Ensayo Cpech 024 - Matemáticas (2016) (S) - Antonia Salinas

Vista previa del material en texto

SOLUCIONARIO 
ENSAYO MT- 024 
S
E
N
S
C
E
S
M
T
0
2
4
-A
1
6
V
1
 
1. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad Comprensión 
 
Dado que m, n, p y q son números primos distintos menores que 10 y, además se sabe 
que: 
 
(m – n) = p 
 
(m + n) = q 
 
Para que se cumplan las condiciones, necesariamente m > n, por lo tanto los valores de m 
y n que satisfacen las condiciones son m = 5 y n = 2, ya que (5 – 2) = 3, el cual es un 
número primo y (5 + 2) = 7 que también es un número primo. 
 
Por lo tanto p = 3, q = 7. Entonces (p – q) = 3 – 7 = – 4 
 
 
2. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Comprensión 
 
Si a m cocineros se le entregan m frutas, la cantidad total de frutas que habrá es 
m ∙ m = m
2
 frutas. 
Luego si cada fruta se corta en m trozos, el total de trozos que habrá es m
2
 ∙ m = m
3
 
trozos. Entonces, si todos los trozos se reparten en m platos, cada plato tendrá 
2
3
m
m
m
 trozos de fruta. 
 
 
3. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad ASE 
 
Si b, k y m son números enteros positivos y, además k y m son múltiplos de b, entonces: 
 
I) Verdadera, ya que la suma entre k y b, ambos múltiplos de b, resulta siempre un 
número múltiplo de b. 
 
II) Falsa, ya que al dividir un múltiplo de b por el mismo b, no siempre resulta un 
número múltiplo de b. 
III) Falsa, ya que en la expresión 
b
mk 
, la suma entre k y m en el numerador, al ser 
ambos múltiplos de b, resulta un número múltiplo de b. Al estar divididos por b, no 
siempre resulta un número múltiplo de b. 
 
Por lo tanto, solo la afirmación I representa siempre a un número múltiplo de b. 
 
 
4. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad Aplicación 
 
...57142,1
7
11
 (Truncando 1,57142… a la décima) 
m = 1,5 
25,2m2  (Redondeando a la décima) 
2,3 
Luego, m
2
 redondeado a la décima es 2,3. 
 
 
5. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Aplicación 
 
  223 632 (Aplicando propiedad de potencia con exponente negativo) 
 

223 6
1
3
1
2
1
 (Desarrollando potencias) 
 

36
1
9
1
8
1
 (Desarrollando suma de fracciones) 
 


72
289
 (Desarrollando) 
72
15
 (Simplificando) 
24
5
 
 
 
6. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad ASE 
 
Si a, b y c son números positivos, tales que 
c
b
c
a
b
a
 , entonces se puede determinar que 
bay bc  . Por lo tanto: 
A) a < b < c es incorrecta, ya que b es mayor que a y c. 
B) c < a < b no es siempre verdadera, ya que no se puede determinar la relación entre a 
y c. 
C) c < b < a es incorrecta, ya que b es mayor que a y c. 
D) a < c < b no es siempre verdadera, ya que no es posible determinar la relación entre a 
y c. 
 
Por lo tanto, faltan datos para determinar la relación entre a, b y c. 
7. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Comprensión 
 
Se define la operatoria n) m(  como el cuociente entre la raíz enésima de m y n, lo que 
se expresa de la siguiente manera: 
 
n
m
 n) m(
n
 
Por lo tanto el valor de 3) -8(  se calcula de la siguiente manera: 
3
2
3
8
 3) -8(
3 


 
 
 
8. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Números irracionales 
Habilidad ASE 
 
Sea b un número irracional, con b un número impar. Para determinar las expresiones 
que representan siempre a un número irracional, se tiene: 
 
A) 1-b , no siempre representa a un número irracional, ya que si b = 5, al reemplazar 
resulta: 241-5  
 
B) 2b , representa siempre a un número irracional, ya que al descomponer la raíz en 
b2  , independiente del valor de b, el resultado es un irracional. 
 
C) 1b  , no siempre representa a un número irracional, ya que si b = 3, al reemplazar 
resulta: 2413  
 
D) 
1b
1

, no siempre representa a un número irracional, ya que si b = 5, al reemplazar 
resulta: 
2
1
4
1
15
1


 
 
E) 3b , no siempre representa a un número irracional, ya que si b = 3, al reemplazar 
resulta: 3933  
 
Por lo tanto, la alternativa correcta es B. 
 
 
 
 
 
 
 
9. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Números irracionales 
Habilidad Aplicación 
 
Dado que 4,0r  y 2,14s  , este último al descomponerse resulta 2,1s2  
Luego el valor más cercano a ( 4rs  ) se puede determinar de la siguiente manera: 
 
2,1s2  (Multiplicando la ecuación por 
2
1
) 
2
2,1
s  (Dividiendo) 
6,0s  (Elevando al cuadrado) 
0,36s  
 
Además, descomponiendo la expresión r2r44r  , con 4,0r  
 
Reemplazando los valores en la expresión ( 4rs  ), se tiene: 
 
r2s4rs  (Reemplazando los valores de s y r ) 
 
0,36·2·0,4 (Multiplicando) 
 
0,36·0,8 (Multiplicando) 
 
0,288 
 
Por lo tanto, el valor más cercano a la expresión ( 4rs  ) es 0,288. 
 
 
10. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Números irracionales 
Habilidad ASE 
 
I) Falsa, ya que 2a > a, entonces nn a2a  . 
 
II) Verdadera, ya que al ser iguales las cantidades subradicales, el valor de la raíz es 
menor si el valor del índice es mayor. 
 
III) Verdadera, ya que al elevar 2n 2a y n a a 2n, se tiene que: 
 
2a)2a( 2n2n  
22nn a)a(  
Luego, 2a < a
2
, para todo a > 2, por lo tanto n2n a2a  
 
Por lo tanto, solo las expresiones II y III son siempre menores que n a . 
 
11. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Números irracionales 
Habilidad Aplicación 
 
Si log 6 ≈ 0,78, entonces: 
 
6.000 log (Aplicando propiedad potencia con exponente racional) 
2
1
(6.000) log (Aplicando propiedad de exponente) 
 
(6.000) log
2
1
 (Descomponiendo) 
 
1.000)(6 log
2
1
 (Aplicando propiedad del producto) 
 
1.000) log 6 (log
2
1
 
 
3)6 (log
2
1
 (Reemplazando el valor de log 6) 
 
3)(0,78
2
1
 
 
89,1
2
3,78
 
 
 
12. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Aplicación 
 
8log32log 328  (Aplicando cambio de base) 
 
32log
8log
8log
32log
2
2
2
2  
 
5
3
3
5
 (Resolviendo) 
 
15
16
 
 
 
 
 
 
13. La alternativa correcta es A. . 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad ASE 
Como (a)log
2
1
(a)logalogqy (a) log2p 5
2
1
555  , entonces: 
 
I) Verdadera, ya que 3p = 3·2· (a) log5 = 6· (a) log5 = 
6
5 (a) log 
II) Verdadera, ya que 4q = 4· (a)log
2
1
5 = 2· (a) log5 = p 
III) Falsa, ya que p – 2q = (a) log2 5 – 2· (a)log
2
1
5 = (a) log2 5 – (a) log5 = (a) log5 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 
 
 
14. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Aplicación 
 
Sea m = 12-4n , para que m sea un número entero positivo, se tiene que cumplir que: 
 
4n – 12 > 0 (Resolviendo la inecuación) 
 
4n > 12 
 
n > 3 
 
Por lo tanto, se descartan las alternativas A y B, ya que ambas no son mayores a 3. 
Analizando el resto de las alternativas, se tiene: 
 
C) 25,3
4
13
 
 
D) 75,3
4
15
 
 
E) 4 
 
Por lo tanto, el menor valor que podría tomar n para que m sea un número entero positivo 
es 
4
13
. 
 
 
 
 
 
 
 
15. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Números complejos 
Habilidad Comprensión 
 
Sea z un número complejo de la forma z = a + bi, en donde Re(z) = 3·Im(z). Por lo tanto, 
Re(z) = a, Im(z) = b a = 3b. 
 
Además, el conjugado de z es de la forma z = a – bi. Si Im( z ) = 4 – b = 4 b = – 4 
 
Por lo tanto, si b = – 4 a = 3·(– 4) = – 12 
 
Luego z = – 12 – 4i, entonces 2i6
2
4i12
2
z


 
 
 
16. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Números complejos 
Habilidad Aplicación 
 
Como z = 3 - 4i  525169)4(3z 22 Su conjugado es: 4i3z  
 
Luego, reemplazando los valores en la expresión 2)z(z  , se tiene: 
5·(3 + 4i)
2
 = 5·(9 + 24i +16i
2
) = 5·(– 7 + 24i) = – 35 + 120i 
 
 
17. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Números complejos 
Habilidad ASE 
 
Si p y q son dos números complejos, entonces: 
 
I) Falsa, ya que si q es el conjugado de p, entonces se cumple que |p| = |q| 
 
II) Verdadera, ya que si Re(p) = Re(q) = 0, entonces p y q son de la forma: 
p = ai, q = bi. Luego p · q = ai · bi = abi
2 
= – ab 
 
III) Verdadera, ya que si q es de la forma: q = a + bi p = a – bi. Luego p + q = 2a 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son siempre verdaderas. 
 
 
 
 
 
 
18. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Transformación algebraica 
Habilidad Aplicación 
 
Área total de la figura = Área del cuadrado EFGH + Área del rectángulo ACDH. 
 
Entonces: 
 
Área del cuadrado EFGH = (x – 10)
2
 
Área del rectángulo ACDH = 4·(x – 9) 
 
Por lo tanto: 
 
Área total de la figura = (x –10)
2
 + 4·(x – 9) (Desarrollando) 
 
= x
2
 – 20x + 100 + 4x – 36 
 
= x
2
 – 16x + 64 (Factorizando) 
 
= (x – 8)
2 
 
 
19. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer grado 
Habilidad Aplicación 
 
3x
bxax 2


= 3b + ax (Multiplicando por (x + 3)) 
 
ax
2
 + bx = (3b + ax)·(x + 3) (Distribuyendo) 
 
ax
2
 + bx = ax
2
 + 3ax + 3bx + 9b (Desarrollando) 
 
ax
2
 + bx – ax
2
 – 3ax – 3bx = 9b 
 
– 2bx – 3ax = 9b (Multiplicando por – 1) 
 
2bx + 3ax = – 9b (Factorizando por x) 
 
x·(2b + 3a) = – 9b (Despejando x) 
 
 x = 
3a2b
9b


 
 
 
 
 
 
 
 
20. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Transformación algebraica 
Habilidad Comprensión 
 
Planteado algebraicamente el enunciado, se tiene: 
Si al triple de 
2
x
se le suma la sexta parte de 2x, resulta 
 
 
 3 ∙ 
2
x
 + 
6
1
 ∙ 2x = 
 
 3 ∙ 
2
x
 + 
6
1
 ∙ 2x = (Simplificando) 

32
3 xx
 (Sumando las fracciones) 


6
29 xx
 (Desarrollando) 
 
6
11x
 
 
 
21. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Transformación algebraica 
Habilidad Aplicación 
 
Dada la expresión z = 
vy)w(x
vywx 22


, con w(x + vy)  0, entonces: 
 
I) Verdadera, ya que si v = w y w = 1v = 1, reemplazando en la expresión resulta: 
z =
yx
y-x 22

=
yx
y)-y)(x(x


= x – y 
 
II) Falsa, ya que w = 1 y v = 0, reemplazando en la expresión resulta: 
z = 
x
x 2
= x 
 
III) Falsa, ya que w = 4 y v = 9, reemplazando en la expresión resulta: 
 
z = 
9y)4·(x
9y4x 22


= 
36y4x
9y4x 22


, expresión que no es posible reducir. 
 
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera. 
 
 
 
 
22. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad ASE 
 
Sea la ecuación cuadrática: a 2x + bx + c = 0 
 
Se cumple que la suma de las raíces es 
a
b
 y la multiplicación de las raíces es 
a
c
. 
 
Entonces, para la ecuación: m 2x – nx + p = 0, las raíces o soluciones de la ecuación 1x 
y 2x , cumplen que: 
 1x + 2x = 
m
n
 1x  2x = 
m
p
 
 
Luego, 
1x  2x – ( 1x + 2x ) = 
m
p
– 
m
n
 = 
m
np 
 
 
 
23. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad Aplicación 
 
Sean x e y los lados del rectángulo, entonces: 
Perímetro = 2x + 2y = 16 x + y = 8 
Además, la diagonal del rectángulo es 22 yx  = 6 x
2
 + y
2
 = 36 
 
Al despejar x de la ecuación del perímetro resulta: x = 8 – y. Si se reemplaza el valor de x 
en la ecuación de su diagonal se tiene: 
 
(8 – y)
2
 + y
2
 = 36 (Desarrollando el cuadrado de binomio) 
 
64 – 16y + y
2
 + y
2
 = 36 (Reduciendo términos) 
 
2y
2
 – 16y + 64 = 36 (Dividiendo por 2) 
 
y
2
 – 8y + 32 = 18 (Reagrupando términos) 
 
y
2
 – 8y + 14 = 0 
 
Sea la ecuación cuadrática ax
2
+ bx + c = 0, las raíces o soluciones se determinan de 
acuerdo a la expresión: 
2a
4·a·cbb-
x
2 
 
En este caso a = 1, b = – 8, c = 14. Reemplazando los valores en la expresión anterior se 
tiene: 
y = 
2·1
4·1·14(-8)(-8)- 2 
= 
2
56648 
=
2
88 
= 
2
228 
= 24  
 
Luego, si y = 24  x = 8 – ( 24  ) = 24  Lado mayor = 24  
 Si y = 24  x = 8 – ( 24  ) = 24  Lado mayor = 24  
 
Por lo tanto, en cada caso el lado mayor del rectángulo mide 24  cm. 
 
 
24. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad Aplicación 
 
Dada la ecuación x(x + 3) = 3p – 7  x
2
 + 3x = 3p – 7 
Si una de las raíces o soluciones de la ecuación es x = 
2
3
+ 4i, entonces reemplazando 
en x, se tiene: 
 
2
4i
2
3








+ 3· 







4i
2
3
= 3p – 7 (Desarrollando) 
 
4
9
 – 12i –16 – 
2
9
+ 12i = 3p – 7 (Reduciendo términos) 
4
9
– 
2
9
 – 16 = 3p – 7 (Multiplicando por 4) 
 
9 – 18 – 64 = 12p – 28 (Desarrollando) 
 
– 45 = 12p (Despejando p) 
 
12
45
= p (Simplificando) 
 
 
4
15
= p 
 
 
25. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia 
Habilidad Comprensión 
 
De acuerdo al enunciado, Ana tiene a años y Pedro b años, entonces la expresión “La 
suma entre la edad de Ana y Pedro es a lo menos 25 años” se interpreta como a + b  25. 
 
La expresión “El doble de la diferencia entre la edad de Pedro y la edad de Ana es a lo 
más 6 años” se interpreta como 2(b – a)  6. 
 
Luego el sistema de inecuaciones que representa la situación descrita es: 
 
a + b  25 
2(b – a)  6 
 
 
26. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia 
Habilidad Aplicación 
 
Sea el sistema de inecuaciones: 
 
3 – x > 1 
2 (x – 1) < 1 
 
Al resolver la primera inecuación, se obtiene: 
 
3 – x > 1 (Despejando x) 
 
 – x > – 2 (Multiplicando por –1) 
 
 x < 2 
 
El conjunto solución descrito por la desigualdad, es el intervalo:  2, 
 
Al resolver la segunda inecuación, se obtiene: 
 
2 (x – 1) < 1 (Distribuyendo) 
 
2x – 2 < 1 (Desarrollando) 
 
2x < 3 (Despejando x) 
 
x < 
2
3
 
El conjunto solución descrito por la desigualdad, es el intervalo: 






2
3
, 
 
Finalmente, el conjunto solución de las inecuaciones es la intersección de los conjuntos 
solución de las inecuaciones componentes del sistema. 
 
 2, ∩ 






2
3
, = 






2
3
, 
Por lo tanto, el conjunto solución del sistema es 






2
3
, 
 
 
 
 
 
27. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia 
Habilidad ASE 
 
Desarrollando la inecuación: 
 
– 7  3x + 5 < 3 
 
– 12 3x < – 2 
4  x < 
3
2
 
I) Incorrecta, ya que x < 
3
2
 
 
II) Correcta, ya que 4  x  entonces x puede ser – 4 
 
III) Correcta, ya que – 2 pertenece al intervalo 




 

3
2
,4 , entonces x puede ser – 2. 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III pueden ser valores posibles para x. 
 
 
28. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Función afín y función lineal 
Habilidad Comprensión 
 
Cantidad inicial de artículos en bodega: 9.000 
Cantidad de artículos en bodega después de 8 meses: 3.000 
Como el comportamiento entre la cantidad de artículos en bodega y el tiempo de venta(x) 
es lineal, entonces: 
0 meses 9.000 artículos  se obtiene el punto (0, 9.000) 
8 meses 3.000 artículos  se obtiene el punto (8, 3.000) 
 
Luego, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, 9.000) y (8, 3.000) es: 
 
y – 9.000 = 





0-8
9.000-3.000
(x – 0) (Desarrollando) 
 
y – 9.000 = 
8
000.6
· x (Reduciendo) 
 
y – 9.000 = – 750· x (Despejandoy) 
 
y = 9.000 – 750 · x 
 
Luego, la función que representa los artículos en bodega después de x meses es 
f(x) = y = 9.000 – 750x 
 
 
29. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Teoría de funciones 
Habilidad Aplicación 
 
g(x) = 3x
2
 + 2 
h(x) = – 5x + 3 
 
Entonces: 
 
h(g(x)) = h(3x
2
 + 2) = – 5(3x
2
 + 2) + 3 = – 15x
2
 – 10 + 3 = – 15x
2
 – 7 = – (15x
2
 + 7) 
 
 
30. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Teoría de funciones 
Habilidad ASE 
 
Dada la función f(x) = (x – 3)
2
, entonces: 
 
I) Falsa, ya que si x pertenece al intervalo [2,5], con x = 2  f(2) = 1 y con x = 4 
 f(4) = 1 
Por lo tanto para dos valores de x, f(x) toma el mismo valor, entonces f no es 
inyectiva. 
 
II) Falsa, ya que el intervalo [-3,  [contiene al intervalo [2,5], con el cual se 
demostró anteriormente que f no es inyectiva. 
 
III) Verdadera, ya que para cualquier valor de x en el intervalo [– 3,1], para cada valor 
de x existe un único valor de f(x), por lo que f es inyectiva en ese intervalo. 
 
Por lo tanto, solo en la afirmación III cumple que f es inyectiva. 
 
 
31. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada 
Habilidad Aplicación 
 
log(2x ) – log 3 = log(1 – x) (Aplicando propiedad del logaritmo de la división) 
 
log  x
x






1log
3
2
 (Igualando argumentos) 
x1
3
x2
 (Multiplicando por 3 ambos lados de la igualdad) 
 
2x = 3 – 3x (Agrupando) 
5x = 3 (Despejando x) 
x = 
5
3
 
 
 
32. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada 
Habilidad Comprensión 
 
Sea la función real f(x) = 12x  – 3, como el dominio está restringido, ya que la 
cantidad subradical debe ser mayor o igual a 0, se tiene: 
 
2x + 1  0 x 
2
1-
Dom f: 







,
2
1
, entonces, se descartan las alternativas A y E. 
Luego si x = 
2
1-
, entonces f 





2
1-
= – 3, entonces, se descartan las alternativas C y D. 
 
Por lo tanto, el gráfico de la alternativa B es el único que cumple dichas condiciones. 
 
 
33. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada 
Habilidad Aplicación 
 
Sea f(x) = 3 xa , con a positivo distinto de 1. Si f (– 1) = 6, al evaluar y reemplazar, se 
obtiene: 
 
f (– 1) = 3 1a  (Desarrollando) 
 6 = 3 1a  
 2 = 
a
1
 
 a = 
2
1
 
Luego, reemplazando el valor de a, se tiene: f(x) = 3
x






2
1
. Evaluando f(2), se obtiene: 
f(2) = 3
2
2
1






= 3 
4
1
4
3
 
 
 
34. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad Comprensión 
 
Sea la función cuadrática f(x) = a 2x + bx + c. Como a > 0, la parábola abre hacia arriba. 
Además el discriminante ∆ = 2b – 4ac < 0, por lo tanto la función cuadrática tiene dos 
raíces complejas distintas, es decir, la gráfica de la función f no intersecta el eje X. 
 
Por lo tanto, el gráfico que mejor representa a la función cuadrática es el correspondiente 
a la alternativa E. 
 
35. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia 
Habilidad ASE 
 
Del gráfico de la función, se puede determinar que se trata de una función potencia con 
exponente impar, descartando las alternativas C y E. 
Luego, del gráfico se obtiene que los puntos (2, 0) y (3, 1) pertenecen a él. Evaluando 
estos puntos en las alternativas restantes se tiene: 
 
A) Si x = 2  f(2) = 2
5
 +1 = 33. El punto resultante (2,33) no pertenece al gráfico de la 
función, por lo cual se descarta. 
 
B) Si x = 2 g(2) = 2
3
 – 8 = 0 el punto (2,0) pertenece a esa función. Luego, 
probando el segundo punto: si x = 3 g(3) = 3
3
 – 8 = 19. El punto resultante (3,19) no 
pertenece al gráfico de la función, por lo cual se descarta. 
 
D) si x = 2 h(2) = (2 – 2)
5
 = 0 el punto (2,0) pertenece a esa función. Luego, 
probando el segundo punto: si x = 3 h(3) = (3 – 2)
5
el punto (3,1) pertenece a la 
función. 
 
Luego la función que mejor representa al gráfico es la alternativa D. 
 
 
36. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad Comprensión 
 
Si al punto S(a – b, b) se le aplica una traslación según el vector T(b, a – b) resulta el 
punto S`(a – b + b, b + a – b) S`(a,a). Luego si al punto S` se le realiza una simetría 
axial con respecto al eje Y, se obtiene el punto S``(– a, a). 
 
 
37. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad ASE 
 
De la figura, se concluye que  PTR  QTS, por ser ángulos opuestos por el vértice. 
 
A) Si los triángulos PTR y QTS tienen igual área, no es suficiente para determinar que 
ambos triángulos son congruentes, ya que si el triángulo PTR tiene la mitad de la base y 
el doble de la altura del triángulo QTS, ambos tendrían la misma área, pero serán de 
distinto tamaño. 
 
B) Si PR // SQ no es suficiente para determinar que el triángulo PTR es congruente con 
el triángulo QTS, ya que solo se podría concluir que  TRP  TSQ y  RPT SQT, 
lo cual no implica que el triángulo PTR sea congruente con el triángulo QTS. 
 
C) Si PR = SQ no es posible determinar si los triángulos PTR y QTS sean congruentes, 
ya que los ángulos sobre dichos segmentos no necesariamente deben ser congruentes. 
 
D) Si los triángulos PTR y QTS son isósceles en P y Q respectivamente, no es suficiente 
para determinar si ambos triángulos son congruentes, ya que los lados de ambos 
triángulos no necesariamente deben ser congruentes, además no se menciona alguna 
relación entre ellos. 
 
E) Si T es el punto medio de los trazos PQ y RS , entonces se puede determinar que 
RT = TS y PT = TQ . Además se sabe que  PTR  QTS, por lo tanto utilizando el 
criterio LAL si es posible determinar que el triángulo PTR es congruente con el triángulo 
QTS. 
 
 
38. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad Aplicación 
 
u

= (2, 1)  2· u

= (4, 2) 
v

= (– 3, 2) 
 
Entonces: 2· u

– v

= (4, 2) – (– 3, 2) = (4 – (– 3), 2 – 2) = (7, 0) 
 
 
39. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad Aplicación 
 
Punto medio PR = 




 
2
42
,
2
)3(1
= (– 2, 3) 
 
Luego el vector traslación que lleva al punto Q(3, – 2) hasta el punto (– 2, 3) es: 
 
 (– 2, 3) – (3, – 2) = (– 2 – 3,3 – (–2)) = (–5, 5) 
 
 
40. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad Comprensión 
 
I) Verdadera, ya que en un romboide las diagonales se dimidian, es decir, T es el 
punto medio de SQ . 
 
II) Verdadera, ya que un romboide tiene sus lados opuestos paralelos. Luego, 
SR//PQ , lo que produce ángulos congruentes. 
 
III) Verdadera, ya que en un romboide las diagonales se dimidian. Luego, TRPT y 
TQST  . Además,  PTS   RTQ por ser opuestos por el vértice. Entonces, por 
el criterio LAL, los triángulos PTS y RTQ son congruentes. 
 
Por lo tanto, las tres afirmaciones son siempre verdaderas. 
 
 
41. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad ASE 
 
Si P es un punto ubicado a dos unidades del origen del plano cartesiano, todos los puntos 
que se encuentren en una circunferencia con centro en el origen y de radio 2 unidades 
pueden ser el punto P. Si M es un punto ubicado a una unidad de distancia de P, todos los 
puntos que se encuentren en una circunferencia de centro en el origen y radio 1 unidad o 
bien todos los puntos que se encuentren en una circunferencia de centro en el origen y de 
radio 3 unidades, son puntos que están a una unidad de distancia de cualquier punto P, 
porlo tanto M puede ser un punto de ambas circunferencias descritas anteriormente. 
Si K es la figura formada por los posibles valores de M, entonces el área de K es la 
superficie encerrada entre el área de la circunferencia con centro en el origen con radio de 
3 unidades y la circunferencia de centro en el origen con radio de 1 unidad. Luego: 
 
Área de la figura K= área del circulo de radio 3 – área del circulo de radio 1 
 
Entonces: 
 
Área de la figura K = π · 3
2
 - π · 1
2
 = 8 π unidades cuadradas. 
 
 
42. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad ASE 
 
 
Si SRT URT UTST  y URSR  , por lo tanto el cuadrilátero STUR es un 
trapezoide simétrico. Entonces, 90ºRUTRST  . 
Si PUT = α y PTU = β , entonces: 
 
En el triángulo TPU, se observa que  9018090  , luego 
QUR , para completar el ángulo extendido. Asimismo, como  90RQU , se 
tiene que  RQU , para sumar 180° en el triángulo UQR. 
 
Por lo tanto,TPU~UQR por criterio AA, entonces: 
 
 
 
 
 
TP es homólogo con UQ 
 
a
cb
QR
QR
b
c
a
QR
PU
UQ
TP 
 
PU es homólogo con QR 
 
 
 
43. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Circunferencia 
Habilidad Aplicación 
 
Si el triángulo PQR, inscrito en la circunferencia de centro O, es isósceles en P, entonces 
PQPR  y QR es la base del triángulo PQR. Por lo tanto  PRQ  PQR 
 
Si el  QOR = 70º  Arco QR = 70º  RPQ = 35º, por ser un ángulo inscrito. 
Entonces, por el teorema de la suma de ángulos interiores en un triángulo,  PRQ =  
PQR = 72,5º 
 
Luego el arco PQ es el arco formado por el ángulo inscrito  PRQ. Como el arco 
formado por un ángulo inscrito mide el doble de dicho ángulo, entonces: 
 
Arco PQ = 2· PRQ = 2·72,5º = 145º 
 
 
44. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad Aplicación 
 
 Sea PQel diámetro de la semicircunferencia, entonces 
2
PQ
es su radio. ABes una cuerda 
tal que 
2
PQ
AB  , entonces como PQSR  , por ser los lados opuestos del rectángulo 
PQRS, se cumple que 
4
PQ
BRSA  . Además se tiene que SP = 1 cm y SP es tangente 
a la semicircunferencia en P, luego aplicando el teorema de la tangente y la secante se 
tiene que: 
 
SP
2
 = SA·SB 1
2
 = 






2
PQ
4
PQ
·
4
PQ
1 = 





4
3·PQ
·
4
PQ
, entonces: 
 
1 = 
16
3·PQ2
 (Multiplicando por 16) 
 
16 = 3·PQ
2
 (Dividiendo por 3) 
 
3
16
= PQ
2 
(Operando raíz cuadrada) 
 
3
16
= PQ 
 
3
4
= PQ (Racionalizando) 
 
3
3·4
= PQ 
 
Luego, como el radio de la semicircunferencia es 
2
PQ
, entonces: 
Radio = 
2
3
3·4
= 
3
3·2
cm 
 
 
45. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad Aplicación 
 
Como el triángulo PQS es rectángulo en P, entonces SP y PQ son catetos y QS es la 
hipotenusa. Si SP = 3 y PQ = 4 QS = 5, por tríos pitagóricos. 
Si PR es la altura que cae sobre la hipotenusa, entonces se cumplen las condiciones 
sobre el triángulo PQS para aplicar el teorema de Euclides. Luego: 
 
PQ
2
 = QR·QS (Reemplazando los valores) 
 
4
2
 = QR·5 (Despejando QR) 
 
5
16
= QR 
 
 
46. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Circunferencia 
Habilidad Aplicación 
 
Como SR//PQ y  CPQ = 46º  ACP = 46º Arco PS = 92º. Además R es punto 
medio del arco PS, entonces arco PR = arco RS = 46º. Como el  RQP es un ángulo 
inscrito en la semicircunferencia que determina al arco PR, entonces  RQP = 23º. 
Luego se conocen dos de los tres ángulos interiores del triángulo TQP, por lo tanto 
 QTP = 111º. 
 
 
 
 
 
47. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad Aplicación 
 
Como BD//AE , además AE = 9 cm, BC = 10 cm y 
5
2
AC
DB
 DB = 2·k y AC = 5·k, 
con k una constante de proporcionalidad. 
 
Luego aplicando el teorema de Thales se tiene: 
 

10
2k
5k
9
BC
DB
AC
EA
 90 = 10k
2
. Despejando k se tiene k = 3, luego se tiene: 
 
AC = 5·k = 5·3 = 15 
DB = 2·k = 2·3 = 10 
 
Como AB = AC- BC AB = 15 – 10 = 5 cm. 
 
 
48. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Comprensión 
 
Como ABCD es un rectángulo, entonces el triángulo DAB es congruente al triángulo 
BCD. Para que el triángulo BCD sea el resultado de aplicar una homotecia al triángulo 
DAB, entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
La única posibilidad para que ocurra que el triángulo BCD sea el homotético del 
triángulo DAB es que el centro de la homotecia esté en la intersección de las diagonales 
del rectángulo ABCD, el cual está en el punto medio de DB . Además, como el triángulo 
BCD está rotado en 180º con respecto al triángulo DAB, entonces la razón de homotecia 
debe ser igual a -1 para que los triángulos DAB y BCD sean congruentes. Luego la 
alternativa que cumple dichas condiciones es C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
C D 
49. La alternativa correcta es B. . 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Aplicación 
 
Si la recta L está en el plano cartesiano de modo que intersecta al eje X en (3c, 0) y al eje 
Y en (0, 2c), entonces es posible determinar la ecuación de dicha recta que pasa por dos 
puntos. Reemplazando los valores de los puntos (3c, 0) y (0, 2c), se tiene: 
 
y – 0 = 





3c-0
0-2c
·(x – 3c) (Reduciendo) 
 
y = 





3c-
2c
·(x – 3c) (Simplificando) 
y = 
3
2
·(x – 3c) (Distribuyendo) 
y = ·x
3
2
+ 2c (Multiplicando por 3) 
Luego, para determinar la ecuación de M se tiene el punto (2c, 0) y la pendiente
3
2
, la 
que es igual a la pendiente de L, ya que son rectas paralelas. Entonces: 
 
y – 0 = 
3
2
 ·(x – 2c) (Multiplicando por 3) 
 
3y = – 2x + 4c (Reordenando) 
 
2x + 3y = 4c 
 
 
50. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Aplicación 
 
Como el hexágono regular PQRSTU es de lado 1 y está formado interiormente por 6 
triángulos equiláteros congruentes de lado 1, se tiene que el vértice S tiene coordenadas 
(1,0) y el vértice T tiene coordenadas 








2
3
,
2
1
, puesto que desde el vértice T se puede 
trazar una de las alturas del triángulo equilátero a través de la expresión: 
2
3
2
3·1
2
3·lado
 , la cual coincide con el punto medio del lado opuesto de dicho 
vértice, como se muestra en la figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acuerdo a la figura, la recta L pasa por el vértice S y T, entonces es posible determinar 
la ecuación de la recta que pasa por los puntos S y T de la siguiente forma: 
 
S(1,0), T








2
3
,
2
1
y – 0 = 














1
2
1
0
2
3
(x – 1) (Desarrollando) 
 
y = 












2
1-
2
3
(x – 1) 
 
y = 3 ·(x – 1) (Distribuyendo) 
 
y = 3 ·x + 3 
 
 
51. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Cuerpos geométricos 
Habilidad ASE 
 
Una recta L pasa por los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrado. Sea a el 
lado de dicho cuadrado, entonces al girar indefinidamente dicho cuadrado entorno a la 
recta L se genera un cilindro, cuyo radio basal = 
2
a
y su altura = a. Sea V el volumen de 
dicho cilindro, entonces es posible expresarlo de la siguiente manera: 
Volumen del cilindro = ·alturaπ·(radio) 2 V = π · ·a
2
a
2






= 
4
π·a 3
 
 
P 
Q R 
S 
U T 
1 1 
2
1 
2
3 
x 
y 
L 
Si se hace girar el cuadrado entorno a uno de sus lados, se genera nuevamente un 
cilindro. Sin embargo el radio basal coincide con el lado del cuadrado y su altura será 
también el lado de dicho cuadrado. Luego su volumen es: 
 
Volumen = 32 π·a·aπ·a  
Como V = 
4
π·a 3
4·V= 3π·a 
Entonces el volumen del cilindro generado al rotar indefinidamente dicho cuadrado 
entorno a uno de sus lados es3π·a = 4V 
 
 
52. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Comprensión 
 
Un punto pertenece al plano P: a·x + b·y + b·z + a = 0 si al reemplazar sus coordenadas 
en la ecuación del plano se cumple la igualdad. Entonces: 
 
A) Si pertenece, ya que al reemplazar el punto (– 1, 1, – 1) en la ecuación del plano se 
obtiene: – a + b + (– b) + a = 0 
 
B) No pertenece, ya que al reemplazar el punto (1, – 1, 1) se obtiene: 
a + (– b) + b + a = 2a  0 
 
C) No pertenece, ya que al reemplazar el punto (1, 1, – 1) se obtiene: 
a + b – b + a = 2a  0 
 
D) No pertenece, ya que al reemplazar el punto (– 1, 1, 1) se obtiene: 
– a + b + b + a = 2b  0 
 
E) No es posible determinarlo, ya que al reemplazar el punto (1, – 1, – 1) se obtiene: 
a + (– b) + (– b) + a = 2a – 2b, resultado que no necesariamente es igual a 0. 
 
 
53. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Cuerpos geométricos 
Habilidad Aplicación 
 
Largo = 4 cm 
Ancho = 2 cm 
Alto = 3 cm 
 
Además, el área de un paralelepípedo es 2·(largo·ancho + ancho·alto + largo·alto). 
Entonces, reemplazando los valores, se tiene: 
 
Área paralelepípedo = 2 · (4 · 2 + 2 · 3 + 4 · 3) = 52 cm
2
 
 
54. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad ASE 
 
I) No es escaleno. Como P es un punto que está en el centro de la cara superior del 
cubo, entonces CPAP , ya que los vértices A y C son vértices no consecutivos 
de la cara inferior del cubo, por lo tanto ACP es isósceles. 
 
II) No es escaleno. Como P es un punto que está en el centro de la cara superior del 
cubo, entonces CPBP , ya que los vértices B y C son vértices consecutivos de la 
cara inferior del cubo, por lo tanto BPC es isósceles. 
 
III) No es escaleno. Como P es un vértice que está en la cara superior del cubo, 
entonces CDAD , ya que AD y CD son las diagonales de dos caras 
consecutivas del cubo, por lo tanto ADC es equilátero. 
 
Por lo tanto, los triángulos de las afirmaciones I, II y III no son escalenos. 
 
 
55. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Comprensión 
 
Sumando las alturas de cada barra del gráfico se obtiene el total de estudiantes. Entonces, 
5 + 7 + 13 + 18 + 15 = 58 estudiantes. 
 
A) Verdadera, ya que el total de estudiantes que rindieron la prueba fueron 58. 
 
B) Verdadera, ya que los estudiantes que tardaron menos de 40 minutos se obtiene 
sumando las frecuencias de los intervalos [0 , 20[ y [20 , 40[. Por lo tanto, sumando 
sus respectivas frecuencias resulta: 5 + 7 = 12 estudiantes. 
 
C) Falsa, ya que no es posible determinar si efectivamente hubo o no estudiantes que 
tardaron 100 minutos. Del histograma no es posible afirmarlo, son todos datos 
agrupados. 
 
D) Verdadera, ya que la cantidad de estudiantes que se encuentra en el intervalo [40 , 60[ 
es 13, luego 
58
13
< 
4
1
 
 
E) Verdadera, ya que la cantidad de estudiantes que tardaron a lo menos 60 minutos son 
los estudiantes que se encuentran en los intervalos [60, 80[ y [80,100]. Por lo tanto al 
sumar sus respectivas frecuencias resulta: 18 + 15 = 33 estudiantes. 
 
 
 
 
 
 
56. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
Para determinar el promedio(o media aritmética) a partir de la marca de clase, se calcula 
dicha marca de clase como el promedio de los extremos de cada uno de los intervalos, 
luego la tabla queda de la siguiente forma: 
 
Datos Frecuencia Marca de clase 
[a, 3a[ b + 2 2a 
[3a, 5a[ b - 3 4a 
[5a, 7a[ b + 1 6a 
[7a, 9a] b 8a 
Total de datos: 4b 
 
Por lo tanto el promedio a partir de la marca de clase queda de la siguiente forma: 
 
x = 
4b
8a·b1)6a·(b3)4a·(b2)2a·(b 
 (Factorizando por a) 
 
x = 
4b
4·b]1)3·(b3)2·(b2)2a[(b 
 (Distribuyendo) 
 
x = 
4b
4·b]33·b62·b22a[b 
 (Reduciendo términos semejantes) 
 
x = 
4b
1]-2a[10·b
 (Distribuyendo) 
 
x = 
4b
2a - 20·ab
 (Descomponiendo la fracción) 
 
x = 
4b
2a
4b
20·ab
 (Simplificando) 
 
x = 
2b
a
5a  
 
 
 
 
 
57. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Comprensión 
 
I) Falsa, ya que no es posible determinar el número de vehículos que consumen más 
de 16 litros de bencina. Puede existir el caso que en el intervalo [16, 20[, cuya 
frecuencia es 11, esos 11 repartidores consuman 16 litros de bencina. 
 
II) Verdadera, ya que el total de repartidores se determina sumando las frecuencias de 
cada uno de los intervalos. Por lo tanto: 5 + 8 + 11 + 6 = 30 repartidores. 
 
III) Verdadera, ya que los vehículos que consumen como mínimo 12 litros de bencina 
son los vehículos que están desde el intervalo [12, 16[ al intervalo [20, 24], luego 
al sumar los números de repartidores de cada intervalo es: 8 + 11 + 6 = 25 
vehículos. 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas. 
 
 
58. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad ASE 
 
Para analizar el gráfico, es conveniente realizar una tabla de distribución de frecuencias. 
 
Puntajes Nº de estudiantes Frecuencia Acumulada 
[350, 450[ 2 2 
[450, 550[ 6 8 
[550, 650[ 20 28 
[650, 750[ 32 60 
[750, 850] 20 80 
 
A) Verdadera, ya que el total de estudiantes que rindieron en ensayo es de 80. 
 
B) Verdadera, ya que el percentil 7 es el dato bajo el cual se encuentra el 7% de los 
datos. Luego para encontrar el intervalo en donde se encuentra el percentil 7 se realiza 
la siguiente operación: 6,5
100
780
7%
100%
x
80


 x . Luego el percentil 7 es 5,6 y 
ese dato se encontraría en el intervalo [450, 550[, según la columna de frecuencias 
acumuladas. 
 
C) Verdadera, ya que el decil 9 es equivalente al percentil 90, luego haciendo el mismo 
análisis de la alternativa anterior: 72
100
9080
x
90%
100%
x
80


 . Por lo tanto el 
decil 9 es 72, dato que está en el intervalo [750, 850]. 
 
D) Verdadera, ya que el segundo quintil es equivalente al percentil 40, luego realizando 
el mismo análisis de las alternativas anteriores: 32
100
4080
x
40%
100%
x
80


 . Por 
lo tanto el segundo quintil es 32, dato que se encuentra en el intervalo [650, 750[. 
 
E) Falsa, ya que el segundo cuartil es equivalente al percentil 50, luego realizando el 
mismo análisis de las alternativas anteriores: 40
100
5080
x
50%
100%
x
80


 . Luego 
el segundo quintil es 40 y se encuentra en el intervalo [650, 750[. 
 
 
59. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad ASE 
 
Si del conjunto M = {1, 1, 2, 2, 3} se extraen todas las muestras posibles de tamaño 2 (sin 
reposición y sin orden) entonces existen cinco posibles casos: 
 
Caso 1: Si se extrae el primer 1, los posibles valores de extracción del segundo dato son: 
{1, 2, 2, 3}. Luego las medias respectivas son: 
1,1x = 1
2
11


 , 2,1x = 5,1
2
3
2
21


, 2,1x = 5,1
2
21


, 3,1x = 2
2
31


 
 
Caso 2: Si se extrae el segundo 1, los posibles valores de extracción del segundo dato 
son: {1, 2, 2, 3}. Luego las medias respectivas son: 
1,1x = 1
2
11


 , 2,1x = 5,1
2
3
2
21


, 2,1x = 5,1
2
21


, 3,1x = 2
2
31


 
 
Caso 3: Si se extrae el primer 2, los posibles valores de extracción del segundo dato son: 
{1, 1, 2, 3}. Luego las medias respectivas son: 
1,2x = 5,1
2
12


, 1,2x = 5,1
2
12


, 2,2x = 2
2
22


, 3,2x = 5,2
2
32


 
 
Caso 4: Si se extrae el segundo 2, los posibles valores de extracción del segundo dato 
son: {1, 1, 2, 3}. Luego las medias respectivas son: 
1,2x = 5,1
2
12


, 1,2x = 5,1
2
12


, 2,2x = 2
2
22


, 3,2x = 5,2
2
32


 
 
Caso 5: Si se extrae el 3, los posibles valores de extracción del segundo dato son: 
{1, 1, 2, 2}. Luego las medias respectivas son: 
1,3x = 2
2
13


, 1,3x = 2
2
13


, 2,3x = 5,2
2
23


, 2,3x = 5,2
2
23

 
 
Además, la media de M es: x = 8,1
5
9
5
32211


 
 
 
Si se quiere conocer la mayor diferencia, en valor absoluto, entre las medias de todas las 
muestras y la media de M, ésta debe producirse entre la diferencia de la menor de las 
medias de las muestras y la media de M, o bien entre la diferencia de la mayor de las 
medias de las muestras y la media de M, entonces: 
 
|1 – 1,8| = |-0,8| = 0,8 
|1,8 – 2,5| = |0,7| = 0,7 
 
Por lo tanto la mayor diferencia que se produce entre la media de una muestra y la media 
de M es 0,8. 
 
 
60. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
Al lanzar 300 veces un dado común, de acuerdo a la tabla, se obtuvo 150 veces un 3 y 
150 veces un 5. Por lo tanto la media aritmética (o promedio) es: 
 
x = 4
300
200.1
300
15051503


 
 
Entonces la desviación estándar se determina de la siguiente manera: 
 
11
300
150150
300
150)1(150)1(
300
150)45(150)43( 2222






 
 
 
61. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
Si los puntajes de Andrés son 650, 700 y 750, entonces la media aritmética(o promedio) 
de los puntajes es: x = 700
3
2100
3
750700650


 
 
Entonces la desviación estándar de sus puntajes es: 
 
3
25002500
3
)50()0()50(
3
)700750()700700()700650( 222222 





 
3
25002 
 (Descomponiendo) 
 
3
2
50  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Comprensión 
 
Si X es una variable aleatoria que se distribuye de manera normal, con media μ = 18 y 
desviación estándar σ= 3. Para transformar la variable aleatoria X en una variable 
aleatoria Z de distribución normal tipificada, se realiza de acuerdo a la siguiente 
expresión: Z = 
σ
μX 
, Luego si se quiere conocer el valor de Z cuando X = 12, entonces: 
 
Z12 = 2
3
6
3
8121




 
 
 
63. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Comprensión 
 
Si X e Y se distribuyen de manera normal, ambas con media μ . Si yx σσ  , entonces: 
 
I) Verdadera, ya que entre más pequeña sea la desviación estándar, menos dispersos 
son los datos y, por lo tanto, la curva se hace más alta. Por lo tanto la curva de Y 
es más alta que la curva de X. 
 
II) Falsa, ya que el área bajo la curva en ambas distribuciones debe contener al 100% 
de sus respectivos datos, es decir que en ambas curvas el área bajo ellas es 1. 
 
III) Falsa, ya que el valor máximo de cada curva es determinado por la media μ . 
Como ambas distribuciones poseen la misma media, entonces sus máximos se 
ubican bajo la misma posición. 
 
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera. 
 
 
64. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
Como a cada una de las cuatro personas que participan en la carrera se les regala una 
polera, de la cual hay siete colores distintos para elegir y ninguno se repite, entonces para 
conocer de cuantas maneras distintas esas cuatro personas pueden hacer su elección se 
puede utilizar el principio multiplicativo: 
 
 
 
 
 
 
Colores: 7 para elegir · 6 para elegir · 5 para elegir · 4 para elegir = 840 
 
Personas: 1º 2º 3º 4º 
 
Por lo tanto, las cuatro personas tienen 840 maneras distintas para elegir una polera de un 
color determinado. 
 
 
65. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
Caja A: {3 bolitas rojas, 2 azules} 
Caja B: {4 bolitas amarillas, 2 bolitas rojas} 
Si se extrae de cada caja una bolita de manera alternada, sin reposición y comenzando 
con la caja A, se tiene: 
 
Pcaja A(Azul) · Pcaja B(Roja) · Pcaja A(Roja|Azul) · Pcaja B(Amarilla|Roja) = 
5
4
4
3
6
2
5
2
 
 
=
25
2
600
48
 
 
 
66. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
Al responder cinco preguntas de verdadero y falso al azar, se está dando el mismo caso de 
lanzar una moneda cinco veces. Luego, calcular la probabilidad de que tres estén 
correctas y dos estén incorrectas es lo mismo que calcular la probabilidad de que en tres 
monedas salga cara y en dos salga sello (o viceversa, que es la misma). 
 
Este análisis es posible realizarlo con el triángulo de Pascal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
5
c
a
ra
s 
/ 
0
 s
e
ll
o
 
4
 c
a
ra
s 
/ 
1
 s
e
ll
o
 
3
 c
a
ra
s 
/ 
2
 s
e
ll
o
s 
2
 c
a
ra
s 
/ 
3
 s
e
ll
o
s 
1
 c
a
ra
s 
/ 
4
 s
e
ll
o
s 
0
 c
a
ra
s 
/ 
5
 s
e
ll
o
s 
Según este, al lanzar cinco monedas hay 32 posibles resultados distintos, de los cuales, en 
10 de ellos salen tres caras y dos sellos. Luego, la probabilidad de este resultado es 
32
10
. 
 
Por lo tanto, la probabilidad de que tres de las preguntas estén correctas y dos estén 
incorrectas es 
32
10
. 
 
 
67. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
Como a la reunión asistieron 500 jóvenes, de los cuales dos quintos son mujeres, 
entonces la cantidad de mujeres que asistieron son: 200500
5
2
 mujeres, por lo tanto la 
cantidad de hombres son: 500 – 200 = 300. 
 
De las mujeres, la mitad prefiere el rol de magos, por lo tanto las mujeres que prefieren el 
rol de magos es: 100 mujeres. Un octavo de las mujeres prefiere el rol de luchador, por lo 
tanto la cantidad de las mujeres que prefieren dicho rol es: 200
8
1
 = 25 mujeres. Si el 
resto de las mujeres prefiere el rol de lanzador, entonces la cantidad de ellas que prefiere 
dicho rol es: 200 – 100 – 25 = 75 mujeres. 
 
De los hombres(300), 
3
1
 prefiere ser lanzadores, entonces: 300
3
1
 = 100 hombres que 
prefieren el rol de lanzador. 
5
2
de los hombres prefiere el rol de luchador, esto es 
300
5
2
 = 120 hombres prefieren dicho rol. Si el resto de los hombres prefiere ser mago, 
entonces 300 – 100 – 120 = 80 hombres prefieren ser magos. 
 
Si se escoge una persona al azar, entonces para determinar la probabilidad de escoger a 
una mujer que prefiera el rol de lanzador o a un hombre que prefiera el rol de mago 
conviene hacer una tabla 
 
Sexo Magos Luchadores Lanzadores 
Hombres 80 120 100 
Mujeres 100 25 75 
 
Entonces, P(Mujer lanzadora u Hombre mago) = P(Mujer lanzador) + P(Hombre mago) 
 
P(Mujer lanzadora u Hombre mago) = 
500
75
+ 
500
80
= 
500
155
= 
100
31
 
 
 
 
 
68. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
Si la caja contiene tarjetas con las letras de la palabra NEUMÁTICO, entonces hay 5 
tarjetas con una vocal y 4 tarjetas con una consonante. Si se extrae 4 tarjetas, sin 
reposición y se define la variable aleatoria X como el número de vocales extraídas, 
entonces X puede tomar valores: 
 
0 vocales se extrae 4 consonantes. 
1 vocal  se extrae 1 vocal y 3 consonantes. 
2 vocales  se extrae 2 vocales y 2 consonantes. 
3 vocales  se extrae 3 vocales y 1 consonante. 
4 vocales  se extrae 4 vocales. 
 
Por lo tanto los valores que puede tomar la variable aleatoria X es: {0, 1, 2, 3, 4} 
 
 
69. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad ASE 
 
I) Falsa, ya que no se puede asegurar que la mayor parte de las extracciones sea una 
ficha de color amarillo. 
 
II) Verdadera, ya que la ley de los grandes números predice que teóricamente la 
cantidad de veces que se extrae una ficha de color verde o una ficha de color azul 
tiende a ser la frecuencia relativa de extraer una ficha verde o la ficha azul. Como 
la probabilidad de extraer una ficha verde es 
4
1
= 0,25 = 25% y la probabilidad 
de extraer una ficha azul es 
4
1
= 0,25 = 25%, teóricamente el número de veces que 
se extrae una ficha verde o una ficha azul es el mismo. 
 
III) Verdadera, ya que siel experimento se realiza 280 millones de veces, según la 
Ley de los Grandes Números teóricamente en 
4
1
 de los lanzamientos se puede 
extraer una ficha azul, entonces 
4
1
· 280 millones = 70 millones de veces. 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
Si Diego lanza una moneda dos veces, ganará $500 si obtiene dos caras y perderá $200 en 
cualquier otro caso. Por lo tanto los posibles resultados del juego son: 
 
{Cara, cara} Gana $500 
{Cara, Sello} Pierde $200 
{Sello, cara} Pierde $200 
{Sello, sello} Pierde $200 
 
Si se define la variable aleatoria X de la siguiente manera: 
 
 Gana $500, si salen dos caras 
 X = 
 Pierde $200, en otro caso 
 
Por lo tanto las probabilidades de ganar o perder dinero son: 
P(ganar $500) = 
4
1
 
P(perder $200) = 
4
3
 
 
Entonces el valor esperado (esperanza matemática) del resultado del juego de Diego es: 
 
E(X) = 500 · 
4
1
 - 200· 
4
3
 = 125 – 150 = -25. Por lo tanto el valor esperado es que Diego 
pierda $25. 
 
 
71. La alternativa correcta es C . 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad ASE 
 
Se definen los eventos: 
 
A: Botellas producida por la máquina A 
B: Botellas producidas por la máquina B 
BD: Botellas defectuosa. 
 
Se debe calcular la probabilidad de que la botella haya sido fabricada por la máquina A 
siendo que venía defectuosa. Es decir, el evento A está condicionado por el evento BD. 
 
P(BD)
BD)P(A
P(A/BD)

 
 
Si sabemos que la máquina A produce en total 5000 botellas y la máquina B un total de 
3000, entonces la fábrica produce en total 8000 botellas. Además se sabe que la 
probabilidad de que una botella en buen estado se fabrique en la máquina A es de un 
95%, por lo tanto la probabilidad de que venga defectuosa es del 5%, mientras que la 
probabilidad de que salga en buen estado de la máquina B es de 94%, por lo tanto que 
venga defectuosa de la máquina B es de 6%. Entonces: 
 
P(BD)
BD)P(A
P(A/BD)

 = 
BD)P(BBD)P(A
BD)P(A


 
 
 
P(B)·P(BD)P(A)·P(BD)
P(BD) · P(A)
P(A/BD)

 
 
100
6
 · 
8000
3000
100
5
8000
5000
100
5
8000
5000
P(A/BD)


 = 
800
18
800
25
800
25

=
800
43
800
25
= 
43 · 800
800 · 25
= 
43
25
 
 
Por lo tanto la probabilidad de escoger una botella fabricada por la máquina A, sabiendo 
que ésta es defectuosa es de 
43
25
. 
 
 
72. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad ASE 
 
X = cantidad de 3 obtenidos al lanzar un dado. Por lo tanto la variable aleatoria X solo 
puede tomar dos valores: X = 0 (ningún 3), X = 1(se obtiene un 3) 
 
Por lo tanto P(X = 0) = 
6
5
 y P(X = 1) = 
6
1
 
Por lo tanto la altura de la barra m = 0 debe ser hasta 
6
5
 y la altura de la barra m = 1 debe 
ser hasta 
6
1
. 
Como la línea L pasa por 
6
5
 y la recta J pasa por 
6
1
, entonces la barra de m = 0 y la barra 
de m = 1 deben llegar hasta L y J, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad ASE 
 
X es una variable aleatoria con distribución normal tipificada. 
Como P(-aX a) = b P(X -a) = P(X a), por la simetría de la gráfica de la 
distribución normal tipificada. Entonces: 
 
P(X -a) + P(-aX a) + P(X a) = 1 (Reduciendo términos y reemplazando) 
 
2·P(X a) + b = 1 (Despejando) 
 
P(X a) = 
2
b1
 P(X -a) = 
2
b1
 
 
Además se sabe que P(X c) = d. Como 0 < c < a, entonces: 
 
P(cX a) = P(X c) - P(X a) (Reemplazando los valores) 
 
P(cX a) = d - 
2
b1
 (Desarrollando) 
 
P(cX a) = 
2
12db
2
b 12d 


 
 
74. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad ASE 
 
(1) a b = 2. Con esta información y la del enunciado no es posible determinar el valor 
numérico de a, ya que si a = 1, b = 2; a = 2, b = 1; a = -1, b = -2; a = -2, b = – 1. 
 
(2) a < b < c. Con esta información y la del enunciado no es posible determinar el valor 
numérico de a, ya que se desconoce el valor numérico de b y c. 
 
Con ambas informaciones, no es posible determinar el valor numérico de a, ya que los 
valores de a que cumplen con ambas informaciones son: a = – 2, si b = – 1, y a = 1, si 
b = 2. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer grado 
Habilidad ASE 
 
Se define M como el dinero que recibe Matías, F como el dinero que recibe Felipe y B 
como el dinero que recibe Bárbara, entonces del enunciado se establece que: 
 
M + F + B =6.00000 
M = F + B 
 
(1) Felipe recibe la mitad de lo que recibe Bárbara. Con esta información es posible 
determinar cuánto recibe cada uno. De la información se establece que: 
F = 
2
B
2F = B 
Por lo tanto se forma el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
M + F + B = 6.00000 
M = F + B 
2F = B 
 
El cual se puede resolver, reemplazando la segunda ecuación en la primera. 
 
(2) Matías recibe el triple de lo que recibe Felipe. Con esta información es posible 
determinar cuánto dinero recibe cada uno. De la información se desprende que 
M = 3F. 
Por lo tanto se forma el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
M + F + B = 6.00000 
M = F + B 
M = 3F 
 
Luego, se pueden encontrar los valores de M, F y B. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola, (1) ó (2) 
 
 
76. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad ASE 
 
f(x) = x
2
 – ax – a + 1el gráfico intersecta al eje de las abscisas en los puntos (x1 , 0) y 
(x2 , 0). 
 
(1) a es un entero positivo. Con esta información no es posible determinar los puntos de 
intersección del gráfico con el eje de las abscisas, ya que se desconoce el valor de a. 
 
(2) a2 = 16. Con esta información no es posible determinar los puntos de intersección del 
gráfico con el eje de las abscisas, ya que si a
2
 = 16 a = 4 ó a = – 4, por lo que 
habrían dos posibles funciones, estas son: 
si a = 4  f(x) = x
2
 – 4x – 4 +1  f(x) = x
2
 – 4x – 3 
 
si a = -4  f(x) = x
2
 + 4x +4 +1  f(x) = x
2
 + 4x +5 
Cada una de ellas con sus respectivos puntos de intersección con el eje de las 
abscisas. 
 
Con ambas informaciones, es posible determinar las intersecciones del gráfico con el eje 
de las abscisas. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2) 
 
 
77. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad ASE 
 
Si la recta L pasa por el origen y M un punto sobre la parte positiva del eje y, entonces M 
tiene la forma: M(0, y), con y > 0. 
 
(1) La ordenada de M es 3. Con esta información no es posible encontrar el punto 
simétrico de M respecto a la recta L, ya que el punto M es de la forma M(3, 0). Sin 
embargo, como solo se sabe que la recta L pasa por el origen, hay infinitas rectas que 
pasan por el origen, tanto crecientes como decrecientes. 
 
(2) L es creciente. Con esta información no es posible encontrar el punto simétrico de M 
respecto a la recta L, ya que se desconoce las coordenadas del punto M y por el 
origen pasan infinitas rectas crecientes. 
 
Con ambas informaciones, no es posible encontrar el punto simétrico de M, ya que de la 
primera condición se tiene que M(3, 0) y de la segunda se tiene que L es creciente, sin 
embargo hay infinitas rectas crecientes que pasan por el origen, por lo que no hay un solo 
punto simétrico de M. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional. 
 
 
78. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad ASE 
 
(1) L intersecta al eje X en el punto (p, 0). Con esta información es posible determinar el 
valor numérico de k, ya que se puedereemplazar el punto en la ecuación de la recta. 
 
(2) L intersecta al eje Y en el punto (0, p). Con esta información no es posible determinar 
el valor numérico de k, ya que al reemplazar el punto en la ecuación de la recta L se 
tiene: k · 0 + p = p  p = p 
 
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola. 
 
 
 
 
79. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad ASE 
 
 
(1) El rango de la muestra es 12. Con esta información y la del enunciado no es posible 
determinar la varianza del conjunto de números, ya que si a < b < c, entonces el rango 
será: c – a = 12. Pero no hay mayor información respecto al valor de b. 
Si se observa en la recta numérica: 
 
 
 
 
 
 
(2) b es igual a la media aritmética (o promedio) de la muestra. Con esta información no 
es posible determinar la varianza del conjunto, ya que se desconocen los valores de a, 
b y c. Sin embargo, dado que a < b < c, eso quiere decir que son números distintos 
ente sí, por lo que b corresponde a un número que se ubica en la mitad entre a y c. En 
la recta numérica se observa: 
 
 
 
 
 
 
Con ambas juntas, es posible determinar la varianza del conjunto de números, ya que de 
la primera condición se tiene que c – a = 12 y de la segunda condición b está en medio de 
a y c. Luego, como se observa en la recta numérica: 
 
 
 
 
 
 
 
La varianza se puede obtener mediante la fórmula: 
3
)()()( 2222 cxbxax  , de 
la recta numérica se obtiene que 6)(  ax , 0)( bx y 6)(  cx , y con ello se 
puede llegar a un valor para la varianza. 
 
 
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
a b c 
 
 
 12 
a b c 
 
 
 x x 
a b c 
 
 
 6 6 
80. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad ASE 
 
(1) En la bolsa hay 40 fichas. Con esta información no es posible determinar la 
probabilidad de extraer una ficha con la letra B, ya que se desconoce la cantidad de 
fichas con la letra A, B y C que hay en la bolsa. 
 
(2) La cantidad de fichas con la letra C es el doble de la cantidad de fichas con la letra A 
y el doble de la cantidad de fichas con la letra B. Con esta información es posible 
determinar la probabilidad de extraer una ficha con la letra B. Si llamamos x a la 
cantidad de fichas con la letra A, y a la cantidad de fichas con la letra B y z a la 
cantidad de fichas con la letra C, entonces: 
 
 
Total de fichas en la bolsa = x + y + z 
 
Como z = 2x = 2y entonces x = y 
 
Por lo tanto el total de fichas en la bolsa es: x + x + 2x = 4x. Entonces 
 
P(Extraer una ficha con la letra B) = 
4x
x
= 
4
1
 
 
 
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.