Final_O2_2018_II_solucion

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FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2018-II 
FINAL 
JUEVES, 29 DE NOVIEMBRE DE 2018 
3 HORAS 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
 
Cuando se solicite reclamo, deberá adjuntarse copia de la solución publicada (sólo del ejercicio sobre el que se reclame). El 
reclamo deberá basarse en errores de corrección en base a esa solución. 
 
1. Cuando un fluido circula por una tubería, ésta sufre una tensión en 
su superficie que puede provocar su rotura si se supera el límite de 
resistencia elástica de la tubería. La siguiente figura ilustra este 
efecto. La tubería tiene un diámetro D, y espesor E. Al circular por 
esta tubería un fluido a presión P, la tubería experimenta una 
tensión ‘hacia afuera’ que es la que refleja las flechas. Esta tensión 
se denomina de aro o circunferencial. La tensión de aro viene 
definida por 
𝑆 =
𝑃𝐷
2𝐸
. 
 
En la práctica, D y E son variables aleatorias, al variar a lo largo de la 
tubería. Por tanto, S es una ratio de variables aleatorias, lo que 
hace que sus propiedades estadísticas sean complejas. Por esta razón, se ha encargado a un ingeniero industrial, que 
tiene más conocimientos de estadística, que obtenga las características de S mediante simulación, para una tubería 
específica que transportará crudo desde un punto de extracción en Tumbes hasta la refinería de Talara, y que soportará 
una presión de P=200 MPa. Tras conversar con los ingenieros hidráulicos se determinó que el diámetro D de dicha 
tubería sigue una variable aleatoria cuya función de densidad se muestra en la Figura 1, mientras que el espesor E es 
una variable aleatoria cuya función de densidad se muestra en la Figura 2. 
 
 
Figura 1: Diámetro Figura 2: Espesor 
 
Se pide: 
Obtén 4 valores simulados de la ratio S, simulando los valores de D y E por el método de aceptación-rechazo, y obtén la 
tensión S media y máxima a la que estaría sometida dicha tubería. Simula los valores correspondientes utilizando los 
números aleatorios para D y E que se suministran en la tabla siguiente. 
U(0,1) 
Diámetro 0.19 0.09 0.42 0.56 0.34 0.85 0.48 0.20 0.56 0.36 0.32 0.70 0.61 0.12 0.49 0.31 
Espesor 0.61 0.01 0.10 0.04 0.25 0.83 0.78 0.88 0.33 0.53 0.12 0.75 0.96 0.24 0.35 0.54 
Tabla de números aleatorios para el Problema 1 
 
 
 
 
2 
 
 
SOLUCIÓN: 
Hay que simular la variable aleatoria 
𝑆 =
200 × 𝐷
2 × 𝐸
 
Para simular D por el método de aceptación-rechazo a partir de una uniforme seguimos los siguientes pasos: 
1. Obtenemos un número aleatorio de 𝑈(0,1) de la tabla, que denotaremos por 𝑢1 
2. Obtenemos 𝑥 = 10 + (20 − 10)𝑢1 
3. Obtenemos otro número aleatorio de 𝑈(0,1) de la tabla, que denotaremos por 𝑢2 
4. Obtenemos 𝑦 = 0.28𝑢2 
5. Representamos el punto (𝑥, 𝑦) en la Figura 1. Si está por debajo de la función de densidad, aceptamos el 
valor de 𝑥 como número aleatorio de nuestra distribución. En caso contrario rechazamos 
6. Repetimos 1-5 hasta obtener 4 números aleatorios. 
El resultado se muestra en la siguiente tabla: 
u1 X u2 y D 
0.19 11.9 0.09 0.0252 11.9 
0.42 14.2 0.56 0.1568 14.2 
0.34 13.4 0.85 0.238 - 
0.48 14.8 0.2 0.056 14.8 
0.56 15.6 0.36 0.1008 15.6 
Para simular E por el método de aceptación-rechazo a partir de una uniforme seguimos los siguientes pasos: 
1. Obtenemos un número aleatorio de 𝑈(0,1) de la tabla, que denotaremos por 𝑢1 
2. Obtenemos 𝑥 = 3.6 + (4.8 − 3.6)𝑢1 
3. Obtenemos otro número aleatorio de 𝑈(0,1) de la tabla, que denotaremos por 𝑢2 
4. Obtenemos 𝑦 = 2.4𝑢2 
5. Representamos el punto (𝑥, 𝑦) en la Figura 1. Si está por debajo de la función de densidad, aceptamos el 
valor de 𝑥 como número aleatorio de nuestra distribución. En caso contrario rechazamos 
6. Repetimos 1-5 hasta obtener 4 números aleatorios. 
El resultado se muestra en la siguiente tabla: 
u1 X u2 y E 
0.61 4.3 0.01 0.024 4.3 
0.1 3.7 0.04 0.096 3.7 
0.25 3.9 0.83 1.992 3.9 
0.78 4.5 0.88 2.112 - 
0.33 4.0 0.53 1.272 4.0 
La siguiente tabla muestra los resultados finales. 
D E S 
11.9 4.3 275 
14.2 3.7 382 
14.8 3.9 379 
15.6 4.0 390 
 media= 357 
 máxima= 390 
 
 
 
3 
 
 
2. Dos operarios se dedican al mantenimiento de 5 máquinas en cierto centro productivo que opera 8 horas al día. Cada 
máquina se avería por término medio 2 veces al día según un proceso de Poisson. Cuando una máquina necesita 
reparación, se les comunica a estos operarios, que atenderán la avería cuando uno de los dos se encuentre disponible, 
y según el orden en que se vayan averiando. Para la reparación de una máquina, un operario invierte un tiempo que 
se distribuye como una exponencial de media 30 minutos. (8p) 
Se pide: 
a) Calcule la probabilidad de estar en cada uno de los estados de este sistema. Para ello, construya una tabla que 
contenga, además de las probabilidades, toda la información necesaria para su cálculo. (3p) 
b) ¿Qué proporción del tiempo habrá un operario disponible? (1p) 
c) Cuando una máquina se avería, ¿Cuántos minutos transcurrirán, por término medio, hasta que vuelve a estar 
operativa? (1p) 
d) ¿Qué porcentaje de las máquinas están averiadas, por término medio? (1p) 
e) ¿Cuántos minutos transcurrirán, por término medio, desde que una máquina es reparada hasta que se vuelve a 
averiar? (1p) 
f) ¿Qué proporción del tiempo está cada máquina averiada? (1p) 
 
SOLUCIÓN: 
a) La tabla que resulta es: 
en minutos 
n 0 1 2 3 4 5 
M-n 5 4 3 2 1 0 
lamb_n 0.0208 0.0167 0.0125 0.00833 0.00417 0.0000 
mu_n 0 0.0333 0.0667 0.0667 0.0667 0.0667 
cn 1.0000 0.62500 0.15625 0.02930 0.00366 0.000229 
Pn 0.55113 0.34450 0.08610 0.01610 0.00202 0.000126 
 
en horas 
n 0 1 2 3 4 5 
M-n 5 4 3 2 1 0 
lamb_n 1.2500 1.0000 0.7500 0.5000 0.2500 0.0000 
mu_n 0 2.0000 4.0000 4.0000 4.0000 4.0000 
cn 1.0000 0.62500 0.15625 0.02930 0.00366 0.000229 
Pn 0.55113 0.34446 0.08611 0.01615 0.00202 0.000126 
 
en días 
n 0 1 2 3 4 5 
M-n 5 4 3 2 1 0 
lamb_n 10.0000 8.0000 6.0000 4.0000 2.0000 0.0000 
mu_n 0 16.0000 32.0000 32.0000 32.0000 32.0000 
cn 1.0000 0.62500 0.15625 0.02930 0.00366 0.000229 
Pn 0.55113 0.34446 0.08611 0.01615 0.00202 0.000126 
 
 
Los valores de 𝑃𝑛 son independientes de si se usa como unidad de medida minutos, horas o días. 
 
4 
 
 
b) Habrá un operario disponible si el estado es 𝑛 = 0 o 𝑛 = 1. Por tanto, la probabilidad es 𝑃0 + 𝑃1 = 0.8955 
 
c) El tiempo medio que está averiada es el tiempo medio de permanencia en el sistema 
𝑊 =
𝐿
𝜆̅
 
donde 𝐿 = ∑ 𝑛𝑃𝑛
5
𝑛=0 = 0.574; 𝜆̅ = ∑ 𝜆𝑛𝑃𝑛
5
𝑛=0 = 0.0184 
⇒ 𝑊 = 31.14 𝑚 
d) Por término medio hay L máquinas averiadas. En porcentaje es 
𝐿
𝑀
=
0.574
5
= 𝟏𝟏. 𝟓% 
e) Como se avería 2 veces cada 8 horas, transcurrirán, por término medio 4 horas, es decir, 240 minutos. 
 
f) Si ponemos las jornadas de 8 horas una a continuación de la otra, como un continuo, la vida de la máquina se vería 
como una secuencia indefinida de tiempo funcionando y tiempo averiada. Por término medio la máquina está 240 
minutos funcionando y 31.14 averiada. Por tanto, la proporción de tiempo que está averiada es 
31.14
240 + 31.14
= 0.1148 = 𝟏𝟏. 𝟓% 
 
El resultado es, lógicamente, el mismo que el de la sección anterior. El porcentaje del tiempo que una máquina está 
averiada es igual que la probabilidad de que una máquina esté averiada en un instante cualquiera. Y la probabilidad de 
que en un instante cualquiera una máquina esté averiada es igual que el porcentaje de máquinas que están averiada 
en dicho instante. 
 
5 
 
 
3. Los clientes llegan a cierta oficina bancaria según un proceso de Poisson a un ritmo medio de 2 clientes por minuto. Esta 
oficina tiene 3 puestos de servicio para atender a sus clientes. El tiempo que se emplea en atender a cada uno es una 
exponencial de media10 minutos. Cuando todos los puestos de servicio están ocupados, el 20% de los clientes que llegan, 
deciden no entrar. Cuando hay una o dos personas en cola, el 40% de los clientes que llegan decide no entrar. Cuando hay 
3 personas en cola, el 80% de los clientes que llegan decide no entrar. Cuando hay 4 personas en cola, ningún cliente 
adicional desea entrar. Algunos clientes que se encuentran haciendo cola se cansan de esperar y deciden marcharse. Por 
término medio, abandonan la cola 0.2 clientes por minuto, independientemente de cuánta gente haya en la cola. (8p) 
Se pide: 
a) Calcule la probabilidad de estar en cada uno de los estados de este sistema. Para ello, construya una tabla que 
contenga, además de las probabilidades, toda la información necesaria para su cálculo. (3p) 
b) ¿Qué proporción del tiempo habrá algún puesto de servicio disponible? (1p) 
c) ¿Cuánto tiempo pasa un cliente esperando en la cola, por término medio? (1p) 
d) ¿Qué proporción de los clientes que llegan deciden a entrar? (1p) 
e) ¿Qué proporción de los clientes que entran, esperan hasta ser atendidos? (1p) 
f) ¿Qué porcentaje de los clientes que se acercan a esta oficina son finalmente atendidos en un puesto de servicio? 
(1p) 
 
SOLUCIÓN 
 
a) la tabla es: 
n 0 1 2 3 4 5 6 7 
cola 0 0 0 0 1 2 3 4 
𝑟(𝑛) 0 0 0 0.2 0.4 0.4 0.8 1 
𝜆𝑛 2 2 2 1.6 1.2 1.2 0.4 0 
𝜇𝑛 0 0.1 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 
𝑎(𝑛) 0 0 0 0 0.2 0.2 0.2 0.2 
𝜇𝑛
𝑇 0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.5 0.5 0.5 
𝑐𝑛 1 20 200 1333.3 4266.7 10240.0 24576.0 19660.8 
𝑃𝑛 0.0000166 0.000332 0.00332 0.0221 0.0708 0.1698 0.4076 0.3261 
 
b) 𝑃0 + 𝑃1 + 𝑃2 = 0.0037. 
 
c) El tiempo medio que pasan en la cola es: 
 
𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆̅
 
donde 
𝐿𝑞 = ∑ (𝑛−𝑠)𝑃𝑛 = 2.9374
7
𝑛=4 ; 𝜆̅ = 0.494 ⇒ 𝑊𝑞 = 5.94 𝑚𝑖𝑛 
 
d) Llegan con tasa 𝜆 pero entran con tasa media 𝜆̅. En proporción a los que llegan, los que entran son 
 
 𝜆̅
𝜆
=
0.494
2
= 0.247 = 24.7% 
 
También se puede calcular como 1 − �̅�, donde 
 
�̅� = ∑ 𝑟(𝑛)𝑃𝑛
7
𝑛=0
= 0.753 ⇒ 1 − �̅� = 0 − 247 
 
e) Llegan con tasa 𝜆 pero entran con tasa media 𝜆̅. De esos clientes que entran, abandonan por término medio �̅�, 
donde 
�̅� = ∑ 𝑎(𝑛)𝑃𝑛
7
𝑛=0
= 0.195 
 
Por tanto, la tasa media a la que llegan para ser atendidos los que han ‘sobrevivido’ a la espera en la cola es 𝜆̅ − �̅�, 
y en proporción de los que entran será: 
6 
 
 
 
 
𝜆̅ − �̅�
𝜆̅
=
0.4944 − 0.1948
0.4944
=
0.2996
0.4944
= 0.605 = 60.5% 
 
Otra forma de calcularlo es viendo que la tasa media a la que entran a ser servidos, 𝜆̅ − �̅�, tiene que ser igual a la 
tasa media a la que salen ya servidos, es decir �̅�, donde 
�̂� = ∑ 𝜇𝑛𝑃𝑛
7
𝑛=0
= 0.2996, 
 
es el promedio ponderado de las tasas de servicio (fila relativa a 𝜇𝑛, no confundir con la fila 𝜇𝑛
𝑇 que incluye también 
Las salidas por abandono). En proporción a los que entran será: 
 
�̂�
𝜆̅
=
0.2996
0.4944
= 0.605 = 60.5% 
 
 
 
f) En este caso es: 
𝜆̅ − �̅�
𝜆
=
0.4944 − 0.1948
2
=
0.2996
2
= 0.15 = 15%