PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-54

Vista previa del material en texto

paralela al eje YY ′: x  12 ; añadiendo la primera paralela (el resto de la ecuación, en este caso) y
operando, se tiene xc − xa  −332y3
(figura B). La determinatriz (II) corresponde a la asíntota general
definida por: 2xy3 − x4  0; añadiendo la primera paralela (monomio 2), se tiene: y  x
4
2x − 1
1
3 
 x
3 2
 1
6 3 2
− 1
18 3 2 x
. . . , de donde la asíntota es: y  x
3 2
 1
6 3 2
, siendo yc − ya  −1
18 3 2 x
(figura C). La determinatriz (III) da los puntos de corte con el eje XX′: 0,0, 1,0. La determinatriz
(IV) corresponde a la tangente en el origen: x  0, estando dada la posición de la curva por x   y3
(figura D).
2 1
43
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A
X=1/2
X=0
Fig B Fig C Fig D
Y=X/ 23 +1/6 23
2 1
43
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A
X=1/2
X=0
Fig B Fig C Fig D
Y=X/ 23 +1/6 23Y=X/ 23 +1/6 2323 +1/6 23
El dibujo de la curva es el siguiente:
-1 1
-1
1
E 122- Dibujar la curva x4y2  3x3y3 − 3x2y2  4x2y4  xy3  y4 − xy  x2  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A) corresponde a la asíntota
paralela al eje YY ′: 4x2  1  0, luego es imaginaria. La determinatriz (II) corresponde a la asíntota
general: x2y24y2  3xy  x2, que es imaginaria, siendo la curva cerrada. La determinatriz (III)
corresponde a la asíntota: y  0, viniendo dada por y2  −1
x2
, luego es imaginaria. La determinatriz (IV)
se refiere a la tangente en el origen: y  x, estando dada la posición de la curva, tras añadir la primera
paralela, por yc − yt  −x3 (figura B). La determinatriz (V) se refiere a la tangente en el origen: x  0,
estando dada la posición de la curva por x  y3 (figura C).
1
2
3
4
5
6
7
8
( I )
( II )
( III )
( IV )
( V )
Fig A
Y=X
Fig B Fig C
X=0
1
2
3
4
5
6
7
8
( I )
( II )
( III )
( IV )
( V )
Fig A
Y=X
Fig B Fig C
X=0
160
El dibujo de la curva es el siguiente:
-0.5 0.5
-0.5
0.5
E 123- Dibujar la curva x4  3x2y − y3  x2 − 2y2  y − 2x  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A), se refiere a la rama
parabólica: x4 − y3  0 (figura B). La determinatriz (II) da los puntos de corte con el eje XX′: 0,0,
1,0. La determinatriz (III) se refiere a la tangente en el origen: y  2x; añadiendo la primera paralela, se
obtiene yc − yt  7x2 (figura C). La determinatriz (IV) da la intersección con el eje YY ′: 0,0,
0,−1  2 .
1
2
3
4
5
6
7
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A
Y=2X
Fig CFig B
1
2
3
4
5
6
7
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A
Y=2X
Fig CFig B
El dibujo de la curva es el siguiente:
-2 2
-5
5
E 124- Dibujar la curva y − 2x2x2y − x2y2 − 2x2  y  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A), se refiere a la asíntota: x  0;
la posición de la curva viene dada por x2  −1
y2
, luego la asíntota es imaginaria. La determinatriz (II) se
refiere a la rama parabólica: y − 2x  y  0 (figura B). La determinatriz (III) corresponde a la asíntota:
y  0; la posición de la curva está dada por yc − ya  12x2
(figura C). La determinatriz (IV) corresponde
a la tangente en el origen: y  0; la posición de la curva viene dada por yc − yt  2x2 (figura D).
161
1
2
3
4
5
6
( I ) ( II )
( III )( IV )
Fig A Fig B
Y=0
Fig C Fig D
Y=0
1
2
3
4
5
6
( I ) ( II )
( III )( IV )
Fig A Fig B
Y=0
Fig C Fig D
Y=0
El dibujo de la curva es el siguiente:
-2 0 2
1
2
E 125- Dibujar la curva x3y4 − xy4  x4y3 − 2x5y  x4 − 4x2  2x2y  x2y3 − x3y2  y2 − x  y  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A), corresponde a la asíntota:
x  0; la posición de la curva viene dada por x  1
y2
(figura B). La determinatriz (II) se refiere a las
asíntotas paralelas al eje YY ′: x2 − 1  0; añadiendo la primera paralela, se tiene para la asíntota:
x  1  0, xc − xa  −1y (figura C), y para la asíntota: x − 1  0, xc − xa 
−1
y (figura D). La
determinatriz (III) se refiere a la asíntota general que se obtiene añadiendo la primera paralela (monomio
4); x3y3x  y − 2x5y  0, y  x  2x
2
y2
 2; añadiendo la segunda paralela (monomios 2, 8, 9), se tiene
que: y  −x  −2x
6  3x5
−x6
 −x  2 − 3x , luego la asíntota es: y  −x  2, y la posición de la curva está
dada por yc − ya  −3x (figura E). La determinatriz (IV) corresponde a la rama parabólica: y
2 − 2x  0
(figura F). La determinatriz (V) se refiere a la asíntota: y  0; la posición de la curva está dada por
yc − ya  12x (figura G). La determinatriz (VI) se refiere a la intersección con el eje XX
′:
xx3 − 4x − 1  0, cuyas raíces son las abscisas: −1.861, −0,254, 0, 2.115. La determinatriz (VII)
corresponde a la tangente en el origen: y − x  0; añadiendo la primera paralela, se obtiene la posición de
la curva yc − yt  3x2 (figura H). La determinatriz (VIII) se refiere a la intersección con el eje YY ′: 0,0,
0,−1.
12
3
4
56
7
8
910
11
12
( I )
( II )
( III )
( IV )
( V )
( VI )
( VII )
( VIII )
Fig A Fig B
X=0
X+1=0
Fig C
X-1=0
Fig D Fig E
Y+X-2=0
Fig F Fig G
Y=0
Fig H
Y-X=0
12
3
4
56
7
8
910
11
12
( I )
( II )
( III )
( IV )
( V )
( VI )
( VII )
( VIII )
Fig A Fig B
X=0
X+1=0
Fig C
X-1=0
Fig D Fig E
Y+X-2=0
Fig F Fig G
Y=0
Fig H
Y-X=0
162