Pauta_control_edo

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Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Campus Santiago
Pauta Control Mat 023
Problema. Para x > 0, resuelva la e.d.o
x2y′′ − 2xy′ + 2y = x4, y(1) = 0, y′(0) = 1
Solución. Notar que la correspondiente ecuación homogénea es una ecuación de Euler.
Usamos el cambio de variable x = et para transformar la e.d.o. en la ecuación con
coeficientes constantes
y′′(t) − 3y′(t) + 2y(t) = 0
que tiene por solución
y(t) = c1e
t + c2e
2t
Ahora, usamos variación de parámetros o coeficientes indeterminados para resolver la
ecuación no homogénea
y′′(t) − 3y′(t) + 2y(t) = e4t
1.) Coeficientes indeterminados
Buscamos una solución particular de la forma yp(t) = Ae
4t. Calculemos
y′p(t) = 4Ae
4t y y′′p(t) = 16Ae
4t
Reemplazando en la ecuación, obtenemos
16Ae4t − 12Ae4t + 2Ae4t = e4t =⇒ A =
1
6
=⇒ yp(t) =
1
6
e4t
Por lo tanto, la solución general es y(t) = c1e
t + c2e
2t +
1
6
e4t.
Luego, la solución pedida es y(x) = c1x + c2x
2 +
1
6
x4
2.) Variación de constantes
Calculemos el wronskiano W [y1, y2] =
∣
∣
∣
∣
et e2t
et 2e2t
∣
∣
∣
∣
= e3t.
Ahora,
c1(t) = −
∫
e4t · e2t
e3t
dt = −
1
3
e3t y c2(t) =
∫
e4t · et
e3t
dt =
1
2
e2t
Así,
y(t) = c1e
t + c2e
2t
−
1
3
e3tet +
1
2
e2te2t =⇒ y(t) = c1e
t + c2e
2t +
1
6
e4t
Luego, la solución general es y(x) = c1x + c2x
2 +
1
6
x4
Por otro lado,
y(1) = 0 ⇐⇒ c1 + c2 +
1
6
= 0
y
y′(1) = 1 ⇐⇒ c1 + 2c2 +
2
3
= 1
Resolviendo el sistema, se tiene c1 = −
2
3
y c2 =
1
2
.
Por lo tanto, la solución particular pedida es
y(x) = −
2
3
x +
1
2
x2 +
1
6
x4