PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-34

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D 186- Se consideran todas las parábolas que tienen por directriz la recta x − a  0, y que pasan por el origen
O. 1º) Hallar el lugar geométrico de los focos. 2º) Hallar el lugar de los vértices. 3º) Por un punto M del
plano pasan dos de estas parábolas. Hallar el lugar de M para que dichas parábolas se corten
ortogonalmente en el origen. Demostrar que en este caso la recta que une sus focos pasa por un punto fijo.
Solución: 1º) Foco ,. Ecuación focal: x − 2  y − 2  x − a2. Para que pase por el origen:
2  2  a2. Luego el lugar de los focos es: x2  y2  a2. 2º) El vértice es V a  2 , , de donde
2x  a  . El lugar de los vértices es: 2x − a2  y2  a2, es decir: 4x2  y2 − 4ax  0. 3º) La ecuación
focal de las parábolas, en función de , es: y2  2a − x − 2 a2 − 2 y  0, es decir:
4x2  4y22 − 4x2ax  y2  y4  4axy2  4a2x2 − y2  0, que es de 2º grado en , luego por cada
punto pasan dos parábolas de la familia. Las tangentes en el origen tienen por pendiente: y ′  a − a   .
Como m1  m2  −1,   0. El lugar es: y4  4axy2  4a2x2 − y2  0, que corresponde a dos parábolas:
y2  2ax  2ay  0. Para   0, los focos son 0,a, y las rectas que los unen pasan siempre por el
origen.
D 187- Se da la parábola y2 − 2px  0. Encontrar el lugar de los puntos P tales que los círculos que pasan por
el vértice de la parábola y por los puntos de contacto de las tangentes trazadas por P a la parábola, tengan
un radio constante dado.
Solución: P,. Polar de P: −px  y − p  0. Ecuación general de las cónicas que satisfacen el
enunciado: y2 − 2px  px − y  py  mx  0. Para que estas cónicas sean circunferencias, ha de
cumplirse que: pm   − , p − m  0. De donde: m  p ,  
p2  2
 . Operando, la ecuación de la
circunferencia es: x2  y2   − 2
2
p − 2p x 

p y  0. Por tanto, su radio viene dado por la
ecuación: 4R2   − 2
2
p − 2p
2

22
p2
. El lugar pedido es: px − 2y2 − 2p22  x2y2 − 4p2R4  0.
En el dibujo se han incluido para p  1, R  2, en línea continua el lugar geométrico, y en línea de trazos
la parábola dada.
-5 5 10
-2
2
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Sección E - CURVAS
CURVAS EN EXPLÍCITAS
E 1- Dibujar la curva y  3x3 − 9x2  8x − 5
Solución: La curva no tiene asíntotas. Tiene una rama parabólica según el eje positivo OY para valores de
x → , y una rama parabólica según el eje negativo OY ′ para valores de x → −. Derivando la ecuación
de la curva e igualando a cero: y ′  9x2 − 18x  8  0, cuyas raíces son 43 y
2
3 . Volviendo a derivar:
y ′′  18x − 1. Luego y ′′ 43  0, y
′′ 2
3  0. Por tanto, el punto
2
3 ,
−25
9 es un máximo, y el
punto 43 ,
−29
9 es un mínimo. Para y
′′  0, se tiene el punto de inflexión 1,−3, en el que la pendiente
de su tangente es −1. La curva corta al eje XX′ en el punto de abscisa 2.11, siendo la pendiente de su
tangente 10.1. La curva corta al eje YY ′ en el punto de ordenada −5, siendo la pendiente de su tangente 8.
El dibujo de la curva es el siguiente:
1 2
-10
-5
5
Nota: Para representar las curvas se utilizan escalas horizontal y vertical que proporcionan una adecuada
comprensión de sus características.
E 2- Dibujar la curva y  2x3 − 4x  1
Solución: La curva no tiene asíntotas. Tiene una rama parabólica según el eje positivo OY para valores de
x → , y una rama parabólica según el eje negativo OY ′ para valores de x → −. Derivando la ecuación
de la curva e igualando a cero: y ′  6x2 − 4  0, cuyas raíces son  23 . Volviendo a derivar: y
′′  12x.
Luego y ′′ 23  0, y
′′ − 23  0. Por tanto, el punto
2
3 ,
9 − 8 6
9 es un mínimo, y el punto
− 23 ,
9  8 6
9 es un máximo. Para y
′′  0, se tiene el punto de inflexión 0,1, en el que la
pendiente de su tangente es −4. La curva corta al eje XX′ en tres puntos, cuyas abscisas son,
aproximadamente: −1.5; 0.26; 1.2. El punto de intersección con el eje YY ′, es el de inflexión, ya
estudiado. El dibujo de la curva es el siguiente:
-1 1
2
101
E 3- Dada la curva y  x3 − 1, hallar: 1º) Los valores de la subnormal y la subtangente en el punto 0,−1.
2º) Ecuación del haz de tangentes trazadas desde el origen de coordenadas.
Solución: 1º) Derivando y particularizando para el punto dado: y ′  3x2  0. La subnormal
Sn  yy ′  0. La subtangente St 
y
y ′
 . 2º) Sea y  x, la recta genérica que pasa por el origen. Su
intersección con la curva viene dada por x3 − x − 1  0. Esta ecuación debe tener una raíz común con su
derivada, 3x2 −   0. Luego: 43 − 27  0. El haz es: 4 yx
3
− 27  0. Operando: 4y3 − 27x3  0.
E 4- Dada la curva y  x3 − x2, hallar el lugar geométrico del punto medio de las cuerdas paralelas a la
dirección y  2x.
Solución: Sean x,y, x  ,y   los puntos de intersección de la cuerda con la curva, luego:
y    x  3 − x  2. Siendo y  2x, se tiene: 2x   − x3 − 3x2 − 3x2 − 3  x2 
2x  2  0. Operando: x3  3 − 1x2  32 − 2 − 2x  3 − 2 −   0. Sustituyendo x,y por
−x,−y, se tiene: x3 − 3 − 1x2  32 − 2 − 2x − 3  2    0. Sumando y restando estas dos
igualdades y simplificando: x3  32 − 2 − 2x  0, 3 − 1x2  3 − 2 −   0. De donde:
x2  −32  2  2  −
3  2  
3 − 1 . Por tanto,   −8
3  82  4 − 2, o bien, cambiando , por
x,y, se tiene: y  −8x3  8x2  4x − 2, que es el lugar pedido. En el siguiente dibujo se ha representado
en línea continua el lugar geométrico, y en trazos la curva dada.
-1 1
5
10
E 5- Dada la curva y  
3 x6 − x3  1
x2 − 1
, hallar sus asíntotas y la posición de la curva respecto a ellas.
Solución: Los valores que anulan el denominador son x  1, que representan las asíntotas paralelas al
eje YY ′. Para estudiar la posición de la curva respecta a la asíntota x  1, se sustituye x  1  , con
 → 0, obteniéndose yc − ya   1
2
. Luego para   0, se tienen las dos posiciones yc ≶ ya, mientras
que para   0, no hay curva. Con relación a la asíntota x  −1, se sustituye x  −1  , con  → 0,
obteniéndose yc − ya  
3 3
−2
. Luego para   0, se tienen las dos posiciones yc ≶ ya, mientras que
para   0, no hay curva. Para hallar la asíntota general se tiene que:
y  
x2 1  −1
x3
 1
x6
1
3
x 1 − 1
x2
1
2
 
x 1 
1
3
1
−1
x3
 1
x6

1
3
2
−1
x3
 1
x6
2
. . .
1 −
1
2
1
1
x2

1
2
2
1
x4
. . .

 
x 1 − 1
3x3
 2
9x6
. . .
1 − 1
2x2
− 1
8x4
. . .
≃  x  12x . Luego las asíntotas generales son: y  x. La curva no las
corta. Para estudiar la posición de la curva respecto a la asíntota y  x, se tiene que yc − ya  12x ; luego
para x  , yc  ya, y para x  −, yc  ya. Análogamente, para la asíntota y  −x, se tiene que
yc − ya  −12x ; luego para x  , yc  ya, y para x  −, yc  ya. En el esquema siguiente se recogen
las posiciones estudiadas.
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