Practica2_O2_2018_II_solución

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2018-II 
PRÁCTICA 2 
12 DE NOVIEMBRE DE 2018 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
No se puede consultar ningún tipo de documentación. Cuando solicites reclamo, debes adjuntar la solución publicada. 
 
1. (11p) La siguiente figura muestra cómo llega la energía eléctrica 
a cierta ciudad. Por una parte, se tiene una ciudad que demanda 
energía. La energía que demanda cada hora se puede modelizar 
como una normal de media 15 unidades y desviación típica 5. Su 
función de distribución se representa más abajo. Por otra parte, 
se tiene un parque eólico que ofrece (genera) energía eléctrica. 
Su capacidad máxima horaria es de 20 unidades de energía, que 
sólo se obtendría si el viento soplase con suficiente velocidad. 
Por tanto, en general, suministrará menos de dicha capacidad máxima. Para modelizar que la generación de energía 
eólica puede variar con el viento, multiplicaremos su capacidad máxima por un factor 𝑘 ∈ [0,1] que se modeliza como 
una distribución beta Beta(5,2), que se muestra más abajo. Si el parque eólico genera más energía de la que demanda 
la ciudad, el excedente se almacena en un sistema de baterías. De esta forma, cuando la ciudad demande más energía 
de la que genera el parque eólico, el sistema de baterías podrá suministrar la energía que falte, hasta agotar su energía 
almacenada. Sólo si la energía suministrada por el parque y las baterías fuese insuficiente para satisfacer la demanda, 
la ciudad se abastecería por otros medios. 
 
 
Simula 10 horas de este sistema utilizando los números aleatorios para la oferta eólica y la demanda de energía que 
se suministran en la tabla siguiente. Inicialmente, las baterías se encuentran sin carga. Escribe una tabla donde se vea 
claramente cada paso del ejercicio de simulación. Cada fila será una hora, y las columnas mostrarán las variables que 
se van simulando o calculando. A partir de estas simulaciones calcula: 
a. Cantidad total de energía que ha demandado la ciudad en esas 10 horas. (2p) 
b. Cantidad total de energía que ha generado el parque eólico en esas 10 horas. (2p) 
c. Porcentaje de horas que el parque eólico (sin las baterías) no puede satisfacer la demanda. (2p) 
d. Porcentaje de energía suministrada que procede del sistema de baterías. (2p) 
e. Porcentaje de días que el sistema de parque+baterías no puede satisfacer la demanda. (3p) 
U(0,1) 
Demanda ciudad 0.19 0.09 0.22 0.56 0.34 0.85 0.48 0.20 0.94 0.36 
Generación Parque 0.61 0.01 0.10 0.04 0.25 0.83 0.78 0.88 0.93 0.53 
Tabla de números aleatorios para el Problema 1 
 
(Este problema está basado en una aplicación real en el que se usó la simulación para dimensionar el sistema de baterías) 
 
 
2 
 
SOLUCIÓN: 
La siguiente tabla recoge las 10 simulaciones con los números aleatorios propuestos. Los valores mostrados son 
valores exactos usando las distribuciones mencionadas. Los que se obtengan usando los gráficos serán, obviamente, 
ligeramente diferentes. 
Hora 
Demanda 
energía 
Oferta eólica Balance Déficit 
suministro 
si=1 
Baterias 
Energia 
entregada 
total 
Balance 
Final 
U2 Demanda U1 Oferta O-D 
Disponible 
inicial 
Energía 
entregada 
Disponible 
final 
O+B-D 
1 0.19 10.6 0.61 15.6 5.0 0 5.0 0.0 5.0 10.6 0.0 
2 0.09 8.3 0.01 5.9 -2.4 1 5.0 2.4 2.6 8.3 0.0 
3 0.22 11.1 0.10 9.8 -1.3 1 2.6 1.3 1.3 11.1 0.0 
4 0.56 15.8 0.04 8.0 -7.8 1 1.3 1.3 0.0 9.3 -6.5 
5 0.34 12.9 0.25 12.3 -0.6 1 0.0 0.0 0.0 12.3 -0.6 
6 0.85 20.1 0.83 17.5 -2.7 1 0.0 0.0 0.0 17.5 -2.7 
7 0.48 14.7 0.78 17.0 2.3 0 2.3 0.0 2.3 14.7 0.0 
8 0.20 10.8 0.88 17.9 7.1 0 9.4 0.0 9.4 10.8 0.0 
9 0.94 22.7 0.93 18.5 -4.2 1 9.4 4.2 5.2 22.7 0.0 
10 0.36 13.2 0.53 15.0 1.8 0 7.0 0.0 7.0 13.2 0.0 
SUMA 140.2 137.3 60% 9.2 130.4 -9.8 
 
a. Energía demandada por la ciudad: ≈ 140 unidades 
b. Energía generada por el parque eólico: ≈ 137 
c. Porcentaje de días que el parque eólico no puede satisfacer la demanda: ≈
6
10
=60% 
d. Porcentaje de energía suministrada que procede del sistema de baterías.9.2/130.4≈7% 
e. Porcentaje de días que el sistema de parque+baterías no puede satisfacer la demanda.3/10=30% 
 
3 
 
 
2. (9p) Para las siguientes distribuciones, genera 3 números aleatorios utilizando tanto el método de la inversa como el 
método de aceptación-rechazo. Utiliza los números aleatorios que se muestran en la tabla. Para cada variable y cada 
método, empieza por la esquina superior izquierda de la tabla, y sigue en horizontal. Justifica tu respuesta. 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2; 𝐹(𝑥) = 𝑥3 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 (1p+2p) 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒−
𝑥2
2 ; 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒−
𝑥2
2
 ; 𝑥 ≥ 0 (1p+2p) 
c) 𝑋 = resultado de lanzar un dado. (1p+2p) 
 
SOLUCIÓN: 
 
a) Inversa: 𝑥3 = 𝑢 ⇒ 𝑥 = 𝑢
1
3 
𝒖 𝒙 
0.56 0.82 
0.02 0.27 
0.53 0.81 
Aceptación-Rechazo 
En este caso tenemos que 𝑎 = 0, 𝑏 = 1. La ecuación de 𝑓(𝑥) corresponde a una parábola orientada hacia 
arriba (convexa), por lo que el máximo está en 𝑥 = 1, por lo que 𝑀 = 3. Por tanto: 
𝑥 ∼ 𝑈(0,1) = 𝑢1; 𝑦 ∼ 𝑈(0,3) = 3𝑢2 
 
u1 x u2 y f(x) 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)? 𝑋∗ 
0.56 0.56 0.02 0.06 0.94 SI 0.56 
0.53 0.53 0.21 0.63 0.84 SI 0.53 
0.07 0.07 0.03 0.09 0.01 NO 
0.84 0.84 0.53 1.59 2.12 SI 0.84 
 
b) Inversa: 
1 − 𝑒−
𝑥2
2
 = 𝑢 ⇒ ln(1 − 𝑢) = −
𝑥2
2
⇒ 𝑥 = √−2 ln(1 − 𝑢) 
u x 
0.56 1.28 
0.02 0.20 
0.53 1.23 
 
Aceptación-rechazo 
En este caso 𝑎 = 0. Tomamos 𝑏 = 4 pues en ese caso 𝐹(𝑥) > 0.999, por lo que no va a alterar el resultado 
de forma apreciable. El máximo es: 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 𝑒−
𝑥2
2
 (1 − 𝑥2) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 ⇒ 𝑀 = 𝑒−
1
2 = 0.607 
Por tanto: 
𝑥 ∼ 𝑈(0,4) = 4𝑢1; 𝑦 ∼ 𝑈(0,0.607) = 0.607𝑢2 
u1 x u2 y f(x) 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)? 𝑋∗ 
0.5600 2.2400 0.0200 0.012 0.1823 SI 2.24 
0.5300 2.1200 0.2100 0.128 0.2241 SI 2.12 
0.0700 0.2800 0.0300 0.018 0.2692 SI 0.28 
 
Si se tomase el valor de 𝑏 = 5, el resultado sería: 
4 
 
u1 x u2 y f(x) 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)? 𝑋∗ 
0.5600 2.8000 0.0200 0.012 0.0556 SI 2.8 
0.5300 2.6500 0.2100 0.128 0.0791 
0.0700 0.3500 0.0300 0.018 0.3292 SI 0.35 
0.8400 4.2000 0.5300 0.323 0.0006 
0.6900 3.4500 0.1700 0.104 0.0090 
0.8400 4.2000 0.6300 0.384 0.0006 
0.3700 1.8500 0.9200 0.561 0.3342 
0.5400 2.7000 0.0700 0.043 0.0705 SI 2.7 
 
Si se tomase el valor b=3.5 
u1 x u2 y f(x) 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)? 𝑋∗ 
0.5600 1.9600 0.0200 0.012 0.2871 SI 1.96 
0.5300 1.8550 0.2100 0.128 0.3320 SI 1.855 
0.0700 0.2450 0.0300 0.018 0.2378 SI 0.245 
 
(si ha usado otros números aleatorios y el procedimiento está bien, dar puntaje completo) 
 
c) Para el dado se tiene que su modelo de probabilidad es 
X p(X) F(X) 
1 0.167 0.167 
2 0.167 0.333 
3 0.167 0.500 
4 0.167 0.667 
5 0.167 0.833 
6 0.167 1.000 
Inversa: 
u x 
0.56 4 
0.02 1 
0.53 4 
 
Aceptación-Rechazo: 
 
Al ser el resultado de un dado una variable aleatoria discreta, no se puede utilizar el mismo método que en las 
variables anteriores. No obstante, el método de aceptación-rechazo es muy fácil de implementar. Si el nº aleatorio 
es mayor que 6 se rechaza, en caso contrario se acepta. Por tanto, los valores simulados son: X=5,6,y 2. 
(Si ha intentado el método de aceptación-rechazo usando el mismo procedimiento que en las variables 
anteriores, está mal, pues esta variable es discreta) 
 
 
 
 
 
. 
TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS 
56025 32107 03845 36917 84633 79254 07690 
75427 07779 27303 52331 76008 85795 85994 
44969 83365 05257 22491 35475 42669 51879 
03532 25471 07773 13429 79776 46616 50293 
87841 69421 82887 48575 39527 81770 08657 
27774 95553 68234 57855 33019 38426 61937 
Comienza por el primer número y sigue en horizontal. 
Usa una precisión de dos decimales. Ejem. 56 ⇒ 0.56; 02 ⇒ 0.02; 53 ⇒ 0.53 …