calculo Fase 3

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UNIVERSIDAD CATÓLICA 
”SANTA MARÍA” 
 ESCUELA PROFESIONAL DE 
ING. ELECTRONICA 
3er Examen de Cálculo Vectorial 
Apellidos y Nombres: 
Fecha: 10/12/2021 Tiempo: 90 minutos Sección: A 
 
1. Use coordenadas cilíndricas para hallar el volumen del sólido limitado por las 
superficies 𝑧2 =
1
2
𝑥2 +
1
2
𝑦2 y 𝑧 = 6 − 𝑥2 − 𝑦2. Graficar el Sólido. (4 puntos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Use coordenadas esféricas para hallar: (4 puntos) 
 
∫ ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
3
2⁄ 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
0
−√16−𝑥2−𝑦2
0
−√16−𝑥2
0
−4
 
Grafique la región de integración 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Sea el campo de fuerzas definido por: 
𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑥2𝑒𝑥 cos 𝑦 − 𝑦𝑒𝑥 sin 𝑦)𝑖 − (𝑥𝑒𝑥 sin 𝑦 + 𝑦𝑒𝑥 cos 𝑦)𝑗 
Halle el trabajo que se necesita para trasladar una partícula a lo largo de la 
trayectoria definida por: 𝐶: 𝑟(𝑡) = (cos 𝑡, 𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤
𝜋
2
. (4 puntos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Mediante el teorema de Green, evaluar ∫ (arctan 𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑦𝑒𝑦 − 𝑥2)𝑑𝑦
𝐶
, 
donde 𝐶 es el camino cerrado con orientación positiva limitado por las 
semicircunferencias: 𝑦 = −√16 − 𝑥2, 𝑦 = −√4 − 𝑥2 y el eje X. Graficar la 
región (4 puntos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Dado el campo vectorial: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑥 sin(𝑦𝑧)𝐢 + 𝑧 𝑒𝑥 cos(𝑦𝑧)𝐣 + 𝑦 𝑒𝑥 cos(𝑦𝑧) 𝐤 
a) ¿F es un campo conservativo? 
b) Hallar div(F) (4 puntos)