Solucion 31-60-PPT-INTENSIVO-2022-II-salazar - Alisson Byv

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INTENSIVO
POLIGONOS
MATERIAL DE ESTUDIO
2023-1
2
1
PROBLEMA 31
Q’ es un punto del interior del polígono convexo ABCDEFGHI… . Si la suma de los números de diagonales de los polígonos ABCDEQ’ y EFGHQ’ es igual al número de diagonales del polígono AQ’HI… , entonces la suma de las medidas de los ángulos del polígono AQ’HI…es
A) 720		 B) 900	 C) 1 080
D)1 260		 E) 1 440
Clave: B 
Q’ es un punto del interior del polígono convexo ABCDEFGHI… . Si la suma de los números de diagonales de los polígonos ABCDEQ’ y EFGHQ’ es igual al número de diagonales del polígono AQ’HI… , entonces la suma de las medidas de los ángulos del polígono AQ’HI…es
RESOLUCIÓN 31
Q’
A 
n lados 
 B
C
D
E
F
G
H
I
 + = 
Del dato: 
1
2
3
Nd6 + Nd5 = Ndm 
n = (6 - 2) + (5 - 2) + (m - 2) 
n = 4 + 3 + (m - 2) = m + 5 
7 = m 
 Sim = 180 (7 - 2) 
 Sim = 900 
Nd1 + Nd2 = Nd3 
PROBLEMA 32
La medida de los ángulos internos de un pentágono convexo está en progresión aritmética, calcule el mayor valor entero de la razón de la progresión.
A) 25			 B) 27			 C)	32
D) 35			 E) 36
Clave: D 
La medida de los ángulos internos de un pentágono convexo está en progresión aritmética, calcule el mayor valor entero de la razón de la progresión.
RESOLUCIÓN 32
A 
B
C
D
E
 Si5 = 180 (5 - 2) = 540 
 rmax = 35 
 
+ r 
+ 2r 
- 2r 
- r 
 - 2r + - r + + + r + + 2r = 540 
5= 540 
= 108 
El mayor ángulo: + 2r < 180 
r < 36 
PROBLEMA 33
En un hexágono equilátero ABCDEF m∠BCD = 20 , m∠FAB = m∠DEF = 60. y m∠ABC = m∠CDE = m∠EFA = x, Calcule x.
A) 135		 B) 140		 C)145
D) 150		 E) 155
 
Clave: B 
En un hexágono equilátero ABCDEF m∠BCD = 20 , m∠FAB = m∠DEF = 60. y m∠ABC = m∠CDE = m∠EFA = x, Calcule x.
RESOLUCIÓN 32
A 
B
C
D
E
 20 
F
 60 
 60 
 x 
 x 
 x 
 / 
 / 
 / 
 / 
 / 
 / 
 60 
 60 
 60 
 60 
 / 
 / 
 20 
 160 
Se traza , 
el FAB equilátero 
Se traza , 
el FED equilátero 
FBCD es un paralelogramo:
mBFD = mC = 20 y mCBF = 160 
En F : 60 + 20 + 60 = x 
140 = x 
PROBLEMA 34
En un polígono regular, los de la medida del ángulo interior es igual al cuadrado de la medida de su ángulo exterior. Halle el número de lados de dicho polígono.
A) 10			 B) 12			 C)	15
D) 18			 E) 20
 
Clave: D 
En un polígono regular, los de la medida del ángulo interior es igual al cuadrado de la medida de su ángulo exterior. Halle el número de lados de dicho polígono.
RESOLUCIÓN 34
18 = n 
() =()2
El número de lados de un polígono es n.
Del dato: 5/2 (mi ) = (me )2
 = 
PROBLEMA 35
En un polígono regular de n lados, al disminuir su número de lados en 4, resulta otro polígono regular donde cada ángulo externo aumentó en 3. Calcule n
A) 18			 B) 20			 C) 22
D) 24			 E) 30
 
Clave: D 
En un polígono regular de n lados, al disminuir su número de lados en 4, resulta otro polígono regular donde cada ángulo externo aumentó en 3. Calcule n
RESOLUCIÓN 35
24 = n 
Su ángulo exterior mide 
El número de lados de un polígono es n.
Del dato: - = 3
 = 1
El número de lados de un polígono es n - 4.
Su ángulo exterior mide 
PROBLEMA 36
Se tiene un eneágono equilátero, donde seis de los ángulos son rectos y los otros tres son congruentes entre sí y miden x. Calcule x
A) 100		 B) 105	 C) 110
D) 115	 	 E) 120
		 
 
Clave: E 
Se tiene un eneágono equilátero, donde seis de los ángulos son rectos y los otros tres son congruentes entre sí y miden x. Calcule x
RESOLUCIÓN 36
A 
B
C
D
E
F
 x 
 x 
 x 
 / 
 / 
 / 
 / 
 / 
 / 
 60 
 60 
 60 
 / 
 / 
90 
90 
G
H
I
 / 
Se traza , 
Se forma el cuadrado ABHI
Se traza , 
Se forma el BHE equilátero 
Se forma el cuadrado BCDE
Se traza , 
Se forma el cuadrado EFGH
En el punto E:
 60 + 90 + 90 + x = 360 
x = 120 
PROBLEMA 37
En un hexágono equiángulo ABCDEF tenemos, AB = 3u, BC = 7u , CD = 2u y DE = 4u. Calcule AF ( en u)
A) 2,0			 B) 3,0			 C) 3,5
D) 4,0			 E) 4,5		 
 
Clave: B 
En un hexágono equiángulo ABCDEF tenemos, AB = 3u, BC = 7u , CD = 2u y DE = 4u. Calcule AF ( en u)
RESOLUCIÓN 37
A 
B
C
D
E
 x = 3 
Se prolonga y ,
F
3
7
2
4
x
120
120
M
N
L
60
60
60
60
60
60
x
x
4
4
120
120
mi = = 120
120
120
el BMC equilátero 
Se prolonga y ,
el DNE equilátero 
Se prolonga y ,
ED = DN = EN = 4
el ALF equilátero 
AF = FL = AL = x
Igualando:
LB = NC 
3 + x = 2 + 4 
PROBLEMA 38
En un polígono convexo de n lados (n≥3), desde (n-5) vértices consecutivos se trazan (2n–2) diagonales. Entonces, la suma de las medidas de los ángulos interiores del polígono es
A) 1 080	 B) 1 440	 C) 1 260
D) 1 620	 E) 1 800
		 
 
Clave: A 
En un polígono convexo de n lados (n≥3), desde (n-5) vértices consecutivos se trazan (2n–2) diagonales. Entonces, la suma de las medidas de los ángulos interiores del polígono es
RESOLUCIÓN 38
Al trazarse las diagonales de un polígono de (n-5) vértices consecutivos se conoce que faltarían trazar las diagonales de los 5 últimos vértices: 
vértice n … 0 diagonales 
vértice n – 1 … 0 diagonales 
vértice n – 2 … 1 diagonalesvértice n – 3 … 2 diagonales 
vértice n – 4 … 3 diagonales 
Para trazarse todas las diagonales faltarían 6 diagonales 
N de diagonales = = (2n - 2) + 6
 x = 1080 
n(n - 3) = (4n - 4) + (12) 
x = Si = 180(8 - 2)
 n = 8 
INTENSIVO
CUADRILATEROS
MATERIAL DE ESTUDIO
2023-1
2
18
PROBLEMA 39
En el cuadrilátero ABCD, ⊥ BC = CD = BD, P y Q son puntos medios de los lados BC y AD, calcule PQ.
A) B) C) 
D) E) 
		 
 
En el cuadrilátero ABCD, ⊥ BC = CD = BD, P y Q son puntos medios de los lados BC y AD, calcule PQ.
Clave: E 
PQ = x
P
60
2a
D
B
A
C

b
BQ = QD = QA = b
∆CBD: equilátero
x = AC/2
 
x
RESOLUCIÓN 39
2a
2a
a
a
Q
b
60
b
∆rectángulo ABD:
∆PBQ ∆CDA (LAL) 
PROBLEMA 40
En un trapezoide ABCD m, calcule la medida del mayor ángulo que determinan las bisectrices de los ángulos ABC y ADC.
A) 146		 B) 152	 C) 164
D) 166		 E) 172
		 
 
En un trapezoide ABCD m, calcule la medida del mayor ángulo que determinan las bisectrices de los ángulos ABC y ADC
Clave: D 
a
D
B
A
C

x =  + θ + a 
Cuadrilátero BCDQ:
x = 332/2
 
x
RESOLUCIÓN 40
Q
28+a
θ
θ
Cuadrilátero BADQ:
x +  + θ + 28 + a = 360 
x + 28 + x = 360 
x = 166
PROBLEMA 41
En un romboide ABCD, se traza la bisectriz del ángulo en BCD intersecando a en M y se ubica F en tal que m∠FDC = 90 , se traza perpendicular a (N en ). Si MN = FD, AN = 2 dm y NB = 5 dm entonces  BC (en dm) es
A) 7			 B) 8			 C) 9
D) 10			 E) 12
		 
 
RESOLUCIÓN 41
Clave: E
En un romboide ABCD, se traza la bisectriz del ángulo en BCD intersecando a en M y se ubica F en tal que m∠FDC = 90 , se traza perpendicular a (N en ). Si MN = FD, AN = 2 dm y NB = 5 dm entonces  BC (en dm) es
Calcule BC = x
△CDF △PNM (ALA): 
Las prolongaciones de y , se intersecan en P
A
B
C
D
F
P
M
x
a
2
a
N
△PBC, es isósceles: 
5
7
x
7
 BP = BC = x
 NP = DC = 7
x = 5 + 7 = 12
PROBLEMA 42
En el exterior de un rombo ABCD se traza el triángulo equilátero BPC, 
y en el interior del rombo se ubica el punto Q, tal que Q . Si la m∠BCQ = 2(m∠BPA) entonces la medida del ángulo determinado por las rectas y es
A) 30			 B) 53			 C) 60
D) 74			 E) 75
		 
 
En el exterior de un rombo ABCD se traza el triángulo equilátero BPC, 
y en el interior del rombo se ubica el punto Q, tal que Q . Si la m∠BCQ = 2(m∠BPA) entonces la medida del ángulo determinado por las rectas y es
Clave: A 
A
ABCD: Rombo
P
D
B
C

∆BPC: Equilátero
2
Q
x
60
60 -  + 60 + 2 + mPQC = 180 
∆PCQ: 
∆BCQ: Isósceles
mBQP = x
x = 30
RESOLUCIÓN 42
60
60-
60-

mPQC =60 -  
x + 60 -  = 90 -  
PROBLEMA 43
En un trapecio ABCD // , AB = 8 u, BC = 4 u CD = 10 u, y AD = 15 u , calcule la distancia (en u) entre la intersección de las bisectrices de los ángulos BAD y ABC, con la intersección de los ángulos BCD y ADC.
A) 1/4	 		 B) 1/3	 		 C) 1/2	 
D) 2/3	 	 		 E) 3/4 
		 
 
En un trapecio ABCD // , AB = 8 u, BC = 4 u CD = 10 u, y AD = 15 u , calcule la distancia (en u) entre la intersección de las bisectrices de los ángulos BAD y ABC, con la intersección de los ángulos BCD y ADC.
Clave: C 
A
N
a
D
B
C
AB = AT = 8
8
4
15

10
M
T
x
a
b

∆BAT: Isósceles
MN = x
x = 1/2
RESOLUCIÓN 43
a
b
S
Las prolongaciones de y , intersecan a en T y S respectivamente.
∆CSD: Isósceles
CD = SD = 10
8
10
7
3
MB = MT 
CN = NS 
Trapecio SBCT: 
x = (4 – 3)/2 
/
/
PROBLEMA 44
En un cuadrilátero, AB = BC, m∠ADC = m∠CBA = 90, ⊥ , H y AH = 6 u, Calcule la longitud (en u) del segmento que une los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero BHDC.
A) 2	 		 B) 3	 		 C) 4	 
D) 5	 	 		 E) 6 
		 
 
En un cuadrilátero, AB = BC, m∠ADC = m∠CBA = 90, ⊥ , H y AH = 6 u, Calcule la longitud (en u) del segmento que une los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero BHDC.
Clave: B 
a
B
A
H
D
C
6
6
x
E
RESOLUCIÓN 44
F
/
/
M


a
Se traza ⊥ 
Se analiza ángulos
△CMB △BHA (ALA): 
AH = BM = 6 
Por paralelas: CD = MH = a 
En el trapecio BHDC: 
x = 
x = 3
PROBLEMA 45
En un trapecio ABCD, // , m∠BAD = 84 y m48. Si AB = 9 u y BC = 4 u , entonces la longitud (en u) de la mediana del trapecio es
A) 6,0	 		 B) 7,0	 		 C) 8,0	 
D) 8,5	 	 		 E) 9,0 
		 
 
En un trapecio ABCD, // , m∠BAD = 84 y m48. Si AB = 9 u y BC = 4 u , entonces la longitud (en u) de la mediana del trapecio es
Clave: D 
MN = x
Se traza // 
BCDE: Paralelogramo
E
9
4
D
B
A
C
4
48
84
9
ED = BC = 4
BA = EA = 9
∆ABE: 
AE = 13
En el trapecio ABCD
x = 8,5
48
x
RESOLUCIÓN 45
48
M
N
/
/
x = 
 Isósceles
PROBLEMA 46
Exteriormente a un trapecio isósceles ABCD de bases y se trazan los cuadrados ABEF y CDMN. Si la suma de las longitudes de la base media del trapecio y su altura es k, entonces la distancia entre los centros de dichos cuadrados es
A) 	 		 B) 	 	 C) 	 
D) k			 E) 2k
		 
 
Exteriormente a un trapecio isósceles ABCD de bases y se trazan los cuadrados ABEF y CDMN. Si la suma de las longitudes de la base media del trapecio y su altura es k, entonces la distancia entre los centros de dichos cuadrados es
Clave: D 
x = PQ
x = b + h + a
H
D
B
A
C
DH = LS = h
∆BPA: PL = LB = LA = b
N
F
E
L
a
//
RESOLUCIÓN 46
M
P
Q
a
a
b
b
b
h
h
//
2b
2a
S
Mediana del Trapecio ABCD:
Mediana = m = = b + a
Del dato: m + h = k
∆CQD: QS = SC = SD = a
x = m + h = k 
INTENSIVO
CIRCUNFERENCIA
MATERIAL DE ESTUDIO
2023-1
2
35
PROBLEMA 47
A) VVV		 B) VFV		 C)	FFF
D) FVV		 E) FFV
		 
 
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones
Dos puntos distintos de una circunferencia, determinan un solo arco de circunferencia.
Si un segmento interseca a una circunferencia en un punto, entonces el segmento es tangente a la circunferencia.
Si dos circunferencias coplanares no tienen un punto común, entonces son circunferencias exteriores.
RESOLUCIÓN 47
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones
Dos puntos distintos de una circunferencia, determinan un solo arco de circunferencia.
Si un segmento interseca a una circunferencia en un punto, entonces el segmento es tangente a la circunferencia.
Si dos circunferencias coplanares no tienen un punto común, entonces son circunferencias exteriores.
I.
II.
FALSO
III.
Clave: C
Los dos puntos determinan dos arcos: DC y DPC 
El segmento no es necesario que sea tangente
B
A
Las circunferencias pueden ser interiores.
C
D
P
FALSO
FALSO
PROBLEMA 48
Las longitudes de los radios de dos circunferencias coplanares miden u y u y la distancia entre sus centros mide u, entonces estas circunferencias, son 1144
A) Secantes B) interiores C) exteriores
D) tangentes interiores E) tangentes exteriores
		 
 
RESOLUCIÓN 48 
Clave: D 
Las longitudes de los radios de dos circunferencias coplanares miden u y u y la distancia entre sus centros mide u, entonces estas circunferencias, son
AB= 
R = 
A
r = 
B
 = - 
 = - = - = AB 
C = = 1
A
 
B
d = - 
Como la distancia entre los centros es igual a la diferencia de radios, las circunferencias son tangentes interiores
PROBLEMA 49
En una semicircunferencia de diámetro y centro O, B y C son puntos de dicha semicircunferencia y D es un punto de tal que ABCD es un romboide. Si m∠DCO = 15, entonces la m∠BAO.
A) 60			 B) 52			 C) 45
D) 55			 E)36
		 
 
RESOLUCIÓN 49
En una semicircunferencia de diámetro y centro O, B y C son puntos de dicha semicircunferencia y D es un punto de tal que ABCD es un romboide. Si m∠DCO = 15, entonces la m∠BAO.
Clave: D 
B
O
x +15
E
C
x
15
x
A
mBAO x
Por paralelogramo: 
 Por paralelas: las medidas de los arcos AB y CD = x + 15
Angulo central:
 mA = mCDO = x 
Angulo inscrito:
 2x = m(arco BC) + x + 15
(x + 15) + (x – 15) + (x + 15) =180
x = 55
D
x+15
x +15
x - 15
∆COD exterior:
 mCOE = x + 15 
arco CE = x + 15 
arco BE = 2x 
 m(arco BC) = x - 15
PROBLEMA 50
En un cuadrado ABCD, Q es un punto de la prolongación , la semicircunferencia de diámetro CQ interseca a en T. Si es tangente a dicha semicircunferencia, entonces la medida del ángulo BAT es
A) 45			 B) 30			 C) 60
D) 36			 E) 75
		 
 
RESOLUCIÓN 50
En un cuadrado ABCD, Q es un punto de la prolongación , la semicircunferencia de diámetro CQ interseca a en T. Si es tangente a dicha semicircunferencia, entonces la medida del ángulo BAT es
B
C
Q
A
D
r
r
O
Porseminscrito TCB, el arco TC 
 mide 2x
Cuadrilátero DATO es inscriptible:
mTAB = mTCB = x 
Clave: B 
mBAT x 
x
T
x
45
45
△ABT △CBT (LAL): 
Porcentral TOC mide 2x
mDTA = mTOC = 2x 
En A: 3x = 90
x = 30
PROBLEMA 51
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la circunferencia tangente a en el punto C y tangente a la prolongación de en el punto T. Si BC - BT = 6u, entonces la longitud del inradio del triángulo ABC es
A) 2			 B) 3			 C) 4
D) 5			 E) 6
		 
 
RESOLUCIÓN 51
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la circunferencia tangente a en el punto C y tangente a la prolongación de en el punto T. Si BC - BT = 6u, entonces la longitud del inradio del triángulo ABC es
Clave: B
t
C
B
A
T
O
c + t
c
r 
m
r x 
Del dato: BC – BT = 6
m – t = 6
Por tangente: AT = AC
 c + t = AC
Por teorema de Poncelet
 c + m = c + t + 2r
m – t = 2r
3 = r
PROBLEMA 52
En un trapezoide ABCD, recto en A y en C, se ubican los puntos M y H en , tal que, A–M–H y el cuadrilátero MBCD es circunscriptible, y . Si BC = CD, CH = (HD + 6) u, y MH = 4 u, entonces la longitud (en u) del inradio del triángulo BAM es
A) 1			 B) 2			 C) 3
D) 4			 E) 5
		 
 
RESOLUCIÓN 52
En un trapezoide ABCD, recto en A y en C, se ubican los puntos M y H en , tal que, A–M–H y el cuadrilátero MBCD es circunscriptible, y . Si BC = CD, CH = (HD + 6) u, y MH = 4 u, entonces la longitud (en u) del inradio del triángulo BAM es
Clave: B
MBCD, Teorema de Pitot: 	 
A
B
D
C
r
a
b
b+6
4
M
H
a
T
r x 
△BTC △CHD (ALA): 

△BAM, Teorema de Poncelet :

b
b+6
6
6
b+6
b+2
y
CT = HD = b 
BT = HC = b + 6
a + 4 + b = a + y
y +2r = 6 + b + 2
Sumando las dos relaciones:
r = 2
PROBLEMA 53
En la figura mostrada, A, Q, P y T son puntos de tangencia. Si la medida del arco BC es 56, entonces el valor de x es 
A) 24			 B) 26		 C) 28
D) 30			 E) 36
		 
 
Clave: C 

 
RESOLUCIÓN 53
2(+)
56
28
M
En la figura mostrada, A, Q, P y T son puntos de tangencia. Si la medida del arco BC es 56, entonces el valor de x es 
P
D
B
A
Q
x
T
C
mTDA =x 
N
+
Se trazan y , además la tangente 
Por inscrito y seminscrito: 
mBCP = mNPB = 
Por tangentes: 
mTPN = mT = 
△TPC, exterior: mTPA = + 
Por inscrito: medida del arco AT es 2(+ ) = 180 – 28 = 152 
exterior en D: X +152 = 180
x = 28
PROBLEMA 54
En la figura, A, B, C, D y E son puntos de tangencia, hallar x + y 
A) 179			 B) 180			 C) 181
D) 182			 E) 190
		 
 
Clave: E 
2a
90
b
∆AFB isósceles:
RESOLUCIÓN 54
2b
a
a
En la figura, A, B, C, D y E son puntos de tangencia, hallar x + y 
W = x + y
F
mA = mABF = a, mBFO = 2a
∆DME isósceles:
M
mE = mMDE = b, mFMO = 2b
∆OFM:
20 + 2a + 2b = 180 a + b = 80
∆BCD: medidas de los exteriores
a +x + 90 + y + b = 360
W = 190
PROBLEMA 55
Dos circunferencias de centros O1 y O2 se interceptan en los puntos P y Q. En los arcos mayores PQ de cada circunferencia se ubican los puntos A y B respectivamente. Si los arcos AP y PB miden 40 y 50, además la suma de las medidas de los arcos menores PQ es 110. Calcule la mAPB. 
A) 90			 B) 95			 C) 100
D) 110			 E) 120
		 
 
RESOLUCIÓN 55
Clave: C 
Dos circunferencias de centros O1 y O2 se interceptan en los puntos P y Q. En los arcos mayores PQ de cada circunferencia se ubican los puntos A y B respectivamente. Si los arcos AP y PB miden 40 y 50, además la suma de las medidas de los arcos menores PQ es 110. Calcule la mAPB. 
320 - b
310 - a
50
a
A
B
40
x
Q
P
O1
O2
b
155 – a/2
160 – b/2
 a + b = 110
El arco mayor AQ mide 320 - b 
El arco mayor BQ mide 310 - a 
Por inscrito:
mAPQ = 160 – b/2
mBPQ = 155 – a/2
mBPA = x
En el punto P: 
160 – b/2 + 155 – a/2 + x = 360
x = 100
PROBLEMA 56
C1 y C2 son circunferencias tangentes exteriores en P, la prolongación la cuerda de C1 interseca a C2 en M, L es una recta tangente en M a C2 y secante a C1 en A y B. Si m∠BAT = 80 entonces la m es .
 
A) 40			 B) 45			 C) 50
D) 55			 E) 60
		 
 
RESOLUCIÓN 56 :
C1 y C2 son circunferencias tangentes exteriores en P, la prolongación la cuerda de C1 interseca a C2 en M, L es una recta tangente en M a C2 y secante a C1 en A y B. Si m∠BAT = 80 entonces la m es .
Clave: A 
A
B
C1
T
P
M
80
x
C2



2
160
E
Se trazan y la tangente 
Por tangentes: 
mEPM = mM= 
mATP = mEPA = 
Por inscrito y seminscrito: 
Por inscrito: medida del arco AP es 2 y el arco BT mide 160
En C1: 2( + ) +160 +x = 360 
∆MAT: por exterior: 
80 =  + 
x = 40
PROBLEMA 57
En un triángulo acutángulo ABC, se traza la altura y con centro en O se traza una semicircunferencia que interseca a , tal que AO = CO. Si las rectas y son tangentes a la semicircunferencia en T y P respectivamente, calcule la m∠ TPC.
 
A) 45			 B) 30			 C) 60
D) 36			 E) 75
		 
 
En un triángulo acutángulo ABC, se traza la altura y con centro en O se traza una semicircunferencia que interseca a , tal que AO = CO. Si las rectas y son tangentes a la semicircunferencia en T y P respectivamente, calcule la m∠ TPC.
RESOLUCIÓN 57
Se trazan los radios y 
A

En O:
P
O
B
T

r
x
C
r
2x

mTPC =x 
Por seminscrito: medida del arco TP es 2xTOA
△OTA △OPC (ALL): 
mAOT = mCOP = 
Por central: medida del arco TP es 2x = = 90 
x = 45
Clave: A 
PROBLEMA 58
En un triángulo ABC, D es un punto de la altura (H ). Si mBAC = 30, mBCA = 50 y mDAH = 10, entonces mACD es 
A) 5			 B) 10			 C) 15
D) 20			 E) 30
		 
 
RESOLUCIÓN 58
En un triángulo ABC, D es un punto de la altura (H ). Si mBAC = 30, mBCA = 50 y mDAH = 10, entonces mACD es 
Clave: D 
A
B
C
H
D
10
x
30

60
60
Se construye el ABF equilátero
F
Se prolonga AD y FC
E
30
40
Por teorema:
mHBC = mHFC = 40 
40
AFE:
mAEF= 40 
40
  
 BFE es isósceles
y BECD cuadrilátero inscriptible:
Pero:  
mBED = mBCD = 30 
BHC:
x = 20
 mACD = 20
30
30
mBCA = 50 
 mHBC = 40 
mACD = x = ?
PROBLEMA 59
En la figura, O es centro de la semicircunferencia. Calcule x
 
A) 15			 B) 20			 C) 25
D) 28			 E) 30
		 
 
RESOLUCIÓN 59
En la figura, O es centro de la semicircunferencia. Calcule x
20
70
70
80
40
r
r
70
r
r
r
40
50
50
80
10
70
Por inscrito: mMBA= 20 y mCMB = 40 
T
∆CMT: isósceles 
∆NOC: isósceles 
△NOC △CMT (LAL): 
CT = CN 
Por central: mCOB = 80 y mCOD =10
∆NCT: isósceles 
mCNT= mCTN = 50 
∆CMT: isósceles 
X + 50 = 70 
x = 20
Clave: B 
PROBLEMA 60
 En el lado de un cuadrilátero ABCD se ubica el punto H, tal que, AD = DC, m∠AHB = m∠ACB = 90, = {E}. Si M es el punto medio de y m∠BAC = 25, entonces la m∠MDC es 
A) 20			 B) 25			 C) 30
D) 35			 E) 40
		 
 
RESOLUCIÓN 60
En el lado de un cuadrilátero ABCD se ubica el punto H, tal que, AD = DC, m∠AHB = m∠ACB = 90, = {E}. Si M es el punto medio de y m∠BAC = 25, entonces la m∠MDC es
c
b
D
B
A
C
25
a
x
25
E
H
/
/
a
M
mMDC =x 


/
b
c
c
ABCH es inscriptible: 
mBAC= mCHB = 25 
∆ADC: isósceles 
mDAC= mACD =  
∆EHA:  + c = 90 
HMCD es inscriptible: porque mMCD = 90 
Por arco capaz: mMHC = mCDM 
25 = x
Clave: B