Unidad Didactica

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR 
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 
 
 
 
MODALIDAD A DISTANCIA 
 
UNIDAD DIDACTICA 
 
MATEMÁTICA REDISEÑO 
 
Eje de formación: BASICA 
 
Nivel: AP (1), CA (1) y AE (1) 
 
Autor: ING. FLAVIO PARRA T. 
 
Periodo académico: 2021 – 2021 
 
 
2 
 
Tabla de contenido 
 UNIDAD 1: Funciones y gráficas .................................................................................................... 4 
1.1 Definición .............................................................................................................................................. 4 
1.1.1 Dominio de una función. .................................................................................................................. 6 
1.1.2 Rango de una función. ...................................................................................................................... 6 
1.1.3 Tipo de funciones .............................................................................................................................. 6 
1.2 Operaciones con funciones ............................................................................................................... 11 
1.2.1 Gráficas en coordenadas rectangulares......................................................................................... 12 
1.3 Función Lineal. La Recta ..................................................................................................................... 20 
1.3.1 Pendiente de una recta ................................................................................................................... 21 
1.3.2 Formas de ecuación de la recta. ..................................................................................................... 22 
1.3.3 Rectas paralelas y perpendiculares ................................................................................................ 23 
1.3.4 Funciones lineales ........................................................................................................................... 25 
1.3.5 Aplicaciones de funciones lineales ................................................................................................. 25 
1.3.6 Análisis de oferta y demanda ......................................................................................................... 26 
1.3.7 Excedente de consumidores y productores .................................................................................. 32 
1.3.8 Producción y puntos de equilibrio (diagrama de empate o cobertura) ....................................... 34 
1.3.9 Aplicaciones-Interés Simple ............................................................................................................ 36 
1.4 Funciones cuadráticas ....................................................................................................................... 40 
1.4.1 La parábola. ..................................................................................................................................... 41 
1.4.2 Aplicaciones de funciones cuadráticas .......................................................................................... 42 
1.5 Función exponencial .......................................................................................................................... 44 
1.5.1 Aplicaciones-Interés compuesto .................................................................................................... 47 
1.5.3 Población futura. ............................................................................................................................. 51 
1.5.4 Descuento compuesto .................................................................................................................... 52 
1.5.5 Función exponencial de base e (2, 71828) .................................................................................... 54 
1.6 Función logarítmica ............................................................................................................................ 57 
1.6.1 Aplicaciones de función logarítmica .............................................................................................. 61 
 UNIDAD II: Derivada y sus aplicaciones ...................................................................................... 63 
2.1 Incrementos y tasas ........................................................................................................................... 63 
2.1.1 Límites. ............................................................................................................................................. 66 
2.1.2 Continuidad aplicada a las desigualdades ..................................................................................... 72 
2.1.3 La derivada...................................................................................................................................... 74 
2.2 Reglas de derivación. ......................................................................................................................... 77 
2.2.1 La derivada como una razón de cambio ........................................................................................ 82 
2.2.2 Costo Marginal ................................................................................................................................ 85 
2.3 Regla del producto y del cociente. .................................................................................................... 89 
2.4 Regla de la cadena y la potencia....................................................................................................... 92 
2.4.1 Producto de ingreso marginal. ....................................................................................................... 96 
3 
 
2.4.2 Propensión marginal al consumo y al ahorro ................................................................................ 97 
 UNIDAD III: DERIVACIÓN Y TRAZADO DE CURVAS ................................................................... 100 
3.1 Derivadas de funciones logarítmicas. ............................................................................................. 100 
3.2 Derivadas de funciones exponenciales. ......................................................................................... 104 
3.3 Derivadas de orden superior. .......................................................................................................... 106 
3.4 Diferenciación implícita. .................................................................................................................. 106 
3.5 Diferenciación logarítmica. .............................................................................................................. 108 
3.6 Elasticidad de la demanda ............................................................................................................... 110 
3.7 Aplicación de máximos y mínimos. Trazado de curvas .................................................................. 113 
3.7.2 Máximos y mínimos relativos ....................................................................................................... 114 
3.7.3 Concavidad y puntos de inflexión. ............................................................................................... 115 
3.8 Aplicación de máximos y mínimos. ................................................................................................. 117 
 IV: INTEGRACIÓN ....................................................................................................................... 127 
4.2 Integral indefinida. ........................................................................................................................... 130 
4.2.1 Reglas de integración ................................................................................................................... 131 
4.2.2Integración con condiciones iniciales .......................................................................................... 133 
4.2.3 Integración por el método de sustitución .................................................................................. 134 
4.2.4 Integración con división previa .................................................................................................... 136 
4.3 La integral definida y el problema del área .................................................................................... 137 
4.3.1 Teorema fundamental del cálculo integral ................................................................................ 138 
4.3.2 Cálculo de áreas ............................................................................................................................ 140 
4.4 Excedente de consumidores y de productores ............................................................................ 145 
4.4 Integración por partes. .................................................................................................................. 147 
4.5 Integración por medio de fracciones parciales ............................................................................... 149 
Bibliografía .............................................................................................................................................. 153 
Netgrafía ................................................................................................................................................. 153 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
UNIDAD 1: Funciones y gráficas 
 
En muchas ocasiones de nuestra vida diaria escuchamos este término está en función de; 
por ejemplo: Se dice que el interés a pagar por un préstamo (C) está en función del tiempo 
(t), que una persona necesita el capital y a una tasa de interés definida (i). 
Suponga que una persona realiza un préstamo de $10.000 a una tasa de interés del 10% 
anual. Determinar el interés a pagar a 1, 2, 3, 4 años. 
𝐈 = 𝐂. 𝐢. 𝐭 “Interés simple” 
Capital 
Tasa de 
Interés 
Tiempo 
(años) 
Interés 
 
10000 0,1 1 1.000,00 
10000 0,1 2 2.000,00 
10000 0,1 3 3.000,00 
10000 0,1 4 4.000,00 
 
Se puede apreciar que el valor del interés ganado está en relación (función) del tiempo. 
𝐈 = 𝐟(𝐭) 
1.1 Definición 
Una función es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número 
de salida. Al conjunto de números de entrada (x) para los cuales se aplica la regla se 
5 
 
llama el dominio de la función. El conjunto de todos los números de salida (y) se llama 
rango. 
La variable (x) que representa a los números de entrada se llama variable independiente 
y la variable (y) que representa a los números de salida se denomina variable 
dependiente; en otras palabras el valor de (y) depende del valor que tome la variable (x). 
 
 
Valores funcionales. A los valores que toma la variable x se denominan valores 
funcionales “valores con los que funciona la función” 
Ejemplo: Para 𝐲 = 𝐠(𝐱) = 𝐱𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟑 . Determine los valores funcionales: 
(a) g(0) ; (b) g(2) ; (c) g(-3) ; (d) g(a) ; (e) g(2x-1) 
a) g(0) = (0)2 − 2(0) + 3 = 3 ; (0,3) 
b) g(2) = (2)2 − 2(2) + 3 = 3 ; (2,3) 
c) g(−3) = (−3)2 − 2(−3) + 3 = 18 ; (−3,18) 
d) g(a) = (a)2 − 2(a) + 3 = a2 − 2a + 3 
e) g(2x − 1) = (2x − 1)2 − 2(2x − 1) + 3 
=4x2 − 4x + 1 − 4x + 2 + 3 
= 4x2 − 8x + 6 
Tipo y dominio de funciones 
En la Administración y Economía existen cierto tipo de funciones que son utilizadas para 
la modelación de aplicaciones prácticas, donde para realizar su estudio previamente se 
debe conocer el dominio de las funciones. 
6 
 
1.1.1 Dominio de una función. 
Son todos los valores que puede tomar x para que exista la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
1.1.2 Rango de una función. 
Son los valores que toma la variable dependiente y. 
1.1.3 Tipo de funciones 
Función polinomial. 
 
 
 
Una función polinomial es la función donde la variable esta elevada a distintos exponentes 
siempre positivos. 
Ejemplo: Determinar el dominio de la función: 
𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝟓𝐱𝟒 − 𝟒𝐱𝟑 + 𝟐𝐱𝟐 − 𝟏𝟎𝐱 + 𝟖 
En este tipo tenemos la función lineal, cuadráticas; las cuales tendrán un estudio 
minucioso en las unidades posteriores. 
Los valores que puede tomar x es cualquier número real, porque siempre va existir como 
resultado un número real. 𝐃𝐟 = 𝐑 
Función racional. 
7 
 
 
Es una función que tiene una función polinomial en el numerador y en el denominador. 
Ejemplo: Determinar el dominio de la función 𝐲 = 𝐭(𝐱) =
𝟐𝐱−𝟏
𝐱𝟐−𝟑𝐱−𝟒
 
Los valores que no puede tomar la variable independiente x son los valores para los cuales 
el denominador se hace cero. Recuerde que no existe división para cero. 
𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0 
(𝑥 − 4)(𝑥 + 1) = 0 
𝑥 − 4 = 0 𝑥 = 4 
𝑥 + 1 = 0 𝑥 = −1 
𝐷𝑓 = 𝑅 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 {4;−1} 
Función con radical de índice par. 
 
 Los valores que puede tomar la variable x son los que permiten que el radicando sea 
positivo  0 . Recuerde no existe el radical de índice par para números negativos. 
8 
 
Ejemplo: Determinar el dominio de la función 𝐲 = 𝐫(𝐱) = √𝟓 − 𝟑𝐱
𝟒
 
5 − 3𝑥 ≥ 0 
−3𝑥 ≥ −5 𝑥 ≤
5
3
 







3
5
 , Df 
Función constante. 
En la función constante, para cualquier valor que tome la variable x será la misma 
constante. 
Ejemplo: Determinar el dominio de la función 𝐲 = 𝐭(𝐱) = 𝟏𝟓 
El dominio es: RDf  
 
Función definida por partes. 
 
Una función por partes como el nombre lo indica está definida de acuerdo a intervalos. Y 
el dominio depende de las condiciones de los mismos. 
Ejemplo: 
 






0 xSi 3x
2 xSi 1x2
)x(hy
2 
 
 






0 xSi 3x
2 xSi 1x2
)x(hy
2
9 
 
 
2 0
 
 
1x2)x(f  3x)x(f 2 
 
 𝐷𝑓 = (−∞,−2] ∪ [0,∞) 
Ejercicios resueltos. 
1. Encuentre el dominio de la función 
a. 𝐲 = 𝐟(𝐱) =
𝐱−𝟏
𝐱
 
Df = R excepto {0} 
 
b. 𝐫 = 𝐟(𝐝) = 𝟏𝟓 
Df = R 
 
c. 𝐲 = 𝐟(𝐱) = √𝟐 − 𝟓𝐱 
2 − 5x ≥ 0 
−5x ≥ −2 x ≤
−2
−5
 
x ≤
2
5
 Df = (−∞,
2
5
] 
d. 𝐲 = 𝐟(𝐱) =
𝟑𝐱−𝟏
√𝟐𝐱+𝟕
 
2x + 7 > 0 x > −
7
2
 
Df = (−
7
2
,∞) 
 
e. 𝐲 = 𝐟(𝐱) = √𝟓𝐱𝟐 + 𝟏𝟗𝐱 − 𝟒 
 
5x2 + 19x − 4 ≥ 0 (5x − 1)(x + 4) ≥ 0 
5x − 1 = 0 x =
1
5
 
x + 4 = 0 x = −4 
10 
 
 
 
2. Para 𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝟒𝐱 − 𝟓. Determine: 
(a) 𝑓(−3) (b) 𝑓(5) (c) 
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 
a. 𝑓(−3) = 4(−3) − 5 = −17 
b. 𝑓(5) = 4(5) − 5 = 15 
c. 
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
=
[4(𝑥+ℎ)−5]−(4𝑥−5)
ℎ
 
=
4𝑥 + 4ℎ − 5 − 4𝑥 + 5
ℎ
 
=
4ℎ
ℎ
 = 4 
3. Para 𝑦 = 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐. Determine: 
(a) 𝑓(−1) (b) 𝑓(2) (c) 
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 
 
a. 𝑓(−1) = 2(−1)2 − 5(−1) + 2 = 9 
 
b. 𝑓(2) = 2(2)2 − 5(2) + 2 = 0 
 
c. 
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
=
[2(𝑥+ℎ)2−5(𝑥+ℎ)+2]−(2𝑥2−5𝑥+2)
ℎ
 
=
[2(𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2) − 5𝑥 − 5ℎ + 2 − 2𝑥2 + 5𝑥 − 2]
ℎ
 
=
[2𝑥2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 − 5𝑥 − 5ℎ + 2 − 2𝑥2 + 5𝑥 − 2]
ℎ
 
=
ℎ(4𝑥 + 2ℎ − 5)
ℎ
 
= 4𝑥 + 2ℎ − 5 
 
4. Valor de un negocio. Un negocio cuyo capital original es de $25 000, tiene ingresos 
y gastos semanales de $6 500 y $4 800, respectivamente. Si se conservan todas las 
utilidades, exprese el valor V del negocio al final de t semanas, como una función de 
t. 
(-) (-) (+)
(-) (+) (+)
(+) (-) (+)
5𝑥 − 1
𝑥 + 4
−∞ −4 1 5 ∞
11 
 
Valor del negocio = capital original + (ingresos − gastos). (N° semanas) 
V(t) = 25 000 + (6 500 − 4 800). t 
𝐕(𝐭) = 𝟐𝟓 𝟎𝟎𝟎 + 𝟏 𝟕𝟎𝟎. 𝐭 
 
1.2 Operaciones con funciones 
Existen diversas formas de combinar funcionespara obtener una nueva. Operaciones de 
suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones. 
a. (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 
b. (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 
c. (𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) 
d. (
𝑓
𝑔
)
(𝑥)
=
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 
e. (𝑓 ° 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) 
f. (𝑔 ° 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) 
Las operaciones de los literales e y f, se conocen como composición de funciones. 
Función compuesta 
Operaciones no conocidas que es la composición de funciones, donde una función está 
en función de otra. Considere el ejemplo siguiente: 
Sean: 𝐠(𝐱) = 𝐱𝟐 − 𝟏 ; 𝐟(𝐱) = 𝟐𝐱 − 𝟑 
 
Ejemplo: Sean 𝐟(𝐱) = 𝐱𝟐 + 𝟑𝐱 − 𝟏 𝐲 𝐠(𝐱) = √𝐱 − 𝟐. Determine: 
1. (f + g)(6) = f(6) + g(6) 
(f + g)(6) = [(6)2 + 3(6) − 1] + [√6 − 2 ] = 51 
2. (f − g)(3) = f(3) − g(3) 
(f − g)(3) = [(3)2 + 3(3) − 1] − [√3 − 2 ] = 16 
3. (f. g)(2) = f(2). g(2) 
x g(x) = x2 − 1 (f °g)(x) = 2(x2 − 1) − 3 
Dominio de g Dominio de f
g(x) f(g(x))
12 
 
(f. g)(2) = [(2)2 + 3(2) − 1]. [√2 − 2 ] = 0 
4. (
f
g
) (x) =
f(x)
g(x)
 
(
f
g
) (x) =
x2+3x−1
√x−2
 
5. (f ° g )(x) = f(g(x)) 
= f(√x − 2 ) = (√x − 2 )
2
+ 3√x − 2 − 1 
= x + 3√x − 2 − 3 
6. (g ° f)(1) = g(f(1)) 
= g[(1)2 + 3(1) − 1] = g(3) 
= √3 − 2 = 1 
1.2.1 Gráficas en coordenadas rectangulares 
Coordenadas Rectangulares 
Todo punto en el plano cartesiano está representado por el par ordenado  y , x ; donde 
x es la abscisa y y es la ordenada. 
 Ejemplo: Ubicar los siguientes puntos: 
𝐀(𝟐 , 𝟑) 𝐁(−𝟑 , 𝟒) 𝐂(−𝟐 ,−𝟒 ) 𝐃(𝟓 ,−𝟐 ) 
 
Graficas de funciones 
Para graficar funciones sería suficiente realizar una tabla de valores, pero existe alguna 
dificultad en asignar los valores en la misma, para eliminar esa dificultad es conveniente 
determinar ciertos puntos característicos de las curvas, como son las intersecciones con 
los ejes y la simetría respecto a los ejes y al origen. 
Para graficar funciones tome en cuenta las siguientes recomendaciones: 
13 
 
a) Determine el dominio de la función, es decir los valores que puede tomar la variable 
x. 
b) Encuentre las intersecciones con los ejes. 
Intersección con eje x: y = 0 
Intersección con eje y: x = 0 
 
c) Tabla de valores 
d) Grafique la curva 
e) En base a la curva determine el rango de la función, es decir los valores que toma 
la variable y 
Ejercicios resueltos. 
a. Grafique: 𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝟐𝐱 − 𝟓 
a. Dominio de la función: Df = R 
b. Intersecciones con los ejes 
Intersección con eje x: 𝑦 = 0 
2𝑥 − 5 = 0 
2𝑥 − 5 = 0 𝑥 =
5
2
 (
5
2
, 0) 
Intersección con eje y : 𝑥 = 0 
𝑦 = 2(0) − 5 = −5 (0, −5) 
c. Tabla de valores: 
14 
 
Para graficar una recta, no se necesita realizar una tabla de valores, con los puntos 
obtenidos en las intersecciones se lo puede graficar. 
 
d. Rango de la función: Rf = 𝐑 
2. Grafique: 𝐲 = 𝐱𝟐 − 𝟐𝐱 − 𝟑 
a. Dominio de la función: Df = R 
b. Intersecciones con los ejes 
Intersección con eje x: 𝑦 = 0 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0 
𝑥 − 3 = 0 𝑥 = 3 (3,0) 
𝑥 + 1 = 0 𝑥 = −1 (−1,0) 
Intersección con eje y : 𝑥 = 0 
𝑦 = 𝑥2 − 2(0) − 3 = −3 (0, −3) 
c. Tabla de valores: 
x -2 1 2 4 
y 5 -4 -3 5 
 
15 
 
 
Rango de la función: Rf = ( −4 ,∞ ) 
3. Grafique: 𝐲 = 𝐱𝟒 − 𝟒𝐱𝟐 
 
a) Dominio de la función: Df = R 
b) Intersecciones con los ejes 
Intersección con eje x: 0y  
x4 − 4x2 = 0 x2(x2 − 4) = 0 
x2 = 0 x = 0 (0 , 0) 
x2 − 4 = 0 x2 = 4 x = ±√4 = ±2 (2,0) (−2,0) 
Intersección con eje y 0x  
y = (0)4 − 4(0)2 y = 0 (0,0) 
c) Tabla de valores 
x -3 -1 1 3 
y 45 -3 -3 45 
 
16 
 
 
4. Graficar 𝐲 = 𝐟(𝐱) = √𝟐𝐱 − 𝟑 
 
a. Dominio de la función. 
2𝑥 − 3 ≥ 0 
2𝑥 ≥ 3 𝑥 ≥
3
2
 
𝐷𝑓 = [
3
2
,∞) 
b. Intersección con los ejes. 
Intersección con eje x: y = 0 
 √2𝑥 − 3 = 0 (√2𝑥 − 3)
2
= (0)2 
 2𝑥 − 3 = 0 𝑥 =
3
2
 (
3
2
 , 0) 
Intersección con eje y: x = 0 
 𝑦 = √2(0) − 3 𝑦 = √−3 
“No existe intersección con eje x” 
c. Tabla de valores. 
17 
 
 
e) Gráfico. 
 
 
5. Graficar: 𝒚 = 𝑹(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟒 
 
a) Dominio de la función. 
𝑥2 − 4 ≥ 0 𝑥2 ≥ 4 √𝑥2 ≥ √4 
|𝑥| ≥ 2 𝑥 ≤ −2 𝑥 ≥ 2 
𝐷𝑓 = (−∞ , −2] ∪ [2 ,∞) 
b) Intersección con los ejes. 
Intersección con eje x: y = 0 
 √𝑥2 − 4 = 0 (√𝑥2 − 4)
2
= (0)2 𝑥2 − 4 = 0 
 𝑥 = ±2 (2 , 0) (−2 , 0) 
Intersección con eje y: x = 0 
 𝑦 = √(0)2 − 4 𝑦 = √−4 
 No existe intersección con eje x” 
c) Tabla de valores. 
x 2 3 4 5
y 1 1,73 2,24 2,65
18 
 
 
x 3,00 4,00 5,00 6,00
y 2,24 3,46 4,58 5,66 
d) Gráfico. 
 
 
6. Graficar: 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟒 
 
a. Dominio de la función: 
y2 = x2 + 4 y = ∓√x2 − 4 
x2 − 4 ≥ 0 x2 ≥ 4 |x| ≥ 2 
x ≤ −2 o x ≥ 2 
Df = (−∞,−2] ∪ [2,∞) 
b. Intersecciones con los ejes 
Intersección con eje x: 𝒚 = 𝟎 
𝑥2 − (0)2 = 4 𝑥2 = 4 
𝑥 = ±2 (2,0)(−2,0) 
 Intersección con eje y 0x  
(0)2 − 𝑦2 = 4 𝑦 = ±√−4 No tiene intersección con eje y 
Tabla de valores: 
x 3 4 5 6 
19 
 
y 2,83 3,87 4,90 5,92 
 
 
 
Ejemplo 5: Graficar función definida por partes 
GRAFICAR: 
3 xsi 2x
3 xsi 4-x
 (x) t y 
2






 
Defina para qué intervalo corresponde cada una de las funciones y elabore una tabla de 
valores y grafique. 
3
4xy 2  2xy 
 
Tabla de valores: 
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 
y 5,00 0,00 
-
3,00 
-
4,00 
-
3,00 0,00 5,00 6,00 7,00 8,00 
 
20 
 
 
 Es importante que aprenda a reconocer la forma que tienen las curvas más utilizadas. 
 
 
1.3 Función Lineal. La Recta 
Para trazar una recta necesita de dos puntos de coordenadas   y ,x . La característica 
principal de las rectas es su inclinación llamada pendiente; definida como la variación 
vertical y respecto a la variación horizontal x . 
21 
 
 
1.3.1 Pendiente de una recta 
Definición.- Sean (x1, y1); (x2, y2) dos puntos conocidos sobre una línea recta no vertical, 
la pendiente de la recta es el número m dado por la relación entre el cambio vertical ∆y 
y el cambio horizontal ∆x, (ordenadas sobre abscisas). 
Pendiente (m) =
Variación vertical
Vaciación horizontal
=
∆y
∆x
 
𝐦 =
𝐲𝟐 − 𝐲𝟏
𝐱𝟐 − 𝐱𝟏
 
Una recta vertical no tiene pendiente, porque cualesquiera dos puntos sobre ella deben 
tener x1 = x2 que da un denominador cero en la ecuación. 
𝐦 =
∆𝐲
𝟎
 “No tiene pendiente o pendiente indefinida” 
Para una recta horizontal cualesquiera dos puntos deben tener y1 = y2, esto significa 
que el numerador es cero en la ecuación, por lo tanto la pendiente es cero. 
𝒎 =
∆𝒚
∆𝒙
 𝒎 =
𝟎
∆𝒙
= 𝟎 
Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-5, 6) (2 ,3) 
 
𝐦 =
𝐲𝟐 − 𝐲𝟏
𝐱𝟐 − 𝐱𝟏
 m =
3 − 6
2 + 5
=
−3
7
 
 
y
x
y2
y1
x1 x2
22 
 
1.3.2 Formas de ecuación de la recta. 
Existen varios tipos de presentación de la ecuación de la recta, así: conocida la pendiente 
y un punto, se puede aplicar la ecuación en la forma punto-pendiente; analice las 
distintas formas de ecuación de líneas rectas. 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) Punto pendiente 
bmxy  Pendiente intersección 
0CByAx  General 
ax  Recta vertical 
by  Recta HorizontalEjercicios resueltos. 
1. Escribir la ecuación de una recta que pasa por el punto P (-4, 5) y cuya pendiente es -
3. Exprese su respuesta en la forma lineal general. 
Sustituimos estos valores en la ecuación de la recta punto-pendiente y tenemos: 
𝐲 − 𝒚𝟏 = 𝐦(𝐱 − 𝒙𝟏) 𝐏𝐮𝐧𝐭𝐨 − 𝐩𝐞𝐧𝐝𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 
y − 5 = −3[𝑥 − (−4)] y − 5 = −3x − 12 
y = −3x − 7 Forma pendiente-intersección 
3𝑥 + 𝑦 + 7 = 0 Forma lineal general 
2. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 3 y su intersección con el eje y es 
2; (la ordenada al origen b es la intersección con el eje y) 
En este caso m = 3 y b = 2 Por lo tanto: 
Reemplazamos estos valores en la forma y = mx + b 
𝑦 = 3𝑥 + 2 
3. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(−3,−4) y B(2,4). 
Exprese su respuesta en la forma lineal general y grafique. 
23 
 
𝐦 =
𝐲𝟐 − 𝐲𝟏
𝐱𝟐 − 𝐱𝟏
 m =
4 + 4
2 + 3
=
8
5
 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 − 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑦 − 4 =
8
5
 (𝑥 − 2) 
𝑦 =
8
5
𝑥 +
4
5
 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 
8
5
𝑥 − 𝑦 +
4
5
= 0 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 
Usualmente la forma lineal general se expresa con coeficientes numéricos enteros. 
𝟖𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟒 = 𝟎 
 
1.3.3 Rectas paralelas y perpendiculares 
Rectas paralelas 
Dos rectas son paralelas si la pendiente de la recta 1 es igual a la pendiente de la recta 2. 
 Matemáticamente: m1 = m2 
Rectas perpendiculares 
Dos rectas son perpendiculares cuando forman un ángulo de 90º entre ellas y el producto 
de las pendientes es igual a -1. 
 Matemáticamente: m1 . m2= -1 
Ejercicios resueltos. 
1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto(−3,1) y es paralela a la 
recta 𝐲 = −𝟐𝐱 + 𝟑. Grafique: 
24 
 
Dos rectas son paralelas cuando las pendientes son iguales. 
𝑚1 = 𝑚2 𝑚1 = −2 𝑚2 = −2 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
𝑦 − 1 = −2(𝑥 + 3) 𝐲 = −𝟐𝐱 − 𝟓 
 
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (−2,−1) y es perpendicular 
a la recta 𝐲 = −𝟐𝐱 − 𝟑. Grafique. 
Dos rectas son perpendiculares cuando entre ellas forman un ángulo de 90° y el 
producto de sus pendientes es -1. 
𝐦𝟏.𝐦𝟐 = −𝟏 𝑚1 = −2 
−2.𝑚2 = −1 𝑚2 =
1
2
 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
𝑦 + 1 =
1
2
(𝑥 + 2) 𝐲 =
𝟏
𝟐
 𝐱 
 
25 
 
1.3.4 Funciones lineales 
Varias aplicaciones administrativas y económicas, están relacionadas con modelaciones 
lineales. Una función lineal puede expresarse como 𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝐚𝐱 + 𝐛 con 𝐚 ≠ 𝟎 y está 
representado por una recta. Donde a representa la pendiente y b la intersección con el eje 
y. 
Ejemplo: Suponga que f es una función lineal de pendiente -3 y f(2) = 8. Determine 
f(x). 
Tenemos como datos m = −3 y (2 , 8) 
y − y1 = m(x − x1) y − 8 = −3(x − 2) 
y = −3x + 14 
1.3.5 Aplicaciones de funciones lineales 
Aplicaciones administrativas, económicas y otras de la vida cotidiana de los Contadores 
y Administradores pueden explicarse y resolverse utilizando modelaciones lineales. 
Para encontrar una función lineal tome en cuenta lo siguiente: 
 Lea con detenimiento el ejercicio, defina la función lineal, frases como: el costo está 
relacionado linealmente con el número de unidades  c , q )q(fc  ; el peso (W) 
está relacionado con el tiempo (d) ) W , d ( )d(fW  . 
 Encuentre dos puntos de coordenadas definidas en el punto anterior, calcule la 
pendiente. En ocasiones hay ejercicios en los que le dan directamente la pendiente 
como por ejemplo: La propiedad se aprecia (p) $30000 cada año (t). 
 Con la pendiente y cualquiera de los puntos, determine la ecuación de la función 
lineal aplicando la forma punto-pendiente. 
Ejercicios resueltos 
1. Ecuación de oferta. Suponga que un fabricante de zapatos colocará en el mercado 50 
mil pares cuando el precio es $35 por par y 35 mil pares de zapatos cuando el precio es 
$30. Determine la ecuación de oferta suponiendo que el precio p y la cantidad q están 
relacionados de manera lineal. 
26 
 
De la lectura del ejercicio se dice que el precio p se relaciona linealmente con la cantidad 
q, que nos indica que 𝑝 = 𝑓(𝑞) , y tendrá puntos de coordenadas (𝑞, 𝑝) , lea 
detenidamente y encuentre esos puntos con las coordenadas correspondientes. 
(50,35) (35, 30) 
𝑚 =
𝑝2 − 𝑝1
𝑞2 − 𝑞1
 𝑚 =
30 − 35
35 − 50
 𝑚 =
1
3
 
 𝑝 − 𝑝1 = 𝑚(𝑞 − 𝑞1) 𝑝 − 30 =
1
3
(𝑞 − 35) 
𝑝 =
1
3
𝑞 +
55
3
 𝑂𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 
 
2. Precios por reparación. Una compañía que repara copiadoras comerciales, cobra por 
un servicio una cantidad fija más una tarifa por hora. Si un cliente tiene una factura de 
$150 por un servicio de una hora y $280 por un servicio de tres horas, determine una 
función lineal que describa el precio de un servicio, en donde x es el número de horas de 
servicio. 
Siguiendo el proceso anterior tenemos: 
𝑝 = 𝑓(𝑥) (𝑥, 𝑝) (1,150) (3,280) 
𝑚 =
𝑝2 − 𝑝1
𝑥2 − 𝑥1
 𝑚 =
280 − 150
3 − 1
 𝑚 = 65 
𝑝 − 𝑝1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑝 − 150 = 65(𝑥 − 1) 
𝑝 = 65𝑥 + 85 
 
3. Depreciación. Un televisor nuevo se deprecia $120 por año, y tiene un valor de $340 
después de 4 años. Determine una función que describa el valor de este televisor, si x es 
la edad, en años, de la televisión. 
p = f(x) 
m = −120 (4,340) 
p − p1 = m(x − x1) 
p − 340 = −120(x − 4) 
p = −120x + 820 
1.3.6 Análisis de oferta y demanda 
 
27 
 
La ley de la Oferta y la Demanda es el principio básico sobre el que se basa una economía 
de mercado. Este principio refleja la relación que existe entre la demanda de un producto 
y la cantidad ofrecida de ese producto teniendo en cuenta el precio al que se vende el 
producto. 
Así, según el precio que haya en el mercado de un bien, los oferentes están dispuestos a 
fabricar un número determinado de ese bien. Al igual que los demandantes están 
dispuestos a comprar un número determinado de ese bien, dependiendo del precio. El 
punto donde existe un equilibrio porque los demandantes están dispuestos a comprar las 
mismas unidades que los oferentes quieren fabricar, por el mismo precio, se llama 
equilibrio de mercado o punto de equilibrio. 
Según esta teoría, la ley de la demanda establece que, manteniéndose todo lo demás 
constante, la cantidad demandada de un bien disminuye cuando el precio de ese bien 
aumenta. Por el otro lado, la ley de la oferta indica que, manteniéndose todo lo demás 
constante, la cantidad ofrecida de un bien aumenta cuando lo hace su precio. 
Así, la curva de la oferta y la curva de la demanda muestran como varía la cantidad 
ofrecida o demandada, respectivamente, según varía el precio de ese bien. 
La curva de demanda 
La demanda lineal desciende de izquierda a derecha, esto significa que al incrementarse 
la cantidad demanda el precio disminuye y el valor de la pendiente es negativa. 
 
La curva de oferta 
 
p
q
p2
p1
q1 q2
Demanda lineal
28 
 
La curva de oferta lineal asciende de izquierda a derecha y esto significa que al 
incrementarse la cantidad ofertada, el precio aumenta y el valor de la pendiente es 
positiva. 
 
Punto de equilibrio del mercado 
El punto de equilibrio en la economía ocurre, cuando la oferta es igual a la demanda. 
 
𝐎𝐟𝐞𝐫𝐭𝐚 = 𝐃𝐞𝐦𝐚𝐧𝐝𝐚 “Punto de Equilibrio” 
Ejemplo: Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando 
el precio es de $ 58 por unidad y 200 unidades y la oferta por semana es de 100 unidades 
cuando el precio es de $50 y 200 unidades cuando el precio es $60 
Determinar la ecuaciónde oferta y demanda suponiendo que es lineal; además determine 
el punto de equilibrio. 
p
q
p2
p1
q1 q2
Oferta lineal
29 
 
 Como la oferta y la demanda es lineal, el precio p está en función del número de 
unidades demandadas, debe encontrar dos puntos de coordenadas (q , p). 
Para la demanda:(100,58) y (200,51) y la oferta (100, 50) (200, 60). 
Calculamos la pendiente y su ecuación. 
Demanda: 
m =
p2 − p1
q2 − q1
 m =
51 − 58
200 − 100
 m = −
7
100
 
p − p1 = m(q − q1) p − 58 = −
7
100
(q − 100) 
p = −
7
100
q + 65 
 
Oferta: 
m =
p2 − p1
q2 − q1
 m =
60 − 50
200 − 100
 m =
10
100
=
1
10
 
p − p1 = m(q − q1) p − 50 =
1
10
(q − 100) 
𝐩 =
𝟏
𝟏𝟎
𝐪 + 𝟓𝟎 
𝐎𝐟𝐞𝐫𝐭𝐚 = 𝐃𝐞𝐦𝐚𝐧𝐝𝐚 
1
10
q + 50 = −
7
100
q + 65 
17
100
q = 15 
q = 88.24 unidades p =
1
10
(88.24) + 50 p = $58.82 
30 
 
 
Ejemplo: Negocios: Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son: 
3𝑞 − 200𝑝 + 1800 = 0 𝑦 3𝑞 + 100𝑝 − 1800 = 0 
Respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dólares y q el número de 
unidades vendidas por periodo. 
a) Encuentre algebraicamente el precio de equilibrio y dedúzcalo mediante una gráfica. 
b) Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija un impuesto de 27 centavos por 
unidad al proveedor. 
c) Encuentre el ingreso total antes y después del impuesto. 
 
Solución: 
a) Encuentre algebraicamente el precio de equilibrio y dedúzcalo mediante una gráfica. 
p =
3
200
q + 9 "Oferta" 
p = −
3
100
q + 18 "Demanda" 
 
𝐎𝐟𝐞𝐫𝐭𝐚 = 𝐃𝐞𝐦𝐚𝐧𝐝𝐚 
 
3
200
q + 9 = −
3
100
q + 18 
9
200
q = 9 
q = 200 unidades p = $12 (200 , 12) 
 
p
q
( 88.24 , 58.82 )
31 
 
 
 
b) Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija un impuesto de 27 centavos por 
unidad al proveedor. 
El impuesto de $0.27 afecta al precio de la oferta por lo que la ecuación de cambia. 
p = (
3
200
q + 9) + 0.27 p =
3
200
q + 9.27 
3
200
q + 9.27 = −
3
100
q + 18 
9
200
q = 8.73 
q = 194 p = $12.18 
 
 
 
c) Encuentre el ingreso total antes y después del impuesto. 
El ingreso que recibe el productor está dado por: 𝐑 = 𝐩. 𝐪 
R = (
3
200
q + 9) . q sin impuesto 
R = (
3
200
(200) + 9) . 200 = $2.400 
32 
 
R = (
3
200
q + 9.27) con impuesto 
R = (
3
200
(194) + 9.27) *194=$2.362,92 
1.3.7 Excedente de consumidores y productores 
 
 
Cuando tenemos el equilibrio de mercado existen consumidores que están dispuestos a 
pagar sobre el precio de equilibrio creándose un volumen de recursos que se conoce como 
el excedente de consumidores (EC); de la misma manera existen productores que 
colocaran productos en el mercado bajo el punto de equilibrio, conocido como el 
excedente de productores (EP). 
𝐄𝐂 =
(𝐩𝟏 − 𝐩𝐨) ∗ 𝐪𝐨
𝟐
 
𝐄𝐏 =
(𝐩𝟎 − 𝐩𝟏) ∗ 𝐪𝐨
𝟐
 
Ejemplo: Dadas la ecuación de oferta y demanda. Determine: 
𝑝 = −
2
75
𝑞 + 12 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 
𝑝 =
3
100
𝑞 + 2 𝑂𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 
33 
 
a) El punto de equilibrio de mercado. 
b) Grafique el punto de equilibrio. 
c) Establecer el EC y EP 
 
Solución: 
a) El punto de equilibrio de mercado. 
 
𝑂𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 = 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 
3
100
q + 2 = −
2
75
q + 12 
17
300
q = 10 q = 176.47 unidades 
p =
3
100
(176.47) + 2 p = $7.29 
Punto de equilibrio: 𝐏𝐄(𝟏𝟕𝟔. 𝟒𝟕 ; 𝟕. 𝟐𝟗) 
b) Grafique el punto de equilibrio. 
 
 
34 
 
𝐄𝐂 =
(𝐩𝟏 − 𝐩𝐨) ∗ 𝐪𝐨
𝟐
 
𝐄𝐏 =
(𝐩𝟎 − 𝐩𝟏) ∗ 𝐪𝐨
𝟐
 
EC =
(12 − 7.29) ∗ 176.47
2
= $415.59 
EP =
(7.29 − 2) ∗ 176.47
2
= $466.76 
1.3.8 Producción y puntos de equilibrio (diagrama de empate o cobertura) 
 
En la industria al producir y vender un producto, el fabricante debe conocer su ecuación 
de costo y de ingreso; al fabricante le interesa conocer el nivel de producción para 
alcanzar el punto de equilibrio, es decir el nivel de producción donde la utilidad es cero. 
𝐈𝐧𝐠𝐫𝐞𝐬𝐨 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 “Punto de equilibrio” 
𝐑 = 𝐩𝐯 ∗ 𝐪 “Ingreso total” 
𝐂 = 𝐂𝐕 ∗ 𝐪 + 𝐂𝐅 “Costo total” 
Ejemplo: Negocios. Un fabricante produce un producto cuyo costo por material es $4, 
mano de obra $2 y los costos fijos $4000. Si el producto se vende a $8. Determine: 
 
 El punto de equilibrio. 
R = pv ∗ q R = 8q 
C = Cv ∗ q + Cf C = 6q + 4000 
R = C 
8𝑞 = 6𝑞 + 4 000 
𝑞 = 2 000 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑅 = 8(2 000) = $16 000 
𝐶 = 6(2 000) + 4 000 = $16 000 
𝑃𝐸: (2 000, 16 000) 
 
35 
 
 
 Determine el nivel de producción para tener una utilidad de $3000 
 C -rU ; totalCosto - totalIngreso U  
3.000 = 8𝑞 − (6𝑞 + 4.000) 𝑞 = 3.500 
 Determine el nivel de producción para tener una pérdida de $2000 
−2.000 = 8𝑞 − (6𝑞 + 4.000) 𝑞 = 1.000 
 
Ejemplo: 𝐑 = 𝟎. 𝟏𝐪𝟐 + 𝟗𝐪 representa el ingreso total en dólares y 𝐂 = 𝟑𝐪 + 𝟒𝟎𝟎 el 
costo total en dólares para un fabricante. Si q representa tanto el número de unidades 
producidas como el número de unidades vendidas, encuentre el punto de equilibrio y 
grafique. 
Punto de equilibrio: Ingreso total = Costo total 
0.1q2 + 9q = 3q + 400 0.1q2 + 6q − 400 = 0 
q2 + 60q − 4000 = 0 (q + 100)(q − 40) = 0 
q = −100 q = 40 
R = C = 3(40) + 400 
R = C = $520 
36 
 
 
1.3.9 Aplicaciones-Interés Simple 
 
Una aplicación lineal es el interés simple, que se paga al final de cada periodo y por 
consiguiente el capital prestado o invertido no varía y por la misma razón la cantidad 
recibida por interés siempre va a ser la misma, es decir, no hay capitalización de los 
intereses. 
Si se solicita un préstamo (C) y se compromete a pagar en un tiempo determinado (t), a 
una tasa de interés simple (i) por el uso del dinero. Lógicamente la cantidad de dinero a 
pagar al finalizar el plazo fijado va a ser mayor que el capital original, pues se adicionado 
al mismo una cantidad adicional llamada Interés (I). 
 
𝐈 = 𝐂. 𝐢. 𝐭 Interés Simple 
I: Interés simple 
C: Capital 
i : tasa de interés simple 
t : tiempo 
Suponga que se invierte un capital de $100 a las tasas de interés simple de 10%, 20% y 
30% anual. Determine el interés de 1 a 8 años. 
 
𝐈 = 𝐂. 𝐢. 𝐭 
 
t I = 10t I = 20t I = 30t 
0 0 0 0 
p
q
( 40 , 520)
Equilibrio en la producción
37 
 
1 10 20 30 
2 20 40 60 
3 30 60 90 
4 40 80 120 
5 50 100 150 
6 60 120 180 
7 70 140 210 
8 80 160 240 
 
 
 
La modelación del interés de simple, es una línea recta, conforme la tasa de interés 
aumenta el valor de interés aumenta. 
 
Ejemplo 1: Determinar el interés a pagar por un préstamo de $5.600 a ser cancelado en 
3 meses con las siguientes alternativas de tasas de interés: a) 2% de interés simple mensual 
b) 6% de interés simple semestral c) 12% de interés simple anual. 
 
I = C. i. t “Interés Simple” 
a) 2% de interés simple mensual 
I = 5.600 ∗ 0.02 ∗ 3 = $336,00 
b) 6% de interés simple semestral 
0
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Interés Simple
I
t
I = 10t
I = 20t
I = 30t
38 
 
I = 5.600 ∗
0.06
6
∗ 3 = $168,00 
I = 5.600 ∗ 0.06 ∗
3
6
= $168,00 
c) 12% de interés simple anual. 
I = 5.600 ∗
0.12
12
∗ 3 = $168,00 
Nota: la tasa de interés y el tiempo deben estar en las mismas unidades, ej: si el 
tiempo está en meses, la tasa de interés también debe ser mensual. 
 
Monto a interés simple 
Es la cantidad de dinero acumulado resultante del capital original y el interés generado 
por el uso del dinero. 
C M=C+I
i
t 
𝐌 = 𝐂+ 𝐈 𝐌 = 𝐂 + 𝐂𝐢𝐭 
 
 𝐌 = 𝐂(𝟏 + 𝐢𝐭) “Monto a interés simple” 
 (𝟏 + 𝐢𝐭) “Factor de acumulación” 
 
Ejemplo 2: Encontrar el Monto de un capital de $10.000 invertido durante 3 meses con 
una tasa de interés a) i = 12% anual b) i = 12% trimestral c) i = 12% semestral 
d) i = 12% mensual 
 
M = C(1 + i. t) 
a) M = 10000 (1 +
0.12
12
∗ 3) = 10.300 
b) M = 10000 (1 +
0.12
3
∗ 3) = 11.200 
c) M = 10000 (1 +
0.12
6
∗ 3) = 10.600 
d) M = 10000(1 + 0.12 ∗ 3) = 13.600 
39 
 
 
Ejemplo 3: Un comerciante adquiere un lote de mercancía con valor de $6.500 que 
acuerda pagar haciendo un pago de inmediato por $2.500 y un pago final 6 meses después. 
Acepta pagar el 24%, de interés simple anual sobre el saldo. ¿Cuánto debe pagar dentro 
de 6 meses y el interés pagado? 
6.500
-2.500
4-000
M
i=24% anual
6
 
 
a) M = C(1 + i. t) M = 4.000 (1 +
0.24
12
. 6) = 4.480 
b) I = M − C I = 4.480 − 4000 = 480 
 
Ejemplo 4: Un inversionista deposita $150.000 en un fondo de inversiones bursátiles que 
garantiza un rendimiento del 2.8% mensual. Si la persona retira su depósito 24 días 
después. ¿Cuánto recibe? 
150.000
M
i=2.8% mensual
24 dìas
 
 
M = C(1 + i. t) M = 150.000 (1 +
0.028
30
. 24) = 153.600 
Valor actual o presente 
El valor actual o presente, representa la cantidad de dinero necesaria para tener una 
determinada cantidad de dinero en un determinado tiempo y a una tasa de interés. 
 
40 
 
C
M
t
i
 
M = C(1 + i. t) C =
M
1+i.t
 
C = M(1 + i. t)−1 “Valor presente o Valor actual” 
 
Ejemplo 5. Determine la cantidad de dinero necesaria para disponer en 14 meses $35.000 
con una tasa de interés simple del 8% cuatrimestral. 
C
M=$35.000
t=18 meses
i=8% cuatrimestral
 
C = M(1 + i. t)−1 
C = 35.000 (1 + 0.08 ∗
14
4
)
−1
= $27.343,75 
 
Ejemplo 6: María Luisa Delgadillo desea adquirir un inmueble dentro de 2 años. Supone 
que la cuota inicial en esa fecha será de $60.000. Si desea tener esa cantidad dentro de 2 
años, ¿Qué cantidad debe invertir en su depósito de renta fija que rinde 3% de interés 
simple mensual? 
C
M=60.000
i=3% mensual
2 años 
C = M(1 + i. t)−1 
 
C = 60.000(1 + 0.03 ∗ 2 ∗ 12)−1 = $ 34.883,72 
1.4 Funciones cuadráticas 
 
41 
 
Una función f que puede escribirse de la forma y = f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son 
constantes y a0; es llamada función cuadrática porque la variable independiente x está 
elevada a la segunda potencia. 
1.4.1 La parábola. 
El objetivo es estudiar la parábola que es la representación gráfica de la función 
cuadrática, muy utilizada en distintos análisis experimentales y económicos. Para graficar 
la parábola considere lo siguiente: 
a) Identifique las constantes numéricas a, b, c. 
b) Si a > 0, la parábola es cóncava hacia arriba ∪ . Si a < 0, la parábola es cóncava hacia 
abajo ∩. 
c) El punto (x, y) más alto o más bajo de la parábola se denomina vértice. Que tiene 
como coordenadas: 𝐕 (−
𝐛
𝟐𝐚
, 𝐟 (−
𝐛
𝟐𝐚
)). Por el vértice de la parábola pasa un eje de 
simetría. 
d) Intersecciones con los ejes. 
 Ejemplo1: Para la función: 𝐒 = 𝐟(𝐭) = 𝐭𝟐 − 𝟒𝐭 − 𝟓 . Encontrar el vértice, las 
intersecciones con los ejes, dominio y rango. Graficar la parábola. 
 
a) Coeficientes: a = 1 b = −4 c = −5 b) a > 0 ∪ 
c) Vértice: 
t = −
b
2a
= −
(−4)
2(1)
= 2 
S = (2)2 − 4(2) − 5 = −9 
V(2 , −9) 
d) Intersección con los ejes. 
Intersección eje t: S = 0 
t2 − 4t − 5 = 0 (t − 5)(t + 1) = 0 
42 
 
t = 5 t = −1 (5 , 0) (−1 , 0) 
Intersección con eje S: t = 0 
S = (0)2 − 4(0) − 5 = −5 (0 , −5) 
e) Dominio y rango de la función: Df: R; el rango determinamos con el grafico: Rf =
[−9,∞) 
f) Gráfica: 
 
1.4.2 Aplicaciones de funciones cuadráticas 
 Ejemplo 1: Si el precio (en dólares) de una videocinta es p = 40 −
q
10
, entonces se 
venderán q cintas. 
a) Encuentre una expresión para el ingreso total por la venta de q cintas. 
b) Encuentre el número de cintas que producirá el ingreso máximo. 
c) Encuentre el ingreso máximo. 
a) Ingreso: R = p ∙ q 
R = (40 −
q
10
) . q R = 40q −
q2
10
 
a = −
1
10
 b = 40 a < 0 ∩ 
b) Número de cintas (q) para ingreso máximo. 
43 
 
𝑉 (−
𝑏
2𝑎
; 𝑓 (−
𝑏
2𝑎
)) 
q = −
b
2a
 q = −
40
2(−
1
10
)
= 200 cintas 
c) Ingreso máximo (R). 
R = 40(200) −
(200)2
10
= $76 000 
(200, $76 000) 
 Ejemplo 2. Suponga que la demanda y la oferta de cierto producto está dado por las 
ecuaciones: p = 150 − 6q2 (Demanda ), y p = 10q2 + 2q (Oferta); donde p es el 
precio en cientos de dólares y q el número de unidades producidas. Determine el punto 
de equilibrio. Grafique. 
Punto de equilibrio: 
10q2 + 2q = 150 − 6q2 16q2 + 2q − 150 = 0 
8q2 + q − 75 = 0 (8q + 25)(q − 3) = 0 
q = −
25
8
 q = 3 
p = 150 − 6(3)2 = 96 (3 , 96) 
Gráfica: Se trata de 2 parábolas, donde únicamente interesa los valores de q > 0. 
 
44 
 
1.5 Función exponencial 
Definición y propiedades 
La función f definida por 𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝐛𝐱 ; donde 𝐛 > 𝟎; 𝐛 ≠ 𝟏 , y el exponente x es 
cualquier número real, se llama función exponencial de base b. 
Ejemplos: 
𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝟐𝐱−𝟑 𝐒(𝐭) = 𝐏(𝟏 + 𝐫)𝐭 
En muchas ocasiones para la solución de ecuaciones exponenciales necesitará recordar 
las reglas de los exponentes que se resumen: 
1. bmbn = bm+n 2. 
bm
bn
= bm−n 
3. (bm)n = bmn 4. (ab)n = anbn 
5. (
a
b
)
n
=
an
bn
 6. b1 = b 
7. b0 = 1 8. b−n =
1
bn
 
Estas reglas tendrán que utilizar por ejemplo para resolver la ecuación: 
5x+5
25x−3
= 3 
Graficas de función exponencial 
Para graficar la función exponencial tenga en cuenta sus conocimientos de gráficas en 
coordenadas rectangulares en lo referente a dominio, rango, etc. Estudiemos la gráfica de 
la función exponencial de base 𝐛 > 𝟏 y 𝟎 < 𝐛 < 𝟏 , para lo cual analicemos 
simultáneamente las gráficas de cada caso. 
 Graficar(1): 𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝟐𝐱 𝐲 = (
𝟏
𝟐
)
𝐱
 
a) Elabore tabla de valores. 
𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝟐𝐱 
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
y 0,0625 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8 16 
 
45 
 
𝐲 = 𝐟(𝐱) = (
𝟏
𝟐
)
𝐱
 
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
y 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125 0,0625 
 
b) Grafico 
 
 
De acuerdo a las gráficas podemos generalizar y definir las propiedades de la función 
exponencial: 𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝐛𝐱 
1. El dominio de la función son todos los números reales. El rango son todos los 
números reales positivos (y > 0) . 
2. Intersección con eje y: (0,1). No tiene intersección con eje x. 
3. Si b>1, la curva asciende de izquierda a derecha. Si 0<b<1, la curva desciende de 
izquierda a derecha. 
4. Si b>1, la gráfica se acerca al eje x conforme x se vuelve más negativa. Si 0<b<1, 
la gráfica se acerca al eje x, conforme x se vuelve más y más positiva. 
 
Graficar (2): 𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝟑𝐱+𝟐 
Tabla de valores: 
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 
y 0,0123 0,037 0,1111 0,3333 1 3 9 27 81 
 
x
y
46 
 
 
Graficar: 𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝟐𝐱
𝟐−𝟒 
Tabla de valores: 
x 0 -1 -2 -3 1 2 3 
y 0,063 0,125 1 32 0,125 1 32 
 
 
Graficar: y = f(x) =
1
2x
2−4
 
Tabla de valores: 
x -3 -2 -1 0 1 2 3 
y 0,0313 1 8 16 8 1 0,0313 
 
47 
 
 
 
1.5.1 Aplicaciones-Interés compuesto 
Una aplicación de la función exponencial, es el interés compuesto; en el interés simple el 
capital original sobre el que se calculan los intereses permanece sin variación alguna 
durante todo el tiempo que dura la operación. En el interés compuesto, en cambio,los 
intereses que se generan se suman al capital original en periodos establecidos y, a su vez, 
van a generar un nuevo interés adicional en el siguiente lapso. 
 
 
En este caso se dice que el interés se capitaliza y que se está en presencia de una operación 
de interés compuesto. 
En estas operaciones, el capital no es constante a través del tiempo, pues aumenta al final 
de cada periodo por la adición de los intereses ganados de acuerdo con la tasa convenida. 
48 
 
La cantidad de dinero acumulado por periodo de capitalización está dado por: 
M1 = C + I = C + C. i. t = C(1 + i(1))
1 = C(1 + i)1 
M2 = M1 + I = C(1 + i) + C(1 + i) . i. (1) = C(1 + i)
1(1 + i) = C(1 + i)2 
M3 = M2 + I = C(1 + t)
2 + C(1 + t)2. i. (1) = C(1 + i)2(1 + i) = C(1 + i)3 
En general para n periodos de capitalización la cantidad acumulada (Monto a interés 
compuesto es: 
𝐌 = 𝐂(𝟏 + 𝐢)𝐧 𝑺 = 𝑷(𝟏 + 𝒓)𝒏 
M: Monto o valor futuro a interés compuesto 
C: Capital 
i: Tasa de interés por período de capitalización 
n: Número de períodos de capitalización (anual, semestral, trimestral….) 
En los ejercicios a resolver es frecuente que como dato se exprese la tasa de interés en 
forma nominal, la fórmula de monto a interés compuesto puede expresarse: 
𝐌 = 𝐂(𝟏 +
𝐣
𝐦
)
𝐦.𝐭
 
Tomando la fórmula del monto podemos encontrar el resto de variables en estudio. 
 
M = C(1 + i)n Monto a interés compuesto 
C = M(1 + i)−n Valor actual o presente. 
n =
log
M
C
log(1+i)
 Tiempo (años, trimestres, semestres….) 
i = √
M
C
n
− 1 Tasa de interés (anual, trimestral, mensual) 
49 
 
 
Ejemplos: 
1. ¿Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300 000 si se 
reembolsa al año capital e interés y la tasa aplicada es de 24% anual convertible 
trimestralmente? 
 
M = C(1 +
j
m
)
m.t
 
M = 300.000 (1 +
0.24
4
)
1∗4
= $378.743,09 
2. KLM, invierte $100.000 en un proyecto minero que ofrece el 2.5% mensual de 
utilidad para los dos primeros años, 8% convertible trimestral para los 3 siguientes 
años y para los 2 últimos años el 28% convertible mensualmente. La empresa dispone 
que el capital original y las utilidades se mantengan en el proyecto, ¿Qué cantidad de 
dinero dispondrá al finalizar la inversión? 
 
 
 
M = C(1 + i)n 
M1 = 100.000(1 + 0.025)
2∗12 = $180 872,60 
M2 = 180 872,60 (1 +
0.08
4
)
3∗4
= $229 390,18 
M3 = 229 390,18 (1 +
0.28
12
)
2∗12
= $399 011,79 
 
i=8% a.c.t i=28%a.c.m 
50 
 
3. ¿Cuánto debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $50 000 dentro 
de 3 años y la tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente? 
 
 
 
M = C(1 + i)n 
50.000 = C (1 +
0.20
2
)
3∗2
 
C = $28.223,70 
 
4. Se realiza una inversión de $50 000 en un banco el día 1 de febrero. ¿En qué fecha 
valdrá $55 000 si la tasa de interés es de 15% compuesta mensualmente? 
 
 
 
M = C(1 + i)n 
55.000 = 50.000 (1 +
0.15
12
)
12xt
 
1.10 = 1.012512t 
log 1.012512t = log 1.10 t = 0.6394 años 
t ≅ 230 dias Fecha: 19 de septiembre 
 
5. Pablo Pérez depositó $100 000 en una cuenta bancaria hace 3 años y 9 meses. 
Actualmente tiene $208 862, y desea saber cuál es la tasa de interés que ha ganado si 
la capitalización es trimestral. 
51 
 
 
 
 
M = C(1 + i)n 
208.862 = 100.000(1 + i)3.75x4 
 (1 + i)15 = 2.08862 i = 2.08862
1
15 − 1 
i = 5.03% trimestral 
1.5.3 Población futura. 
La fórmula para calcular el crecimiento del dinero también puede aplicarse para 
determinar la población futura. 
𝐏𝐅 = 𝐏𝐀(𝟏 + 𝐫)
𝐧 
PF: Población futura 
PA: Población actual 
r: tasa de crecimiento poblacional 
n: periodo de tiempo 
 
6. Determine la población en el año 2020 de una ciudad que en el 2010 tenía 2’ 230 000 
habitantes en el 2010 y una tasa de crecimiento del 1.7% 
 
𝐏𝐅 = 𝐏𝐀(𝟏 + 𝐫)
𝐧 
PF = 2 230 000(1 + 0.017)
10 
PF = 2´639 456 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
7. La población de una ciudad se ha duplicado en 10 años. ¿Cuál ha sido su tasa de 
crecimiento poblacional? 
52 
 
 
 
PF = PA(1 + r)
n 
2PA = PA(1 + r)
10 (1 + r)10 = 2 
(1 + r)10/10 = 21/10 
r = 21/10 − 1 r = 7.18% anual 
 
8. ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un 
documento por $650 000 que incluye capital e intereses a 18% convertible 
trimestralmente, y tiene vencimiento en 18 meses? 
 
 
 
C = M(1 + i)−n 
C = 650.000 (1 +
0.18
4
)
−4∗1.5
 
C = $499.132,23 
1.5.4 Descuento compuesto 
 
Un pagaré puede ser negociado antes de la fecha de vencimiento, estableciéndose un 
descuento por esta transacción financiera. 
53 
 
 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 
𝐶 = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛 
𝐷𝐶 = 𝑀 − 𝐶 
 
6. Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagaré que incluye intereses a razón 
de 3% trimestral, y que será pagadero al cabo de un año. ¿Qué cantidad puede 
obtenerse por él si se descuenta al cabo de 4 meses a una tasa de interés de 12% 
convertible mensualmente? 
 
 
 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 
𝑀 = 50.000(1 + 0.03)1𝑥4 = 56.275,44 
𝐶 = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛 
𝐶 = 56.275,44(1 + 0.12/12)−8 = $51.969,42 
Ejemplo 3: Crecimiento de bacterias. En cierto cultivo crecen bacterias, y su número 
se incrementa a razón de 5% cada hora. Al inicio existían 400 bacterias (a) Determine 
una ecuación que proporcione el número, N, de bacterias después de t horas. (b) ¿Cuántas 
habrá al cabo de 1 hora? (c) ¿Y después de 4 horas? Dé sus respuestas al entero más 
cercano. 
a) Podemos asimilar este crecimiento a los descritos anteriormente. 
Po = 400 bacterias N = No(1 + r)t 
r = 5% tasa de crecimiento N = 400(1 + 0.05)t 
54 
 
t = horas N = 400(1.05)t 
b) P = 400(1.05)1 = 420 
c) P = 400(1.05)4 = 486 
 
Ejemplo 4: Planificación de servicio de agua potable. En la actualidad la ciudad de 
Quito (2015) tiene una población de 2´350.000 habitantes, se ha determinado 
estadísticamente que la población crecerá a razón del 1.7% anual. De los estudios actuales 
se desprende que el consumo de agua potable es de 150 litros/habitante por día. Determine 
la cantidad de metros cúbicos de agua por cada día necesarios para el año 2025. 
 
Población futura: P = Po(1 + r)
t 
P = 2´350.000(1 + 0.017)10 = 2´781.489 hab. 
Comsumo de agua dia en año 2025. 
Consumo día de agua = 2´781.489x0.15 = 417.223,35 m3/día 
1.5.5 Función exponencial de base e (2, 71828) 
Una función muy utilizada es la función exponencial 𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝐞𝐱 de base e, llamada 
base natural o de Euler, que corresponde a un número irracional cuyo valor aproximado 
a 5 decimales es de 2,71828. Función muy utilizada en análisis económicos y en 
problemas que implican crecimiento o declinación de estudios poblacionales, interés 
compuesto y decaimiento radiactivo. 
Para aclarar el valor de la base natural e, y su aplicación; supongamos que un capital de 
$1se invierte con una tasa de interés del 100% anual y con diferentes periodos de 
capitalización. 
n S 
1 2 
2 2,25 
5 2,48832 
20 2,6533 
50 2,69159 
100 2,70481 
1000 2,71692 
55 
 
2000 2,7176 
5000 2,71801 
100000 2,71827 
200000 2,71828 
500000 2,71828 
1000000 2,71828 
2000000 2,71828 
 
De los resultados, se puede concluir que cuando se tiene periodos grandes en un cierto 
lapso de tiempo, las modelaciones exponenciales con base e son aplicables. Para el 
análisis continuemos con el ejemplo 1 y supongamos que existe una capitalización 
continua. 
Para el caso la fórmula utilizada anteriormente se asemeja a: 𝐏 = 𝐏𝐨𝐞𝐫𝐭 
P = 150000 ∗ e(0.10x4) = $223 773,70 
Los resultados obtenidos con capitalización diaria y continua son similares. 
Aplicaciones:decaimiento radioactivo 
Los elementos radiactivos tienen la característica que decaen o disminuyen con el tiempo, 
donde la cantidad presente de radiactividad está representada por: 
N = NOe
−λt Donde: 
No = cantidad inicial en el tiempo t = 0 
λ = constante de decaimiento depende de material 
Como N disminuye con el tiempo, supongamos que T es el tiempo que tarda el elemento 
en disminuir a la mitad de su cantidad inicial, entonces: 
 N = No/2. 
No/2 = NOe
−λt 
Consideremos este hecho para demostrar que en cualquier intervalo T, la cantidad del 
elemento radiactivo decaerá a la mitad, si tenemos el intervalo de tiempo t hasta t+T que 
tiene longitud T: 
56 
 
NOe
−λ(t+T) = NOe
−λt ∗ e−λT = (NOe
−λT)e−λt 
=
No
2
 e−λt =
1
2
(NOe
−λt) 
Que corresponde a la mitad de la cantidad en el tiempo t; se desprende que si la cantidad 
inicial No fuera de un gramo, en el tiempo T seria de ½ gramo y en el tiempo 2T de ¼ , y 
así sucesivamente. 
 
Ejemplo 6: Decaimiento radioactivo. A un cierto tiempo hay 75 miligramos de una 
sustancia radioactiva, la cual decae de modo que después de t años el número de 
miligramos presentes, N, está dado por: N = Noe−0.045t . ¿Cuántos miligramos están 
presentes después de 10 años? Dé su respuesta al miligramo más cercano? 
N = 75e−0.045x10 = 47.82 mg N = 48 mg 
Ejemplo 7: Las ventas de un producto crecen a menudo muy rápidamente al principio y 
luego se nivelan con el tiempo. Por ejemplo, suponga que las ventas S(x), en alguna 
unidad apropiada, de un modelo de calculadora están aproximadamente por:𝐒(𝐱) =
𝟏𝟎𝟎𝟎 − 𝟖𝟎𝟎𝐞−𝐱; donde x representa el número de años que la calculadora ha estado en 
el mercado. Calcule S(0), S(1), S(2), S(3)y S(4). Dibuje la gráfica. 
x 0 1 2 3 4 
S(x) 200 705,7 891,73 960,17 985,35 
 
57 
 
 
1.6 Función logarítmica 
La función logarítmica de base b, donde 𝐛 > 1 y b ≠ 1. Se define como: 
𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐱 𝐬𝐢 𝐲 𝐬𝐨𝐥𝐨 𝐬𝐢 𝐛
𝐲 = 𝐱 
Definición y propiedades 
La primera inquietud que tendrá será encontrar el logaritmo de un número, en las 
calculadoras tiene el logaritmo (log) de base 10 y el logaritmo natural (ln) de base e 
(2.718281…); para el caso de otras bases se puede utilizar la definición de ser posible y 
en el caso de no ser posible utilice la propiedad del cambio de base y poder utilizar la 
calculadora. 
Ejemplos: 
1. log 5 = 0.698970 2. ln 5 = 1.6094379 
3. log3 27 = y .Utilice la definición de logaritmo 
3y = 27 33 = 27 y = 3. 
log3 27 = 3. Se deduce que el logaritmo de un número es un exponente. 
5. log2 32 = 𝑦 
32 = 2𝑦 32 = 25 𝑦 = 5 
log2 32 = 5 
 
4. log4 1024 = y 
1024 = 4𝑦 
58 
 
45 = 1024 log4 1024 = 5 
5. log 0.0001 =? 
10−4 = 0.0001 log 0.0001 = −4 
6. log7 50 = y 
50 = 7𝑦 𝑦 =? 
7y = 50. No se puede encontrar un exponente entero que nos de cómo resultado 50; es 
necesario utilizar la propiedad de cambio de base. 
𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐱 =
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐱
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛
 
Lógicamente se utiliza el logaritmo que tiene en su calculadora. 
log7 50 =
log 50
log 7
= 2.01038 log7 50 =
ln 50
ln 7
= 2.01038 
log4 1024 =
𝑙𝑜𝑔1024
𝑙𝑜𝑔4
= 5 
log9 56 =
𝑙𝑜𝑔56
𝑙𝑜𝑔9
= 1.8320 
Es necesario que conozca y domine las propiedades de los logaritmos, que se resumen a 
continuación: 
 
1. log𝑏 𝑥 + log𝑏 𝑦 = log𝑏 𝑥 ∗ 𝑦 
2. log𝑏 𝑥 − log𝑏 𝑦 = log𝑏
𝑥
𝑦
 
3. log𝑏 𝑥
𝑚 = 𝑚 log𝑏 𝑥 
4. log𝑏 1 = 0 
5. log𝑏 𝑏
𝑥 = 𝑥 
6. 𝑏log𝑏 𝑥 = 𝑥 
7. log𝑏 𝑥 = log𝑏 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑥 = 𝑦 
8. 𝑏𝑥 = 𝑏𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑥 = 𝑦 
9. log𝑏 𝑥 =
ln 𝑥
ln𝑏
 
 
59 
 
Ejemplo 1: Exprese como un solo logaritmo. 
𝐥𝐨𝐠(𝐱 + 𝟑) − 𝐥𝐨𝐠(𝐲 + 𝟓) + 𝐥𝐨𝐠(𝐳 − 𝟏) 
= log
(x + 3)
(y + 5)
+ log(z − 1) = log
(x + 3)(z − 1)
(y + 5)
 
Ejemplo 2: 𝑙𝑜𝑔𝑥 − log(𝑥 + 1) + log(𝑥 − 3) − log(2𝑥 − 5) 
= 𝑙𝑜𝑔
𝑥(𝑥 − 3)
(𝑥 + 1)(2𝑥 − 5)
 
Ejemplo 2: Exprese como un solo logaritmo. 
𝟏
𝟑
[𝐥𝐨𝐠(𝐱 + 𝟑) + 𝟐 𝐥𝐨𝐠(𝟐𝐱 − 𝟏) − 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝐱 + 𝟓 𝐥𝐨𝐠(𝟏 − 𝟖𝐱)] 
=
1
3
[log(x + 3) + log(2x − 1)2 − log x3 + log(1 − 8x)5] 
=
1
3
[log
(x + 3)(2x − 1)2(1 − 8x)5
x3
] 
= log [
(x + 3)(2x − 1)2(1 − 8x)5
x3
]
1/3
 
= log √
(x + 3)(2x − 1)2(1 − 8x)5
x3
3
 
Graficas de función logarítmica 
Al igual que con la función exponencial, hagamos el mismo análisis con la función 
logarítmica. Estudiemos la gráfica de la función logarítmica de base b > 1 y 0 < b < 1, 
para lo cual analicemos simultáneamente las gráficas de cada caso. 
 
Graficar: y = f(x) = log3 x y = f(x) = log1/3 x 
 
a) Dominio de la función: Df = ( 0 ,∞ ) 
b) Rango de la función: De acuerdo a los gráficos Rf = R 
c) Elabore tabla de valores. 
 
60 
 
y = f(x) = log3 x Transforme a exponencial x = 3
y 
Elabore tabla de valores, de valor a y para encontrar x. 
y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
x 0,0123 0,037 0,1111 0,3333 1 3 9 27 81 
 
y = f(x) = log1/3 x x = (
1
3
)
y
 
y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
x 81 27 9 3 1 0,3333 0,1111 0,037 0,0123 
 
 
Ejemplo: Graficar: y = f(x) = log2(x − 3) + 1 
Expresar como una función exponencial: 
y − 1 = log2(x − 3) x − 3 = 2
y−1 
x = 2y−1 + 3 
Tabla de valores: 
 
61 
 
y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
x 3,03 3,06 3,13 3,25 3,5 4 5 7 11 
 
 
1.6.1 Aplicaciones de función logarítmica 
Ejemplo 9: Encuentre el tiempo para que un capital de $25.000 se transforme en $30.000 
con una tasa de interés del 5% capitalizable semestralmente. 
S = P(1 + r)t 
30.000 = 25.000 (1 +
0.05
2
)
t∗2
 1.2 = 1.0252t 
log 1.2 = 1og 1.0252t 2t ∗ log 1.025 = log1.2 
2𝑡 =
𝑙𝑜𝑔1.2
𝑙𝑜𝑔1.025
 
t =
(
log1.2
log1.025
)
2
= 3.69 años 
Ejemplo 10: Bebidas y conducción de automóviles: Poco después de consumir una 
dosis sustancial de whisky, el nivel de alcohol en la sangre de una persona sube a un nivel 
de 0.3 miligramos por mililitro (mg/ml). De ahí en adelante, este nivel decrece de acuerdo 
con la formula (0.3)(0.5)t, en donde t es el tiempo medido en horas a partir del instante 
en que se alcanza el nivel más alto. ¿Cuánto tendrá que esperar esa persona para que 
62 
 
pueda conducir legalmente su automóvil?(En su localidad, el límite legal es de 0.08 
mg/ml de alcohol en la sangre). 
L = 0.3 (0.5)t “Cantidad de alcohol en la sangre” 
0.08 = 0.3 (0.5)t log 0.5t = log
0.08
0.3
 
t =
log (
0.08
0.3 )
log 0.5
 t = 1.91 horas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 UNIDAD II: Derivada y sus aplicaciones 
 
 
2.1 Incrementos y tasas 
El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una variable cuando cambia 
otra variable de la cual depende la variable original. 
 
∆x = x2 − x1 x2 = x1 + ∆x 
∆y = y2 − y1 ∆y = f(x2) − f(x1) 
∆y = f(x1 + ∆x) − f(x1) Si ∶ x1 = x 
 ∆𝐲 = 𝐟(𝐱 + ∆𝐱) − 𝐟(𝐱) 
64 
 
 Ejemplo 1: Determine ∆y; si y = f(x) = x2 + 1 para a) x = 1 y ∆x = 0.02 b) x =
1 para cualquier ∆x 
a) ∆y = f(x + ∆x) − f(x) 
 ∆y = f(1 + 0.02) − f(1) 
 ∆y = [(1.02)2 + 1] − [(1)2 + 1] = 0.0404 
b) ∆y = f(1 + ∆x) − f(1) 
 ∆y = [(1 + ∆x)2 + 1] − [(1)2 + 1] 
 ∆y = 1 + 2∆x + ∆x2 + 1 − 2 
 ∆y = 2∆x + ∆x2 
 ∆y = 2(0.02) + (0.02)2 = 0.0404 
 Ejemplo 2: El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende 
del precio por litro. Si p es el precio por litro en centavos, se encuentra que el volumen 
de venta q (en litros por día) está dado por: q = 500(150 − p). Calcule el incremento 
en el volumen de ventas que corresponde a un incremento el precio de 120centavos 
a 130 centavos por litro. 
p1 = 120 p2 = 130 ∆p= 10 
∆q= f(p + ∆p) − f(p) 
 ∆q= f(120 + 10) − f(120) ∆q= f(130) − f(120) 
∆q= [500(150 − 130)] − [500(150 − 120)] = −5000 litros/dia 
Al producirse un incremento en el precio de 10 centavos decrece el volumen de venta 
en 5000 litros de gasolina. 
Tasa de cambio promedio: de una función f sobre un intervalo de x a x + ∆x , se 
define como la razón ∆𝐲 ∆𝐱 . 
65 
 
 
∆y
∆x
=
f(x + ∆x) − f(x)
(x + ∆x) − x
 
 
∆𝐲
∆𝐱
=
𝐟(𝐱 + ∆𝐱) − 𝐟(𝐱)
∆𝐱
 
 La línea PQ es una línea secante que tiene como pendiente igual a ∆y ∆x . 
𝐦𝐬𝐞𝐜 =
∆𝐲
∆𝐱
 
 Ejemplo 3: Cuando se le da cierta droga a una persona, su reacción se mide mediante 
los cambios de temperatura, variación de pulso y otros cambios fisiológicos. La fuerza 
S de la reacción depende de la cantidad x de la droga administrada y está dada por: 
S(x) = x2(5 − x) . 
Determine el promedio de la razón de cambio en la fuerza de reacción cuando la 
cantidad de unidades de droga cambia de x = 1 a x = 3. 
x = 1 a x = 3 ∆x = 3 − 1 ∆x = 2 
∆S
∆x
=
S(x + ∆x) − S(x)
∆x
 
 
∆S
∆x
= 
S(1 + 2) − S(1)
2
 
66 
 
 
∆S
∆x
= 
[(3)2(5 − 3)] − [(1)2(5 − 1)]
2
 
 
∆S
∆x
= 7 
2.1.1 Límites. 
El límite cuando x se acerca (o tiende) a a, es el número L, siempre que f(x) esté 
arbitrariamente cercana a L para toda x lo suficientemente cerca, pero diferente de a. 
 L f(x)lim
ax


 
En otras palabras; no estamos interesados en lo que le pasa a f(x) cuando x es igual a a, 
sino lo que le sucede a f(x) cuando x está muy cerca de a. 
 
Podemos acercarnos a a; tanto por izquierda como por derecha, entonces para que exista 
límite; el límite por izquierda y por derecha deben ser iguales, e igual a L. 
 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐟(𝐱) = 𝐋 ; 𝐞𝐱𝐢𝐬𝐭𝐞; 𝐬𝐢 𝐲 𝐬𝐨𝐥𝐨 𝐬𝐢: 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚+
𝐟(𝐱) = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚−
𝐟(𝐱) =𝐋 
 
Una función y = f(x) no puede estar definida para 𝑥 = 𝑎; pero si tiene límite, para aclarar 
lo expuesto, hagamos el análisis en base al ejemplo siguiente: 
 
67 
 
1. Estime el limite si existe: 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟏
𝐱𝟑−𝟏
𝐱−𝟏
 
Para 𝑥 = 1; no esta definida la función (
0
0
), investiguemos cuando x tiende a 1, tanto 
por derecha como izquierda. 
 
 
IZQUIERDA DERECHA 
x 0,99 0,999 0,9999 0,99999 1,00001 1,0001 1,001 1,01 
f(x) 2.9701 2.9970 2.9997 2.99997 3.00003 3.0003 3.0030 3.0301 
 
lim
x→1−
x3−1
x−1
= 3 lim
x→1+
x3−1
x−1
= 3 
Como el límite por la izquierda y derecha son iguales podemos concluir que: 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟏
𝐱𝟑−𝟏
𝐱−𝟏
= 𝟑 
2. Estime el limite si existe: lim
x→−2
√x2 − 4 
Para 𝑥 = −2; está definida y existe (=0), analicemos el límite: 
 
IZQUIERDA DERECHA 
x -2,01 -2,001 -2,0001 -2,00001 -1,99999 -1,9999 -1,999 -1,99 
f(x) 0,2002 0,06325 0,02 0,006325 NE NE NE NE 
 
lim
x→−−2−
√x2 − 4 = 0 lim
x→−−2+
√x2 − 4 = NE 
Como el límite por la izquierda y derecha no son iguales podemos concluir que: 
lim
x→−2
√x2 − 4 No existe (NE) 
 
Conclusión: 
De los ejemplos anteriores, se concluye que una función no puede estar definida, 
pero si existe límite y lo contrario, puede estar definida pero no existe límite. 
 
 
 
 
2 0 
68 
 
3. Estimar gráficamente si existe límite. 
𝑎) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) 𝑏) lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) 
𝑐) lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥) 𝑑) lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) 
 
a) lim
x→2
f(x) = 6 
b) lim
x→−1
f(x) = No existe 
lim
x→−1+
f(x) = 2 lim
x→−1−
f(x) = 1 
c) lim
x→−3
f(x) = 0 
d) lim
x→∞
f(x) = ∞ 
Propiedades de los límites 
Para el cálculo de los límites, entre otras, utilizamos las reglas siguientes: 
1. lim
x→a
c = c 
2. lim
x→a
f(x) = f(a) 
3. lim
x→a
[f(x) ± g(x)] = lim
x→a
f(x) ± lim
x→a
g(x) 
4. lim
x→a
[f(x). g(x)] = lim
x→a
f(x) . lim
x→a
g(x) 
5. lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
 
6. lim
x→a
√f(x)
n = √f(a)
n 
7. lim
x→a
c. f(x) = c. lim
x→a
f(a) 
8. lim
x→a
c[f(x) ± g(x)] = c[f(a) ± g(a)] 
69 
 
 
Ejemplos propuestos 
Encuentre los límites si existen. 
1. lim
𝑥→−2
5𝑥2 + 3𝑥 − 100 
= 5(−2)2 + 3(−2) − 100 = −86 
2. lim
𝑦→8
 
√2𝑦2−7
𝑦−3
 
=
√2(8)2−7
8−3
=
11
5
 
3. lim
𝑥→10
−30 
= −30 
4. lim
𝑥→3
√𝑥−3
2𝑥2−3𝑥−18
 
=
√3−3
2(3)2−3(2)−18
=
0
−9
= 0 
5. lim
x→−2
x2−3x+5
3x2+2x−1
 
=
(−2)2−3(−2)+5
3(−2)2+2(−2)−1
=
15
7
 
 
Límites de la forma (0/0) 
Cuando al remplazar el límite; se obtiene como resultado 𝟎 𝟎 ; significa que debemos 
realizar manipulación algebraica como; factorar, racionalizar, etc. 
Ejercicios: Encontrar los limites si existen. 
1. lim
x→1
x3−1
x−1
 
=
(1)3−1
1−1
=
0
0
 Forma: 
0
0
 
𝑥3 − 𝑎3 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2) 
𝑥3 − 13 = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) 
lim
x→1
(x−1)(x2+x+1)
(x−1)
 
= (1)2 + 1 + 1 = 3 
2. lim
𝑥→−2
𝑥2+3𝑥+2
𝑥2−𝑥−6
 
=
(−2)2+3(−2)+2
(−2)2−(−2)−6
=
0
0
 Forma: 
0
0
 
lim
𝑥→−2
(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)
 
70 
 
=
−2 + 1
−2 − 3
=
1
5
 
3. lim
𝑥→36
√𝑥−6
𝑥−36
 
=
√36−6
36−36
=
0
0
 Forma: 
0
0
 
Racionalizar el numerador. 
lim
𝑥→36
(√𝑥−6)(√𝑥+6)
(𝑥−36)(√𝑥+6)
 ; lim
𝑥→36
(𝑥−36)
(𝑥−36)(√𝑥+6)
 
=
1
√36+6
=
1
12
 
Límites de la forma 𝐊 𝟎 
Si al remplazar el límite se obtiene como resultado, una constante dividida para cero, 
(FORMA K/0); para encontrar el límite; necesariamente debemos hacer el análisis de 
límites por izquierda y por derecha. 
Ejemplos: Calcule el limite si existe 
1. lim
𝑥→−2
𝑥2+4
𝑥+2
 
=
(−2)2+4
−2+2
=
8
0
 Forma: 
𝐾
0
 
 
Análisis por derecha y por izquierda. 
 
lim
x→−2+
x2 + 4
x + 2
=
8
−1,999… . .99 + 2
=
8
0,000…001
= ∞ 
lim
x→−2−
x2 + 4
x + 2
=
8
−2,000…001 + 2
=
8
−0,000…001
= −∞ 
Como el límite por izquierda y por derecha, no son iguales, concluimos que: 
lim
x→−2
x2+4
x+2
= No existe 
 
2. lim
𝑥→3
3𝑥−1
(𝑥−3)2
 
=
3(3)−1
(3−3)2
=
8
0
 Forma: 
𝐾
0
 
71 
 
 
 
lim
𝑥→3+
3𝑥 − 1
(𝑥 − 3)2
=
8
(3,00…001 − 3)2
=
8
(0.00…001)2
=
8
0,00…001
= ∞ 
lim
𝑥→3−
3𝑥 − 1
(𝑥 − 3)2
=
8
(2,99…999 − 3)2
=
8
(−0.00…001)2
=
8
0,00…001
= ∞ 
lim
𝑥→3
3𝑥−1
(𝑥−3)2
= ∞ Porque límite por derecha e izquierda son iguales. 
A los límites por izquierda y por derecha se les denomina límites laterales. 
 
Límites al infinito 
Para el cálculo de límites al infinito; consideremos lo ejemplos siguientes: 
1. lim
𝑥→−∞
15 
El límite de una constante es la misma constante. 
= 15 
2. lim
𝑥→∞
3𝑥3 − 5𝑥2 − 1000𝑥 + 4 
= 3(∞)3 − 5(∞)2 − 1000(∞) + 4 =? 
El límite de un polinomio cuando x tiende a ∞ o a - ∞; es el mismo del término que 
involucra la mayor potencia de x. 
lim
𝑥→∞
3𝑥3 
= 3(∞)3 = ∞ 
3. lim
𝑥→−∞
8𝑥3−5𝑥2+3𝑥−26
3−2𝑥+9𝑥2−4𝑥4
 
El límite de funciones racionales cuando x tiende a ∞ o a - ∞, tomamos el mayor de los 
exponentes, tanto del numerador como del denominador. 
lim
𝑥→−∞
8𝑥3
−4𝑥4
 ; lim
𝑥→−∞
−
2
𝑥
 
72 
 
= −
2
−∞
= 0 
4. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(
𝟕𝒙𝟐+𝟓
𝟐𝒙𝟑−𝟏
− 𝟑) 
 
= lim
𝑥→∞
(
7𝑥2
2𝑥3
− 3) = lim
𝑥→∞
(
7
2𝑥
− 3) 
= (
7
2(∞)
− 3) = (
7
∞
− 3) 
(0 − 3) = −3 
 
5. lim
𝑥→−∞
√𝑥−1
𝑥+3
 
lim
𝑥→−∞
√𝑥
𝑥
 ; lim
𝑥→−∞
1
√𝑥 
 
=
1
√∞
=
1
∞
= 0 
 
2.1.2 Continuidad aplicada a las desigualdades 
Estudió desigualdades lineales, teniendo como resultado un intervalo. Ahora el estudio 
de desigualdades no lineales; el método consiste en encontrar los ceros de la función, es 
decirlos puntos de intersección con el eje x y los puntos en los cuales la función no está 
definida. Para explicar el método de solución, consideremos el ejemplo siguiente: 
 
Resolver las desigualdades indicadas: 
 Recuerde la solución de desigualdades lineales. 
2𝑥 + 5 < 4𝑥 − 1 − 2𝑥 < −6 
𝑥 > 3 𝑆𝑜𝑙: (3,∞) 
1. 
𝑥
𝑥2−9
< 0 
a. Factoramos si es posible la expresión. 
𝑥
(𝑥−3)(𝑥+3)
< 0 
b. Igualamos a 0; independientemente numerador y denominador. Los valores 
obtenidos, los ubicamos en la recta de los reales y determinamos los intervalos, 
73 
 
𝑥 = 0 
𝑥 − 3 = 0 𝑥 = 3 
𝑥 + 3 = 0 𝑥 = −3 
De cada uno de los intervalos tomamos un valor no extremo y evaluamos en la función, 
en la que no interesa el valor, sino el signo. 
 
Escogemos los intervalos que satisfacen la desigualdad   0  . 
 Solución: (−∞ ; −3) ∪ (0 ; 3) 
2. 
2𝑥−1
𝑥2+𝑥−6
≥ 0 
 
2𝑥−1
(𝑥−2)(𝑥+3)
≥ 0 
 
2𝑥 − 1 = 0 𝑥 = 1 2 
𝑥 − 2 = 0 𝑥 = 2 
𝑥 + 3 = 0 𝑥 = −3 
 
 
 
Solución: (−3; 1/2] ∪ (2 ; ∞) 
 
3. Participación en talleres. Imperial Education Service (IES) está ofreciendo un curso 
de procesamiento de datos a personal clave en la compañía Zeta. El precio por persona 
es de $50 y la compañía Zeta garantiza que al menos asistirán 50 personas. Suponga 
(-) (-) (+) (+)
(-) (-) (-) (+)
(-) (+) (+) (+)
(-) (+) (-) (+)
𝐱
𝐱 −𝟑
𝐱 +𝟑
−∞ −3 0 3 ∞(−4) (−1) (1) (4)
(-) (-) (+) (+)
(-) (-) (-) (+)
(-) (+) (+) (+)
(-) (+) (-) (+)
𝟐𝐱 −𝟏
𝐱 −𝟐
𝐱 +𝟑
−∞ −𝟑 𝟏/𝟐 𝟐 ∞(−4) (0) (1) (3)
74 
 
que el IES ofrece reducir el costo para todos en $0.50 por cada persona que asista 
después de las primeras 50. ¿Cuál es el límite del tamaño del grupo que el IES 
aceptará, de modo que el ingreso total nunca sea menor que lo recibido por 50 
personas? 
a. Planteamiento. Sea x, el número de personas adicionales que asistan al curso. El 
ingreso total está dado por el número de personas que asistan al curso por el costo por 
persona. 
𝑅 ≥ (50)($50) “Ingreso total propuesto” 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑥 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 ≥ 2500 
(50 + 𝑥)(50 − 0.50𝑥) ≥ 2500 “Ingreso total con disminución de costo” 
2500 − 25𝑥 + 50𝑥 − 0.50𝑥2 ≥ 2500 
−0.50𝑥2 + 25𝑥 ≥ 0 
b. Utilice el método para la solución de desigualdades no lineales. 
𝑓(𝑥) = 𝑥(−0.50𝑥 + 25) 𝑥 = 0,50 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 
 
 
       
        0 ) x ( f ) 51 ( f , 50 
 0 ) x ( f ) 1 ( f 50 , 0 


 
Solución:   50 , 0 
Comprobación: Pueden asistir hasta 100 personas con un precio de $25. 
2.1.3 La derivada 
Recordemos, el cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una variable 
cuando cambia otra variable de la cual depende la variable original. 
Todas las ciencias están interesados en medir los cambios, la Física está interesada por el 
ejemplo como cambia de posición un objeto en relación al tiempo así como los 
productores desean conocer cómo cambia el costo de producción en relación al 
incremento de la producción, entre otros. 
75 
 
Matemáticamente se puede medir esos cambios con la pendiente de la recta que es la 
relación entre el cambio vertical en relación con el cambio horizontal (∆𝑦 ∆𝑥 ), pero no 
todas las relaciones entre variables son lineales. 
Uno de los problemas principales que se ocupa el cálculo es encontrar la variación de P 
a Q, una aproximación seria considerar que la variación es lineal y se puede calcular la 
variación con la pendiente de la línea secante entre esos dos puntos. 
En la aproximación se puede apreciar que existe una diferencia entre la recta y el arco de 
curva, diferencia que se hace más pequeña conforme Q sea acerca a P y prácticamente no 
existe cuando 𝐡 → 𝟎 y la línea secante se convierte en tangente. 
 
 
Encontremos la pendiente de la línea secante PQ. 
msec =
f(x + h) − f(x)
(x + h) − x
 
msec =
f(x + h) − f(x)
h
 
Si Q se acerca hasta el límite a P; la pendiente de la secante tiende a ser la pendiente de 
la línea tangente, cuando h 0 . La pendiente de la línea tangente a la curva en el punto 
P, se llama la derivada por la definición. 
mtan = lim
h→0
msec 
mtan = y´ =
dy
dx
= f´(x) 
76 
 
Derivada por la definición: 
𝐲´ =
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝐟´(𝐱) = 𝐥𝐢𝐦
𝐡→𝟎
𝐟(𝐱 + 𝐡) − 𝐟(𝐱)
𝐡
 
La derivada por la definición representa la pendiente de la recta tangente a la 
curva en un punto. 
 
Ejercicios resueltos. 
1. Encontrar la ecuación de la línea tangente a la curva;𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝐱𝟐 − 𝟒𝐱 − 𝟓; en el 
punto (3 , −8) 
Para encontrar la ecuación de la recta tangente, aplicamos la ecuación punto-
pendiente 𝐲 − 𝐲𝟏 = 𝐦(𝐱 − 𝐱𝟏) , donde no se conoce la pendiente, que se puede 
determinar con el concepto de derivada. 
a. Calculamos la derivada de la función. 
y´ = f´(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
 
y´ = f´(x) = lim
h→0
[(x + h)2 − 4(x + h) − 5] − (x2 − 4x − 5)
h
 
y´ = f´(x) = lim
h→0
x2 + 2hx + h2 − 4x − 4h − 5 − x2 + 4x + 5
h
 
y´ = f´(x) = lim
h→0
2hx + h2 − 4h
h
 
y´ = f´(x) = lim
h→0
h(2x + h − 4)
h
 
y´ = f´(x) = 2x + 0 − 4 
y´ = f´(x) = 2x − 4 
 
b. Al reemplazar el punto (3 , −8) en la derivada, encontramos la pendiente. 
y´(3) = f´(3) = m = 2(3) − 4 ; m = 2 
c. Con la pendiente (m = 2) y el punto (3, -8); encontramos la ecuación de la recta. 
y + 8 = 2(x − 3) ; 𝐲 = 𝟐𝐱 − 𝟏𝟒 
 
77 
 
 
2. Encuentre la pendiente de la curva 𝐲 = 𝐟(𝐱) =
𝟐
𝟑𝐱−𝟏
, en el punto (−2,3). 
a. Recuerde la derivada, representa la pendiente de la línea tangente en un punto de la 
curva. 
y´ = f´(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
 
y´ = lim
h→0
2
3(x + h) − 1
−
2
3x − 1
h
 ; y´ = lim
h→0
2(3x − 1) − 2(3x + 3h − 1)
(3x + 3h − 1)(3x − 1)
h
 
y´ = lim
h→0
6x − 2 − 6x − 6h + 2
(3x + 3h − 1)(3x − 1)
h
 ; y´ = lim
h→0
−6h
(3x + 3h − 1)(3x − 1)
h
 
y´ = lim
h→0
−6h
h(3x + 3h − 1)(3x − 1)
 ; y´ = lim
h→0
−6
(3x + 3h − 1)(3x − 1)
 
y´ =
−6
(3x + 3(0) − 1)(3x − 1)
 ; y´ =
−6
(3x − 1)(3x − 1)
 
y´ = −
6
(3x − 1)2
 
b. Reemplazar la coordenada x en la derivada y se obtiene la pendiente. 
y´(−2) = m = −
6
(3(−2) − 1)2
 ; m = −
6
49
 
2.2 Reglas de derivación. 
78 
 
 
El proceso de derivación por medio de la definición; resulta un proceso largo y tedioso; 
por fortuna existen reglas; que permiten efectuar la diferenciación en forma mecánica y 
eficiente. Estas reglas las resumimos en 3. 
 
 
1. 𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝐜 𝐲´ = 𝐟´(𝐱) = 𝟎 
2. 𝐲 = 𝐟(𝐱) = 𝐜𝐱𝐧 𝐲´ = 𝐜. 𝐧. 𝐱𝐧−𝟏 
3. 𝐲 = 𝐜. 𝐟(𝐱) 𝐲´ = 𝐜. 𝐟´(𝐱) 
 
 
Ejemplos: Determine la derivada de las funciones aplicando las reglas de derivación: 
 
1. y = f(x) = −51 
y´ = f´(x) = 0 
 
2. y = f(x) = 8x7 
y´ = f´(x) = 56x6 
 
3. y = f(x) = 5√x3
5
 
y = 5x3/5 
y´ = 3x−2/5 
 
4. y = 5x4 − 3x2 − 8x −
9
x3
 
y = 5x4 − 3x2 − 8x − 9x−3 
y´ = 20x3 − 6x − 8 + 27x−4 
 
5. y = 9 ∗ (5x3 − 4x + 2) 
Recuerde: y = c. f(x) y´ = c. f´(x) 
y´ = 9 ∗ (15x2 − 4) 
 
6. S =
5t2
√t
4 
79 
 
S =
5t2
t1/4
 ; S = 5t7/4 
S´ =
35
4
t3/4 
 
7. y =
9x4−4x3−5x+3
2x
 
y =
9x4
2x
−
4x3
2x
−
5x
2x
+
3
2x
 
y =
9
2
x3 − 2x2 −
5
2
+
3
2
x−1 
y´ =
27
2
x2 − 4x −
3
2
x−2 
 
8. 𝑦 = 9
(3𝑥4−2𝑥2−7)
7
 
𝑦´ =
9
7
(12𝑥3 − 4𝑥) 
𝑦´ =
36
7
𝑥(3𝑥2 − 1) 
 
9. 𝑦 =
√𝑥3
4
√𝑥2
5 (2𝑥 − 1) 
𝑦 =
𝑥
3
4
𝑥
2
5
(2𝑥 − 1) ; 𝑦 = 𝑥
7
20(2𝑥 − 1) 
𝑦 = 2𝑥27/20