Fracciones Algebraicas

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FRACCIONES
ALGEBRAICAS
Una fracción algebraica es igual que una fracción común, excepto que ,
las letras pueden encontrarse en el numerador, denominador, o ambos.
𝑎
𝑏
=
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝐷𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
b≠ᴏ
CLASES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS :
DEFINICIÓN EJEMPLO
1. Fracciones propias Cuando el grado del numerador es
menor que el grado del
denominador.
𝑥
𝑥2 − 5
2. Fracciones impropias Cuando el grado del numerador es
mayor que el grado del
denominador.
𝑥5 − 5
𝑥2 + 3
3. Fracciones
homogéneas
Cunado las fracciones tienen
iguales los denominadores.
5𝑥 8 −3
𝑥 − 2 
; 
𝑥 − 2 
; 
𝑥 −2
4. Fracciones
heterogeneas
Cuando las fracciones tienen diferente
denominador.
4 − 6 8𝑥 − 2 6𝑥
𝑥 + 2 
; 
𝑥2 − 1 
; 
2𝑥 + 5
5. Fracciones irreducibles Cuando el numerador y el denominador
son primos entre sí.
𝑥 + 1 𝑥2 + 𝑦 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
; ;
𝑥 − 5 𝑥 + 𝑦 𝑥3 − 𝑦3 − 𝑧3
6. Fracciones
equivalentes
Dos fracciones diremos que son
equivalentes cuando tienen el mismo
valor numérico para todo el sistema de
valores asignados a sus variables
excepto en aquellos que haga cero su
denominador.
b≠ᴏ
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
• Una expresión algebraica racional es el
cociente de dos polinomios: Q( x) y P (x)
• Las expresiones racionales tienen las mismas propiedades que los
números racionales. Como no se puede
• dividir por cero, las sustituciones de variables que hacen que el
denominador sea cero no son aceptables.
• EJEMPLOS:
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
■ Para simplificar expresiones racionales, se procede de forma similar a cuando se simplifican
números racionales, es decir, se factoriza el numerador y el denominador. Los factores se
simplifican hasta 1. La expresión simplificada es igual a la no simplificada excepto para aquellos
valores en los que el factor que se cancele sea igual a cero.
EJEMPLOS:
EXPRESIONES RACIONALES COMPLEJAS
■ Una expresión racional compleja es un cociente con expresiones racionales en el dividendo, en
el divisor, o ambos. Simplifícalas de la misma manera que lo harías con una fracción compleja.
EJEMPLOS:
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para sumar algebraicamente fracciones se efectúa el mismo procedimiento que se emplea
cuando se suman números racionales. En general:
• Se reducen las fracciones lo más posible.
• Se descomponen los denominadores
•Se halla el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores, obteniendo así el
denominador común.
•Para hallar el numerador resultante, se divide el MCM por el denominador y se multiplica el
cociente obtenido por el numerador correspondiente, esto convierte al numerador en un
polinomio que debe descomponerse en factores para finalmente simplificar.
SUMA: RESTA:
1 2𝑥
+ −
1
𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 −1
=
M.C.M 𝑥 + 1 𝑥 − 1
𝑋 − 1 + 2𝑥 − (𝑥 + 1)
𝑥 + 1 ∗(𝑥 − 1)
𝑋 − 1 + 2𝑥 − 𝑥 − 1
𝑥 + 1 ∗(𝑥 − 1)
2𝑥 − 2
𝑥 + 1 ∗(𝑥 − 1)
=
2∗(𝑥−1) 2
𝑥+1 ∗(𝑥−1) 𝑥+1
𝑥 + 2 1
𝑥3 − 1
−
𝑥 − 1
=
M.C.M 𝑥 − 1 𝑥3 + 𝑥 −1
𝑥 + 2 − (𝑥2 + 𝑥 + 1)
𝑥 − 1 ∗(𝑥2 + 𝑥 + 1)
𝑥 + 2 − 𝑥2 − 𝑥 − 1
𝑥 − 1 ∗(𝑥2 + 𝑥 + 1)
−(𝑥2−1)
𝑥−1 ∗(𝑥2+𝑥+1)
=
−(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥−1 ∗(𝑥2+𝑥+1)
−(𝑥 +1)
𝑥2 + 𝑥 +1
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
■ Para multiplicar expresiones racionales se procede de forma similar que con los números racionales.
■ Para dividir expresiones racionales se procede de la misma forma que se efectúa con los números
racionales. Para dividir expresiones racionales, se multiplica la primera expresión por el recíproco del
divisor.
EJEMPLOS:
(𝑥 +
𝑥
𝑥 −1
) ∗(𝑥−
𝑥
𝑥 −1
) =
𝑥2 −
𝑥
𝑥 −1
2
= 𝑥2 −
𝑥2
(𝑥 −1) 2
𝑥2 ∗ 𝑥 −1 2 − 𝑥2
(𝑥 −1)2
𝑥2 (𝑥 − 1)2−1
=
(𝑥 −1)2
𝑥2 𝑥 − 1− 1 ∗(𝑥 − 1 +1)
𝑥 − 1
=
𝑥2 ∗ 𝑥 − 2 ∗𝑥
(𝑥 − 1)2
3
=
𝑥 ∗(𝑥−2)
(𝑥−1)2
𝑥 + 2 𝑥2 − 4
𝑥2 + 4𝑥 + 𝑥
÷
𝑥3 − 8
=
M.C.M 𝑥 + 1 𝑥 − 1
𝑥 + 2 ∗(𝑥3 +8)
𝑥2 + 4𝑥 + 𝑥 ∗(𝑥2 −4)
𝑥 + 2 ∗ 𝑥 + 2 ∗(𝑥2 − 2𝑥 + 4)
(𝑥 + 2)2∗ 𝑥 + 2 ∗(𝑥 − 2)
𝟐
=
𝒙 −𝟐𝒙+𝟒
𝒙𝟐−𝟒
REGLA DE RUFFINI
VIDEO COMPLEMENTO
https://www.youtube.co
m/watch?v=6UUlG_aRf xw
https://www.youtube.com/watch?v=6UUlG_aRfxw
https://www.youtube.com/watch?v=6UUlG_aRfxw
RACIONALIZACIÓN 
DE RADICALES
Racionaliza el Denominador de una Fracción.
■ Es convertir una fracción cuyo denominador sea irracional en una
fracción equivalente cuyo denominador sea racional.
Cuando se racionaliza el denominador irracional de una
fracción, desaparece todo signo radical del denominador.
Ejemplo:
=
𝟏 1 2
𝟐 2 2
∗ =
𝟐
𝟐
Caso 1:
■ Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador
es monomio.
Regla: Se multiplican los dos términos de la fracción por el radical, del
mismo índice que el denominador, que multiplicado por éste dé como
producto una cantidad racional.
Ejemplos:
1)
3)
=
𝟑 3
∗
2𝑥
𝟐𝒙 2𝑥 2𝑥
=
3 2𝑥
22 ∗𝑥2
=
2𝑥
=
3 2𝑥
𝟑 𝟐
𝒙
𝟐
𝒙
𝟑
2) =
𝟐 2
3
𝟗𝒂 32𝑎
∗
3
3𝑎2
3
3𝑎2
=
3
33𝑎3
=
3 3
2 3𝑎2 2
3𝑎
=
3𝑎2 𝟐
𝟑
𝒂
𝟑
𝟑𝒂
𝟐
𝟒
𝟑 𝟐𝒙𝟐
=
𝟓 5
4
3 2𝑥2
∗
4
23𝑥2
4
23𝑥2
=
4
5 8𝑥2
4
3 ∗ 24𝑥4
=
4
5 8𝑥2
3 ∗2 ∗𝑥
=
𝟓
𝟔
𝒙
𝟒
𝟖𝒙
𝟐
Ejercicios
𝟏
𝟑
1)
2)
3)
4)
5)
𝟓
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
𝟐
𝒂𝟐𝒂
𝒙
𝟓𝒏𝟐𝟑
6)
7)
8)
9)
10)
𝟓
𝟑
𝟒𝒂
𝟐
𝟏
𝟑
𝟗
𝒙
𝒙
𝟒
𝟒
𝟓𝒂 𝟐𝟓𝒙
𝟑
𝟐𝟕𝒙
𝟐
𝟏𝟓
𝟖𝒂
𝟒
𝟏
Caso 2:
■ Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es
un binomio que contiene radicales de segundo grado.
Regla: Se multiplican ambos términos de la fracción por la conjugada del
denominador y se simplifica el resultado.
Ejercicios
1)
2)
3)
4)
5)
𝟓 + 𝟐 𝟑
𝟒 − 𝟑
𝟐 − 𝟓
𝟐 + 𝟓
𝟕 + 𝟐
𝟓
𝟕 − 𝟓
𝟐 − 𝟑 𝟓
𝟐 𝟐 +
𝟓
𝟏𝟗𝟓 𝟐 − 𝟒
𝟑
6)
8)
9)
10)
𝟑 𝟐
𝟕 𝟐 − 𝟔
𝟑
7)
𝟗 𝟑 − 𝟑
𝟐
𝟔 − 𝟔
𝒂 + 𝒙
𝒂 + 𝒃 − 𝒂 − 𝒃
𝒂 + 𝒃 + 𝒂 − 𝒃
𝟐 𝒂 + 𝒙
𝒙 + 𝟐 +
𝟐
𝒙 + 𝟐 −
𝟐