto de pedido.
10Investigación de Operaciones 2
Se desea simular el proceso de atención a clientes en un puesto de servicio de una oficina
de atención al cliente de una empresa de transporte aéreo. Los tiempos entre llegadas de
los clientes y los tiempos de atención siguen las distribuciones que se muestran a
continuación. Asumimos que hay un solo punto de atención, por lo que sólo se atiende a
un clientecada vez
Haga un análisis por simulación de los tiempos que se emplean en la
atención a los clientes, el tiempo de espera, el tamaño de la cola de clientes
que se forma esperando ser atendido, y la probabilidad de que haya más de
3 clientes haciendo cola.
CASO 4: Atención en un puesto de servicio
Tiempo entre llegadas: exponencial 
de media 4 min.
Tiempo de atención 𝑁(3, 𝜎 = 0.5)