PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-11

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raíz doble, se elimina x entre fx′ y fz′ . Como fx′  3x2 − m  0, fz′  −2mx  3−  m  0, se tiene que:
x  3m − 2m 
m
3 . Operando, se obtiene: 4m
3 − 272m2  54m − 272  0. Hay que obligar a
que dos de las raíces sean perpendiculares, es decir: m1m2  −1. Se tiene que: m1  m2  m3  27
2
4 ,
m1m2  m1m3  m2m3 
27
2 , m1m2m3 
272
4 . Haciendo m1m2  P, m1  m2  S, se tiene que:
S  m3  27
2
4 , P  m3S 
27
2 , Pm3 
272
4 . Como P  −1, se tienen las siguientes igualdades:
m3 
−272
4 , S 
272
4 
272
4 , −1 
−272S
4 
27
2 . Igualando los valores de S obtenidos de las
dos últimas ecuaciones, operando y sustituyendo ,  por x, y, se tiene la ecuación del lugar geométrico
pedido: 729y4  729x2y2  216xy  16  0.
C 33- Hallar el lugar geométrico del centro de las circunferencias que pasan por un punto dado A y son
tangentes a una recta dada.
Solución:
O
A
B
O
A
B
Tomando como eje OX la recta dada y como coordenadas de A0,a, sea el centro O de la circunferencia
, y su radio OB  . La ecuación de la circunferencia es: x − 2  y − 2 − 2  0. Como pasa
por 0,a, 2  a − 2 − 2  0, es decir: 2  a2 − 2a  0. Como es tangente a y  0 en B, se tiene:
x − 2  2 − 2  0. Luego: x  . La ecuación pedida es: x2 − 2ay  a2  0. El dibujo de esta
parábola para a  4, es el siguiente:
-4 -2 0 2 4
2
4
C 34- Hallar el lugar geométrico de un punto fijo situado en el plano de un círculo, cuando este rueda sin
deslizamiento sobre un círculo dado, al que es tangente bien por su exterior, bien por su interior.
Solución:
ω
θ
O C
P
T
C’
T’
T’’
P’
ω
θ
O C
P
T
C’
T’
T’’
P’
Sea O el centro del círculo fijo de radio R, sea C el centro del círculo de radio r, que gira tangente a aquel,
y sea P el punto fijo situado en el círculo C a una distancia d de su centro, es decir, PC  d. Tomando O
como origen de coordenadas, y OTPC como eje OX (ver la figura), se tiene: O0,0, TR, 0, CR  r, 0,
PR  r − d, 0. Tras girar el ángulo , las coordenadas de C ′ (nueva posición del centro C) son:
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R  rcos, R  r sin. El punto de tangencia T ha rotado hasta T ′, siendo T ′′ el nuevo punto de
tangencia, de forma que el arco TT ′′  R arco T ′′T ′  r. Luego   Rr  T
′′C ′T ′. Siendo , las
coordenadas de P′ (nueva posición de P) en relación con C ′, se tiene:   dcos −  − ,
  d sin −  − . Sustituyendo en estas ecuaciones el valor de  hallado más arriba, se tiene que:
  −dcos    −dcos Rr    −dcos
R  r
r ,   d sin
R  r
r . Por tanto, sumando a
estas coordenadas las de C ′, halladas antes, se obtienen las ecuaciones paramétricas del lugar geométrico
pedido: x  R  rcos − dcos R  rr , y  R  r sin − d sin
R  r
r , que corresponden a una
epicicloide. Cambiando r por −r, y d por −d, se tienen las ecuaciones para el caso de tangencia en el
interior del círculo C (hipocicloide). El dibujo de la epicicloide para R  4, r  2, d  2, es el siguiente:
-5 5
-5
5
C 35- Hallar el lugar geométrico de un punto fijo situado en el plano de un círculo que rueda sin
deslizamiento sobre una línea recta. El punto puede estar a una distancia del centro del círculo, mayor,
igual o menor que su radio.
Solución:
O
P
T T’
O’
HP’
θO
P
T T’
O’
HP’
θ
Sea r el radio del círculo y d la distancia del punto P al centro O del círculo. El círculo ha girado un
ángulo , de forma que O ha tomado la posición O ′, encontrándose P en P′. Las coordenadas de O son
0, r y las de O ′r, r. Se tiene que: P′H  d sin, O ′H  −dcos. Por tanto, las coordenadas de P′ son:
r − d sin, r − dcos. Luego las ecuaciones paramétricas de la curva descrita por P, son:
x  r − d sin, y  r − dcos. Estas ecuaciones corresponden a una cicloide. Si d  r, la cicloide es
corta; si d  r, la cicloide es ordinaria; si d  r, la cicloide es larga. El dibujo de la cicloide para
r  d  2, es el siguiente:
-10 0 10
2
4
C 36- Se da el segmento AB de longitud 2c. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de
distancias a A y B es igual a una constante dada a2.
Solución: Siendo el origen de coordenadas el punto medio de AB, se tiene A−c, 0, Bc, 0. Luego,
x − c2  y2  x  c2  y2  a2. Operando se tiene que: x2  y2  c22 − 4c2x2  a4. O bien,
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x2  y22 − 2c2x2 − y2  a4 − c4 (curva u óvalo de Cassini). Si a  c, se obtiene la lemniscata de
Bernoulli: x2  y22  2c2x2 − y2. El dibujo de esta curva para a  c  1, es el siguiente:
-1 1
-0.5
0.5
C 37- Se da una circunferencia de centro A y radio AO  a. Se traza por O la perpendicular OD al radio AO.
Se toma sobre OA un punto B tal que OB  3  OA. Se traza una paralela a OAB a una distancia b de OAB.
Sobre esta paralela se proyecta A en C, y O en D, punto de corte de BD con OD. Se toma un punto P
sobre el círculo, cuya proyección sobre OAB es Q. Se une Q con C. La recta QC corta a la recta BD en R.
La recta AR corta a la recta CD en S. Se toma el segmento CS en magnitud y sentido, y se lleva sobre OA,
a partir de O, obteniéndose el punto T. Se levanta por T la perpendicular a OA, hasta que corte en M a OP.
Hallar el lugar geométrico de M (y de su simétrico N respecto de OA).
Solución:O0,0, A−a, 0, D0,b, C−a,b, B−3a, 0. La ecuación del círculo es: x2  y2  2ax  0,
o sea y   −x2 − 2ax . Sea OQ  , la ecuación de QC es: y  bx  −a   . La ecuación de BD es:
y  bx  3a3a . Las coordenadas de R son: x 
3a2
 − 4a , y 
b
3a
3a2
 − 4a  3a . La ecuación de CD es:
y  b. La ecuación de AR es: y  b3a
3a2
 − 4a  3a
x  a
3a2
 − 4a  a
. Las coordenadas de S son:
2a2
 − 3a ,b . La longitud del segmento SC es:
a − a2
x − a . La ecuación del lugar geométrico de M es:
y  x x  aa − 3x , o bien, x
2x  a  y23x − a  0 Se trata del folium de Descartes. La ecuación de la
curva es independiente del parámetro b, por lo que el hecho de que la recta CD esté a mayor o menor
distancia de la recta AO, no incide en el lugar geométrico. El dibujo de esta curva para a  1, es el
siguiente:
-1.0 -0.5 0.5
-2
2
C 38- Se da la semirrecta OA que gira uniformemente alrededor de O. El punto O se desplaza uniformemente
sobre OA, tomando las posiciones P1, P2,... Hallar el lugar geométrico de P.
Solución:
O
P2
P3
P1 AO
P2
P3
P1 A
Siendo v la velocidad de desplazamiento de P sobre OA, y siendo  la velocidad de giro de OA, se tiene:
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