PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-36

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E 12- Dibujar la curva y  xx
2 − 1
x − 2x  2 .
Solución: Las asíntotas paralelas al eje YY ′ son: x  2, x  −2. Para estudiar la posición de la curva con
relación a x  2, se sustituye x  2  , con  → 0, con lo que yc  32 , luego para   0, y  , y para
  0, y  −. En cuanto a x  −2, se sustituye x  −2  , con  → 0, con lo que yc  2 , luego para
  0, y  , y para   0, y  −. Para hallar la asíntota general se tiene: y  x
3 − x
x2 − 4
 x  3x . . . ,
luego la asíntota es y  x. Para hallar la posición de la curva, se tiene: yc − ya  3x , luego para x  0,
yc  ya, y para x  0, yc  ya. Derivando la ecuación de la curva e igualando a cero, se tiene:
x4 − 11x2  4  0, obteniéndose el máximo −3.26,−4.74, el mínimo −0.614,−0.106, el máximo
0.614,0.106 y el mínimo 3.26,4.74. Las intersecciones con el eje XX′, tienen por abscisas: 0 y 1. El
punto 0,0 es de inflexión, siendo 14 la pendiente de su tangente. Las tangentes en los puntos −1,0 y
1,0 tienen la misma pendiente: −23 . El único punto de intersección con el eje YY
′ es el origen, ya
estudiado. A continuación se presenta el dibujo de la curva.
-4 -2 2 4
-5
5
E 13- Dibujar la curva y  x
x2 − 5x  4
.
Solución: Siendo y  x
x − 1x − 4 , las asíntotas paralelas al eje YY
′ son: x  1, x  4. Para estudiar
la posición de la curva respecto a x  1, se sustituye x  1  , con  → 0, con lo que yc  1−3 , luego
para   0, yc  −, y para   0, yc  . En cuanto a x  4, se sustituye x  4  , con  → 0, con lo
que yc  13 , luego para   0, yc  , y para   0, yc  −. Como y 
x
x2 − 5x  4
 1x . . . , se
tiene la asíntota y  0. Para estudiar la posición de la curva respecto a ella, se sustituye x  , con  → 0,
con lo que yc  1 , luego para   0, y  , y para   0, y  −. Derivando la ecuación de la curva e
igualando a cero, se tiene x2 − 4  0, obteniéndose el mínimo −2, −19 y el máximo 2,−1. La curva
corta a los ejes en el punto 0,0. La pendiente de la tangente en 0,0 es 49 . De acuerdo con lo anterior,
el dibujo de la curva es el siguiente:
5
-2
2
106
E 14- Dibujar la curva y  x
4 − 1
xx  2x − 3 .
Solución: Los valores que anulan el denominador corresponden a las asíntotas: x  −2, x  0, x  3.
Para estudiar la posición relativa de la curva con relación a x  −2, se sustituye x  −2  , con  → 0,
con lo que yc  85 , luego para   0, yc  , y para   0, yc  −. En relación a x  0, se sustituye
x  , con  → 0, con lo que yc  112 , luego para   0, yc  , y para   0, yc  −. En relación a
x  3, se sustituye x  3  , con  → 0, con lo que yc  275 , luego para   0, yc  , y para   0,
yc  −. Para hallar la asíntota general, se tiene, dividiendo el numerador por el denominador:
y  x  1  7x . . . , obteniéndose la asíntota y  x  1, siendo yc − ya 
7
x , con lo que para x  0,
yc  ya, y para x  0, yc  ya. La curva corta a esta asíntota, en los puntos de abscisas −1 y 17 .
Derivando la ecuación de la curva e igualando a cero, se tiene: x6 − 2x5 − 18x4  3x2 − 2x − 6  0, que
tiene las raíces reales: x1 ≃ −3.3, que corresponde a un máximo, y x2 ≃ 5.3, que corresponde a un
mínimo. Los puntos de intersección con el eje XX′ son −1,0 y 1,0; las pendientes de sus tangentes
son, respectivamente, −1 y −23 . De acuerdo con lo anterior, el dibujo de la curva es el siguiente:
-5 5
10
E 15- Dibujar la curva y  x3  x − 2 .
Solución: La curva tiene valores reales para x ≥ 2. Para x  0, tiene el punto aislado 0,0. Como el
signo de la raíz es el positivo, se tiene que y ≥ 0. No tiene asíntotas. Tiene una rama parabólica según el
eje OY, en el primer cuadrante. El punto 2,0 es de discontinuidad, siendo  la pendiente de su tangente.
El dibujo de la curva es el siguiente:
0 1 2 3
0
5
10
15
E 16- Dibujar la curva y  1  x
2
3 7 − x2.
Solución: No tiene asíntotas. Tiene una rama parabólica según el eje OY en el primer cuadrante, y otra,
también según dicho eje, en el segundo cuadrante. Derivando la ecuación de la curva e igualando a cero,
se tiene: 7 − x 4x
2
3 − 7x
−1
3  3  0, obteniéndose el mínimo 7,0 y el máximo 1,72. La curva
corta al eje YY ′ en 0,49, que es un punto de retroceso con tangente x  0. Estas consideraciones se
recogen en el dibujo de la curva:
107
0 2 4 6 8
50
0 2 4 6 8
50
0 2 4 6 8
50
E 17- Dibujar la curva y   xx − 12x  23 .
Solución: Se trata de y2  xx − 12x  23, que tiene valores reales para x ≤ −2, y para x ≥ 0. No tiene
asíntotas. Tiene cuatro ramas parabólicas, dos según el eje OY en el primer y segundo cuadrante, y otras
dos según el eje OY ′ en el tercer y cuarto cuadrante. Es simétrica respecto al eje XX′, al que corta en
−2,0, 0,0, 1,0. Las pendientes de sus tangentes son: para −2,0, la pendiente es 0; para 0,0, es
; para 1,0, las de sus dos tangentes son 6 3 . Derivando la ecuación de la curva e igualando a cero,
se obtiene 3x2  x − 1  0, a cuya raíz −1  136 ≃ 0.43, corresponde el máximo 0.43,4.2 y el
mínimo 0.43,−4.2. El dibujo de la curva es el siguiente:
-2 2
-4
-2
2
4
E 18- Dibujar la curva y  1x 
1
x − 22
− 1x − 3 .
Solución: Tiene las asíntotas x  0, x  2, x  3. Para estudiar la posición de la curva respecto a x  0,
se sustituye x  , con  → 0, con lo que yc  1  k1, luego para   0, yc  , y para   0, yc  −.
En relación a x  2, se sustituye x  2  , con  → 0, con lo que yc  12
 k2, luego tanto para   0,
como para   0, yc  . En relación a x  3, se sustituye x  3  , con  → 0, con lo que
yc  −1  k3, con lo que para   0, yc  −, y para   0, yc  . Operando en la ecuación dada, se
tiene: y  x − 2
2x − 3  xx − 3 − xx − 22
xx − 22x − 3
 −2
x2
. . . , obteniéndose la asíntota y  0, siendo
yc − ya  −2x2
, luego tanto para x  , como para x  −, yc  ya. La curva no corta a las asíntotas.
Derivando la ecuación de la curva, se tiene: 4x4 − 33x3  108x2 − 156x  72  0, obteniéndose dos
mínimos, uno para x ≃ 0.8, y el segundo para x ≃ 2.6. La curva se puede dibujar también, sumando las
tres curvas: y1  1x , y2 
1
x − 22
, y3  −1x − 3 . El dibujo de la curva es el siguiente:
-2 2 4
-5
5
108