Ensayo Cpech 034 - Matemáticas (2015) (E) - Antonia Salinas

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ensayo MT-034
sI
M
eX
4L
Ca
02
58
6V
1
Matemática
en
sC
es
M
T0
34
-a
15
V1
Matemática 
1. Esta prueba consta de 80 preguntas, de las cuales 75 serán 
consideradas para el cálculo del puntaje. Cada pregunta 
tiene 5 opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una 
sola de las cuales es la respuesta correcta.
2. Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.	 Marque	su	respuesta	en	la	fila	de	celdillas	que	corresponda	
al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca 
completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. 
Hágalo	exclusivamente	con	lápiz	de	grafito.
4. NO se descuenta puntaje por respuestas erradas. 
5.	 Lea	atentamente	las	instrucciones	específicas	para	responder	
las preguntas Nº 74 a Nº 80 de esta prueba, en donde se 
explica la forma de abordarlas.
6.	 Las	 figuras	 que	 aparecen	 en	 la	 prueba	 NO	 ESTÁN	
necesariamente dibujadas a escala. 
7.	 Si	lo	desea,	puede	utilizar	este	folleto	como	borrador.
8. Cuide la hoja de respuestas. No la doble, ni la manipule 
innecesariamente. Escriba en ella solo los datos pedidos y 
las respuestas.
9. Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, 
porque estos son de su exclusiva responsabilidad. Cualquier 
omisión o error impedirá que se entreguen sus resultados.
INSTRUCCIONES
Matemática 
en
sa
yo1. ¿A cuánto equivale la cuarta parte del cuarto de 14 ?
 A) 164
 B) 1
16
 C) 112
 D) 14
 E) 4
2.	 En	un	curso	de	36	alumnos,	la	mitad	son	hombres.	Si	la	sexta	parte	
de las mujeres son altas y la tercera parte de los hombres son bajos, 
¿cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
 I) Hay exactamente 12 hombres que NO son bajos.
 II) Hay exactamente 3 mujeres que son altas.
 III) Hay exactamente 12 mujeres que NO son altas.
	 A)	 Solo	II
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	I	y	III
 E) Ninguna de ellas.
3.	 Un	 club	 deportivo	 está	 formado	 por	 39	 hombres	 y	 62	mujeres.	 Se	
desea formar equipos lo más numerosos posible, con el mismo 
número de integrantes, de manera que en cada uno de los equipos 
la	cantidad	de	mujeres	sea	el	doble	de	la	cantidad	de	hombres.	Si	se	
forman 7 equipos con estas condiciones, ¿cuántas personas del club 
no formarán parte de los equipos?
 A) 4
 B) 8
 C) 10
 D) 17
 E) 23
Cpech Preuniversitarios 3
ensayo Matemática 
4.	 Sean	a y b dos números enteros tales que a > 0 y b = – a. ¿Cuál(es) 
de las siguientes expresiones es (son) siempre menor(es) que b?
 I) – a + ab
 II) a + b
 III) a
2
 – 2b
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	III
	 D)	 Solo	I	y	II
	 E)	 Solo	I	y	III
5. (– 2)
3
5
 – 2(– 5)2 = 
 A) – 18125
 B) – 13
 C) – 1
 D) – 3825
 E) – 4225
Cpech Preuniversitarios4
Matemática 
en
sa
yo6. La expresión (203 + 203 + 203 + 203) es equivalente a 
 I) 4 • 203
 II) 803
 III) 2012
 Es (son) verdadera(s) 
 A) solo I.
 B) solo III.
 C) solo I y II.
 D) solo II y III.
 E) I, II y III.
7.	 Si	m	=	4	• 103 y p = 0,0005, entonces (m • p2) es equivalente a
 A) 0,0002
 B) 0,001
 C) 0,1
 D) 4
 E) 10
8. Al efectuar las siguientes operaciones, ¿en cuál(es) de ellas el 
resultado es un número irracional?
 I) �3 • �12
 II) �5 • 2�5 
 III) �2
�162 
	 A)	 Solo	en	I
	 B)	 Solo	en	III
	 C)	 Solo	en	I	y	en	III
	 D)	 Solo	en	II	y	en	III
 E) En ninguna de ellas.
Cpech Preuniversitarios 5
ensayo Matemática 
9.	 Si	x e y son números reales positivos, ¿cuál(es) de las siguientes 
afirmaciones	es	(son)	siempre verdadera(s)? 
 I) �x + �x = �2x 
 II) �x4y = x2y 
 III) �12y : �3 = 2�y 
	 A)	 Solo	II
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	I	y	III
 E) Ninguna de ellas.
10.	 Si	p es un número positivo, entonces la expresión ( �2p2p 13 ) es igual a
 A) 
�2
2
 • p
 
 B) 
�2
2
 • p
2
3
 C) 
�2
2
 • p
1
6
 D) (2p)
1
6
 E) (2p)
2
3
Cpech Preuniversitarios6
Matemática 
en
sa
yo11.	 Si		4	• log a = 1, con a > 1, entonces (log�a) es igual a
 A) 1 16
 B) 1 8
 C) 1 4
 D) 1 2
 E) 2
12.	 Si	log	x	=	2	–	3	• log 5 + 2 • log 3, el valor de x es
 A) 2 + 32 – 53
 B) – 7 
 C) 7,2 
 D) 15
 E) 20
13.	 Si	m	=	log2 3, p = log3 2 y q = log4 7, entonces el orden correcto es
 A) p < m < q
 B) m < p < q
 C) q < p < m
 D) m < q < p
 E) p < q < m
14.	 Si	�23 es aproximadamente 0,126, ¿cuál de los siguientes valores se 
aproxima más a �0,4323 ?
 A) 0,021
 B) 0,042 
 C) 0,0504
 D) 0,063
 E) 0,0756
Cpech Preuniversitarios 7
ensayo Matemática 
15.	 Si	z	=	(2	–	3i),	con	i	la	unidad	imaginaria,	¿cuál	es	la	parte	real	de
 (z + 2) • (z – 2)?
 A) – 12
 B) – 9
 C) – 1
 D) 1
 E) 9
16. El número complejo z = 2m – 2i1 – i , con m un número real e i la unidad 
imaginaria, se puede expresar como
 A) (m + 1) + (1 – m) • i
 B) (m – 2)
 C) (m – 1) + (m – 1) • i
 D) (m + 1) + (m – 1) • i
 E) (m – 2) • i
17. Al factorizar la expresión (3xq – 3yq + y – x), se obtiene
 A) (y – x)(1 – 3q)
 B) (x – y)(3q + 1)
 C) (y – x)(3q – 1)
 D) 3q(x – y + 1)
 E) 3(x – y)(q – 1)
Cpech Preuniversitarios8
Matemática 
en
sa
yo18.	 Si	P	=	(a	+	1)2 y Q = a2 – 1, con a un número entero positivo, entonces 
el cuociente entre el sucesor de Q y el antecesor de P es siempre 
equivalente a 
 A) 1
 B) a – 1a + 1
 C) a + 1a – 1
 D) aa + 1
 E) aa + 2 
19. Al despejar m	 de	 la	 expresión	 p(m	+	 a)	 =	 a(m	–	 p),	 con	 a	 ≠	 p,	 el	
resultado es
 A) 2apa – p
 B) 0
 C) ap
 D) 2app – a
 E) p – a 
20.	 Si	x6 – y6 = p, x3 + y3 = q y x – y = z, entonces p
qz
 , con q y z 
distintos de cero, es igual a
 A) x2 – y2
 B) x2 + 2xy + y2
 C) x2 + xy + y2
 D) x2 + y2
 E) x2 – 2xy + y2
Cpech Preuniversitarios 9
ensayo Matemática 
21.	 Si	x2	≠	y2	e	y	≠	0,	entonces	la	expresión	( 1x + y + 1x – y ) : 2yx2 – y2 es 
equivalente a 
 A) xy
 B) 4xy
 C) 1
 D) yx2 – y2
 E) x
2 – y2
2xy
22. La suma de dos números es 48 y su cuociente es 3, ¿cuál es el valor 
del número mayor?
 A) 12
 B) 24
 C) 36
 D) 45
 E) Ninguno de los valores anteriores.
23. Las raíces (o soluciones) de la ecuación 2x2 + 6x = 56, son
 A) – 7 y 8 
 B) – 7 y 4
 C) 7 y – 4 
 D) 7 y 8
 E) ninguna de las raíces (o soluciones) anteriores.
Cpech Preuniversitarios10
Matemática 
en
sa
yo24.		Si	 el	 triple	 de	 un	 número	 se	 disminuye	 en	 4	 unidades,	 resulta	 un	
número menor o igual que 14. Entonces, el máximo valor que puede 
tomar el número es
 
 A) 103
 B) 6
 C) 15
 D) 18
 E) ninguno de los valores anteriores. 
25. El conjunto solución del sistema de inecuaciones x < 2(1 – x)
4	≤	x	+	5
, es
 A) [– 1, 1[
 B) ]– ∞, – 1]
 C) – ∞, 23 
 D) – 1, 2
3
 
 E) ∅
26. ¿Cuál de las siguientes funciones está mejor representada en la 
gráfica?
x
y
3
– 3
 A) f(x) = 3
 B) g(x) = – 3
 C) h(x) = 3x 
 D) m(x) = x
 E) n(x) = – x
Cpech Preuniversitarios 11
ensayo Matemática 
27.	 ¿Cuál	 de	 los	 siguientes	 gráficos	 representa	mejor a la recta cuya 
ecuación es y – x – 1 = 0?
 A) y
1
x
 B) y
1 x
C) y
1
– 1
x
 D) y
1
1
x
E) y
– 1
– 1
x
28.	 Sea	g(x)	= ( 11 – x ), con x un número real distinto de 1. ¿Cuál es el 
 valor numérico de g(g( – 32 ))?
 A) 13
 B) – 35
 C) 25
 D) 53
 E) – 23
Cpech Preuniversitarios12
Matemática 
en
sa
yo29. El dominio de la función real h(x) = �3x – 15, es 
 A) IR – {5}
 B) IR – {15}
 C) [15, + ∞[
 D) [– 5, + ∞[
 E) [5, + ∞[
30. La solución de la ecuación 4 • 82x – 1 – 163x – 4 = 0, es
 A) 16
3
 
 B) 156
 C) 615
 D) – 6
15
 
 E) – 156
31.	 Si	x es un número real, ¿cuál de las siguientes funciones queda mejor 
representada	por	la	curva	del	gráfico	adjunto?	
y
x
 A) f(x) = ( 23 )
x
 – 2
 B) g(x) = ( 53 )
x
 – 1
 
 C) h(x) = ( 54 )
x
 – 2
 D) p(x) = ( 34 )
x
 E) m(x) = ( 25 )
x
 – 1 
Cpech Preuniversitarios 13
ensayo Matemática32.		Sea	g(x)	=	log(ax),	con	a y x	números	reales	positivos.	Si	g(50)	=	5,	
entonces g( 1200 ) es igual a
 A) – 1
 B) 12
 C) 0
 D) 1
 E) 2
33. ¿Cuál de las siguientes funciones está mejor representada por la 
parábola	del	gráfico?
y
x
 A) f(x) = x2 + x 
 B) g(x) = x2 – 1 
 C) h(x) = x2 + 1 
 D) m(x) = (x + 1)2 
 E) p(x) = x2 – x
Cpech Preuniversitarios14
Matemática 
en
sa
yo34.	 ¿Cuál	de	los	siguientes	gráficos	representa	mejor a la función
 p(x) = (x – 1)5 en los reales?
 A) y
x
 B) y
x
C) y
x
 D) y
x
E) y
x
35. Según	la	figura,	¿cuál	es	el	vector	de	traslación	que	lleva	el	punto	A	
hasta el punto B?
x
y
A
B
3
2
– 2
– 4
 A) (6, 5) 
 B) (6, – 5)
 C) (5, 6)
 D) (– 5, – 6)
 E) (– 6, – 5)
36.		Si	 al	 punto	 (2,	 –	3)	 se	 le	aplica	una	 rotación	negativa	de	270º	 con	
respecto al origen, el nuevo punto es
 
 A) (– 3, – 2) 
 B) (– 2, – 3)
 C) (– 2, 3) 
 D) (3, – 2) 
 E) (3, 2)
Cpech Preuniversitarios 15
ensayo Matemática 
37.	 Al	 triángulo	 PQR	 de	 la	 figura	 se	 le	 realiza	 una	 simetría	 axial	 con	
respecto al lado RQ y luego una simetría central con respecto al 
vértice	P.	¿Cuál	de	las	siguientes	figuras	representa	mejor al triángulo 
después de aplicarle dichas transformaciones? 
P Q
R
 A) B) C) 
 D) E) 
38.	 Sea	L:	y	=	mx	+	n	una	recta	en	el	plano	cartesiano,	con	m y n reales 
distintos de cero. ¿Con cuál(es) de las siguientes transformaciones 
isométricas, aplicadas sobre L, se obtiene siempre una recta paralela 
a L?
 I) Una traslación según el vector (0, 2).
 II) Una rotación de 180° en torno al origen.
 III) Una simetría con respecto al eje X. 
	 A)	 Solo	con	I
	 B)	 Solo	con	I	y	con	II
	 C)	 Solo	con	II	y	con	III
 D) Con I, II y III
 E) Con ninguna de ellas.
Cpech Preuniversitarios16
Matemática 
en
sa
yo39.	 Si	A(5,	–	2)	y	B(–	7,	6),	¿cuál	es	el	punto	medio	del	trazo	AB?
 A) (12, – 8)
 B) (6, – 4)
 C) (– 2, 4)
 D) (– 6, 4)
 E) (– 1, 2)
40.	 En	el	triángulo	ABC	de	la	figura,	AD ≅ DB y DE es paralelo a BC. ¿En 
qué razón se encuentran las áreas de los triángulos ADE y ABC?
A
B C
D E
 A) 1 : 1
 B) 1 : 2
 C) 1 : 3
 D) 1 : 4
 E) 2 : 3
41. En	la	figura,	AB // CD y AD ⊥ BC.	Si	AB	=	10,	ED	=	12	y	CE	=	16,	
entonces ¿cuál es el valor del trazo AE?
A
E
C D
B A) 5
 B) 6 
 C) 7,5
 D) 8
 E) Faltan datos para determinarlo. 
42. En	la	figura,	P	es	un	punto	situado	en	la	prolongación	del	trazo	AB.	Si	
AB = 36 cm y	AP	:	BP	= 7 : 3, entonces las medidas de AP y BP son, 
respectivamente
A B P
 A) 9 cm y 27 cm
 B) 45 cm y 9 cm
 C) 63 cm y 27 cm
 D) 63 cm y 36 cm
 E) 36 cm y 27 cm
Cpech Preuniversitarios 17
ensayo Matemática 
43. El	 triángulo	ACB	de	 la	 figura	es	 rectángulo	en	C.	¿Cuánto	mide	el	
perímetro del triángulo?
BC
A
8 cm 17 cm
 A) 60 cm
 B) 40 cm
 C) 34 cm
 D) 15 cm
 E) Ninguna de las medidas anteriores.
44. ¿En	cuál(es)	de	las	siguientes	figuras	se	cumple	que	m2 = n • r? 
 I) 
n
r
m
 II)
n
r
m
 III) 
n
r m
A)	 Solo	en	I
B)	 Solo	en	II
C)	 Solo	en	I	y	en	II
D)	 Solo	en	II	y	en	III
E) En I, en II y en III
45.	 En	la	circunferencia	de	centro	O	de	la	figura,	∠ BCD = 20° y ∠ EAB = 120°. 
Si	A,	B,	C,	D	y	E	pertenecen	a	la	circunferencia,	¿cuál(es)	de	las	siguientes	
afirmaciones	es	(son)	FALSA(S)? 
A
C
E
D
B
O
	 I)		 Ángulo	COB	=	140°
 II) Arco EC = 100°
 III) Arco BE = 180°
	 A)	 Solo	II
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) Ninguna de ellas.
Cpech Preuniversitarios18
Matemática 
en
sa
yo46.	 En	la	circunferencia	de	la	figura,	las	cuerdas	AC y BD se intersectan 
en	el	punto	P.	Si	PC mide 5 cm más que AP,	BP	=	7	cm	y	PD	=	18	cm,	
entonces la cuerda AC mide
 
A
B
C
P
D A) 21 cm
 B) 23 cm
 C) 25 cm
 D) 25,2 cm
 E) 30,2 cm
47. Dada la recta de ecuación x – y + 2 = 0, ¿cuál(es) de las siguientes 
afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?							
	 I)	 Su	pendiente	es	negativa.
 II) Corta al eje X en el punto (2, 0).
 III) Corta al eje Y en el punto (0, 2).
	 A)	 Solo	II
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) I, II y III
Cpech Preuniversitarios 19
ensayo Matemática 
48. ¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor	la	solución	gráfica	
del sistema x + y = 1
x – y = 3
 ?
 A) y
x
 B) y
x
C) y
x
 D) y
x
E) y
x
49.	 En	la	figura,	una	homotecia	de	centro	O	transforma	un	cuadrado	de	
lado	3	cm	en	un	cuadrado	de	lado	5	cm.	Si	OQ	=	40	cm,	¿cuál	es	la	
medida	del	segmento	PQ?	
Q
P
O
 A) 10 cm
 B) 15 cm 
 C) 16 cm
 D) 24 cm
 E) 25 cm
Cpech Preuniversitarios20
Matemática 
en
sa
yo50.	 En	la	figura,	PQRS	es	un	rombo	ubicado	en	el	espacio.	Las	coordenadas	
del vértice R son
z
S
P
Q
1
1
1
x
y
R
 A) (– 1, 1, 1)
 B) (1, 1, 2)
 C) (– 1, 2, 2) 
 D) (1, 1, 1)
 E) (2, 2, – 1) 
51.	 Si	t toma valores reales, ¿cuál de los siguientes puntos pertenece a la 
recta v(t) = (– 1, 3, 2) + t • (1, – 2, – 3)? 
 A) (– 2, 1, 5)
 B) (2, – 3, 7) 
 C) (1, – 2, – 4)
 D) (– 3, 7, 8) 
 E) (0, 1, – 2)
52.	 Sea	un	triángulo	ABC,	rectángulo	en	C.	Si	AB	=	9	y	BC	=	6,	¿cuál	es	
el	volumen	del	cuerpo	generado	al	girar	indefinidamente	el	triángulo	
en torno al lado AC?
 A) 18�5π
 B) 54π
 C) 36�5π
 D) 90π
 E) 108�5π
Cpech Preuniversitarios 21
ensayo Matemática 
53.	 En	 la	 figura	 se	muestra	 un	 recipiente	 abierto	 en	 la	 parte	 superior,	
con	forma	exterior	cúbica	de	lado	10	cm.	Si	todas	las	caras	laterales	
y la cara inferior tienen un espesor constante de 2 cm, ¿cuál es la 
capacidad interior máxima del recipiente?
 A) 216 cm3
 B) 288 cm3
 C) 360 cm3
 D) 512 cm3
 E) 712 cm3
54. La tabla adjunta representa una distribución de frecuencias. Con 
respecto	a	dicha	muestra,	¿cuál(es)	de	 las	siguientes	afirmaciones	
es (son) verdadera(s)?
Dato Frecuencia
3 8
4 6
5 4
6 2
 I) La moda es 3.
 II) La mediana es 3,5.
 III) El promedio (o media aritmética) es 4.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) I, II y III
Cpech Preuniversitarios22
Matemática 
en
sa
yo55. La tabla adjunta muestra la frecuencia de los puntajes obtenidos por 
un curso de 40 alumnos en una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes 
afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
 I) La moda de los puntajes es 15.
 II) La media aritmética de los puntajes es 27,5.
 III) El 25% de los alumnos obtuvo 40 puntos.
Puntaje 10 20 30 40
Alumnos 5 10 15 10
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II	
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) I, II y III
56. Una empresa realizó una encuesta telefónica para determinar cuántos 
televisores compraron las familias durante los últimos 10 años. 
Respecto	de	los	resultados	recogidos	que	se	muestran	en	el	gráfico	
adjunto, se puede asegurar que
 I) las familias encuestadas fueron 80.
 II) la media aritmética del número de televisores por familia en 
estos 10 años fue, aproximando al entero, 5 televisores.
 III) la moda del número de televisores fue 25.
2 4 6 8
Nº de
televisores
25
20
15
10
5
Frecuencia Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo I y II.
 C) solo I y III.
 D) solo II y III.
 E) I, II y III.
Cpech Preuniversitarios 23
ensayo Matemática 
57. En la tabla adjunta se muestra el resultado de un examen tomado a 
un grupo de alumnos en una universidad. El decil 7 de la muestra se 
encuentra en el intervalo
Puntaje Frecuencia
1 – 10 4
11 – 20 10
21 – 30 14
31 – 40 16
41 – 50 13
51 – 60 2
61 – 70 3
71 – 80 7
81 – 90 5
91 – 100 6
 A) 81 – 90 
 B) 71 – 80
 C) 61 – 70 
 D) 41 – 50 
 E) 11 – 20 
58.	 Se	 tiene	una	muestra	 formada	por	cinco	números	enteros	positivos	
consecutivos.	Si	se	saca	de	la	muestra	el	número	que	tiene	el	valor	
central, entonces siempre se mantiene
 I) el rango de la muestra.
 II) el promedio (o media aritmética) de la muestra.
 III) la desviación estándar de la muestra.
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo II.
 B) solo I y II.
 C) solo II y III.
 D) I, II y III.
 E) ninguna de ellas.
Cpech Preuniversitarios24
Matemáticaen
sa
yo59. ¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos tiene(n) igual varianza que el 
conjunto {2, 4, 7}?
 I) {2, 5, 7}
 II) {4, 8, 14} 
 III) {7, 9, 12}
	 A)	 Solo	III
	 B)	 Solo	I	y	II
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) I, II y III
60.	 Sea	 z	 una	 variable	 aleatoria	 con	 distribución	 normal	 tipificada	 y	 X	
una variable aleatoria que se distribuye de manera normal con media 
aritmética μ y desviación estándar σ.	Si	P	es	la	función	de	probabilidad,	
¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 
	 P(μ – 3σ	≤	X	≤	μ + 3σ)?
	 A)	 P(z	≤	3)	–	P(z	≥	–	3)
	 B)	 P(z	≤	3)	+	P(z	≤	–	3)
 C) 2 •	[P(z	≤	3)]
 D) 2 •	[P(z	≤	3)]	–	1	
 E) 2 •	[P(z	≤	3)]	+	1
61. Mónica tiene 7 osos y 5 conejos de peluche, los que quiere ordenar 
uno al lado de otro en dos repisas. ¿De cuántas formas distintas 
puede hacerlo si en la repisa superior ordenará los osos y en la repisa 
inferior ordenará los conejos?
 A) 2
 B) 7! + 5!
 C) 7! • 5!
 D) 2 • 7! • 5!
 E) 2 • (7! + 5!)
Cpech Preuniversitarios 25
ensayo Matemática 
62. En una urna se tienen seis tarjetas con el número 2, ocho tarjetas 
con el número 4 y dos tarjetas con el número 8, todas de igual forma 
y tamaño. Al extraer una tarjeta al azar, ¿cuál es la probabilidad de 
obtener un número que sea divisor de 4?
 A) 13
 B) 23
 C) 58
 D) 78
 E) 38
63. Un niño tiene una bolsa llena de bolitas de igual peso y tamaño, las 
cuales	son	rojas	o	azules.	Si	en	total	son	(n	+	2)	bolitas	y	(n	–	3)	de	
ellas son rojas, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar una bolita al 
azar esta sea azul?
 A) 5nn + 2
 B) n – 3n + 2
 C) n – 1n + 2
 D) 5n + 2
 E) 2n – 1n + 2
Cpech Preuniversitarios26
Matemática 
en
sa
yo64. En una caja hay 3 bolitas rojas, 7 bolitas azules y 5 bolitas verdes, 
todas	de	igual	peso	y	tamaño.	Si	se	escoge	al	azar	una	bolita	de	la	
caja, la probabilidad de obtener
 I) una bolita que NO sea roja es 45 .
 II) una bolita verde o roja es 18 .
 III) una bolita azul es 13 .
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo II.
 C) solo III.
 D) solo I y II.
 E) ninguna de ellas.
65. En una tienda de artículos electrónicos se venden ampolletas de bajo 
consumo y normales, que pueden ser de luz blanca o luz día. Al hacer 
un inventario, se obtiene la siguiente tabla.
Tipo de ampolleta Bajo consumo Normal
Luz blanca 75 80
Luz día 55 40
	 Si	se	escoge	una	ampolleta	al	azar,	¿cuál	es	la	probabilidad	de	que	
sea de bajo consumo y de luz blanca? 
 A) 1150
 B) 14
 C) 310
 D) 825
 E) 1526
Cpech Preuniversitarios 27
ensayo Matemática 
66. Un experimento consiste en lanzar un dado común y una moneda. 
La variable aleatoria X toma el valor obtenido en el dado y la variable 
aleatoria Y toma el valor 1 si en la moneda sale cara y 2 si en la 
moneda sale sello. ¿Cuál de los siguientes sucesos es un ejemplo de 
un evento imposible?
 A) Que X e Y tengan el mismo valor.
 B) Que (Y – X) sea un número natural. 
 C) Que (X • Y) sea un número primo.
 D) Que (X + Y) sea un cuadrado perfecto.
 E) Que XY sea un número irracional.
67. Una caja contiene un total de S bolitas, todas de igual peso y tamaño. 
Cada una de ellas está pintada de un color, habiendo M colores distintos 
con T	bolitas	de	cada	color.	Se	realiza	el	experimento	de	sacar	una	
bolita al azar, anotar su color y devolverla a la caja. Una vez que se 
realiza N veces este procedimiento, se calcula la frecuencia relativa 
(f) que obtuvo un determinado color y se compara con la probabilidad 
teórica (p)	que	tenía	dicho	color	de	ser	escogido.	Para	que	los	valores	
f y p sean lo más cercanos posible, la principal medida que se debe 
adoptar es hacer el valor de
 
 A) M igual a 2.
 B) M igual al valor de T.
 C) S lo más pequeño posible. 
 D) N lo más grande posible.
 E) T igual a 1.
Cpech Preuniversitarios28
Matemática 
en
sa
yo68.	 Se	tiene	una	bolsa	con	20	bolitas	numeradas	del	1	al	20	todas	de	igual	
peso	y	tamaño.	Si	se	extrae	una	al	azar,	¿cuál(es)	de	las	siguientes	
afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
 
 I) La probabilidad de que el número extraído sea múltiplo de 7 es 1
10
.
 II) La probabilidad de que el número extraído sea primo es 920.
 III) La probabilidad de que el número extraído sea múltiplo de 3 o 
múltiplo de 5 es 12 . 
	 A)	 Solo	I	
	 B)	 Solo	II		
	 C)	 Solo	I	y	II	
	 D)	 Solo	I	y	III
 E) I, II y III
69.	 Un	juego	contiene	20	fichas	como	las	que	muestra	la	figura,	todas	de	
igual	peso	y	tamaño.	Se	ponen	todas	las	fichas	dentro	de	una	bolsa	y	
se extraen dos al azar, una tras otra y sin reposición. ¿Cuál(es) de las 
siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
	 I)	 La	probabilidad	de	que	ambas	sean	fichas	negras	con	número	
es 5
20
 • 4
19
.
	 II)	 La	probabilidad	de	que	salga	una	ficha	blanca	y	una	ficha	negra,	
en ese orden, es 10
20
 • 9
19
.
	 III)	 La	probabilidad	de	obtener	una	ficha	negra	con	una	R	y	una	ficha	
blanca	con	una	T,	en	ese	orden,	es		 1
20
 • 1
20
.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	III
	 D)	 Solo	I	y	III
	 E)	 Solo	II	y	III
1 2
P Q
3
R
4
S
5
T
1 2
P Q
3
R
4
S
5
T
Cpech Preuniversitarios 29
ensayo Matemática 
70. En una caja hay 7 tarjetas azules y 3 tarjetas verdes, todas de igual 
forma	y	tamaño.	Si	se	extraen	dos	tarjetas	al	azar,	una	tras	otra	y	sin	
reposición, ¿cuál es la probabilidad que solo una de ellas sea verde?
 A) 2150
 B) 730
 C) 21100
 D) 310
 E) 715
71. Dos amigos juegan lanzando cuatro veces una moneda común: Martín 
elige	CARA	y	Camila	elige	SELLO.	Si	gana	la	persona	cuya	elección	
sale más veces, ¿cuál es la probabilidad de que los amigos empaten? 
 A) 13
 B) 58
 C) 38
 D) 5
16
 E) 14
Cpech Preuniversitarios30
Matemática 
en
sa
yo72.	 Sea	x una variable aleatoria en el conjunto {0, 1, 2, 3} con función de 
probabilidad f.	Si	la	función	de	distribución	de	x es
0,2 si x = 0
0,5 si x = 1
0,6 si x = 2
1 si x = 3
F(x) = 
 ¿Cuál es el valor de f(2)?
 A) 0,8
 B) 0,5
 C) 0,3
 D) 0,2
 E) 0,1
73. En una tienda A, al comprar un pantalón, la probabilidad de que se 
encuentre defectuoso es de 8%, y en una tienda B, al comprar un 
pantalón similar, la probabilidad de que se encuentre defectuoso es 
de 3%. Macarena, por razones de tiempo, cuando debe comprar 
un pantalón va el 40% de las veces a la tienda A y el resto de las 
veces	a	la	tienda	B.	Si	Macarena	se	compró	un	pantalón	y	este	venía	
defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya comprado en la 
tienda B?
 A) 18%
 B) 24%
 C) 32%
 D) 36%
 E) 48%
Cpech Preuniversitarios 31
Matemática ensayo
Instrucciones para las preguntas Nº 74 a la Nº 80
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, 
sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema 
más	los	indicados	en	las	afirmaciones	(1)	y	(2)	,son	suficientes	para	llegar	
a esa solución.
Usted deberá marcar en la hoja de respuestas la letra:
A) (1) por sí sola,	 si	 la	 afirmación	 (1)	 por	 sí	 sola	 es	 suficiente	 para	
responder	a	la	pregunta,	pero	la	afirmación	(2)	por	sí	sola	no	lo	es;
B) (2) por sí sola,	 si	 la	 afirmación	 (2)	 por	 sí	 sola	 es	 suficiente	 para	
responder	a	la	pregunta,	pero	la	afirmación	(1)	por	sí	sola	no	lo	es;	
C) Ambas juntas, (1) y (2),	 si	 ambas	 afirmaciones	 (1)	 y	 (2)	 juntas	
son	 suficientes	 para	 responder	 a	 la	 pregunta,	 pero	 ninguna	 de	 las	
afirmaciones	por	sí	sola	es	suficiente;
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2),	si	cada	una	por	sí	sola	es	suficiente	
para	responder	a	la	pregunta;
E) Se	requiere	información	adicional,	si	ambas	afirmaciones	juntas	son	
insuficientes	para	responder	a	la	pregunta	y	se	requiere	información	
adicional para llegar a la solución.
74.	 Sea	m	un	número	natural	tal	que	10	<	m	<	30.	Se	puede	determinar	el	
valor numérico de m si:
 (1) m es un número primo.
 (2) Cada dígito de m es un número primo.
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cadauna por sí sola, (1) ó (2).
								E)	 Se	requiere	información	adicional.
Cpech Preuniversitarios32
Matemática 
en
sa
yo75.	 Se	puede	determinar	el	valor	numérico	de	( x2 – y2x – y ), con x ≠ y, si:
 (1) x + y = 8
 (2) x – y = 2 
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
76.	 Se	puede	determinar	si	la	parábola	de	función		f(x)	=	ax2 + bx + c tiene 
concavidad hacia arriba o hacia abajo si:
 (1) Intersecta al eje X en los puntos (1, 0) y (4, 0).
 (2) Intersecta al eje Y en el punto (0, 4).
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)		 Se	requiere	información	adicional.
77.	En	la	figura,	se	puede	determinar	el	área	del	triángulo	ABC	si:	
 (1) El área del triángulo DEC es 38 cm2.
 (2) Los puntos medios de los lados AC y BC son D y E, 
respectivamente.
A
C
B
D E
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.	
Cpech Preuniversitarios 33
ensayo
78.	 En	la	circunferencia	de	la	figura,	las	cuerdas RS y PQ se intersectan 
en	el	punto	T.	Se	puede	afirmar	que	el	triángulo	RTQ	es	congruente	
con	el	triángulo	PTS	si:
P
Q
S
R
T
 (1) RQ ≅ PS
 (2) TQ ≅ TS
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
79.	Se	puede	determinar	la	probabilidad	de	sacar	una	bolita	blanca	de	una	
bolsa si:
 (1) En la bolsa hay 10 bolitas.
 (2) La probabilidad de sacar una bolita negra es 0,2.
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.	
80. La tabla adjunta muestra las notas obtenidas por un grupo de alumnos 
en una prueba. Al escoger un alumno al azar, se puede determinar el 
valor numérico de x si:
Nota Nº de alumnos
1 1
2 2
3 3
4 2
5 x
6 4
7 1
 (1) La moda de las notas del curso es un 5.
 (2) El promedio (o media aritmética) de las 
notas del curso es un 4,4.
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
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